ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 251
Скачиваний: 10
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
45
ной, так как толщина проводника бесконечна и волне нет от чего отразиться.
Итак, уравнение (1.23) имеет решение
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
∞
<
≤
+
≤
≤
+
=
,
2
при e
]
sin cos
[
e
,
2 0
при e
]
sin cos
[
sin
4 3
2 1
)
1
(
)
2
(
y
h
x
k
X
x
k
X
h
y
x
k
X
x
k
X
y
k
E
z
ik
x
x
y
ik
z
ik
x
x
y
z
z
y
z
(3.30) где
2 2
2 0
)
1
(
z
x
r
y
k
k
k
k
−
−
ε
=
; (3.31)
Δ
+
≈
−
−
ω
ε
σ
=
)
1
(
)
/(
2 2
0 2
0
)
2
(
i
k
k
i
k
k
z
x
y
; (3.32)
Δ – толщина скин-слоя проводника, определяемая формулой (3.29). В выра- жении (3.32) была учтена высокая проводимость проводника
σ.
Требуя выполнение граничного условия (1.32) для E
z
при y
= h/2, исключаем в (3.30) два неизвестных параметра:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
+
≤
+
=
−
при e
]
sin cos
[
2
sin e
,
при e
]
sin cos
[
sin
2 1
2 1
)
1
(
)
2
/
(
2 1
2 1
)
1
(
)
2
(
h
y
x
k
X
x
k
X
h
k
h
y
x
k
X
x
k
X
y
k
E
z
ik
x
x
y
h
y
ik
z
ik
x
x
y
z
z
y
z
(3.33)
Подставляя выражение (3.33) в равенство (1.27), получаем
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥
−
−
ω
ε
σ
σ
≤
−
−
ε
ε
ωε
−
=
−
при
]
cos sin
[
)
/(
2
sin e
,
при
]
cos sin
[
sin
2 1
2 1
2 0
2 0
)
1
(
)
2
/
(
2 1
2 1
2 2
0
)
1
(
0
)
2
(
h
y
x
k
X
x
k
X
k
i
k
h
k
k
h
y
x
k
X
x
k
X
k
k
y
k
k
i
H
x
x
z
y
h
y
ik
x
x
x
z
r
y
x
r
y
y
(3.34)
В этой формуле и в последующих формулах мы для краткости опускаем зависимость от координаты z.
Напряженность H
y
является тангенциальной составляющей на поверх- ности магнитной стенки. Поэтому должны выполняться граничные условия
H
y
⏐x=0
= 0, H
y
⏐x=W
= 0. (3.35)
Отсюда находим
X
2
= 0, k
x
=
πn/W (n = 0, 1, 2, …). (3.36)
46
Подставляя (3.36) в выражения (3.33) и (3.35) и ограничиваясь случаем
n = 0, имеем
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤
=
−
,
при e
2
sin
,
при sin
2 1
)
2
/
(
)
1
(
1 2
1
)
1
(
1
)
2
(
h
y
h
k
X
h
y
y
k
X
E
h
y
ik
y
y
z
y
(3.37)
H
y
= 0. (3.38)
После подстановки (3.37) в (1.26), (1.28) и (1.29) получаем остальные попе- речные составляющие волны
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
σ
≤
ω
ε
ε
−
=
−
,
при e
2
sin
,
при cos
2 1
)
2
/
(
)
1
(
1
)
2
(
2 1
)
1
(
1
)
1
(
0
)
2
(
h
y
h
k
X
k
i
h
y
y
k
X
k
i
H
h
y
ik
y
y
y
y
r
x
y
(3.39)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
−
≤
=
−
,
при e
2
sin
,
при cos
2 1
)
2
/
(
)
1
(
1
)
2
(
2 1
)
1
(
1
)
1
(
)
2
(
h
y
h
k
X
k
k
h
y
y
k
X
k
ik
E
h
y
ik
y
y
z
y
y
z
y
y
(3.40)
E
x
= 0. (3.41)
Составляющая H
x
является тангенциальной составляющей на поверх- ности проводника. Поэтому она должна удовлетворять граничному условию
(1.33) при y = h/2. Отсюда получаем дисперсионное уравнение
0 2
tg
)
1
(
)
2
(
0
)
1
(
=
σ
ω
ε
ε
+
y
y
r
y
k
k
h
k
. (3.42)
Будем искать квази-Т-волну, полагая
1
>> k
0
h
>> k
0
Δ.
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 22
3.43
)
В этом случае
1 и уравнение (3.42) упрощается:
2
/
)
1
(
<
<
h
k
y
0 2
)
1
(
)
2
(
0
)
1
(
=
σ
ω
ε
ε
+
y
y
r
y
k
k
h
k
. (3.44)
Подставляя выражения (3.31) и (3.32) в уравнение (3.44), получаем
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
Δ
+
+
ε
=
h
i
k
k
r
z
2
)
1
(
1 0
. (3.45)
47
Отсюда по формуле (3.20) находим искомую добротность проводников для квази-Т-волны в плоском волноводе
Q
c
= h/
Δ. (
3.46
)
Приступим к вычислению волнового сопротивления. Полагая, что напряжение между верхним и нижним проводником равно U, из выражения
(3.40) находим значение константы
z
y
k
k
h
U
i
X
)
1
(
1
=
. (3.47)
Подставляя (3.47) в выражение (3.37), находим продольную состав- ляющую электрического поля внутри верхнего проводника
)
2
/
(
2
)
1
(
)
2
(
e
2
h
y
ik
z
y
z
y
k
k
U
i
E
−
=
. (3.48)
Согласно закону (1.13) внутри проводника возникают объемные токи
)
2
/
(
2
)
1
(
)
2
(
e
2
h
y
ik
z
y
z
y
k
k
U
i
j
−
σ
=
. (3.49)
Интегрируя (3.49) по всей глубине проводника и учитывая (3.32), находим поверхностный ток
)
2
(
2
)
1
(
2
/
2
y
z
y
h
z
z
k
k
k
U
dy
j
J
σ
−
=
=
∫
∞
. (3.50)
Учитывая выражения (3.31), (3.32) и (3.45), получаем
c
z
Z
U
i
h
J
2
)
1
(
1
Δ
+
+
=
, (3.51) где Z
c
– характеристическое сопротивление, определяемое формулой (1.45).
Полный ток I получаем интегрированием (3.51) по ширине проводника
c
W
z
Z
U
i
h
W
dx
J
I
2
)
1
(
0
Δ
+
+
=
=
∫
. (3.52)
48
Подставляя (3.52) в определение (1.5) и пренебрегая толщиной скин-слоя
Δ по сравнению с толщиной диэлектрического заполнения h, находим волновое сопротивление
c
Z
W
h
Z
=
. (
3.53
)
3.3. Граничное условие Леонтовича
Рассматривая волны в плоском волноводе, мы получили общие форму- лы (3.30), (3.32), согласно которым тангенциальная составляющая электриче- ского поля убывает в глубь проводника с конечной проводимостью
σ по за- кону
Δ
−
=
/
)
1
(
e
)
(
y
i
t
t
y
E
E
, (
3.54
) где
Δ − толщина скин-слоя проводника. Эта составляющая сопровождается токами с объемной плотностью
Δ
−
σ
=
/
)
1
(
e
)
(
y
i
t
t
y
E
j
. (3.55)
Интегрируя (3.55) по y от 0 до
∞, получаем поверхностную плотность токов
t
i
E
J
σ
−
Δ
=
1
. (3.56)
Формулу (3.56) можно переписать в виде
E
t
= (1 – i)R
s
J
, (
3.57
) где величина
R
s
= 1/(
σΔ) (
3.58
) называется поверхностным сопротивлением проводника. Из выражения
(3.57) следует, что импеданс скин-слоя определяется формулой
Z
s
= (1
−i)R
s
. (
3.59
)
Учитывая, что поверхностный ток
J
связан с тангенциальной состав- ляющей магнитного поля
H
t
граничным условием (1.37), формулу (3.57) можно, в свою очередь, представить в виде
[
n
H
E
×
=
t
s
t
Z
]
(
3.60
)
49
Формулу (3.60) называют граничным условием Леонтовича. Оно позво- ляет решать электродинамические задачи, не рассматривая электромагнитное поле внутри проводника. Это условие приближенное. Оно хорошо выполня- ется, когда
λ >> Δ.
3.4. Закон приращения индуктивности
В общем случае комплексное сопротивление любого проводника имеет активную и реактивную части. Его погонную величину записывают в виде суммы
Z
i
= R
i
− iX
i
. (3.61)
Согласно формуле (2.3) погонное комплексное сопротивление i-го иде- ального проводника для m-й квазипоперечной электромагнитной волны есть
m
i
m
i
L
i
Z
ω
−
=
0
, (3.62) где
∑
=
=
n
k
im
km
ik
m
i
I
I
L
L
1
(3.63)
− эффективная погонная индуктивность i-го проводника для m-й волны. Это сопротивление не содержит активной части.
При конечной проводимости проводников погонное комплексное со- противление получает некоторое приращение
ΔZ
i
m
и становится равным
m
i
m
i
m
i
Z
L
i
Z
Δ
+
ω
−
=
. (3.64)
Поэтому активная часть сопротивления Z
i
m
есть активная часть его прираще- ния
ΔZ
i
m
. Однако, согласно формуле (3.57), вещественная часть приращения
ΔZ
i
m
должна равняться его мнимой части. Поэтому активная часть погонного комплексного сопротивления i-го проводника для m-й волны есть
R
i
=
ω ΔL
i
m
, (
3.65
) где
ΔL
i
m
– приращение эффективной погонной индуктивности в результате появления конечной проводимости. Формула (3.65) получила название закона приращения индуктивности .
50
3.5. Добротность проводников линии передачи
для квази-Т-волн
Опираясь на закон приращения индуктивности, установим связь доб- ротности проводников Q
c
с волновым сопротивлением
Z
i m
= U
i m
/I
i m
. (3.66)
Согласно уравнению (2.12) и определению (3.63) эффективная погон- ная индуктивность L
i
m
i-го проводника для m-й волны связана с соответст- вующим волновым сопротивлением Z
i m
формулой
im
m
m
i
Z
k
L
ω
′
=
. (3.67)
Таким образом, формулу (3.65) переписываем в виде
im
m
i
Z
k
R
Δ
′
=
, (3.68) где
ΔZ
i m
− приращение волнового сопротивления линии передачи в резуль- тате замены бесконечной проводимости проводников на конечную проводи- мость.
Далее для упрощения расчетов будем предполагать, что линия переда- чи двухпроводная. Тогда индексы i и m можно опустить.
Закон сохранения энергии электромагнитной волны в линии передачи выражается формулой
−∂P/∂z = W, (3.69) где усредненная по времени мощность, переносимая электромагнитной вол- ной в точке z, есть
P(z)
= ½ZI
0 2
e
– 2 k
z
″z
, (3.70) погонная мощность омических потерь в проводниках есть
W(z)
= ½RI
0 2
e
– 2 k
z
″z
, (3.71)
I
0
− амплитуда тока волны в точке z = 0.
Подставляя выражения (3.70), (3.71) и (3.68) в равенство (3.69), получаем
k
z
″Z = ½ k
z
′ΔZ. (3.72)
Отсюда по формуле (3.20) находим
Q
c
= Z/
ΔZ. (
3.73
)
51
Эта формула выражает добротность проводников двухпроводной ли- нии передачи для поперечных и квазипоперечных электромагнитных волн через относительное изменение волнового сопротивления, обусловленное проникновением токов в глубь проводников.
Абсолютную величину изменения волнового сопротивления
ΔZ можно получить как приращение волнового сопротивления в результате перемеще- ния поверхностных токов в глубь проводников на половину толщины скин- слоя:
∑
∂
∂
Δ
=
Δ
i
i
n
Z
Z
2
, (
3.74
) где производные вычисляются по нормалям ко всем поверхностям пары про- водников, i – индексы поверхностей. Подставляя (3.74) в (3.73), получаем ис- комую формулу
∑
∂
∂
Δ
=
i
i
c
n
Z
Z
Q
2
. (3.75)
Проверим правильность общей формулы (3.75) на примере плоского волновода. Согласно формуле (3.53)
W
Z
h
Z
n
Z
c
i
i
2 2
=
∂
∂
=
∂
∂
∑
. (3.76)
Подставляя (3.53) и (3.76) в общее выражение (3.75), получаем формулу
(3.46). Это подтверждает правильность общей формулы (3.75) и, в частности, правильность предположения о том, что индуктивность проводников с экс- поненциально затухающими объемными токами равна индуктивности про- водников с поверхностными токами, протекающими под поверхностями про- водников на глубине половины толщины скин-слоя.
Аналогичным образом получим формулу для добротности проводни- ков коаксиальной линии. Подставляя (1.46) в (3.75), имеем
1 2
1 2
2 1
)
(
ln
2
r
r
r
r
r
Q
c
+
Δ
=
. (3.77)
Видно, что добротность Q
c
пропорциональна радиусу внешнего про- водника и обратно пропорциональна толщине скин-слоя. Зависимость
Q
c
(r
2
/r
1
) имеет максимум, когда 1+r
1
/r
2
= ln (r
2
/r
1
), то есть при r
2
/r
1
≈ 3.591.
52
При максимальной добротности волновое сопротивление воздушной коакси- альной линии равно
r
ε
/
66 76
Ом.
Контрольные вопросы
17.
Чем отличаются собственная добротность, внешняя добротность и нагруженная добротность колебательной системы?
18.
Как ведут себя реактансы двухполюсника на резонансной частоте?
19.
Какую размерность имеют параметры крутизны реактансов?
20.
Запишите формулу, связывающую добротность линии передачи с волновым числом.
21.
Как зависит толщина скин-слоя проводника от частоты, проводимо- сти и магнитной проницаемости?
22.
Запишите формулу для добротности проводников и волнового со- противления плоского волновода.
23.
Как зависит волновое сопротивление микрополосковой линии от ширины полоскового проводника и от диэлектрической проницаемости под- ложки?
24.
Как зависит добротность микрополосковой линии от толщины под- ложки?
25.
Запишите формулу для поверхностного импеданса проводника.
26.
Запишите формулу, связывающую тангенциальные составляющие напряженностей электрического и магнитного поля на поверхности провод- ника (неидеального).
27.
Запишите и прокомментируйте формулу, выражающую закон при- ращения индуктивности.
28.
Запишите и прокомментируйте формулу, по которой можно вычис- лить добротность проводников линии передачи, зная ее волновое сопротив- ление.
53
4. МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ СХЕМ
4.1. Матричное описание многополюсников
Устройство СВЧ в обобщенном виде можно представить в виде многополюсника, который состоит обычно из нескольких компонентов, соединенных определенным образом между собой с помощью отрезков ли- ний передачи. Такие схемы могут описываться напряжениями и токами на входах устройства или нормированными волновыми переменными.
Большинство компонентов СВЧ имеют один вход и один выход, то есть являются четырехполюсниками. В англоязычной литературе принято указывать не количество полюсов, а количество пар полюсов, то есть число портов (плеч). Поэтому термину «четырехполюсник» соответствует термин
two-port network.
Каскадное соединение четырехполюсников (см. рис. 4.1) удобно опи- сывать с помощью класси ческой матриц ы передачи , которую также называют цепной матрицей, или ABCD-матрицей, или ABCD-параметрами.
Для четырехполюсника ABCD-параметры определяются равенством [11]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
2 2
1 1
I
U
D
C
B
A
I
U
. (
4.1
)
Они связывают напряжение U
1
и ток I
1
на входе четырехполюсника с напря- жением U
2
и током I
2
на выходе.
a
b
I
1a
I
1b
I
2a
I
2b
U
1a
U
2a
U
1b
U
2b
Рис. 4.1. Каскадное соединение четырехполюсников a и b
При каскадном соединении четырехполюсников (рис. 4.1) вытекающий из четырехполюсника a ток I
2 a
является втекающим током I
1 b
четырехпо- люсника b. Поэтому ABCD-матрица каскадного соединения четырехполюс- ников a и b выражается формулой
b
a
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
. (
4.2
)
54
Из ABCD-матрицы могут быть найдены различные характеристики схемы. Входное сопротивление
Z
вх
= (AZ
н а г
+B)/(CZ
н а г
+D), (4.3) где сопротивление нагрузки Z
н а г
= U
2
/ I
2
Выходное сопротивление
Z
вых
= (DZ
и с т
+B)/(CZ
и с т
+A), (4.4) где внутреннее сопротивление источника Z
и с т
= (Є
ист
− U
1
) /I
1
Отметим, что отрезок линии передачи длиной l с волновым сопротив- лением Z имеет матрицу передачи
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
θ
θ
−
θ
−
θ
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
cos sin sin cos
1
iZ
iZ
D
C
B
A
, (
4.5
) где
θ = k
z
l
(
4.6
)
− электрическая длина отрезка.
Иногда используют нормированные ABCD-параметры, задаваемые формулой
[
]
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
D
CZ
Z
B
A
ABCD
0 0
н
, (4.7) где Z
0
− нормирующее сопротивление. Все элементы нормированной мат- рицы безразмерны. Часто нормирующим сопротивлением Z
0
является волно- вое сопротивление линий передачи, подсоединенных к четырехполюснику.
Для ABCD-матрицы используют и другие обозначения:
[
]
[ ]
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
22 21 12 11
a
a
a
a
a
D
C
B
A
ABCD
. (4.8)
Нормированные матрицы передачи обозначают как
[
] [ ]
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
=
22 21 12 11
н
A
A
A
A
A
ABCD
. (4.9)
Матрицу передачи используют и для описания 4n-полюсников, содер- жащих n входов и n выходов (см. рис. 4.2). В этом случае у 4n-полюсника бу- дут n входных токов и n выходных токов. Обозначая совокупности входных и выходных токов n-мерными векторами
I
1
и
I
2
, а отвечающие им совокуп-