ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.11.2021
Просмотров: 997
Скачиваний: 1
56
Приклад 4.
Знайти границю
0
sin 3
lim
7
x
x
x
→
Розв’язання.
Перший спосіб. Для розкриття невизначеності виду
0
0
використаємо
першу чудову границю:
0
0
0
0
sin 3
0
1
sin 3
1
3sin 3
3
sin 3
3 1
3
lim
lim
lim
lim
7
0
7
7
3
7
3
7
7
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
→
⋅
=
=
=
=
=
=
Другий спосіб. Для розкриття невизначеності виду
0
0
використаємо
принцип заміни еквівалентних нескінченно малих і одержимо:
0
0
sin
sin 3
0
3
3
lim
lim
при
0
7
0
7
7
x
x
kx
x
x
x
x
x
x
→
→
∼
=
=
=
=
→
Приклад 5.
Знайти границю
(
)
2
2
lim
7
3
9
x
x
x
x
x
→∞
−
+ −
+ −
Розв’язання.
Для розкриття невизначеності виду
(
)
∞ − ∞
домножимо та розділимо
вираз
2
2
7
3
9
x
x
x
x
−
+ −
+ −
на
спряжений
до
нього
вираз
2
2
7
3
9
x
x
x
x
−
+ +
+ −
і одержимо:
(
)
(
)
2
2
lim
7
3
9
x
x
x
x
x
→∞
−
+ −
+ − = ∞ − ∞ =
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
7
3
9
7
3
9
lim
7
3
9
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→∞
−
+ −
+ −
−
+ +
+ −
=
=
−
+ +
+ −
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
7
3
9
7
3
9
lim
lim
7
3
9
7
3
9
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→∞
→∞
−
+ −
+ −
−
+ − − +
=
=
=
−
+ +
+ −
−
+ +
+ −
(
)
(
)
2
2
2
2
1/
8
12
8
12
lim
lim
7
3
9
1/
7
3
9
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→∞
→∞
⋅ − +
− +
=
=
=
−
+ +
+ −
⋅
−
+ +
+ −
2
2
8 12 /
8
lim
4
1 1
1 7 /
3/
1 1/
9 /
x
x
x
x
x
x
→∞
− +
−
=
=
= −
+
−
+
+
+
−
.
Приклад 6.
Знайдіть границю функції
3
7
15
lim 1
2
x
x
x
−
→∞
+
.
57
Розв’язання.
Для розкриття невизначеності виду
( )
1
∞
використаємо другу чудову
границю і одержимо:
( )
(
)
(
)
15
3
7
2
2
3
7
15 3
7
45
15
lim
45
2
2
15
1
lim 1
1
lim
1
2
2 /15
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
x
x
→∞
⋅
−
−
−
∞
→∞
→∞
+
=
=
+
=
=
=
.
Тема. Диференціальне числення функції однієї змінної
Теоретичні відомості
Нехай у = f(x) є неперервна функція аргументу х, визначена на інтервалі
(a,b). Візьмемо деяке значення незалежної змінної х і надамо її деякого
приросту
∆
х.
Тоді функція y = f(x) набуде приросту
∆
у = f(x +
∆
x) – f(x).
Відношення
y
x
∆
∆
приросту
∆
у функції у=f(x) до приросту
x
∆
незалежної
змінної х називається диференціальним відношенням:
(
) ( )
f x
x
f x
y
x
x
+ ∆ −
∆ =
∆
∆
.
Функція у=f(x) називається диференційовною вточці х = х
0
, якщо існує
границя
0
0
0
0
0
( )
(
)
( )
lim
lim
x
x
f x
f x
x
f x
x
x
∆ →
∆ →
∆
+ ∆ −
=
∆
∆
.
Значення границі при цьому називається похідною функціїу=f(x) у
точціх
0
і позначається
0
(
)
y
f x
′
′
=
=
0
0
0
(
)
( )
(
).
df x
dy x
Df x
dx
dx
=
=
Правила диференціювання
Правило 1. Похідна сталої дорівнює нулеві (сonst)
′
= 0.
Правило 2. Якщо u – будь-яка диференційовна функція від х і с –
довільна стала, то (cu)
′
= cu
′
.
Правило 3. Якщо u та v – диференційовні функції від х, то їх сума u + v є
диференційовною функцією:
(
)
u
v
u
v
′
′
′
+
= +
.
Аналогічно, похідна суми будь-якого скінченного числа диференційовних
функцій дорівнює похідним цієї функції:
1
2
1
2
(
...
)
...
n
n
u
u
u
u
u
u
′
′
′
′
+ + +
= +
+ +
.
58
Правило 4. Добуток двох диференційовних функцій u та v є
диференційовною функцією (
)
uv
u v
uv
′
′
′
=
+
.
Правило 5. У точках, в яких
0
v
≠
, відношення
u
v
двох
диференційовних функцій є функція диференційовна, причому
2
u
u v uv
v
v
′
′
′
−
=
.
Приклади розв’язування типових завдань
Приклади. Обчислити похідні заданих функцій.
1)
(
)
3ln
2
y
x x
x
=
−
.
(
)
(
)
3
3
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
9
9
3ln
2
3ln
2
3
ln
3
ln
2
2
2
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
′
′ =
−
=
⋅ +
−
=
+
⋅
−
=
.
2)
(
)
sin 2
3
y
x
=
+
.
(
) (
)
(
)
cos 2
3
2
3
2cos 2
3
y
x
x
x
′
′ =
+ ⋅
+
=
+
.
3)
(
)
2
ln
1
y
x
x
=
+
+
.
(
)
2
2
1
1
1
y
x
x
x
x
′
′ =
⋅ +
+
=
+
+
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+ +
=
+
=
⋅
=
+
+
+
+
+
+
+
4)
2
1
tg
ln cos
2
y
x
x
=
+
.
(
)
3
2
2
1
1
1
1
1
1
1
tg
sin
tg
1
tg
.
cos
2
cos
2
2
cos
2
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
′ =
⋅
+
−
=
− =
5) Знайти
x
y
′
, якщо
3
5
3
3
1,
3
5
1.
x
t
t
y
t
t
= + +
=
+
+
Знайдемо:
(
)
(
)
2
2
2
2
3
3
3
1 ,
15
1
t
t
t
x
t
y
x
t
t
y
t
t
y
x
′
′
′
′
=
+ =
+
=
+ ⇒
=
=
′
(
)
(
)
2
2
2
2
15
1
5 .
3
1
t
t
t
t
+
=
+
6) Знайти похідну
x
y
′
з рівняння
3
2
ln
0
y
x
y
x e
+
−
=
.
59
Продиференціювавши за х обидві частини рівняння, дістанемо
2
2
3
2
0
y
y
y
x
x e
y
xe
y
′
′
+
−
⋅ −
=
.Звідки
(
)
2
2
2
3
1
y
y
xye
x
y
y
x ye
−
′ =
−
.
Тема. Граничний (маргінальний) аналіз.
Теорема: границя відношення двох нескінченно малих або нескінченно
великих функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання існує
у певному розумінні.
Нехай функції
( )
f x
та
( )
x
ϕ
диференційовані в деякому околі точки
0
x
і
( )
0
x
ϕ
′
≠
.
Якщо
( )
( )
0
0
lim
lim
0
x
x
x
x
f x
x
ϕ
→
→
=
=
або
( )
( )
0
0
lim
lim
x
x
x
x
f x
x
ϕ
→
→
=
= ∞
,
тобто
відношення
( )
( )
f x
x
ϕ
набуває в точці
0
x
невизначеної форми
0
0
або
∞
∞
, то:
( )
( )
( )
( )
0
0
lim
lim
x
x
x
x
f x
f
x
x
x
ϕ
ϕ
→
→
′
=
′
за умови, що остання границя існує.
У випадку одержання невизначеності
0
⋅∞
або
∞ − ∞
слід виконати
алгебраїчні перетворення даної функції таким чином, щоб перейти до
невизначеності типу
0
0
або
∞
∞
і далі скористатися правилом Лопіталя.
Приклади розв’язування типових завдань
Приклад 1:
Знайти
1
1
lim
lim
0
x
x
x
x
x
e
e
→∞
→∞
∞
=
=
= =
∞
∞
.
Приклад 2:
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
3
2
0
2
3
0
lim
lim
lim
0
2
0
2
4
ln
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
−
−
−
+
−
=
=
=
= =
−
−
.
60
Тема. Дослідження функцій та побудова їх графіків
Теоретичні відомості
Умова сталості функції, умови зростання і спадання функції на
проміжку.
Достатні
умови
строгої
монотонності.
Якщо
функція
( )
f x
диференційована на інтервалі
[ ]
;
a b
і
( )
0
f
x
′
>
(
( )
0
f
x
′
<
) для будь-якого
x
∈
[ ]
;
a b
, то ця функція зростає (спадає) на
[ ]
;
a b
.
Необхідна умова зростання. Якщо диференційована на відрізку
[ ]
;
a b
функція зростає, то
( )
0
f
x
′
≥
на
[ ]
;
a b
.
Зростаюча або спадаюча функція називається монотонною. Проміжки, в
яких задана функція зростає або спадає, називають проміжками монотонності
цієї функції.
Отже, для того щоб знайти інтервали монотонності функції
( )
f x
,
треба:
1)
знайти область визначення функції; 2) знайти похідну даної
функції; 3) знайти критичні точки з рівняння
( )
0
f
x
′
=
та з умови, що
( )
f
x
′
не
існує; 4) розділити критичними точками область визначення на інтервали і у
кожному з них визначити знак похідної. На інтервалах, де похідна додатна,
функція зростає, а де від’ємна –спадає.
Максимум і мінімум функції.
Точка
0
x називається точкою локального максимуму (або мінімуму)
функції
( )
f x
, якщо існує окіл
0
0
x
x
δ
< −
<
точки
0
x , який належить області
визначення функції, і для всіх
x
з цього околу виконується нерівність
( )
( )
0
f x
f x
<
(або
( )
( )
0
f x
f x
>
).
Точки локального максимуму і локального мінімуму називаються
точками локального екстремуму, а значення функції в цих точках називають
відповідно локальним максимумом і локальним мінімумом або локальним
екстремумом.
Необхідна умова екстремуму
Якщо функція
( )
y
f x
=
в точці
0
x
має екстремум і диференційована і цій
точці, то
( )
0
0
f
x
′
=
.
Точку, в якій
( )
0
0
f
x
′
=
, називають стаціонарною точкою.
Точки, в яких
( )
0
0
f
x
′
=
або
( )
0
f
x
′
не існує, називають критичними
точками І роду функції
( )
y
f x
=
.
Не кожна критична точка є точкою екстремуму.
Критична точка обов’язково є внутрішньою точкою області визначення
даної функції.