ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.11.2021
Просмотров: 1007
Скачиваний: 1
61
Достатня умова екстремуму
Якщо при переході через критичну точку
0
x
функції
( )
y
f x
=
похідна
( )
0
f
x
′
змінює свій знак, то в точці
0
x
функція
( )
y
f x
=
має екстремум, а
саме: мінімум при зміні знаку похідної з мінуса на плюс та максимум при зміні
знаку похідної плюса на мінус. Якщо похідна не змінює знак, то в точці
0
x
екстремум відсутній.
Опуклість та угнутість графіка функції, точки перегину.
Необхідні і достатні ознаки точки перегину функції.
Крива
( )
y
f x
=
називається опуклою на інтервалі
[ ]
;
a b
, якщо всі її точки,
крім точки дотику, лежать нижче довільної її дотичної на цьому інтервалі (рис.
1).
Крива
( )
y
f x
=
називається вгнутою на інтервалі
[ ]
;
a b
, якщо всі її точки,
крім точки дотику, лежать вище довільної її дотичної на цьому інтервалі (рис.
Точкою
перегинуназивається
така
точка
кривої
( )
y
f x
=
,
яка
відокремлює опуклу її частину від вгнутої.
Пряма
l
називається асимптотою кривої
( )
y
f x
=
, якщо відстань точки
( )
;
M x y
кривої від прямої
l
прямує до нуля при необмеженому віддаленні
вказаної точки в нескінченність.
Якщо принаймні одна із односторонніх границь функції
( )
y
f x
=
в точці
x
a
=
є нескінченною (тобто
( )
lim
x
a
f x
−
→
= ± ∞
або
( )
lim
x
a
f x
+
→
= ± ∞
), то пряма
x
a
=
є вертикальною асимптотою кривої
( )
y
f x
=
.
Якщо існує скінченна границя функції
( )
y
f x
=
при x
→ +∞
або
x
→ −∞
,що дорівнює числу
b
, тобто
( )
lim
x
f x
b
→±∞
=
, то пряма
y
b
=
є
горизонтальною асимптотою кривої
( )
y
f x
=
.
Якщо існують і є скінченними границі:
( )
( )
(
)
lim
; lim
x
x
f x
k
f x
kx
b
x
→ ∞
→ ∞
=
−
=
,
то пряма
y
kx
b
= +
є похилою асимптотою кривої
( )
y
f x
=
.
Загальна схема дослідження функцій та побудова графіків
1.
Знаходять область визначення
( )
D f
даної функції.
2.
Досліджують функцію на неперервність; визначають точки розриву
(якщо вони існують) і з’ясовують характер розривів.
3.
Складають рівняння асимптот графіка функції.
4.
Досліджують функцію на парність, непарність.
5.
Відшукують точки перетину графіка функції з осями координат.
6.
Знаходять похідну першого порядку
( )
f
x
′
даної функції та
виконують дослідження на монотонність та екстремум.
62
7.
Знаходять похідну другого порядку
( )
f
x
′′
даної функції та
виконують дослідження на опуклість, вгнутість та перегин.
8.
На основі проведеного дослідження будують графік функції
( )
y
f x
=
.
Приклад.Дослідити функцію
3
2
4
5
2
y
x
x
x
= −
+
−
та побудувати її графік.
Розв’язання.
Область визначення функції – множина всіх дійсних чисел:
x
∈
R
(або
(
)
;
x
∈ −∞ +∞
, або
( ) (
)
;
D y
= −∞ +∞
, або
( )
D y
=
R
).
Функція є елементарною, тому вона неперервна на своїй області
визначення, тобто на всій числовій прямій. Точок розриву немає.
Отже, графік не має вертикальних асимптот.
Для з’ясування питання про наявність похилих асимптот знайдемо
границю:
( )
(
)
3
2
2
4
5
2
2
lim
lim
lim
4
5
x
x
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
→± ∞
→± ∞
→± ∞
−
+
−
=
=
−
+ −
= ∞
.
Оскільки границя не є скінчене число, то похилих асимптот немає.
Проведемо дослідження функції на парність. Оскільки її область
визначення симетрична відносно початку координат, то потрібно лише
перевірити, чи виконується одна із рівностей:
( )
( )
.
f
x
f x
− = ±
Отримаємо:
( )
(
)
3
2
3
2
3
2
(
)
4(
)
5(
)
2
4
5
2
4
5
2 .
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
− = −
− −
+ − − = − −
−
− = −
+
+
+
Отже,
( )
( )
f
x
f x
− ≠ ±
.
Тому функція ні парна, ні непарна.
Відшукаємо точки перетину графіка з осями координат:
) з віссю
:
0;
2;
a
Oy
x
y
=
= −
3
2
) з віссю
:
0;
4
5
2
0.
b
Ox
y
x
x
x
=
−
+ − =
Визначимо, чи має останнє рівняння цілі корені. Для цього перевіримо
кожен з дільників вільного члена (-2), тобто кожне з чисел:
1; 2.
± ±
Оскільки
( )
3
2
1
1
4 1
5 1 2
0
f
= − ⋅ + ⋅ − =
, то
1
x
=
– один із коренів рівняння. Для
з’ясування питання про існування інших коренів рівняння відшукаємо частку
від ділення многочлена
3
2
4
5
2
x
x
x
−
+
−
на
1
x
−
:
3
2
3
2
2
2
2
4
5
2
1
3
2
3
5
3
3
2
2
2
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
−
−
−
+
−
+
−
+
−
−
63
Знайдемо корені многочлена
2
3
2
x
x
−
+
, для чого розв’яжемо квадратне
рівняння
2
3
2
0
x
x
−
+ =
. Отримаємо:
1;
2
x
x
=
=
. Таким чином,
1;
2
x
x
=
=
–
корені рівняння
3
2
4
5
2
0
x
x
x
−
+
− =
.
Отже, графік даної функції перетинає вісі координат в точках:
(
) ( ) ( )
0; 2 , 1;0 , 2;0
−
.
Для дослідження функції на монотонність та екстремуми знайдемо першу
похідну функції
3
2
4
5
2
y
x
x
x
= −
+
−
. Отримаємо:
2
3
8
5
y
x
x
′ =
−
+
. Так як
похідна
y
′
існує в кожній точці області визначення даної функції, то критичні
точки І роду визначимо тільки з умови
0
y
′ =
. Одержимо квадратне рівняння:
2
3
8
5
0
x
x
−
+ =
. Його корені:
5
1;
3
x
x
=
=
. Тому функція має дві критичні точки І
роду:
5
1;
3
x
x
=
=
.
Розіб’ємо числову вісь отриманими точками на три проміжки. Визначимо
знак першої похідної
y
′
в кожному з них: в першому і третьому
0,
y
′ >
а в
другому
0.
y
′ <
Тому при
(
]
5
;1
;
3
x
∈ −∞
+∞
U
дана функція зростає, а при
5
1;
3
x
∈
– спадає. При переході через критичну точку
1
x
=
перша похідна
y
′
змінює свій знак з плюса на мінус, тому в цій точці функція має максимум;
максимальне значення функції
( )
max
1
0
y
f
=
=
. При переході через критичну
точку
5
3
x
=
перша похідна
y
′
змінює свій знак з мінуса на плюс, тому в цій
точці функція має мінімум; мінімальне значення функції
min
5
4
.
3
27
y
f
=
= −
На малюнку знаками „+” та „–” вказані проміжки знакосталості першої
похідної
y
′
, а стрілками – проміжки монотонності (зростання і спадання) даної
функції.
Для дослідження функції на опуклість, вгнутість та перегин знайдемо
другу похідну:
6
8.
y
x
′′ =
−
Так як вона існує в кожній точці області визначення
даної функції, то критичні точки ІІ роду визначимо тільки з умови
0
y
′′ =
.
Одержимо лінійне рівняння:
6
8
0
x
− =
. Його корінь:
4
3
x
=
. Тому функція має
одну критичну точку ІІ роду:
4
3
x
=
.
y
′
x
–
5/3
1
+
+
max
min
64
Розіб’ємо числову вісь отриманою точкою на два проміжки. Визначимо
знак другої похідної
y
′′
в кожному з них: в першому
0,
y
′′ <
а в другому
0
y
′′ >
. Тому при
4
;
3
x
∈ −∞
графік даної функції опуклий, а при
4
;
3
x
∈
+∞
–
вгнутий.
При переході через критичну точку
4
3
x
=
друга похідна
y
′′
змінює свій
знак, тому
4
3
x
=
– абсциса точки перегину. Значення функції в цій точці:
перегину
4
2
3
27
y
f
=
= −
.
На основі проведеного дослідження побудуємо графік даної функції
3
2
4
5
2
y
x
x
x
= −
+
−
.
x
y
′′
–
4/3
+
перегин
65
Розділ «Диференціальне числення функцій багатьох змінних»
Тема: Екстремум функцій двох змінних
Теоретичні відомості
Розглянемо функцію двох незалежних змінних
( )
;
z
f x y
=
.
Надамо приросту тільки одній змінній (або
x
, або
y
), тоді одержимо
частинні прирости:
(
)
(
)
;
;
x
z
f x
x y
f x y
∆ =
+ ∆
−
;
(
)
(
)
;
;
y
z
f x y
y
f x y
∆ =
+ ∆ −
.
Якщо ж приросту набувають обидві змінні, то одержимо повний приріст
функції:
(
) (
)
;
;
z
f x
x y
y
f x y
∆ =
+ ∆
+ ∆ −
.
Частинною похідною по змінній
x
від функції
(
)
;
z
f x y
=
називається
границя відношення частинного приросту функції
x
z
∆
до приросту цієї
незалежної змінної
x
∆
за умови, що
0
→
∆
x
, тобто:
(
) (
)
0
0
;
;
lim
lim
x
x
x
x
f x
x y
f x y
z
z
x
x
∆ →
∆ →
+ ∆
−
∆
′ =
=
∆
∆
.
При цьому вважають, що
x
– змінна;
y
– стала.
Позначається:
,
,
,
x
x
z
f
z
f
x
x
∂ ∂
′ ′
∂ ∂
.
Аналогічно, частинна похідна по змінній
y
від функції
(
)
;
z
f x y
=
визначається як границя:
(
)
(
)
0
0
;
;
lim
lim
y
y
y
y
z
f x y
y
f x y
z
y
y
∆ →
∆ →
∆
+ ∆ −
′ =
=
∆
∆
.
При цьому вважають, що
y
– змінна;
x
– стала.
Позначається:
,
,
,
y
y
z
f
z
f
y
y
∂ ∂
′ ′
∂ ∂
.
Для дослідження функції двох змінних на екстремум необхідно
перевірити необхідні та достатні умови екстремуму.
Теорема 1 (необхідні умови екстремуму). Якщо функція
(
)
,
z
f x y
=
має в
точці
(
)
0
0
, y
x
екстремум, то в цій точці частинні похідні першого порядку по
змінних
x
та
y
дорівнює нулю або не існують:
(
)
(
)
,
0;
,
0
x
y
f
x y
f
x y
′
=
′
=
.
Теорема 2 (достатні умови існування екстремуму). Нехай в стаціонарній
точці
(
)
0
0
0
,
M
x
y
і в деякому її околі функція
(
)
;
f x y
має неперервні частинні
похідні до другого порядку включно, причому:
(
)
(
)
(
)
;
;
;
;
;
xx
o
o
xy
o
o
yy
o
o
f
x y
A f
x y
B f
x y
C
′′
′′
′′
=
=
=
.