ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.11.2021
Просмотров: 983
Скачиваний: 1
106
( ) ( )
2
4
2
cos
1
...
1
...
2!
4!
2
!
n
n
x
x
x
x
n
= −
+
− + −
+
,
(
)
;
x
∈ −∞ +∞
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 ...
1
1
1
1
...
...
2!
1 !
n
n
x
x
x
x
n
α
α α
α
α α
α
−
−
−
−
+
= +
+
+ +
+
+
;
1
1
x
− <
<
2
3
4
1
1
...
1
n
x
x
x
x
x
x
= + +
+ +
+ +
−
;
1
1
x
− <
<
2
4
6
2
1
1
...
1
x
x
x
x
= − + − +
+
;
1
1
x
− <
<
( )
3
5
7
2
1
arctg
...
1
3
5
7
2
1
n
n
x
x
x
x
x
x
n
+
= −
+
−
+ + −
+
;
[
]
1;1
x
∈ −
(
)
( )
2
3
4
1
ln 1
...
1
...
2
3
4
!
n
n
x
x
x
x
x
x
n
−
+
= −
+
−
+ + −
+
;
1
1
x
− <
≤
3
5
1
ln
2
...
1
3
5
x
x
x
x
x
+ =
+
+
+
−
;
1
1
x
− <
<
Приклади розв’язування типових завддань
Приклад 1. Знайти область збіжності ряду
1
2
1
n
n
x
n
∞
=
+
∑
.
Розв'язання. Маємо:
( )
( )
1
1
1
,
.
2
1
2
3
n
n
u
x
u
x
n
n
+
=
=
+
+
Тоді
1
2
3
lim
lim
1
2
1
n
n
n
n
a
n
R
a
n
→∞
→∞
+
+
=
=
=
+
.
Отже, інтервал збіжності ряду:
1
1
x
−
<
<
.
Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу. Нехай
1
x
= −
. Тоді маємо
ряд
( )
1
1
1
1
1
1
...
2
1
3
5
7
n
n
n
∞
=
−
= − + − +
+
∑
. Це знакопочережний ряд, що збігається за
ознакою Лейбніца.
При
1
x
=
маємо ряд
1
1
1
1
1
1
...
2
1
3
5
7
n
n
∞
=
= + + + +
+
∑
.. Даний ряд є розбіжним
за ознакою порівняння з гармонійним рядом.
Отже, остаточно для області збіжності заданого ряду маємо
1
1
x
− ≤
<
.
Степеневі ряди застосовують для:
107
1)
Наближеного обчислень значень функції.
2)
Наближене обчислення визначених інтегралів;
3)
Наближене інтегрування диференціальних рядів;
Приклад 2. Обчислити
5
1
e
з точністю до
0, 00001
.
Розв’язання. Використаємо розвинення функції
x
e
в степеневий ряд і
отримаємо:
1
5
2
3
4
5
5
1
1
1
1
1
1
1
...
1!5
2!5
3!5
4!5
5!5
e
e
−
=
= −
+
−
+
−
+ ≈
1
0 , 2
0 , 0 2
0 , 0 0 1 3 3 3
0 , 0 0 0 0 6 7
0 , 0 0 0 0 0 2 6 7
. . .
=
−
+
−
+
−
+
Приклад3. Розкласти в степеневий ряд функцію
( )
2
x
f x
e
−
=
.
Розв’язання. В розвиненні
2
3
1
...
...
1!
2!
3!
!
n
x
x
x
x
x
e
n
= + +
+
+ +
+
;
(
)
;
x
∈ −∞ +∞
,
замінимо
x
на
( )
2
x
−
і отримаємо:
2
2
4
6
8
1
...
1!
2!
3!
4!
x
x
x
x
x
e
−
= −
+
−
+
−
,
(
)
;
x
∈ −∞ +∞
.
Індивідуальне завдання 11.
Варіант 1
1.
Запишіть
загальний
розв’язок
диференціального
рівняння
(
)
3
0
ydx
x
y
dy
+
−
=
.
2.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного диференціального рівняння
3y
y
x
x
′ −
=
, який задовольняє початковим умовам
( )
2
20
y
=
.
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
4
4
3
3
x
y
y
y
e
′′
′
−
+
=
при у(0)=1, у(0)=1.
Варіант 2
1.
Запишіть загальний розв’язок рівняння
3
2y
y
x
′ =
.
2.
Знайдіть частинний розв’язок диференціального рівняння
2
1 2
1
x
y
y
x
−
′ +
=
,
який задовольняє заданим початковим умовам
( )
1
1
y
=
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
2
7
4
2
3
2
−
−
=
+
′
+
′′
x
x
y
y
y
при
( )
0
3
y
= −
;
( )
0
1
y
′
=
.
108
Варіант 3
1.
Запишіть
загальний
розв’язок
диференціального
рівняння
(
)
2
2
1
1
0
x
y
y
′
+
+ +
=
.
2.
Знайдіть частинний розв’язок диференціального рівняння xdy
ydx
ydy
−
=
,
який задовольняє заданим початковим умовам
( )
1
1
y
=
.
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
y
5
e
3
5
4
−
=
−
′
+
′′
при (0) 2
y
=
;
(0)
3
y
′
=
.
Варіант 4
1.
Запишіть загальний розв’язок рівняння
tg
0
dy
y
x dx
+
=
.
2.
Знайдіть частинний розв’язок диференціального рівняння
2
2
2
−
=
′
x
y
y
, який
задовольняє заданим умовам
( )
1
3
y
= −
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
y
3
e
9
6
=
+
′
−
′′
при
( )
0
3
y
= −
;
( )
0
1
y
′
=
.
Варіант 5
1.
Запишіть загальний розв’язок рівняння
(
)
(
)
2
2
0
xy
x dy
x y
y dx
+
+
−
=
2.
Знайдіть частинний розв’язок диференціального рівняння
3y
y
x
x
′ −
=
, який задовольняє заданим початковим умовам
(
)
/ 2
4
y
π
=
.
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
y
2
e
4
4
=
+
′
−
′′
при (0) 2
y
=
;
(0)
8
y
′
=
.
Варіант 6
1.
Запишіть загальний розв’язок рівняння
2
6
0
y dx
xdy
+
+
=
.
2.
Знайдіть частинний розв’язок диференціального рівняння
tg
y
y
y
x
x
′ =
+
, який
задовольняє заданим початковим умовам
( )
1
/ 6
y
π
=
.
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
y
3
e
3
4
=
+
′
−
′′
при
( )
0
3
y
= −
;
(0)
9
y
′
=
.
Варіант 7
1.
Запишіть загальний розв’язок рівняння
2
2
1
0
1
y
y
x
−
′ +
=
−
2.
Знайдіть
частинний
розв’язок
диференціального
рівняння
cos
sin
sin 2
y
x
y
x
x
′
−
=
, який задовольняє заданим початковим умовам
( )
0
1
y
=
.
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
y
4
e
16
8
=
+
′
−
′′
при (0) 0
y
=
;
( )
0
1
y
′
=
.
109
Варіант 8
1.
Запишіть загальний розв’язок рівняння
(
)
2
2
1
1
0
x
y
y
′
+
−
+
=
2.
Знайдіть частинний розв’язок однорідного диференціального рівняння
x
y
y
y
x
′ = +
, який задовольняє початковим умовам
( )
1
2
y
=
.
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
2
e
10
2
x
y
y
=
′
−
′′
при (0) 0
y
=
;
(0) 1
y
′
=
.
Варіант 9
1.
Запишіть загальний розв’язок диференціального рівняння
10
x y
y
+
′ =
2.
Знайдіть частинний розв’язок рівняння
2
y
xy
x
′ −
=
, який задовольняє
заданим початковим умовам
( )
0
3
y
= −
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
2
7
4
2
3
2
−
−
=
+
′
+
′′
x
x
y
y
y
при
( )
0
3
y
= −
;
( )
0
1
y
′
=
.
Варіант 10
1.
Запишіть загальний розв’язок диференціального рівняння
2
2
1
1
x
y
y
+
+
=
′
2.
Знайдіть частинний розв’язок рівняння
(
)
(
)
4
1
3
1
+
=
−
′
+
x
e
y
y
x
x
, який
задовольняє заданим початковим умовам
( )
0
5
y
=
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
3
e
4
3
=
′
−
′′
при (0) 1
y
=
;
(0) 1
y
′
=
.
Варіант 11
1.
Запишіть загальний розв’язок рівняння
0
ln
1
=
+
−
xdy
x
dx
yx
y
y
2.
Знайдіть частинний розв’язок диференціального рівняння
2
2
x y
y
xy
′ =
+
,
який задовольняє заданим початковим умовам
( )
1
0
y
=
.
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
y
2
e
5
4
=
+
′
−
′′
при (0) 1
y
=
;
(0)
0
y
′
=
.
Варіант 12
1.
o
Запишіть загальний розв’язок рівняння
(
)
2
2
1
9
0
x
y
y
′
−
−
−
=
.
2.
Знайдіть частинний розв’язок диференціального рівняння
2
2
3
1
x y y
yx
′ +
=
,
який задовольняє заданим початковим умовам
( )
0
3
y
=
.
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
e
3
=
′
−
′′
при (0) 0
y
=
;
(0)
0
y
′
=
.
Варіант 13
1.
Запишіть загальний розв’язок диференціального рівняння
3
x y
y
−
′ =
110
2.
Знайдіть частинний розв’язок диференціального рівняння
2
2
y
y
y
x
x
′ =
−
, який
задовольняє заданим початковим умовам
( )
1
/ 3
y
π
=
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
y
e
2
2
=
+
′
−
′′
при (0) 5
y
=
;
(0)
4
y
′
=
.
Варіант 14
1.
Запишіть загальний розв’язок рівняння
(
)
2
2
25
10 4
x
y
y
′
+
=
−
2.
Знайдіть частинний розв’язок диференціального рівняння
cos
y
y
x
′ + =
, який
задовольняє заданим початковим умовам
( )
0
0,5
y
= −
.
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
y
2
e
2
3
=
+
′
−
′′
при
( )
0
3
y
= −
;
(0)
2
y
′
=
.
Варіант 15
1.
Запишіть загальний розв’язок рівняння
(
)
2
5
0
y
dx
xydy
+
−
=
2.
Знайдіть
частинний
розв’язок
диференціального
рівняння
2
2
(2
)
xy
y
x
xy y
′
+
=
+
, який задовольняє заданим початковим умовам
( )
1
3
y
=
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
y
3
e
9
9
6
−
=
+
′
+
′′
при
( )
0
3
y
= −
;
( )
0
1
y
′
=
.
Варіант 16
1.
Запишіть загальний розв’язок рівняння
(
)
2
2
9
1
0
x dy
y
dx
−
− +
=
.
2.
Знайдіть
частинний
розв’язок
диференціального
рівняння
2
2
2
4
0
y
y
dx
dy
x
x
−
+
=
, який задовольняє заданим умовам
( )
1
0
y
=
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
8
e
8
=
′
+
′′
при (0) 1
y
=
;
( )
0
1
y
′
=
.
Варіант 17
1.
Запишіть загальний розв’язок рівняння
(
)
2
2
4
5
0
x
y
y
′
+
−
+
=
.
2.
Знайдіть частинний розв’язок рівняння
2
3
3
1
y y
y
x
′ +
= +
, який задовольняє
заданим початковим умовам
( )
0
3
y
=
.
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
y
3
e
9
6
=
+
′
−
′′
при (0) 1
y
=
;
( )
0
1
y
′
=
.
Варіант 18
1.
Запишіть загальний розв’язок рівняння
2
81
0
y
y
x
′
−
−
=
.
2.
Знайдіть
частинний
розв’язок
рівняння
(
)
2
2
0
xydx
x
y
dy
−
−
=
,
що
задовольняє заданим початковим умовам
( )
2
1
y
=
.
3.
Знайдіть частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального
рівняння 2-го порядку
x
y
y
y
−
=
+
′
+
′′
e
2
при (0) 1
y
=
;
( )
0
1
y
′
=
.