ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.11.2021
Просмотров: 1005
Скачиваний: 1
101
Розділ «Ряди»
Тема: Ряди та їх застосування
Числові ряди
Теоретичні відомості
Нехай
1
2
,
,...,
,...
n
u u
u
– числова послідовність.
Якщо елементи даної числової послідовності з'єднати знаком плюс, то
отримаємо числовий ряд
1
2
...
...
n
u
u
u
+
+ +
+
. Або можна записати у вигляді:
∑
∞
=
=
+
+
+
+
1
2
1
.
...
...
n
n
n
u
u
u
u
Такий вираз називають числовим рядом, а дійсні числа
,...
,...,
,
2
1
n
u
u
u
–
називають членами цього ряду.
Теорема (необхідна умова збіжності ряду).
Якщо числовий ряд
∑
∞
=
1
n
n
u збіжний, то його загальний член прямує до
нуля, тобто виконується умова
.
0
lim
=
∞
→
n
n
u
Теорема (ознака Д’Аламбера).Якщо для ряду з додатними членами
1
2
1
...
...
n
n
n
u
u
u
u
∞
=
+ + + + =
∑
існує границя
1
lim
n
n
n
u
l
u
+
→∞
=
, то:
1)
ряд збіжний при
1
l
<
,
2)
ряд розбіжний при
1
l
>
;
3)
при
1
l
=
потребує додаткового дослідження.
Теорема (радикальна ознака Коші).Якщо для ряду з додатними членами
1
2
1
...
...
n
n
n
u
u
u
u
∞
=
+ + + + =
∑
існує границя lim
,
n
n
n
u
l
→∞
=
то:
1)
ряд збіжний при
1;
l
<
2)
ряд розбіжний при
1;
l
>
3)
при
1
l
=
потребує додаткового дослідження.
Приклади розв’язування типових завдань.
Приклад 1. Перевірити чи виконується необхідна умова збіжності
числового ряду
1
3
2
5
1
n
n
n
∞
=
+
+
∑
і зробити висновок.
Розв'язання:
Знайдемо границю загального члену ряду, тобто
102
3
2
2
3
3
2
3
lim
lim
lim
0.
5
2
2
5
1
5
5
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
→∞
→∞
→∞
+
+
+
∞
=
=
=
= ≠
+
∞
+
+
Приклад 2. Дослідити збіжність ряду
1
1
1
1
1
1
...
2
3
n
n
n
∞
=
+
+
+ +
=
∑
,
користуючись першою ознакою порівняння.
Розв’язання:
Використаємо ознаку порівняння. Для цього порівняємо заданий ряд із
гармонійним рядом
∑
∞
=
=
+
+
+
+
+
1
1
...
1
...
3
1
2
1
1
n
n
n
, який, як відомо є розбіжним.
Оскільки
1
1
n
n
≥
і гармонійний ряд розбігається, то і досліджуваний ряд
розбіжний.
Приклад 3.
Дослідити ряд
1
1
!
n
n
∞
=
∑
на збіжність за ознакою Д’Аламбера.
Розв’язання:
Дослідимо ряд на збіжність за ознакою Д’Аламбера. Для цього
обчислимо
1
lim
.
n
n
n
u
u
+
→∞
Згідно умови
1
!
n
u
n
=
, а
(
)
1
1
1 !
n
u
n
+
=
+
, тоді
1
1
1
!
1 2 ...
1
lim
lim
:
lim
lim
lim
0
(
1)!
!
(
1)!
1 2 ...
(
1)
1
n
n
n
n
n
n
n
u
n
n
u
n
n
n
n n
n
+
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
⋅ ⋅ ⋅
=
=
=
=
=
+
+
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
+
.
За ознакою Д’Аламбера, якщо для додатного ряду
n
u
∑
існує границя
1
lim
n
n
n
u
l
u
+
→∞
=
, то для
1
l
<
ряд збігається, для
1
l
>
– розбігається. Якщо
1
l
=
, то
ряд може як збігатися, так і розбігатися.
У нашому випадку
0
1
l
=
<
, тому даний ряд збігається.
Висновок: ряд збігається.
Приклад 4.
Дослідити збіжність ряду
2
1
2
3
1
n
n
n
n
∞
=
+
∑
за ознакою Коші
Розв’язання:
Дослідимо ряд на збіжність за ознакою Коші.
Для цього обчислимо lim
n
n
n
u
→ ∞
.
103
Згідно умови задачі
2
2
3
1
n
n
n
u
n
=
+
, тоді
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
lim
lim
lim
lim
3
1
3
1
3
1
3 1/
3
9
n
n
n
n
n
n
n
n
n
l
n
n
n
n
→∞
→∞
→∞
→∞
=
=
=
=
=
=
+
+
+
+
За ознакою Коші для
1
l
<
ряд збігається, а для
1
l
>
– розбігається.
Оскільки у нас
4
1
9
l
= <
, то даний ряд збігається згідно ознаки Коші.
Висновок: ряд збігається.
Приклад 5.
Використовуючи інтегральну ознаку, дослідити на збіжність ряд
2
1
1
n
n
∞
=
∑
.
Розв’язання:
Загальний член ряду
2
1
n
u
n
=
, відповідно
( )
2
1
f x
x
=
. Ця функція
неперервна, додатна, спадна на проміжку [1;
).
+∞
Обчислимо інтеграл
( )
2
1
1
1
0
1
1.
dx
x
x
∞
∞
= −
= − − =
∫
Отже, інтеграл збіжний.
За інтегральною ознакою числовий ряд
( )
1
n
f n
∞
=
∑
і невласний інтеграл
( )
1
f x dx
∞
∫
збігаються або розбігаються одночасно.
Отже, так як інтеграл збіжний, то збіжний і даний ряд.
Висновок: ряд збіжний.
Знакопочергові ряди
Теоретичні відомості
Числовий ряд, знаки членів якого строго чергуються, тобто довільні два
сусідні члени якого мають різні знаки, називають знакопочережним:
( )
1
1
2
3
4
...
1
...
n
n
u
u
u
u
u
−
− + − + +
+
=
1
1
( 1)
n
n
n
u
∞
+
=
−
∑
,де
0,
1, 2,...
n
u
n
>
=
Дані ряди досліджуються за допомогою ознаки Лейбніца.
Ознака Лейбніца. Знакопочережний ряд збіжний, якщо виконується
дві умови:
1)
1
;
1, 2, 3,...
n
n
u
u
n
+
≤
=
104
2) lim
0
n
n
u
→∞
=
.
Приклад 1. Користуючись ознакою Лейбніца дослідити ряд на збіжність
( )
1
1
2
3
n
n
n
∞
=
−
+
∑
.
Розв’язання:
Даний ряд знакопочережний, тому використаємо ознаку Лейбніца.
1
2
3
n
u
n
=
+
, тоді
1
lim
0
2
3
n
n
→∞
=
+
, отже, ряд збіжний.
Приклад 2.
Для знакопочергового ряду
( )
1
3
1
1
1
1
n
n
n
∞
+
=
−
+
∑
1)
записати перших п’ять членів ряду;
2)
дослідити збіжність ряду;
3)
обчислити суму ряду з точністю до 0,01.
Розв’язання.
1)
Запишемо перших п’ять членів ряду:
Для того щоб отримати перший член ряду підставимо у загальний член
ряду
( )
1
3
1
1
1
n
n
u
n
+
= −
+
значення
1
n
=
, тоді
( )
1 1
1
3
1
1
1
0,5
1
1
2
u
+
= −
= =
+
– перший
член ряду.
Аналогічно при
2
n
=
( )
2 1
2
3
1
1
0,111
2
1
u
+
= −
≈ −
+
отримаємо другий член
ряду;
( )
3 1
3
3
1
1
0,036
3
1
u
+
= −
≈
+
– третій член ряду;
( )
4 1
4
3
1
1
0,015
4
1
u
+
= −
≈ −
+
– четвертий член ряду;
( )
5 1
5
3
1
1
0,008
5
1
u
+
= −
≈
+
– п’ятий член ряду.
2)
Дослідимо ряд на збіжність.
Перевіримо виконання умов ознаки Лейбніца:
•
0,5 0,111 0,036 ...
>
>
>
отже, члени ряду монотонно спадають за абсолютною
величиною;
•
обчислимо їх границю без врахування знаків:
3
1
lim
0
1
n
n
→∞
=
+
.
Так як обидві умови виконуються, то даний ряд збігається згідно ознаки
Лейбніца.
Висновок: ряд збіжний.
3)
Обчислимо суму ряду з точністю до 0,01.
105
П'ятий член ряду менше заданої точності. Тому, щоб обчислити суму ряду із
заданою точністю достатньо взяти суму перших чотирьох його членів:
0,5 0,111 0,036 0,015
0,41
S
≈
−
+
−
=
.
Отже, сума даного знакопочергового ряду з точність до 0,01 дорівнює
0,41.
Степеневі ряди
Теоретичні відомості
Степеневим рядом називається функціональний ряд вигляду:
2
0
1
2
...
...
n
n
a
a x
a x
a x
+
+
+ +
+
або
0
n
n
n
a x
∞
=
∑
(1)
де
0
1
,
, ...,
n
a
a
a
– дійсні числа, які називаються коефіцієнтами ряду.
Загальний член степеневого ряду позначається
( )
n
n
n
u
x
a x
=
.
Степеневим рядом за степенями двочлена
0
x
x
−
, де
0
x
– дійсне число,
називають функціональний ряд вигляду:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0
1
0
2
0
0
0
0
...
...
n
n
n
n
n
a
a x
x
a x
x
a
x
x
a
x
x
∞
=
+
−
+
−
+ +
−
+ =
−
∑
, (2)
де
0
,
i
a
R x
R
∈
∈
.
Теорема Абеля. 1. Якщо степеневий ряд (1) збіжний при
0
0
x
x
=
≠
, то він
абсолютно збіжний і при
x
таких, що
0
x
x
<
.
2. Якщо при
0
x
x
=
степеневий ряд (1) розбіжний при, то він
розбіжний всюди, де
1
x
x
>
.
Ряд
( )
( )(
)
( )(
)
( )
( )(
)
2
0
0
0
0
0
0
0
...
...
1!
2!
!
n
n
f
x
f
x
f
x
f x
x
x
x
x
x
x
n
′
′′
+
−
+
−
+ +
−
+
називається рядом Тейлора для
( )
f x
.
При
0
0
x
=
маємо ряд вигляду:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
0
0
0
0
...
....
1!
2!
!
n
n
f
f
f
f x
f
x
x
x
n
′
′′
=
+
+
+ +
+
який називається рядом Маклоренадля
( )
f x
.
Розклад елементарних функцій у ряд Маклорена
2
3
1
...
...
1!
2!
3!
!
n
x
x
x
x
x
e
n
= + +
+
+ +
+
;
(
)
;
x
∈ −∞ +∞
( ) (
)
3
5
2
1
sin
...
1
...
3!
5!
2
1 !
n
n
x
x
x
x
x
n
+
= −
+
− + −
+
+
;
(
)
;
x
∈ −∞ +∞