Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 178
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
=
n − 1
n
|x| → |x| при n → наверно расходящийся при |x| > 1 (следствие [121]), а потому нужно рассматривать только случай |x| < 1,
x = ±1. При этом случай x = −1 также должен быть отброшен, ибо при x = −1 функция log(1 + x) обращается в бесконечность.
Итак, остаются случаи 1) |x| < 1 и 2) x = 1. В случае 1), применяя к выражению (36) для R
n
(x) теорему о среднем [95] и принимая во внимание, что t не меняет знака при изменении t от 0 до x, имеем откуда, в силу условия |x| < 1, следует <
1
n + 1 1
1 + θx
132]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
415
Множитель
1 1+θx в правой части предыдущего неравенства остается ограниченным при всех значениях n, так как заключается между пределами 1 и 1+x
, независящими от n, а потому при рассматриваемых значениях x
R
n
(x) → 0 при n → Тот же результат мы получим ив случае 2), когда x = 1. Та же формула (37) при x = 1 показывает =
1
n + 1 1
1 + θ
<
1
n + те. опять) → 0 при n → Итак, разложение log(1 + x) = x −
x
3 2
+
x
3 3
− . . . +
(−1)
n−1
x n
n
+ . . имеет место при всех значениях x, удовлетворяющих неравенствам +В частности, при x = 1 имеем равенство log 2 = 1 −
1 2
+
1 3
− . . . +
(−1)
n−1
n
+ . . . о котором уже было упомянуто выше [123]. Формула (38) непосредственно для вычисления логарифмов не годится, так как в ней предполагается, что x удовлетворяет неравенствами, кроме того, ряд в правой части ее сходится недостаточно быстро. Ее можно преобразовать в более удобный для вычислений вид. Для этого подставим в равенство log(1 + x) = x −
x
3 2
+
x
3 3
− . . .
(−x) вместо x, что дает log(1 − x) = −x −
x
3 2
−
x
3 3
− . . .
(|x| < 1),
133]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения log 2 + 4 log 3 − log 5 = для определения чисел log 2, log 3, log 5, решая которые, найдем без труда log 2 = 14P + 10Q + 6R,
log 3 = 22P + 16Q + 10R,
log 5 = 32P + 24Q + Полученные таким путем логарифмы будет натуральными сих помощью мы находим модуль M десятичной системы логарифмов =
1
log 10
= 0, 434 294 4819 . . . зная который, можем от натуральных логарифмов переходить к десятичным по формуле log
10
x = M log Аналогичным путем, пользуясь разложениями на множители a =
2400 = 100 · 2 8
· 3,
a + z =
2 401 = 7 4
,
a =
9800 = 100 · 2 · 7 2
,
a + z =
9 801 = 3 4
· 11 2
,
a = 123 200 = 100 · 2 4
· 7 · 11, a + z = 123 201 = 3 6
· 13 2
,
a =
2 600 = 100 · 2 · 13,
a + z =
2601 = 3 2
· 17 2
,
a = 28 899 = 3 2
· 13 2
· 19
a + z = 28 900 = 100 · 17 мы вычислим log 7, log 11, log 13, . . Определив логарифмы простых чисел, мы уже без помощи рядов, а только одними сложениями и умножениями на целые множители определим и логарифмы составных чисел, которые, как известно, всегда можно разложить на простые множители. Разложение arctg x. Здесь мы будем поступать так же,
как и при разложении log(1 + x). Мы имеем d arctg t =
dt
1 + Получаем, интегрируя + t
2
= arctg t x
0
= arctg x − arctg 0 = arctg x,
133]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
419
Если x < 0, то, вводя вместо t новую переменную, t = −τ, получим+ Здесь верхний предел (−x) уже положителен, а потому опять имеет место указанная выше оценка длят. е. разложение arctg x = x −
x
3 3
+
x
5 5
− . . . +
(−1)
n−1
x
2n−1 2n − 1
+ . . имеет место при всех значениях x, не превосходящих единицу по абсолютному значению.
В частности, при x = 1 получаем arctg 1 =
π
4
= 1 −
1 3
+
1 5
− . . Ряд этот, ввиду весьма медленной сходимости, непригоден для вычисления числа π. Ряд (44) сходится тем быстрее, чем меньше x. Положим,
например,
x =
1 и = a rc tg
1 Мы имеем tg 2ϕ =
2 5
1 −
1 25
=
5 12
,
tg 4ϕ =
5 6
1 −
25 144
=
120 Так как tg 4ϕ мало отличается от единицы, то угол 4ϕ мало отличается от. Введем эту малую разность = 4ϕ −
π
4
,
π
4
= 4ϕ − Отсюда выводим tg ψ = tg
4ϕ −
π
4
=
tg 4ϕ − tg
π
4 1 + tg 4ϕ · tg
π
4
=
120 119
− 1 1 +
120 119
=
1 что дает 4ϕ − ψ = 4 arctg
1 5
− arctg
1 239
=
134]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения 134. Приближенные формулы. Ряд Маклорена, в случае его сходимости, дает возможность приближенно вычислять функцию f (x), заменяя ее конечным числом членов разложения (0) +
xf
′
(0)
1!
+
x
2
f
′′
(0)
2!
+ . . Чем меньше x, тем меньше членов можно брать в этом разложении для вычисления f (x) с желаемой точностью. Если x весьма мало, то достаточно ограничиться только первыми двумя членами,
отбросив все остальные. Таким образом получается весьма простая приближенная формула для f (x), которая при малых x вполне может заменить часто весьма сложное точное выражение для f (Приведем такие приближенные формулы для наиболее важных функций + x ≈ 1 +
x n
,
sin x ≈ x,
1
n
√
1 + x
≈ 1 −
x n
,
cos x ≈ 1 −
x
2 2
,
(1 + x)
n
≈ 1 + nx,
tg x ≈ x,
a x
≈ 1 + x log a,
log(1 + x) ≈ Пользуясь этими приближенными формулами при x, близких к нулю (положительных или отрицательных, можно значительно упрощать сложные выражения.
∗
П р им еры n
x = 1 + Эти выражения принято называть соотношениями эквивалентности. Бесконечно малые величины стоящие слева и справа от знака приближенного равенства являются эквивалентными [36].
135]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
423
минимум, если f
(n)
(x
0
) > если же n есть число нечетное, то значение соответствует не вершине, а точке перегиба.
Для доказательства нужно рассмотреть разности f (x
0
+ h) − f(x
0
) и f (x
0
− h) − где h — достаточно малое положительное число. По самому определению максимума и минимума [58] в точке будет максимум, если обе эти разности меньше нуля, минимум, если обе они больше нуля.
Если же эти разности при сколь угодно малых положительных h будут разных знаков, то при не будет ни максимума, ни минимума. Разности же эти могут быть вычислены по формуле Тейлора,
если подставить туда вместо a и ±h вместо) h:
f (x
0
+ h) = f (x
0
) +
h
1!
f
′
(x
0
) + . . . +
h n−1
(n − 1)!
f
(n−1)
(x
0
)+
+
h n
n!
f
(n)
(x
0
+ θh),
f (x
0
− h) = f(x
0
) −
h
1!
f
′
(x
0
) + . . . +
(−1)
n−1
h n−1
(n − 1)!
f
(n−1)
(x
0
)+
+
(−1)
n h
h n!
f
(n)
(x
0
− θ
1
h)
(0 < θ < и 0 < θ
1
< По условию) = f
′′
(x
0
) = . . . = f
(n−1)
(x
0
) = 0,
f
(n)
(x
0
) 6= значит (x
0
+ h) − f(x
0
) =
h n
n!
f
(n)
(x
0
+ Остаточный член мы берем в форме Лагранжа число θ, лежащее между нулем и единицей, при (+h) и (−h) не одно и тоже, почему мы написали во второй формуле
136]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
425
ленного выражения при ϕ(a) = ψ(a) = 0 разлагаем числитель и знаменатель по формуле Тейлора) = (x − a)ϕ
′
(a) +
(x − a)
2
ϕ
′′
(a)
2!
+ . . . +
(x − a)
n
ϕ
(n)
(a)
n!
+
+
(x − a)
n+1
ϕ
(n+1)
(ξ
1
)
(n + 1)!
,
ψ(x) = (x − a)ψ
′
(a) +
(x − a)
2
ψ
′′
(a)
2!
+ . . . +
(x − a)
n
ψ
(n)
(a)
n!
+
+
(x − a)
(n+1)
ψ
(n+1)
(ξ
1
)
(n + и, по сокращении рассматриваемого отношения на некоторую степень, полагаем x = Примеры. . .
1 + 3x +
9x
2 2
+
27 6
x
3
+ . . .
− 1 − 3x
=
= lim x→0 2 −
16 24
x
2
+ . . .
9 2
+
27 6
x + . . .
=
4 Тот же прием приносит пользу и при раскрытии неопределенностей других видов. Рассмотрим один пример x→∞
(
3
√
x
3
− 5x
2
+ 1 − Здесь мы имеем неопределенность вида (∞ − ∞). Мы имеем x
3
− 5x
2
+ 1 − x = x h
3
r
1 −
5x
2
− 1
x
3
− 1
i
=
2
| + . . . + |u n
| + . . . =
∞
X
n−1
|u n
|
(3)
n − 1
n
|x| → |x| при n → наверно расходящийся при |x| > 1 (следствие [121]), а потому нужно рассматривать только случай |x| < 1,
x = ±1. При этом случай x = −1 также должен быть отброшен, ибо при x = −1 функция log(1 + x) обращается в бесконечность.
Итак, остаются случаи 1) |x| < 1 и 2) x = 1. В случае 1), применяя к выражению (36) для R
n
(x) теорему о среднем [95] и принимая во внимание, что t не меняет знака при изменении t от 0 до x, имеем откуда, в силу условия |x| < 1, следует <
1
n + 1 1
1 + θx
132]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
415
Множитель
1 1+θx в правой части предыдущего неравенства остается ограниченным при всех значениях n, так как заключается между пределами 1 и 1+x
, независящими от n, а потому при рассматриваемых значениях x
R
n
(x) → 0 при n → Тот же результат мы получим ив случае 2), когда x = 1. Та же формула (37) при x = 1 показывает =
1
n + 1 1
1 + θ
<
1
n + те. опять) → 0 при n → Итак, разложение log(1 + x) = x −
x
3 2
+
x
3 3
− . . . +
(−1)
n−1
x n
n
+ . . имеет место при всех значениях x, удовлетворяющих неравенствам +В частности, при x = 1 имеем равенство log 2 = 1 −
1 2
+
1 3
− . . . +
(−1)
n−1
n
+ . . . о котором уже было упомянуто выше [123]. Формула (38) непосредственно для вычисления логарифмов не годится, так как в ней предполагается, что x удовлетворяет неравенствами, кроме того, ряд в правой части ее сходится недостаточно быстро. Ее можно преобразовать в более удобный для вычислений вид. Для этого подставим в равенство log(1 + x) = x −
x
3 2
+
x
3 3
− . . .
(−x) вместо x, что дает log(1 − x) = −x −
x
3 2
−
x
3 3
− . . .
(|x| < 1),
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениями вычтем почленно. Мы получим log
1 + x
1 − x
= 2
x +
x
3 3
+
x
5 5
+ . . .
(|x| < Положив здесь + x
1 − x
= 1 +
z a
=
a + z a
,
x =
z
2a + мы имеем log a + z a
= 2
z
2a + z
+
1 3
·
z
3
(2a + z)
3
+
1 5
z
5
(2a + z)
5
+ . . или log(a + z) = log a + 2
z
2a + z
+
1 3
z
3
(2a + z)
3
+ . . Эта формула годится уже при всех положительных значениях a итак как при этом x =
z
2a+z заключается между нулем и единицей. Она тем более удобна для вычисления, чем меньше дробь z
2a+z
, или, что тоже, чем меньше z по сравнению с Формула (41) весьма полезна для вычисления логарифмов. Хотя фактически таблица логарифмов была вычислена нес помощью рядов, которые во времена Непера и Бригга были еще неизвестны, все же формула) может с успехом применяться для проверки и для быстрого вычисления таблицы логарифмов. Положим в (41) z = 1 и возьмем последовательно, мы получим log 16 − log 15 = 2
h 1 31
+
1 3 · 31 3
+ . . .
i
= 2P,
log 25 − log 24 = 2
h 1 49
+
1 3 · 49 3
+ . . .
i
= 2Q,
log 81 − log 80 = 2
h 1 161
+
1 3 · 161 3
+ . . .
i
= где ряды, обозначенные через P , Q, R, сходятся весьма быстро. Эти равенства дают нам уравнения log 2 − log 3 − log 5 = 2P,
−3 log 2 − log 3 + 2 log 5 = 2Q,
1 + x
1 − x
= 2
x +
x
3 3
+
x
5 5
+ . . .
(|x| < Положив здесь + x
1 − x
= 1 +
z a
=
a + z a
,
x =
z
2a + мы имеем log a + z a
= 2
z
2a + z
+
1 3
·
z
3
(2a + z)
3
+
1 5
z
5
(2a + z)
5
+ . . или log(a + z) = log a + 2
z
2a + z
+
1 3
z
3
(2a + z)
3
+ . . Эта формула годится уже при всех положительных значениях a итак как при этом x =
z
2a+z заключается между нулем и единицей. Она тем более удобна для вычисления, чем меньше дробь z
2a+z
, или, что тоже, чем меньше z по сравнению с Формула (41) весьма полезна для вычисления логарифмов. Хотя фактически таблица логарифмов была вычислена нес помощью рядов, которые во времена Непера и Бригга были еще неизвестны, все же формула) может с успехом применяться для проверки и для быстрого вычисления таблицы логарифмов. Положим в (41) z = 1 и возьмем последовательно, мы получим log 16 − log 15 = 2
h 1 31
+
1 3 · 31 3
+ . . .
i
= 2P,
log 25 − log 24 = 2
h 1 49
+
1 3 · 49 3
+ . . .
i
= 2Q,
log 81 − log 80 = 2
h 1 161
+
1 3 · 161 3
+ . . .
i
= где ряды, обозначенные через P , Q, R, сходятся весьма быстро. Эти равенства дают нам уравнения log 2 − log 3 − log 5 = 2P,
−3 log 2 − log 3 + 2 log 5 = 2Q,
133]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения log 2 + 4 log 3 − log 5 = для определения чисел log 2, log 3, log 5, решая которые, найдем без труда log 2 = 14P + 10Q + 6R,
log 3 = 22P + 16Q + 10R,
log 5 = 32P + 24Q + Полученные таким путем логарифмы будет натуральными сих помощью мы находим модуль M десятичной системы логарифмов =
1
log 10
= 0, 434 294 4819 . . . зная который, можем от натуральных логарифмов переходить к десятичным по формуле log
10
x = M log Аналогичным путем, пользуясь разложениями на множители a =
2400 = 100 · 2 8
· 3,
a + z =
2 401 = 7 4
,
a =
9800 = 100 · 2 · 7 2
,
a + z =
9 801 = 3 4
· 11 2
,
a = 123 200 = 100 · 2 4
· 7 · 11, a + z = 123 201 = 3 6
· 13 2
,
a =
2 600 = 100 · 2 · 13,
a + z =
2601 = 3 2
· 17 2
,
a = 28 899 = 3 2
· 13 2
· 19
a + z = 28 900 = 100 · 17 мы вычислим log 7, log 11, log 13, . . Определив логарифмы простых чисел, мы уже без помощи рядов, а только одними сложениями и умножениями на целые множители определим и логарифмы составных чисел, которые, как известно, всегда можно разложить на простые множители. Разложение arctg x. Здесь мы будем поступать так же,
как и при разложении log(1 + x). Мы имеем d arctg t =
dt
1 + Получаем, интегрируя + t
2
= arctg t x
0
= arctg x − arctg 0 = arctg x,
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям где arctg x, как ив примере из [98], имеет главное значение. Мы имеем, следовательно x =
x
Z
0
dt
1 + t
2
=
x
Z
0
1 − t
2
+ t
4
− . . . + (−1)
n−1
t
2n−2
+
+
(−1)
n t
2n
1 + t
2
dt = x −
x
3 3
+
x
5 5
− . . . +
(−1)
n−1
x
2n−1 2n − 1
+ где) = (−1)
n x
Z
0
t
2n dt
1 + Ряд x −
x
3 3
+
x
5 5
− . . . +
(−1)
n−1
x
2n−1 2n − 1
+ . . . для которого отношение u
n u
n−1
=
2n − 3 2n − 1
x
2
→ при n → наверно, расходится при x
2
> 1; нам поэтому достаточно ограничиться случаем x
2 6
1, те +Считая сначала 0 < x 6 1, из формулы (42), в силу VII получим =
x
Z
0
t
2n
1 + t
2
dt <
x
Z
0
t
2n dt =
x
2n+1 2n + 1 6
1 2n + 1
→ 0 (n → так как, очевидно + t
2
< t
2n
x
Z
0
dt
1 + t
2
=
x
Z
0
1 − t
2
+ t
4
− . . . + (−1)
n−1
t
2n−2
+
+
(−1)
n t
2n
1 + t
2
dt = x −
x
3 3
+
x
5 5
− . . . +
(−1)
n−1
x
2n−1 2n − 1
+ где) = (−1)
n x
Z
0
t
2n dt
1 + Ряд x −
x
3 3
+
x
5 5
− . . . +
(−1)
n−1
x
2n−1 2n − 1
+ . . . для которого отношение u
n u
n−1
=
2n − 3 2n − 1
x
2
→ при n → наверно, расходится при x
2
> 1; нам поэтому достаточно ограничиться случаем x
2 6
1, те +Считая сначала 0 < x 6 1, из формулы (42), в силу VII получим =
x
Z
0
t
2n
1 + t
2
dt <
x
Z
0
t
2n dt =
x
2n+1 2n + 1 6
1 2n + 1
→ 0 (n → так как, очевидно + t
2
< t
2n
133]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
419
Если x < 0, то, вводя вместо t новую переменную, t = −τ, получим+ Здесь верхний предел (−x) уже положителен, а потому опять имеет место указанная выше оценка длят. е. разложение arctg x = x −
x
3 3
+
x
5 5
− . . . +
(−1)
n−1
x
2n−1 2n − 1
+ . . имеет место при всех значениях x, не превосходящих единицу по абсолютному значению.
В частности, при x = 1 получаем arctg 1 =
π
4
= 1 −
1 3
+
1 5
− . . Ряд этот, ввиду весьма медленной сходимости, непригоден для вычисления числа π. Ряд (44) сходится тем быстрее, чем меньше x. Положим,
например,
x =
1 и = a rc tg
1 Мы имеем tg 2ϕ =
2 5
1 −
1 25
=
5 12
,
tg 4ϕ =
5 6
1 −
25 144
=
120 Так как tg 4ϕ мало отличается от единицы, то угол 4ϕ мало отличается от. Введем эту малую разность = 4ϕ −
π
4
,
π
4
= 4ϕ − Отсюда выводим tg ψ = tg
4ϕ −
π
4
=
tg 4ϕ − tg
π
4 1 + tg 4ϕ · tg
π
4
=
120 119
− 1 1 +
120 119
=
1 что дает 4ϕ − ψ = 4 arctg
1 5
− arctg
1 239
=
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [133
= 4
h 1 5
−
1 3
·
1 5
3
+
1 5
·
1 5
5
−
1 7
·
1 5
7
+ . . .
i
−
h 1 239
− . . Оба ряда в скобках — знакопеременные [123], а потому, ограничившись в каждом из них лишь написанными членами, мы сделаем ошибку,
не превосходящую 9 · 5 9
+
1 3 · 239 3
< 0, 5 · Желая получить π с точностью до 10
−5
, мы будем вычислять отдельные члены с семью знаками, так как тогда ошибка при определении
π
4
не превзойдет · 4 · 0, 5 · 10
−7
+ 0, 5 · 10
−7
+ 0, 5 · 10
−6
< 2 · а ошибка при определении π не превзойдет 8 · Вычисление будем производить последующей схеме 5
= 0, 200 000 0 1
3 · 5 8
= 0, 002 666 7 1
5 · 5 5
= 0, 000 064 0 1
7 · 5 7
= 0, 000 001 8
+0, 200 064 0
−0, 002 668 5 0,197 395 5
×
4
−
1 239
=
0,789 582 0
−0, 004 184 1 0, 785 397 9
×
4
π
≈ 3,141 Значение числа π с восьмью знаками есть 3,141 591 Можно получить при |x| 6 1 разложение arc sin x =
x
1
+
1 2
x
3 3
+
1 · 3 2 · 4
x
5 5
+ . . . +
+
1 · 3 · 5 . . . (2n − 1)
2 · 4 · 6 . . .
2n x
2n+1 2n + 1
+ . . .
(45)
= 4
h 1 5
−
1 3
·
1 5
3
+
1 5
·
1 5
5
−
1 7
·
1 5
7
+ . . .
i
−
h 1 239
− . . Оба ряда в скобках — знакопеременные [123], а потому, ограничившись в каждом из них лишь написанными членами, мы сделаем ошибку,
не превосходящую 9 · 5 9
+
1 3 · 239 3
< 0, 5 · Желая получить π с точностью до 10
−5
, мы будем вычислять отдельные члены с семью знаками, так как тогда ошибка при определении
π
4
не превзойдет · 4 · 0, 5 · 10
−7
+ 0, 5 · 10
−7
+ 0, 5 · 10
−6
< 2 · а ошибка при определении π не превзойдет 8 · Вычисление будем производить последующей схеме 5
= 0, 200 000 0 1
3 · 5 8
= 0, 002 666 7 1
5 · 5 5
= 0, 000 064 0 1
7 · 5 7
= 0, 000 001 8
+0, 200 064 0
−0, 002 668 5 0,197 395 5
×
4
−
1 239
=
0,789 582 0
−0, 004 184 1 0, 785 397 9
×
4
π
≈ 3,141 Значение числа π с восьмью знаками есть 3,141 591 Можно получить при |x| 6 1 разложение arc sin x =
x
1
+
1 2
x
3 3
+
1 · 3 2 · 4
x
5 5
+ . . . +
+
1 · 3 · 5 . . . (2n − 1)
2 · 4 · 6 . . .
2n x
2n+1 2n + 1
+ . . .
(45)
134]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения 134. Приближенные формулы. Ряд Маклорена, в случае его сходимости, дает возможность приближенно вычислять функцию f (x), заменяя ее конечным числом членов разложения (0) +
xf
′
(0)
1!
+
x
2
f
′′
(0)
2!
+ . . Чем меньше x, тем меньше членов можно брать в этом разложении для вычисления f (x) с желаемой точностью. Если x весьма мало, то достаточно ограничиться только первыми двумя членами,
отбросив все остальные. Таким образом получается весьма простая приближенная формула для f (x), которая при малых x вполне может заменить часто весьма сложное точное выражение для f (Приведем такие приближенные формулы для наиболее важных функций + x ≈ 1 +
x n
,
sin x ≈ x,
1
n
√
1 + x
≈ 1 −
x n
,
cos x ≈ 1 −
x
2 2
,
(1 + x)
n
≈ 1 + nx,
tg x ≈ x,
a x
≈ 1 + x log a,
log(1 + x) ≈ Пользуясь этими приближенными формулами при x, близких к нулю (положительных или отрицательных, можно значительно упрощать сложные выражения.
∗
П р им еры n
x = 1 + Эти выражения принято называть соотношениями эквивалентности. Бесконечно малые величины стоящие слева и справа от знака приближенного равенства являются эквивалентными [36].
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [135 2.
log r
1 − x
1 + x
=
1 2
log(1 − x) −
1 2
log(1 + x) ≈ −
1 2
x −
1 2
x = Определить увеличение объема тела при нагревании (объемное расширение, когда известен коэффициент линейного расширения α. Если одни из линейных размеров тела при есть l
0
, то при нагревании до он будет l = l
0
(1 + αt).
α, коэффициент расширения, для большинства тел — весьма малая величина. Так как объемы относятся, как кубы линейных размеров,
можем писать v
v
0
=
(1 + αt)
3 1
;
v = v
0
(1 + αt)
3
≈ v
0
(1 + те. число 3α дает нам коэффициент объемного расширения. Для плотности, которая обратно пропорциональна объему, найдем аналогичную зависимость + αt)
3
,
ρ = ρ
0
(1 + αt)
−3
≈ ρ
0
(1 − Понятно, что все эти приближенные формулы годятся только при достаточно малых x, в противном же случае они оказываются уже неточными, и необходимо привлекать к рассмотрению дальнейшие члены разложения. Максимумы, минимумы и точки перегиба. Формула
Тейлора позволяет сделать существенное дополнение к правилу нахождения максимума и минимума функций, изложенному в [58]. В
дальнейшем мы считаем, что f (x) имеет непрерывные производные до порядка n в точке x = и ее окрестности.
Если при x = обращаются в нуль (n−1) первых производных функции f (x):
f
′
(x
0
) = f
′′
(x
0
) = . . . = f
(n−1)
(x
0
) = причем я производная f
(n)
(x
0
) отлична от нуля, значение соответствует вершине кривой, если n, те. порядок первой не обращающейся в нуль производной, есть число четное, и притом:
максимум, если f
(n)
(x
0
) < 0,
log r
1 − x
1 + x
=
1 2
log(1 − x) −
1 2
log(1 + x) ≈ −
1 2
x −
1 2
x = Определить увеличение объема тела при нагревании (объемное расширение, когда известен коэффициент линейного расширения α. Если одни из линейных размеров тела при есть l
0
, то при нагревании до он будет l = l
0
(1 + αt).
α, коэффициент расширения, для большинства тел — весьма малая величина. Так как объемы относятся, как кубы линейных размеров,
можем писать v
v
0
=
(1 + αt)
3 1
;
v = v
0
(1 + αt)
3
≈ v
0
(1 + те. число 3α дает нам коэффициент объемного расширения. Для плотности, которая обратно пропорциональна объему, найдем аналогичную зависимость + αt)
3
,
ρ = ρ
0
(1 + αt)
−3
≈ ρ
0
(1 − Понятно, что все эти приближенные формулы годятся только при достаточно малых x, в противном же случае они оказываются уже неточными, и необходимо привлекать к рассмотрению дальнейшие члены разложения. Максимумы, минимумы и точки перегиба. Формула
Тейлора позволяет сделать существенное дополнение к правилу нахождения максимума и минимума функций, изложенному в [58]. В
дальнейшем мы считаем, что f (x) имеет непрерывные производные до порядка n в точке x = и ее окрестности.
Если при x = обращаются в нуль (n−1) первых производных функции f (x):
f
′
(x
0
) = f
′′
(x
0
) = . . . = f
(n−1)
(x
0
) = причем я производная f
(n)
(x
0
) отлична от нуля, значение соответствует вершине кривой, если n, те. порядок первой не обращающейся в нуль производной, есть число четное, и притом:
максимум, если f
(n)
(x
0
) < 0,
135]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
423
минимум, если f
(n)
(x
0
) > если же n есть число нечетное, то значение соответствует не вершине, а точке перегиба.
Для доказательства нужно рассмотреть разности f (x
0
+ h) − f(x
0
) и f (x
0
− h) − где h — достаточно малое положительное число. По самому определению максимума и минимума [58] в точке будет максимум, если обе эти разности меньше нуля, минимум, если обе они больше нуля.
Если же эти разности при сколь угодно малых положительных h будут разных знаков, то при не будет ни максимума, ни минимума. Разности же эти могут быть вычислены по формуле Тейлора,
если подставить туда вместо a и ±h вместо) h:
f (x
0
+ h) = f (x
0
) +
h
1!
f
′
(x
0
) + . . . +
h n−1
(n − 1)!
f
(n−1)
(x
0
)+
+
h n
n!
f
(n)
(x
0
+ θh),
f (x
0
− h) = f(x
0
) −
h
1!
f
′
(x
0
) + . . . +
(−1)
n−1
h n−1
(n − 1)!
f
(n−1)
(x
0
)+
+
(−1)
n h
h n!
f
(n)
(x
0
− θ
1
h)
(0 < θ < и 0 < θ
1
< По условию) = f
′′
(x
0
) = . . . = f
(n−1)
(x
0
) = 0,
f
(n)
(x
0
) 6= значит (x
0
+ h) − f(x
0
) =
h n
n!
f
(n)
(x
0
+ Остаточный член мы берем в форме Лагранжа число θ, лежащее между нулем и единицей, при (+h) и (−h) не одно и тоже, почему мы написали во второй формуле
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [136
f (x
0
− h) − f(x
0
) =
(−1)
n h
n n!
f
(n)
(x
0
− При достаточно малом положительном h множители f
(n)
(x
0
+
θh) ив силу предполагаемой непрерывности имеют одинаковый знака именно знак числа f
(n)
(x
0
), отличного от нуля.
Мы видели, что точка может быть вершиной тогда и только тогда, когда обе разности f (x
0
± h) − f(x
0
) одинакового знака, ив силу сказанного сейчас это может случиться только, если n число четное, ибо только тогда выражения f (x
0
± h) − f(x
0
) будут иметь одинаковые знаки в противном же случае, когда n нечетное, множители и (−1)
n h
n будут разных знаков, и исследуемые разности также будут разных знаков.
Допустим теперь, что n четное тогда общий знак разностей f (x
0
± h) − f(x
0
) совпадает со знаком f
(n)
(x
0
). Если f
(n)
(x
0
) < 0, то f (x
0
± h) − f(x
0
) < 0, и мы имеем максимум если же f
(n)
(x
0
) > то f (x
0
± h) − f(x
0
) > 0, и получаем минимум.
Если n — число нечетное, то, во всяком случае, n > 3, для второй производной f
′′
(x) мы получаем из формулы Тейлора выражение+ h) =
h n−2
(n − 2)!
f
(n)
(x
0
+ θ
2
h),
f
′′
(x
0
− h) =
(−1)
n−2
h n−2
(n − 2)!
f
(n)
(x
0
− откуда, рассуждая таким же образом, как и раньше, убеждаемся,
что ввиду нечетности (n − 2) функция f
′′
(x), обращаясь в нуль применяет знак, те. значение соответствует точке перегиба, что и требовалось доказать. Раскрытие неопределенностей. Пусть имеем отношение функций
ϕ(x)
ψ(x)
,
которые при x = a обращаются в нуль. Для раскрытия неопреде-
f (x
0
− h) − f(x
0
) =
(−1)
n h
n n!
f
(n)
(x
0
− При достаточно малом положительном h множители f
(n)
(x
0
+
θh) ив силу предполагаемой непрерывности имеют одинаковый знака именно знак числа f
(n)
(x
0
), отличного от нуля.
Мы видели, что точка может быть вершиной тогда и только тогда, когда обе разности f (x
0
± h) − f(x
0
) одинакового знака, ив силу сказанного сейчас это может случиться только, если n число четное, ибо только тогда выражения f (x
0
± h) − f(x
0
) будут иметь одинаковые знаки в противном же случае, когда n нечетное, множители и (−1)
n h
n будут разных знаков, и исследуемые разности также будут разных знаков.
Допустим теперь, что n четное тогда общий знак разностей f (x
0
± h) − f(x
0
) совпадает со знаком f
(n)
(x
0
). Если f
(n)
(x
0
) < 0, то f (x
0
± h) − f(x
0
) < 0, и мы имеем максимум если же f
(n)
(x
0
) > то f (x
0
± h) − f(x
0
) > 0, и получаем минимум.
Если n — число нечетное, то, во всяком случае, n > 3, для второй производной f
′′
(x) мы получаем из формулы Тейлора выражение+ h) =
h n−2
(n − 2)!
f
(n)
(x
0
+ θ
2
h),
f
′′
(x
0
− h) =
(−1)
n−2
h n−2
(n − 2)!
f
(n)
(x
0
− откуда, рассуждая таким же образом, как и раньше, убеждаемся,
что ввиду нечетности (n − 2) функция f
′′
(x), обращаясь в нуль применяет знак, те. значение соответствует точке перегиба, что и требовалось доказать. Раскрытие неопределенностей. Пусть имеем отношение функций
ϕ(x)
ψ(x)
,
которые при x = a обращаются в нуль. Для раскрытия неопреде-
136]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
425
ленного выражения при ϕ(a) = ψ(a) = 0 разлагаем числитель и знаменатель по формуле Тейлора) = (x − a)ϕ
′
(a) +
(x − a)
2
ϕ
′′
(a)
2!
+ . . . +
(x − a)
n
ϕ
(n)
(a)
n!
+
+
(x − a)
n+1
ϕ
(n+1)
(ξ
1
)
(n + 1)!
,
ψ(x) = (x − a)ψ
′
(a) +
(x − a)
2
ψ
′′
(a)
2!
+ . . . +
(x − a)
n
ψ
(n)
(a)
n!
+
+
(x − a)
(n+1)
ψ
(n+1)
(ξ
1
)
(n + и, по сокращении рассматриваемого отношения на некоторую степень, полагаем x = Примеры. . .
1 + 3x +
9x
2 2
+
27 6
x
3
+ . . .
− 1 − 3x
=
= lim x→0 2 −
16 24
x
2
+ . . .
9 2
+
27 6
x + . . .
=
4 Тот же прием приносит пользу и при раскрытии неопределенностей других видов. Рассмотрим один пример x→∞
(
3
√
x
3
− 5x
2
+ 1 − Здесь мы имеем неопределенность вида (∞ − ∞). Мы имеем x
3
− 5x
2
+ 1 − x = x h
3
r
1 −
5x
2
− 1
x
3
− 1
i
=
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [137
= x nh
1 −
5
x
−
1
x
3
i
1
/
3
− При достаточно больших, по абсолютному значению, x разность
5
x
−
1
x
3
близка к нулю, и мы можем применить формулу бинома Ньютона) при m =
1 3
, заменяя x на −
5
x
−
1
x
3
:
1 −
5
x
−
1
x
3
1
/
3
= 1 −
1 3
5
x
−
1
x
3
+
1 3
1 3
− 1
2!
5
x
−
1
x
3
2
+ . . Подставляя это в фигурную скобку и сокращая единицы, получим x
3
−5x
2
+1−x = x
−
1 3
5
x
−
1
x
3
+
1 3
1 3
− 1
2!
5
x
−
1
x
3
2
+ . . .
=
=
−
5 3
+
1 3x
2
+ . . . где все невыписанные члены содержат только отрицательные степени те. в пределе при x → ∞ обращаются в нуль, и, следовательно x→∞
(
3
p x
3
− 5x
2
+ 1 − x) = −
5 Возможность предельных переходов в бесконечных рядах, которые мы применяем в настоящем номере, легко может быть оправдана, на чем мы не останавливаемся 14. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Понятие об абсолютно сходящемся ряде было дано в [124]. Теперь мы установим важнейшие его свойства:
Сумма абсолютно сходящегося ряда никак не зависит от порядка слагаемых.
Докажем это предложение сперва для рядов с неотрицательными членами, которые, как мы знаем [120], могут быть только или сходящимися (а потому и абсолютно сходящимися, или собственно расходящимися. Дополнительные сведения из теории рядов
427
Итак, пусть дан сходящийся ряд с положительными (неотрицательными) членами u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . Обозначим через s сумму его n первых членов, через s — его сумму.
Мы имеем, очевидно Переставив члены ряда (1) каким угодно образом, мы получим другое распределение членов, которому будет соответствовать ряд v
1
+ v
2
+ v
3
+ . . . + v n
+ . . . состоящий из тех же членов, что и (1), нов другом порядке, так что каждый член из ряда (1) имеет определенный номер в ряде (2), и наоборот. Обозначим через σ
n сумму n первых членов ряда (2). При любом значении n можно найти настолько большое число m, чтобы все члены,
входящие в сумму σ
n
, вошли в s m
, а потому Таким образом, показано существование постоянного числа s, независящего от n, такого, что при всех значениях n имеем
σ
n
6
s,
откуда [120] вытекает сходимость ряда (2). Обозначим через σ его сумму.
Очевидно, что = lim Переставив в предыдущих рассуждениях ряды (1) и (2), мы таким же путем покажем, что s 6 и из неравенств σ 6 s, s 6 σ вытекает s = Обратимся теперь к рядам с какими угодно членами. Так как по условию ряд (1) абсолютно сходящийся, то ряд с положительными членами + |u
= x nh
1 −
5
x
−
1
x
3
i
1
/
3
− При достаточно больших, по абсолютному значению, x разность
5
x
−
1
x
3
близка к нулю, и мы можем применить формулу бинома Ньютона) при m =
1 3
, заменяя x на −
5
x
−
1
x
3
:
1 −
5
x
−
1
x
3
1
/
3
= 1 −
1 3
5
x
−
1
x
3
+
1 3
1 3
− 1
2!
5
x
−
1
x
3
2
+ . . Подставляя это в фигурную скобку и сокращая единицы, получим x
3
−5x
2
+1−x = x
−
1 3
5
x
−
1
x
3
+
1 3
1 3
− 1
2!
5
x
−
1
x
3
2
+ . . .
=
=
−
5 3
+
1 3x
2
+ . . . где все невыписанные члены содержат только отрицательные степени те. в пределе при x → ∞ обращаются в нуль, и, следовательно x→∞
(
3
p x
3
− 5x
2
+ 1 − x) = −
5 Возможность предельных переходов в бесконечных рядах, которые мы применяем в настоящем номере, легко может быть оправдана, на чем мы не останавливаемся 14. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Понятие об абсолютно сходящемся ряде было дано в [124]. Теперь мы установим важнейшие его свойства:
Сумма абсолютно сходящегося ряда никак не зависит от порядка слагаемых.
Докажем это предложение сперва для рядов с неотрицательными членами, которые, как мы знаем [120], могут быть только или сходящимися (а потому и абсолютно сходящимися, или собственно расходящимися. Дополнительные сведения из теории рядов
427
Итак, пусть дан сходящийся ряд с положительными (неотрицательными) членами u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . Обозначим через s сумму его n первых членов, через s — его сумму.
Мы имеем, очевидно Переставив члены ряда (1) каким угодно образом, мы получим другое распределение членов, которому будет соответствовать ряд v
1
+ v
2
+ v
3
+ . . . + v n
+ . . . состоящий из тех же членов, что и (1), нов другом порядке, так что каждый член из ряда (1) имеет определенный номер в ряде (2), и наоборот. Обозначим через σ
n сумму n первых членов ряда (2). При любом значении n можно найти настолько большое число m, чтобы все члены,
входящие в сумму σ
n
, вошли в s m
, а потому Таким образом, показано существование постоянного числа s, независящего от n, такого, что при всех значениях n имеем
σ
n
6
s,
откуда [120] вытекает сходимость ряда (2). Обозначим через σ его сумму.
Очевидно, что = lim Переставив в предыдущих рассуждениях ряды (1) и (2), мы таким же путем покажем, что s 6 и из неравенств σ 6 s, s 6 σ вытекает s = Обратимся теперь к рядам с какими угодно членами. Так как по условию ряд (1) абсолютно сходящийся, то ряд с положительными членами + |u
1 ... 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 43
2
| + . . . + |u n
| + . . . =
∞
X
n−1
|u n
|
(3)
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям сходится и по доказанному сумма его не зависит от порядка слагаемых.
С другой стороны, оба ряда 1
2
(|u n
| + u n
),
∞
X
n−1 1
2
(|u n
| − u n
)
(ср. [124]) также имеют положительные члены и также сходятся, так как общий член каждого из них не превосходит |u n
|, те. общего члена сходящегося ряда (В силу доказанного каждый из них не зависит от порядка членов;
не будет зависеть от порядка членов и разность их, которая совпадает с суммой ряда (1), что и требовалось доказать.
С лед ст в и е. В абсолютно сходящемся ряде можно каким угодно образом группировать слагаемые и складывать их затем уже по группам, ибо такая группировка приводит к перемене порядка слагаемых,
отчего сумма ряда не изменится.
З а меча ни е. Если из абсолютно сходящегося ряда выделить любую последовательность его членов, то полученный таким путем ряд также будет абсолютно сходящимся, так как такому выделению соответствует выделение последовательности членов в ряде (3) с положительными членами, что, очевидно, не нарушает сходимости этого ряда. В частности,
будут сходящимися ряды, составленные в отдельности из положительных и отрицательных членов сходящегося ряда. Обозначим через сумму ряда, составленного из положительных членов, и через (−s
′′
) — сумму ряда, составленного из отрицательных членов. При беспредельном возрастании сумма S
n первых n членов всего ряда может содержать сколь угодно многочленов из обоих упомянутых рядов, ив пределе, очевидно,
получим s = lim s n
= s
′
− Нетрудно показать, что когда ряд сходится не абсолютно, то ряды,
составленные из его положительных и отрицательных членов, являются собственно расходящимися. Так, например, для неабсолютно сходящегося ряда [124]
1 −
1 2
+
1 3
−
1 4
+ . . ряды +
1 3
+
1 5
+
1 7
+ . . и 2
−
1 4
−
1 6
−
1 8
− . . расходятся. Сумма n первых членов первого ряда стремится ка второго ряда — к (−∞) при беспредельном возрастании n. Пользуясь указанным выше обстоятельством, Риман показал, что, меняя надлежащим
138]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
429
образом порядок членов неабсолютно сходящегося ряда, можно сделать его сумму равной какому угодно числу. Таким образом, оказывается, что понятие об абсолютно сходящемся ряде тождественно с понятием о ряде,
сумма которого не зависит от порядка слагаемых.
Заметим еще, что если мы в каком-нибудь сходящемся (необязательно абсолютно сходящемся) ряде переставим местами конечное число слагаемых, то суммы первых n членов s останутся при всех достаточно больших n теми же, те. сходимость ряда не нарушится, и сумма ряда останется прежней. Предыдущее же рассуждение и результаты относятся и к тому случаю, когда переставляют бесконечное число слагаемых. Умножение абсолютно сходящихся рядов.
При перемножении двух абсолютно сходящихся бесконечных рядов можно применять правило умножения конечных сумм произведение равно суме ряда, который получим, если каждый член одного ряда умножим на каждый член другого и полученные произведения сложим. Порядок слагаемых здесь безразличен, так как построенный таким путем ряд будет также абсолютно сходящимся.
Данные абсолютно сходящиеся ряды пусть будут s = u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . .
σ = v
1
+ v
2
+ . . . + v n
+ . . Рассмотрим сперва частный случай, когда оба они с положительными членами, ипритом когда само умножение совершается следующим порядком+ u
1
v
2
+ u
2
v
1
+ u
1
v
3
+ u
2
v
2
+ u
3
v
1
+ . . . +
+ u
1
v n
+ u
2
v n−1
+ . . . + u n
v
1
+ . . Покажем, прежде всего, что ряд (5), все члены которого также положительны, сходится, а затем уже, что его сумма S равна Обозначим через S
n сумму n первых членов ряда (5). Можно всегда выбрать настолько большое число m, чтобы все члены, входящие в состав, вошли ив произведение сумм m
= u
1
+ u
2
+ . . . + u m
,
σ
m
= v
1
+ v
2
+ . . . + v те. чтобы оказалось S
n
6
s m
σ
m
, те Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям так как s m
6
s, откуда и следует сходимость ряда (5) Обозначив сумму ряда (5) через S, из неравенства (6), очевидно,
имеем
S = lim Рассмотрим теперь произведение s n
σ
n
. Приданном, очевидно,
можно найти настолько большое m, чтобы все члены, входящие в состав произведения сумм s и σ
n
, вошли в сумму S
m
; мы получим тогда а потому ив пределе, n → ∞,
s n
σ
n
→ sσ 6 Неравенство это в соединении сдает, что и требовалось доказать.
Пусть теперь ряды (4) — абсолютно сходящиеся, нос какими угодно членами. Следовательно, сходятся ряды с положительными членами + |u
2
| + . . . + |u n
| + . . и + |v
2
| + . . . + |v n
| + . . . а потому, в силу только что доказанного, сходится и ряд + |u
2
||v
1
| + |u
1
||v
2
| + |u
2
||v
2
| + . . . +
+ |u
1
||v n
| + . . . + |u n
||v
1
| + . . Отсюда видно, что составленный по предыдущему правилу ряд (будет в этом случае абсолютно сходящимся. Обозначим теперь через a
′
1
, a
′
2
, . . . , a
′
n
, . . . ; a
′′
1
, a
′′
2
, . . . , a
′′
n
, . . . ,
b
′
1
, b
′
2
, . . . , b
′
n
, . . . ; b
′′
1
, b
′′
2
, . . . , b
′′
n соответственно положительные члены рядов (4) и абсолютные значения отрицательных членов. Мы знаем (замечание [137]), что ряды, составленные из этих членов, сходятся положим Как известно [137], мы имеем s = s
′
− s
′′
,
σ = σ
′
− σ
′′
139]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
431
Как показано, ряды (8) с положительными членами можно почленно перемножать между собой сумма произведений рядов содержит как раз те и только те члены, которых входят вряд, а потому имеем = s
′
σ
′
+ s
′′
σ
′′
− s
′
σ
′′
− s
′′
σ
′
= (s
′
− s
′′
)(σ
′
− σ
′′
) = что и требовалось доказать.
П р им ер. Ряд + q + q
2
+ . . . + q n−1
+ . . . =
1 1 − q сходится абсолютно при |q| < 1, а потому − q)
2
= (1 + q + . . . + q n−1
+ . . .)(1 + q + . . . + q n−1
+ . . .) =
= 1 + 2q + 3q
2
+ . . . + nq n−1
+ . . .
139. Признак Куммера.
Признаки Коши и Даламбера сходимости и расходимости рядов [121], при всей их практической важности, все же являются весьма частными и неприменимы во многих даже сравнительно простых случаях. Проводимый ниже признак обладает гораздо большей общностью.
П риз на к Кум мера. Ряд с положительными членами u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . сходится, если существует такая последовательность положительных чисел α
1
, α
2
, . . . , α
n
, . . . , что, начиная с некоторого значения было всегда u
n u
n+1
− α
n+1
>
α > где α — некоторое положительное число, независящее отряд (расходится, если при тех же значениях n:
α
n u
n u
n+1
− α
n+1 и, кроме того, ряд 1
α
n
— расходящийся
С другой стороны, оба ряда 1
2
(|u n
| + u n
),
∞
X
n−1 1
2
(|u n
| − u n
)
(ср. [124]) также имеют положительные члены и также сходятся, так как общий член каждого из них не превосходит |u n
|, те. общего члена сходящегося ряда (В силу доказанного каждый из них не зависит от порядка членов;
не будет зависеть от порядка членов и разность их, которая совпадает с суммой ряда (1), что и требовалось доказать.
С лед ст в и е. В абсолютно сходящемся ряде можно каким угодно образом группировать слагаемые и складывать их затем уже по группам, ибо такая группировка приводит к перемене порядка слагаемых,
отчего сумма ряда не изменится.
З а меча ни е. Если из абсолютно сходящегося ряда выделить любую последовательность его членов, то полученный таким путем ряд также будет абсолютно сходящимся, так как такому выделению соответствует выделение последовательности членов в ряде (3) с положительными членами, что, очевидно, не нарушает сходимости этого ряда. В частности,
будут сходящимися ряды, составленные в отдельности из положительных и отрицательных членов сходящегося ряда. Обозначим через сумму ряда, составленного из положительных членов, и через (−s
′′
) — сумму ряда, составленного из отрицательных членов. При беспредельном возрастании сумма S
n первых n членов всего ряда может содержать сколь угодно многочленов из обоих упомянутых рядов, ив пределе, очевидно,
получим s = lim s n
= s
′
− Нетрудно показать, что когда ряд сходится не абсолютно, то ряды,
составленные из его положительных и отрицательных членов, являются собственно расходящимися. Так, например, для неабсолютно сходящегося ряда [124]
1 −
1 2
+
1 3
−
1 4
+ . . ряды +
1 3
+
1 5
+
1 7
+ . . и 2
−
1 4
−
1 6
−
1 8
− . . расходятся. Сумма n первых членов первого ряда стремится ка второго ряда — к (−∞) при беспредельном возрастании n. Пользуясь указанным выше обстоятельством, Риман показал, что, меняя надлежащим
138]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
429
образом порядок членов неабсолютно сходящегося ряда, можно сделать его сумму равной какому угодно числу. Таким образом, оказывается, что понятие об абсолютно сходящемся ряде тождественно с понятием о ряде,
сумма которого не зависит от порядка слагаемых.
Заметим еще, что если мы в каком-нибудь сходящемся (необязательно абсолютно сходящемся) ряде переставим местами конечное число слагаемых, то суммы первых n членов s останутся при всех достаточно больших n теми же, те. сходимость ряда не нарушится, и сумма ряда останется прежней. Предыдущее же рассуждение и результаты относятся и к тому случаю, когда переставляют бесконечное число слагаемых. Умножение абсолютно сходящихся рядов.
При перемножении двух абсолютно сходящихся бесконечных рядов можно применять правило умножения конечных сумм произведение равно суме ряда, который получим, если каждый член одного ряда умножим на каждый член другого и полученные произведения сложим. Порядок слагаемых здесь безразличен, так как построенный таким путем ряд будет также абсолютно сходящимся.
Данные абсолютно сходящиеся ряды пусть будут s = u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . .
σ = v
1
+ v
2
+ . . . + v n
+ . . Рассмотрим сперва частный случай, когда оба они с положительными членами, ипритом когда само умножение совершается следующим порядком+ u
1
v
2
+ u
2
v
1
+ u
1
v
3
+ u
2
v
2
+ u
3
v
1
+ . . . +
+ u
1
v n
+ u
2
v n−1
+ . . . + u n
v
1
+ . . Покажем, прежде всего, что ряд (5), все члены которого также положительны, сходится, а затем уже, что его сумма S равна Обозначим через S
n сумму n первых членов ряда (5). Можно всегда выбрать настолько большое число m, чтобы все члены, входящие в состав, вошли ив произведение сумм m
= u
1
+ u
2
+ . . . + u m
,
σ
m
= v
1
+ v
2
+ . . . + v те. чтобы оказалось S
n
6
s m
σ
m
, те Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям так как s m
6
s, откуда и следует сходимость ряда (5) Обозначив сумму ряда (5) через S, из неравенства (6), очевидно,
имеем
S = lim Рассмотрим теперь произведение s n
σ
n
. Приданном, очевидно,
можно найти настолько большое m, чтобы все члены, входящие в состав произведения сумм s и σ
n
, вошли в сумму S
m
; мы получим тогда а потому ив пределе, n → ∞,
s n
σ
n
→ sσ 6 Неравенство это в соединении сдает, что и требовалось доказать.
Пусть теперь ряды (4) — абсолютно сходящиеся, нос какими угодно членами. Следовательно, сходятся ряды с положительными членами + |u
2
| + . . . + |u n
| + . . и + |v
2
| + . . . + |v n
| + . . . а потому, в силу только что доказанного, сходится и ряд + |u
2
||v
1
| + |u
1
||v
2
| + |u
2
||v
2
| + . . . +
+ |u
1
||v n
| + . . . + |u n
||v
1
| + . . Отсюда видно, что составленный по предыдущему правилу ряд (будет в этом случае абсолютно сходящимся. Обозначим теперь через a
′
1
, a
′
2
, . . . , a
′
n
, . . . ; a
′′
1
, a
′′
2
, . . . , a
′′
n
, . . . ,
b
′
1
, b
′
2
, . . . , b
′
n
, . . . ; b
′′
1
, b
′′
2
, . . . , b
′′
n соответственно положительные члены рядов (4) и абсолютные значения отрицательных членов. Мы знаем (замечание [137]), что ряды, составленные из этих членов, сходятся положим Как известно [137], мы имеем s = s
′
− s
′′
,
σ = σ
′
− σ
′′
139]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
431
Как показано, ряды (8) с положительными членами можно почленно перемножать между собой сумма произведений рядов содержит как раз те и только те члены, которых входят вряд, а потому имеем = s
′
σ
′
+ s
′′
σ
′′
− s
′
σ
′′
− s
′′
σ
′
= (s
′
− s
′′
)(σ
′
− σ
′′
) = что и требовалось доказать.
П р им ер. Ряд + q + q
2
+ . . . + q n−1
+ . . . =
1 1 − q сходится абсолютно при |q| < 1, а потому − q)
2
= (1 + q + . . . + q n−1
+ . . .)(1 + q + . . . + q n−1
+ . . .) =
= 1 + 2q + 3q
2
+ . . . + nq n−1
+ . . .
139. Признак Куммера.
Признаки Коши и Даламбера сходимости и расходимости рядов [121], при всей их практической важности, все же являются весьма частными и неприменимы во многих даже сравнительно простых случаях. Проводимый ниже признак обладает гораздо большей общностью.
П риз на к Кум мера. Ряд с положительными членами u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . сходится, если существует такая последовательность положительных чисел α
1
, α
2
, . . . , α
n
, . . . , что, начиная с некоторого значения было всегда u
n u
n+1
− α
n+1
>
α > где α — некоторое положительное число, независящее отряд (расходится, если при тех же значениях n:
α
n u
n u
n+1
− α
n+1 и, кроме того, ряд 1
α
n
— расходящийся
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Не ограничивая общности, мы можем считать, что условия теоремы выполняются, уже начиная с n = 1. Пусть сперва выполнено условие. Мы выводим из него, положив n = 1, 2, 3, . . . ,
α
1
u
1
− α
2
u
2
>
αu
2
, α
2
u
2
− α
3
u
3
>
αu
3
, . . . , α
n−1
u n−1
− α
n u
n
>
αu откуда, складывая почленно и приводя подобные члены, находим+ . . . + u n
) 6 α
1
u
1
− α
n u
n
< Мы видим отсюда, что ряд (9) с положительными членами, сумма n первых членов которого без остается меньше постоянного числа
α
1
u
1
α
,
не зависящего от n, сходится Пусть теперь выполнено условие (11). Оно дает нам u
n+1
u n
>
1
α
n+1 те. отношение u
n
+1
u не меньше соответствующего отношения членов расходящегося ряда Расходимость ряда (9) будет следовать тогда из следующей леммы о рядах с положительными членами:
Д оп о л не ни е к признаку Даламбера. Если, начиная с некоторого значения n, отношение u
n
+1
u не превосходит соответствующего отношения v
n
+1
v членов сходящегося ряда то и ряд сходится. Если же отношение u
n
+1
u остается не меньшим соответствующего отношения членов расходящегося ряда (12), то и ряд (13) расходящийся
140]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
433
Действительно, пусть сперва имеем u
n+1
u n
6
v n+1
v причем ряд (12) сходится. Мы имеем последовательно u
n u
n−1 6
v n
v n−1
,
u n−1
u n−2 6
v n−1
v n−2
, . . .
u
2
u
1 откуда, перемножая, находим u
n u
1 6
v или u
n
6
u
1
v
1
v Из последнего равенства и замечания в при k следует сходимость ряда (13). Аналогичным образом можно доказать и расходимость его, в случае, если u
n
+1
u n
>
v n
+1
v и ряд (12) расходится. Признак Гаусса.
Весьма важные применения имеет и следующий Признак Гаусса. Если в ряде с положительными членами (9)
u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . отношение u
n можно представить в виде u
n u
n+1
= 1 +
µ
n
+
ω
n где p > и < причем A не зависит от n, те. величина ω
n остается ограниченной, то ряд (9) сходится, если µ > 1, и расходится, если µ 6 Заметим, что во всех случаях, исчерпываемых этим признаком, признак Даламбера неприменим [121]. Сама же формула (14) получается при разложении отношения u
n по степеням, те. при выделении членов различных порядков малости относительно, конечно, если это возможно.
Переходя к доказательству, мы исследует отдельно случаи 1) µ 6= и 2) µ = 1. В случае 1) мы положим в признаке Куммера α
n
= n, причем заметим, что α
n
> 0 и ряд расходится [119]. Мы имеем, очевидно, в данном случае lim n→∞
α
n u
n u
n+1
− α
n+1
= lim n→∞
n
1 +
µ
n
+
ω
n n
p
− n − 1
= µ − В сущности, обобщение признака, действительно установленного Гауссом
140]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов log n n
p−1
+ (n + 1) log
1 −
1
n + Множитель ω
n остается по условию ограниченным, отношение же log n стремится к нулю при n → ∞, так как по условию p − 1 > 0, и log n возрастает слабее любой положительной степени n (пример 2 из Если положить −x, то x → 0, и второе слагаемое справа будет + 1) log
1 −
1
n + 1
= −
log(1 + те. оно стремится к (−1) [38]. Мы видим, таким образом, что в данном случае ряд расходится и u
n u
n
+1
− α
n+1
→ −1 при n → ∞, а потому, при достаточно больших n, будет α
n u
n u
n
+1
− α
n+1
< 0, те. ряд) будет расходящимся [139], что и требовалось доказать.
Приведенные выше признаки сходимости могут применяться и кря- дам с какими угодно членами, если заменить в них u на |u n
|. Нов этом случае они дают только возможность сказать, будет ли данный ряд абсолютно сходящимся или не будет таковым. Из них можно будет извлечь,
вообще говоря, условие абсолютной сходимости, ноне условие расходимости, так как мы знаем, что ряд может быть не абсолютно сходящимся,
но и не расходящимся [124]. Таким путем мы получаем:
Д оп о л не ни е к признаку Гаусса. Ряд u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . с какими угодно членами, для которого u
n u
n+1
= 1 +
µ
n
+
ω
n где p > 1 и |ω
n
| < A, будет абсолютно сходящимся при µ > Нетрудно показать, что он будет расходящимся при µ < 0. В самом деле, в этом случае мы имеем, принимая во внимание ограниченность p−1
→ 0,
1 +
ω
n
µn p−1
→ 1 при n → а потому, начиная с некоторого значения n, в силу условия µ < 0,
µ
n
+
ω
n n
p
=
µ
n
1 +
ω
n
µn p−1
< и u
n u
n+1
< 1,
141]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов +
1
n
1 +
γ
n
1 −
α
n
+
α
2
n
2
−
α
3
n
3
+ . . .
1 −
β
n
+
β
2
n
2
−
β
3
n
3
+ . . .
=
= 1 +
γ − α − β + 1
n
+
ω
n где величина ω
n остается ограниченной. Далее, в рассматриваемом случае, отбросив достаточно большое число начальных членов в ряде (α, β, γ; 1) = 1 +
αβ
1 · γ
+ . . . +
+
α(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1)
n!γ(γ + 1) . . . (γ + n − 1)
+ . . . мы получим ряд с членами одного знака, применяя к которому признак
Гаусса, получаем абсолютную сходимость прите и расходимость прите Во втором случае, примы получаем знакопеременный, начиная с некоторого члена, ряд −
α · β
1 · γ
+
α(α + 1)β(β + 1)
2!γ(γ + 1)
− . . . +
+ (−1)
n
α(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1)
n!γ(γ + 1) . . . (γ + n − 1)
+ . . Мы имеем здесь, как и раньше u
n u
n+1
= 1 +
γ − α − β + 1
n
+
ω
n а потому, применяя дополнение к признаку Гаусса, получаем сходимость прите и расходимость прите В случае − α − β = −1
142]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов 1
u
11
u
12
u
13
u
1n
2
u
21
u
22
u
23
u
2n
3
u
31
u
32
u
33
u
3n m u m1
u m2
u m3
u Она содержит бесчисленное множество строк, номера которых указываются первым значком, и столбцов, номера которых даются вторым значком при букве u. Таким образом u ik означает число, стоящее в пересечении й строки см столбцом таблицы.
α
1
u
1
− α
2
u
2
>
αu
2
, α
2
u
2
− α
3
u
3
>
αu
3
, . . . , α
n−1
u n−1
− α
n u
n
>
αu откуда, складывая почленно и приводя подобные члены, находим+ . . . + u n
) 6 α
1
u
1
− α
n u
n
< Мы видим отсюда, что ряд (9) с положительными членами, сумма n первых членов которого без остается меньше постоянного числа
α
1
u
1
α
,
не зависящего от n, сходится Пусть теперь выполнено условие (11). Оно дает нам u
n+1
u n
>
1
α
n+1 те. отношение u
n
+1
u не меньше соответствующего отношения членов расходящегося ряда Расходимость ряда (9) будет следовать тогда из следующей леммы о рядах с положительными членами:
Д оп о л не ни е к признаку Даламбера. Если, начиная с некоторого значения n, отношение u
n
+1
u не превосходит соответствующего отношения v
n
+1
v членов сходящегося ряда то и ряд сходится. Если же отношение u
n
+1
u остается не меньшим соответствующего отношения членов расходящегося ряда (12), то и ряд (13) расходящийся
140]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
433
Действительно, пусть сперва имеем u
n+1
u n
6
v n+1
v причем ряд (12) сходится. Мы имеем последовательно u
n u
n−1 6
v n
v n−1
,
u n−1
u n−2 6
v n−1
v n−2
, . . .
u
2
u
1 откуда, перемножая, находим u
n u
1 6
v или u
n
6
u
1
v
1
v Из последнего равенства и замечания в при k следует сходимость ряда (13). Аналогичным образом можно доказать и расходимость его, в случае, если u
n
+1
u n
>
v n
+1
v и ряд (12) расходится. Признак Гаусса.
Весьма важные применения имеет и следующий Признак Гаусса. Если в ряде с положительными членами (9)
u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . отношение u
n можно представить в виде u
n u
n+1
= 1 +
µ
n
+
ω
n где p > и < причем A не зависит от n, те. величина ω
n остается ограниченной, то ряд (9) сходится, если µ > 1, и расходится, если µ 6 Заметим, что во всех случаях, исчерпываемых этим признаком, признак Даламбера неприменим [121]. Сама же формула (14) получается при разложении отношения u
n по степеням, те. при выделении членов различных порядков малости относительно, конечно, если это возможно.
Переходя к доказательству, мы исследует отдельно случаи 1) µ 6= и 2) µ = 1. В случае 1) мы положим в признаке Куммера α
n
= n, причем заметим, что α
n
> 0 и ряд расходится [119]. Мы имеем, очевидно, в данном случае lim n→∞
α
n u
n u
n+1
− α
n+1
= lim n→∞
n
1 +
µ
n
+
ω
n n
p
− n − 1
= µ − В сущности, обобщение признака, действительно установленного Гауссом
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Если µ > 1, то, начиная с некоторого значения n, будем иметь u
n u
n+1
− α
n+1
> α > где α — любое положительное число, меньшее µ − 1, и ряд (9) будет сходящимся. Если же µ < 1, то, начиная с некоторого значения n, мы будем иметь u
n u
n+1
− α
n+1
< те. ряд (9) будет расходящимся [139]. В случае 2) мы имеем u
n u
n+1
= 1 +
1
n
+
ω
n Положим в признаке Куммера α
n
= n log n и составим ряд log где суммирование можно начинать с любого целого положительного так как первые слагаемые не влияют на сходимость [118]. Докажем расходимость написанного ряда, пользуясь интегральным признаком Коши. Нам надо доказать расходимость интеграла x log x
(α > Номы имеем x log x
=
∞
Z
α
d(log x)
log x
=
∞
Z
log α
dt t
= log(log и функция log(log x) беспредельно возрастает при возрастании x, т. е.
написанный выше интеграл действительно расходится, а потому и ряд) расходится. Составим теперь разность α
n u
n u
n
+1
− α
n+1
, пользуясь u
n u
n+1
− α
n+1
= n
1 +
1
n
+
ω
n n
p
log n − (n + 1) log(n + 1) =
= (n + 1) log n +
ω
n log n n
p−1
− (n + 1) log(n + 1) =
n u
n+1
− α
n+1
> α > где α — любое положительное число, меньшее µ − 1, и ряд (9) будет сходящимся. Если же µ < 1, то, начиная с некоторого значения n, мы будем иметь u
n u
n+1
− α
n+1
< те. ряд (9) будет расходящимся [139]. В случае 2) мы имеем u
n u
n+1
= 1 +
1
n
+
ω
n Положим в признаке Куммера α
n
= n log n и составим ряд log где суммирование можно начинать с любого целого положительного так как первые слагаемые не влияют на сходимость [118]. Докажем расходимость написанного ряда, пользуясь интегральным признаком Коши. Нам надо доказать расходимость интеграла x log x
(α > Номы имеем x log x
=
∞
Z
α
d(log x)
log x
=
∞
Z
log α
dt t
= log(log и функция log(log x) беспредельно возрастает при возрастании x, т. е.
написанный выше интеграл действительно расходится, а потому и ряд) расходится. Составим теперь разность α
n u
n u
n
+1
− α
n+1
, пользуясь u
n u
n+1
− α
n+1
= n
1 +
1
n
+
ω
n n
p
log n − (n + 1) log(n + 1) =
= (n + 1) log n +
ω
n log n n
p−1
− (n + 1) log(n + 1) =
140]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов log n n
p−1
+ (n + 1) log
1 −
1
n + Множитель ω
n остается по условию ограниченным, отношение же log n стремится к нулю при n → ∞, так как по условию p − 1 > 0, и log n возрастает слабее любой положительной степени n (пример 2 из Если положить −x, то x → 0, и второе слагаемое справа будет + 1) log
1 −
1
n + 1
= −
log(1 + те. оно стремится к (−1) [38]. Мы видим, таким образом, что в данном случае ряд расходится и u
n u
n
+1
− α
n+1
→ −1 при n → ∞, а потому, при достаточно больших n, будет α
n u
n u
n
+1
− α
n+1
< 0, те. ряд) будет расходящимся [139], что и требовалось доказать.
Приведенные выше признаки сходимости могут применяться и кря- дам с какими угодно членами, если заменить в них u на |u n
|. Нов этом случае они дают только возможность сказать, будет ли данный ряд абсолютно сходящимся или не будет таковым. Из них можно будет извлечь,
вообще говоря, условие абсолютной сходимости, ноне условие расходимости, так как мы знаем, что ряд может быть не абсолютно сходящимся,
но и не расходящимся [124]. Таким путем мы получаем:
Д оп о л не ни е к признаку Гаусса. Ряд u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . с какими угодно членами, для которого u
n u
n+1
= 1 +
µ
n
+
ω
n где p > 1 и |ω
n
| < A, будет абсолютно сходящимся при µ > Нетрудно показать, что он будет расходящимся при µ < 0. В самом деле, в этом случае мы имеем, принимая во внимание ограниченность p−1
→ 0,
1 +
ω
n
µn p−1
→ 1 при n → а потому, начиная с некоторого значения n, в силу условия µ < 0,
µ
n
+
ω
n n
p
=
µ
n
1 +
ω
n
µn p−1
< и u
n u
n+1
< 1,
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям те, начиная с этого значения n, члены ряда возрастают по абсолютному значению, и общий член ряда u не может стремиться к нулю прите. ряд (17) будет расходящимся. Гипергеометрический ряд.
Применим предыдущие общие соображения к так называемому гипергеометрическому ряду, или ряду
Гаусса:
F (α, β, γ; x) = 1 +
αβ
1!γ
x +
α(α + 1)β(β + 1)
2!γ(γ + 1)
x
2
+ . . . +
+
α(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1)
n!γ(γ + 1) . . . (γ + n − 1)
x n
+ . . Некоторые функции, встречающиеся в приложениях, приводятся к таким рядам. Непосредственной подстановкой чисел α, β и γ легко проверить, например, следующие равенства (1, β, β; x) = 1 + x + x
2
+ . . . + x n
+ . . . =
1 1 − x
,
F (−m, β, β; x) = (1 + x)
m
,
F (α, β, β; −x) − 1
α
α=0
= log(1 + Для исследования сходимости ряда (19) составим отношение последующего члена к предыдущему u
n+1
u n
=
(α + n)(β + n)
(n + 1)(γ + n)
x → x прите. последствию из [121] ряд (19) сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1. Остаются только случаи 1) x = 1 и 2) x = −1. Заметим еще, что при всех достаточно больших n множители (α + n), (β + n) и + n) будут положительными, так что при x = 1 все члены ряда при достаточно большом n имеют один и тот же знака при x = −1 получится при больших n знакопеременный ряд.
В первом случае имеем, разлагая по формуле прогрессии (считая n достаточно большими перемножая полученные абсолютно сходящиеся ряды почленно [138]:
u n
u n+1
=
(n + 1)(γ + n)
(α + n)(β + n)
=
1 +
1
n
1 +
γ
n
1 +
α
n
1 +
β
n
=
Применим предыдущие общие соображения к так называемому гипергеометрическому ряду, или ряду
Гаусса:
F (α, β, γ; x) = 1 +
αβ
1!γ
x +
α(α + 1)β(β + 1)
2!γ(γ + 1)
x
2
+ . . . +
+
α(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1)
n!γ(γ + 1) . . . (γ + n − 1)
x n
+ . . Некоторые функции, встречающиеся в приложениях, приводятся к таким рядам. Непосредственной подстановкой чисел α, β и γ легко проверить, например, следующие равенства (1, β, β; x) = 1 + x + x
2
+ . . . + x n
+ . . . =
1 1 − x
,
F (−m, β, β; x) = (1 + x)
m
,
F (α, β, β; −x) − 1
α
α=0
= log(1 + Для исследования сходимости ряда (19) составим отношение последующего члена к предыдущему u
n+1
u n
=
(α + n)(β + n)
(n + 1)(γ + n)
x → x прите. последствию из [121] ряд (19) сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1. Остаются только случаи 1) x = 1 и 2) x = −1. Заметим еще, что при всех достаточно больших n множители (α + n), (β + n) и + n) будут положительными, так что при x = 1 все члены ряда при достаточно большом n имеют один и тот же знака при x = −1 получится при больших n знакопеременный ряд.
В первом случае имеем, разлагая по формуле прогрессии (считая n достаточно большими перемножая полученные абсолютно сходящиеся ряды почленно [138]:
u n
u n+1
=
(n + 1)(γ + n)
(α + n)(β + n)
=
1 +
1
n
1 +
γ
n
1 +
α
n
1 +
β
n
=
141]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов +
1
n
1 +
γ
n
1 −
α
n
+
α
2
n
2
−
α
3
n
3
+ . . .
1 −
β
n
+
β
2
n
2
−
β
3
n
3
+ . . .
=
= 1 +
γ − α − β + 1
n
+
ω
n где величина ω
n остается ограниченной. Далее, в рассматриваемом случае, отбросив достаточно большое число начальных членов в ряде (α, β, γ; 1) = 1 +
αβ
1 · γ
+ . . . +
+
α(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1)
n!γ(γ + 1) . . . (γ + n − 1)
+ . . . мы получим ряд с членами одного знака, применяя к которому признак
Гаусса, получаем абсолютную сходимость прите и расходимость прите Во втором случае, примы получаем знакопеременный, начиная с некоторого члена, ряд −
α · β
1 · γ
+
α(α + 1)β(β + 1)
2!γ(γ + 1)
− . . . +
+ (−1)
n
α(α + 1) . . . (α + n − 1)β(β + 1) . . . (β + n − 1)
n!γ(γ + 1) . . . (γ + n − 1)
+ . . Мы имеем здесь, как и раньше u
n u
n+1
= 1 +
γ − α − β + 1
n
+
ω
n а потому, применяя дополнение к признаку Гаусса, получаем сходимость прите и расходимость прите В случае − α − β = −1
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям можно показать, что общий член ряда стремится к пределу, отличному от нуля, те. ряд будет расходящимся [119]. Наконец, в случае < γ − α − β 6 можно доказать, что абсолютные значения членов ряда, убывая, стремятся к нулю прите ряд будет сходящимся, ноне абсолютно. На доказательстве этих двух последних утверждений мы останавливаться не будем.
Применяя это к разложению бинома + x)
m
= 1 +
m
1!
x +
m(m − 1)
2!
x
2
+ . . . +
+
m(m − 1) . . . (m − n + 1)
n!
x n
+ . . . которое получается из (19) (β = γ — произвольно) заменой α на (−m) и x на (−x) и которое, как мы знаем, сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1, получим, что написанный ряд будет:
абсолютно сходиться при m > если x = расходиться при m 6 если x = абсолютно сходиться при m > если x = не абсолютно сходиться при −1 < m 6 0, если x = расходиться при m 6 если x = обращаться в полином при m = целому числу > Мы покажем дальше [149], что если ряд бинома сходится при x = то сумма его равна (1 ± 1)
m
, те, соответственно, 2
m или Заметим, что в предыдущем мы считали α, β и γ отличными от нуля и целого отрицательного числа. Для γ это важно, так как в противном случае члены ряда теряют смысл (знаменатель обращается в нуль, а если α или β есть нуль или целое отрицательное число, то ряд обрывается и превращается в конечную сумму. Двойные ряды.
Рассмотрим прямоугольную таблицу чисел,
ограниченную сверху и слева, но уходящую в бесконечности направо и вниз 2
3
n
Применяя это к разложению бинома + x)
m
= 1 +
m
1!
x +
m(m − 1)
2!
x
2
+ . . . +
+
m(m − 1) . . . (m − n + 1)
n!
x n
+ . . . которое получается из (19) (β = γ — произвольно) заменой α на (−m) и x на (−x) и которое, как мы знаем, сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1, получим, что написанный ряд будет:
абсолютно сходиться при m > если x = расходиться при m 6 если x = абсолютно сходиться при m > если x = не абсолютно сходиться при −1 < m 6 0, если x = расходиться при m 6 если x = обращаться в полином при m = целому числу > Мы покажем дальше [149], что если ряд бинома сходится при x = то сумма его равна (1 ± 1)
m
, те, соответственно, 2
m или Заметим, что в предыдущем мы считали α, β и γ отличными от нуля и целого отрицательного числа. Для γ это важно, так как в противном случае члены ряда теряют смысл (знаменатель обращается в нуль, а если α или β есть нуль или целое отрицательное число, то ряд обрывается и превращается в конечную сумму. Двойные ряды.
Рассмотрим прямоугольную таблицу чисел,
ограниченную сверху и слева, но уходящую в бесконечности направо и вниз 2
3
n
142]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов 1
u
11
u
12
u
13
u
1n
2
u
21
u
22
u
23
u
2n
3
u
31
u
32
u
33
u
3n m u m1
u m2
u m3
u Она содержит бесчисленное множество строк, номера которых указываются первым значком, и столбцов, номера которых даются вторым значком при букве u. Таким образом u ik означает число, стоящее в пересечении й строки см столбцом таблицы.
1 ... 24 25 26 27 28 29 30 31 ... 43