Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 177
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
n
X
k=1
(M
k
− m стремилась к нулю, если µ(δ) стремится к нулю.
Иначе говоря, это условие, назовем его условием A, состоит в следующем при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что неотрицательна разность) − s(δ) < ε, если µ(δ) < Достаточность. Положим, что условие A теоремы выполнено, те при µ(δ) → 0. При этом из (7) следует, что i = I и что s(δ) и S(δ) стремятся к I при µ(δ) → 0. Отсюда следует, в силу (4), что и сумма σ(δ, ξ
k
) стремится к I при µ(δ) → и любом выборе ξ
k
. Точнее говоря |I − σ(δ, ξ
k
)| < ε при µ(δ) < причем η > 0 определяется заданием ε > 0. Таким образом, доказано, что f (x) интегрируема и число I есть величина интеграла.
Достаточность условия A доказана
116] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
363
Н е обходим ость. Положим, что f (x) интегрируема. Докажем, что выполнено условие A. Обозначим величину интеграла от f (x). Из его определения следует для любого ε > 0 существует такое η > 0, что, ξ
k
) − I
0
| <
ε
4
, если µ(δ) < при любом выборе ξ
k
. В силу леммы 4, при любом фиксированном, возможен такой выбор ξ
k
= ξ
′
k и ξ
k
= ξ
′′
k
, что, ξ
′
k
) − s(δ)| и |σ(δ, ξ
′′
k
) − S(δ)| Мы можем написать) − s(δ) = [S(δ) − σ(δ, ξ
′′
k
)] + [σ(δ, ξ
′′
k
) − I
0
]+
+ [I
0
− σ(δ, ξ
′
k
)] + [σ(δ, ξ
k
) − откуда, в силу (9) и (10), получаем при µ(δ) < η
|S(δ) − s(δ)| 6 |S(δ) − σ(δ, ξ
′′
k
)| + |σ(δ, ξ
′′
k
) − I
0
| + |I
0
− σ(δ, ξ
′
k
)|+
+ |σ(δ, ξ
′
k
) − s(δ)| 6
ε
4
+
ε
4
+
ε
4
+
ε
4
= те при µ(δ) < η, а это и есть условие A. Необходимость условия доказана.
З а меча ни е 1. Из доказательства достаточности следует, что i = I при выполнении условия A, и при этом величина интеграла равна I. Поэтому из необходимости условия A следует, что равенство является необходимым условием интегрируемости.
З а меча ни е 2. Можно показать, что для любой ограниченной функции f (x) будет s(δ) → i и S(δ) → I при µ(δ) → 0. Отсюда следует, что если i = I, то (S(δ) − s(δ)) → 0 при µ(δ) → 0, и потому равенство i = I не только необходимо, но и достаточно для интегрируемости f (x).
I. Если f (x) непрерывна на замкнутом промежутке (a, b), то она равномерно непрерывна на нем. Кроме того, на каждом из промежутков) она достигает своего наименьшего значения m и
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . имеет сумму s, то ряд au
1
+ au
2
+ . . . + au n
+ . . . получаемый из предыдущего умножением всех членов на одно и тоже число a, имеет сумму as, ибо сумма σ
n первых n членов ряда) есть au
1
+ au
2
+ . . . + au n
= as n
,
119]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
375
а потому lim n→∞
σ
n
= lim n→∞
as n
= a lim n→∞
s n
= as.
II. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать,
т. е. если u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . . = s,
v
1
+ v
2
+ . . . + v n
+ . . . = то ряд v
1
) + (u
2
± v
2
) + . . . + (u n
± v n
) + . . также сходится и сумма его равна s±σ, ибо сумма первых членов ряда v
1
) + (u
2
± v
2
) + . . . + (u n
± v n
) = s n
± Другие свойства суммы, например независимость суммы от порядка слагаемых, правило перемножения двух сумм и т. п, в применении к бесконечным рядам будут рассмотрены ниже в § 14. Заметим пока, что они справедливы не для всякого ряда. Сочетательный закон справедлив, очевидно, для любого сходящегося ряда, т. е.
можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые. Это сводится к тому, что вместо всех s n
(n = 1, 2, 3, . . . ) мы берем последовательность s n
k
, что не меняет предела s [27].
III. Свойство сходимости или расходимости ряда не нарушится, если в ряде отбросить или приписать к нему любое конечное число членов с начала.
Действительно, рассмотрим два ряда u
1
+ u
2
+ u
3
+ u
4
+ . . . ,
u
3
+ u
4
+ u
5
+ u
6
+ . . Второй получается из первого отбрасыванием первых двух слагаемых. Если обозначить через s сумму первых n членов первого ряда, а через σ
n
— тоже для второго ряда, то, очевидно s n
− (u
1
+ u
2
),
s n
= σ
n−2
+ (u
1
+ причем если n → ∞, то и значок (n − 2) → ∞. Отсюда видно,
что если s имеет предел, то и имеет предел, и наоборот. Эти
120]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
377
сумма первых n членов которого, равная h
1+
1 2
(n−1)
i
, стремится, очевидно, к (Взяв достаточно больше число членов ряда (9), мы можем получить какое угодно число n групп, и сумма этих членов будет еще больше, чем h
1 +
1 2
(n − 1)
i
, и отсюда видно, что для ряда (9) s n
→ +∞.
120. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Особенное значение имеют ряды с положительными (неотрицательными) членами, для которых все числа u
1
,
u
2
,
u
3
,
. . . ,
u Для них мы установим ряд признаков сходимости и расходимости. Ряд с положительными членами может быть только либо сходящимся, либо же собственно расходящимся для такого ряда s
n
→ s или s n
→ +Для того чтобы ряд с положительными членами был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сумма s его первых членов при всяком n оставалась меньше некоторой постоянной A, независящей от Действительно, для такого ряда сумма s не убывает привоз- растании n, так как при этом добавляются новые положительные (неотрицательные) слагаемые, и все наши утверждения вытекают из разобранных раньше свойств возрастающих переменных
[30].
Для суждения о сходимости или расходимости рядов с положительными членами часто полезно бывает сравнить их с другими,
более простыми рядами, чаще всего с геометрической прогрессией.
Для этого мы установим признак. Если каждый член ряда с положительными членами u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . . Мы получаем, что последовательность частичных сумм гармонического ряда ограничена снизу числовой последовательностью, члены которой неограниченно возрастают с ростом n.
2n остается ограниченной при всех значениях n. Отсюда следует,
что, при беспредельном возрастании n, s
2n стремится к конечному пределу [30], который мы обозначим через s:
lim n→∞
s
2n
= Далее, мы имеем s
2n+1
= s
2n
+ u
2n+1
→ s при n → так как по условию u
2n+1
→ Мы видим, таким образом, что как сумма четного, таки сумма нечетного числа членов ряда (34) стремится к одному и тому же пределу s, те. ряд (34) сходящийся и имеет сумму Остается еще оценить остаток r ряда. Мы имеем r
n
= ±u n+1
∓ u n+2
± u n+3
∓ u n+4
± . . . причем одновременно надо брать верхние или нижние знаки. Иначе r
n
= ±(u n+1
− u n+2
+ u n+3
− u n+4
+ . . откуда, рассуждая как и раньше, имеем n
| = (u n+1
− u n+2
) + (u n+3
− u n+4
) + . . . =
124]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов u n+1
− (u n+2
− u n+3
) − (u n+4
− u n+5
) − . . . 6 u что и требовалось доказать.
Из формулы r
n
= ±[(u n+1
− u n+2
) + (u n+3
− u n+4
) + . . в квадратных скобках которой стоят неотрицательные количества,
следует, что знак r совпадает стем знаком, который надо брать перед квадратной скобкой, те. совпадает со знаком ±u n+1
. Итак,
при указанных в теореме условиях знак остатка знакопеременного ряда совпадает со знаком первого из отброшенных членов.
П р им ер. Ряд −
1 2
+
1 3
−
1 4
+ . . есть знакопеременный ряд, абсолютные значения членов которого беспредельно убывают при n → ∞, а потому он будет сходящимся. Мы увидим в дальнейшем, что его сумма равна log 2. Однако для действительного вычисления log 2 этот ряд не годится, так как для того чтобы остаток его был меньше 0,0001, нужно взять 10 000 его членов n
| <
1
n + 1 6
0, 0001;
n > 10 Итак, ряд этот хотя и сходится, но сходится очень медленно для того чтобы иметь с такими рядами дело на практике, нужно предварительно преобразовать их из медленно сходящихся в быстро сходящиеся, или, как говорят, улучшить сходимость. Абсолютно сходящиеся ряды. Из прочих рядов с какими угодно членами мы остановимся лишь нарядах абсолютно сходящихся.
Ряд u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда, те. ряд + |u
2
| + |u
3
| + . . . + |u n
| + . . .
(36)
Применим предыдущие соображения к разложению и приближенному вычислению простейших функций. Разложение e x
. Прежде всего мы имеем f (x) = e x
,
f
′
(x) = e x
,
. . . ,
f
(k)
(x) = e x
,
. . . а потому f (0) = f
′
(0) = . . . = f
(k)
(0) = 1,
130]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
403
то ошибка будет + 1)!
+
1
(n + 2)!
+ . . . =
1
(n + 1)!
h
1 +
1
n + 2
+
1
(n + 2)(n + 3)
+ . . .
i
<
<
1
(n + 1)!
h
1 +
1
n + 1
+
1
(n + 1)
2
+ . . .
i
=
1
(n + 1)!
·
1 1 причем знак (<) поставлен потому, что в знаменателе дробей множители + 2), (n + 3), (n + 4), . . . заменены меньшим числом (n + 1), отчего все дроби увеличились.
Можно поэтому указать следующие пределы, между которыми заключается число e:
2 +
1 2!
+ . . . +
1
n!
< e < 2 +
1 2!
+ . . . +Если желаем получить для e приближенное значение, отличающееся от истинного не более, чем на 0,000 001, положим n = 10; тогда e ≈ 2 +
1 2!
+
1 3!
+ . . . +
1 и ошибка не превзойдет 10!10
< 3 · 10
−8
. В этой формуле первые два слагаемых вычисляются точно остальные восемь слагаемых нужно вычислить с семью знаками, так как при этом ошибка каждого слагаемого не больше 0,5 единицы седьмого знака, те, а вся ошибка не больше 0, 5 · 8 = 4 · те. четырех единиц седьмого знака, а потому общая ошибка по абсолютному значению не будет превышать 4, 3 · 10
−7
. Мы имеем
Значение e с 12 знаками есть 2,718 281 828 459.
130. Разложение sin x и cos x. Мы имеем [53]:
f (x) = sin x,
f
′
(x) = sin
x +
π
2
,
. . . ,
f
(n)
(x) = sin
x + откуда f (0) = 0,
f
′
(0) = 1,
f
′′
(0) = 0,
f
′′′
(0) = −1,
. . . ,
f
(2m)
(0) = 0,
f
(2m+1)
(0) = (−1)
m
,
X
k=1
(M
k
− m стремилась к нулю, если µ(δ) стремится к нулю.
Иначе говоря, это условие, назовем его условием A, состоит в следующем при любом заданном положительном числе ε существует такое положительное число η, что неотрицательна разность) − s(δ) < ε, если µ(δ) < Достаточность. Положим, что условие A теоремы выполнено, те при µ(δ) → 0. При этом из (7) следует, что i = I и что s(δ) и S(δ) стремятся к I при µ(δ) → 0. Отсюда следует, в силу (4), что и сумма σ(δ, ξ
k
) стремится к I при µ(δ) → и любом выборе ξ
k
. Точнее говоря |I − σ(δ, ξ
k
)| < ε при µ(δ) < причем η > 0 определяется заданием ε > 0. Таким образом, доказано, что f (x) интегрируема и число I есть величина интеграла.
Достаточность условия A доказана
116] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
363
Н е обходим ость. Положим, что f (x) интегрируема. Докажем, что выполнено условие A. Обозначим величину интеграла от f (x). Из его определения следует для любого ε > 0 существует такое η > 0, что, ξ
k
) − I
0
| <
ε
4
, если µ(δ) < при любом выборе ξ
k
. В силу леммы 4, при любом фиксированном, возможен такой выбор ξ
k
= ξ
′
k и ξ
k
= ξ
′′
k
, что, ξ
′
k
) − s(δ)| и |σ(δ, ξ
′′
k
) − S(δ)| Мы можем написать) − s(δ) = [S(δ) − σ(δ, ξ
′′
k
)] + [σ(δ, ξ
′′
k
) − I
0
]+
+ [I
0
− σ(δ, ξ
′
k
)] + [σ(δ, ξ
k
) − откуда, в силу (9) и (10), получаем при µ(δ) < η
|S(δ) − s(δ)| 6 |S(δ) − σ(δ, ξ
′′
k
)| + |σ(δ, ξ
′′
k
) − I
0
| + |I
0
− σ(δ, ξ
′
k
)|+
+ |σ(δ, ξ
′
k
) − s(δ)| 6
ε
4
+
ε
4
+
ε
4
+
ε
4
= те при µ(δ) < η, а это и есть условие A. Необходимость условия доказана.
З а меча ни е 1. Из доказательства достаточности следует, что i = I при выполнении условия A, и при этом величина интеграла равна I. Поэтому из необходимости условия A следует, что равенство является необходимым условием интегрируемости.
З а меча ни е 2. Можно показать, что для любой ограниченной функции f (x) будет s(δ) → i и S(δ) → I при µ(δ) → 0. Отсюда следует, что если i = I, то (S(δ) − s(δ)) → 0 при µ(δ) → 0, и потому равенство i = I не только необходимо, но и достаточно для интегрируемости f (x).
I. Если f (x) непрерывна на замкнутом промежутке (a, b), то она равномерно непрерывна на нем. Кроме того, на каждом из промежутков) она достигает своего наименьшего значения m и
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[116
наибольшего M
k
. В силу равномерной непрерывности f (x) при любом заданном ε > 0 существует такое η > 0, что 0 6 M
k
−m если µ(δ) < η. При этом 6
n
X
k=1
(M
k
− m k
)δ
k
<
n
X
k=1
ε
b − a
δ
k
=
ε
b − a n
X
k=1
δ
k
=
ε
b − a
(b − a) = те, если µ(δ) < η. Таким образом, условие A выполнено, и, следовательно, всякая непрерывная функция интегрируема. Положим теперь, что ограниченная функция f (x) имеет конечное число точек разрыва. Для определенности будем считать,
что f (x) имеет одну точку разрыва x = c, лежащую внутри (a, Отметим прежде всего, что разности M
k
− m на любом частичном промежутке не превосходят колебания M − m функции на всем промежутке (a, b):
M
k
− m k
6
M − m,
k = 1, 2, . . . , Рис. Пусть задано положительное число ε. Выделим точку c из промежутка (a, b) малым фиксированным промежутком (a
1
, рис. 154), таким, что a < a
1
< c < b
1
< b и b
1
− a
1
< ε. На замкнутых промежутках (a, a
1
) и (b
1
, b) функция f (x) непрерывна, а тем самыми равномерно непрерывна. Поэтому для каждого из этих двух промежутков существует такое число η, что |f(x
′′
)−f(x
′
)| < если и принадлежат (a, a
1
) или (b
1
, b) и |x
′′
− x
′
| < η. Числа могут оказаться разными для (a, a
1
) и (b
1
, b), но если мы возьмем наименьшее из этих двух чисел η, то оно будет годиться для обоих промежутков. Пусть δ — любое такое разбиение (a, b), что соответствующее ему µ(δ) меньше чисел η и ε:
µ(δ) < η и µ(δ) < те. меньше наименьшего из двух чисел η и Оценим соответствующую таком δ сумму (8), состоящую из неотрицательных слагаемых. Промежутки (x k−1
, x k
), принадлежащие, разобьем на два класса. К первому отнесем те, которые целиком укладываются вили, а ко второму классу остальные частичные промежутки разбиения δ. Это будут те промежутки
116] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле k−1
, x k
), которые или принадлежат (a
1
, b
1
) или частью налегают на этот промежуток. Сумма длин δ
k промежутков первого класса,
очевидно, меньше (b − a), а эта сумма для промежутков второго класса меньше 3ε. Это вытекает из неравенства b
1
− a
1
< ε, второго из неравенств (12) итого факта, что число частью налегающих на (a
1
, b
1
) промежутков разбиения δ не больше двух. Далее, для промежутков первого класса, в силу непрерывности f (x) на (a, и (b
1
, b), первого из неравенств (12) и определения числа η, имеем m k
< ε. Для промежутков второго класса используем неравенство. Таким образом, имеем для суммы по промежуткам первого класса m k
)δ
k
< ε
X
I
δ
k
< ε(b − и для промежутков второго класса m k
)δ
k
6
(M − m)
X
II
δ
k
< (M − Окончательно n
X
k=1
(M
k
− m k
)δ
k
< ε[(b − a) + 3(M − если µ(δ) удовлетворяет неравенствам (12). Квадратная скобка в правой части (13) есть определенное число, и принимая во внимание возможность произвольного выбора малого положительного числа ε, мы можем утверждать, что выполнено условие A, те. всякая ограниченная функция f (x), имеющая конечное число точек разрыва непрерывности, интегрируема. Рассмотрим тот случай, когда f (x) — монотонная ограниченная наконечном промежутке (a, b) функция. Для определенности будем считать, что f (x) не убывает, те, если c
1
< При этом на каждом промежутке (x k−1
, x k
) мы имеем m k
= f (x и M
k
= f (x k
). Отсюда следует) − s(δ) =
n
X
k=1
(M
k
− m k
)δ
k
=
n
X
k=1
[f (x k
) − f(x k−1
)]δ
k
[116
наибольшего M
k
. В силу равномерной непрерывности f (x) при любом заданном ε > 0 существует такое η > 0, что 0 6 M
k
−m если µ(δ) < η. При этом 6
n
X
k=1
(M
k
− m k
)δ
k
<
n
X
k=1
ε
b − a
δ
k
=
ε
b − a n
X
k=1
δ
k
=
ε
b − a
(b − a) = те, если µ(δ) < η. Таким образом, условие A выполнено, и, следовательно, всякая непрерывная функция интегрируема. Положим теперь, что ограниченная функция f (x) имеет конечное число точек разрыва. Для определенности будем считать,
что f (x) имеет одну точку разрыва x = c, лежащую внутри (a, Отметим прежде всего, что разности M
k
− m на любом частичном промежутке не превосходят колебания M − m функции на всем промежутке (a, b):
M
k
− m k
6
M − m,
k = 1, 2, . . . , Рис. Пусть задано положительное число ε. Выделим точку c из промежутка (a, b) малым фиксированным промежутком (a
1
, рис. 154), таким, что a < a
1
< c < b
1
< b и b
1
− a
1
< ε. На замкнутых промежутках (a, a
1
) и (b
1
, b) функция f (x) непрерывна, а тем самыми равномерно непрерывна. Поэтому для каждого из этих двух промежутков существует такое число η, что |f(x
′′
)−f(x
′
)| < если и принадлежат (a, a
1
) или (b
1
, b) и |x
′′
− x
′
| < η. Числа могут оказаться разными для (a, a
1
) и (b
1
, b), но если мы возьмем наименьшее из этих двух чисел η, то оно будет годиться для обоих промежутков. Пусть δ — любое такое разбиение (a, b), что соответствующее ему µ(δ) меньше чисел η и ε:
µ(δ) < η и µ(δ) < те. меньше наименьшего из двух чисел η и Оценим соответствующую таком δ сумму (8), состоящую из неотрицательных слагаемых. Промежутки (x k−1
, x k
), принадлежащие, разобьем на два класса. К первому отнесем те, которые целиком укладываются вили, а ко второму классу остальные частичные промежутки разбиения δ. Это будут те промежутки
116] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле k−1
, x k
), которые или принадлежат (a
1
, b
1
) или частью налегают на этот промежуток. Сумма длин δ
k промежутков первого класса,
очевидно, меньше (b − a), а эта сумма для промежутков второго класса меньше 3ε. Это вытекает из неравенства b
1
− a
1
< ε, второго из неравенств (12) итого факта, что число частью налегающих на (a
1
, b
1
) промежутков разбиения δ не больше двух. Далее, для промежутков первого класса, в силу непрерывности f (x) на (a, и (b
1
, b), первого из неравенств (12) и определения числа η, имеем m k
< ε. Для промежутков второго класса используем неравенство. Таким образом, имеем для суммы по промежуткам первого класса m k
)δ
k
< ε
X
I
δ
k
< ε(b − и для промежутков второго класса m k
)δ
k
6
(M − m)
X
II
δ
k
< (M − Окончательно n
X
k=1
(M
k
− m k
)δ
k
< ε[(b − a) + 3(M − если µ(δ) удовлетворяет неравенствам (12). Квадратная скобка в правой части (13) есть определенное число, и принимая во внимание возможность произвольного выбора малого положительного числа ε, мы можем утверждать, что выполнено условие A, те. всякая ограниченная функция f (x), имеющая конечное число точек разрыва непрерывности, интегрируема. Рассмотрим тот случай, когда f (x) — монотонная ограниченная наконечном промежутке (a, b) функция. Для определенности будем считать, что f (x) не убывает, те, если c
1
< При этом на каждом промежутке (x k−1
, x k
) мы имеем m k
= f (x и M
k
= f (x k
). Отсюда следует) − s(δ) =
n
X
k=1
(M
k
− m k
)δ
k
=
n
X
k=1
[f (x k
) − f(x k−1
)]δ
k
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[116
Но δ
k
6
µ(δ) и разности f (x k
) − f(x k−1
) неотрицательны, и, следовательно Принимая во внимание, что n
X
k=1
[f (x k
) − f(x k−1
)] = [f (x
1
) − f(a)]+
+ [f (x
2
) − f(x
1
)] + · · · + [f(b) − f(x n−1
)] = f (b) − получаем) − s(δ) 6 [f(b) − откуда следует, что) − s(δ) < ε, если µ(δ) <
ε
f (b) − при f (b) > f (Если f (b) = f (a), то f (x) — постоянная.
Таким образом, всякая монотонная ограниченная функция ин- тегрируема.
Заметим, что монотонная функция может иметь и бесчисленное множество точек разрыва, так что случай (III) не исчерпывается случаем (II). В качестве примера можем привести функцию, равную нулю при 0 6 x <
1 2
, равную при 2
6
x <
2 3
, равную при 3
6
x <
3 4
, и т. д. и, наконец, равную 1 при x = 1. У этой неубывающей функции точками разрыва будут на промежутке (0, 1) значения. Упомянем о том, что монотонная ограниченная функция должна иметь во всякой точке разрыва x = c пределы f (c − 0) и f(c + Это непосредственно следует из существования предела у монотонной и ограниченной последовательности чисел При выводе условий интегрируемости мы всегда предполагали) ограниченной. Можно доказать, что это условие является
117] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
367
необходимым условием интегрируемости, те. существования определенного предела у суммы (2). Если это условие ограниченности не выполнено, то все же в некоторых случаях можно определить интеграл от f (x) по промежутку (a, b), но уже не как предел суммы. В этом случае интеграл называется несобственным. Основы учения о несобственном интеграле выяснены нами в [97]. Более подробно это будет изложено во втором томе.
Если промежуток интегрирования (a, b) бесконечен в одну или в обе стороны, то понятие об определенном интеграле по такому промежутку также не приводится непосредственно к пределу суммы вида (2). В этом случае мы имеем тоже несобственный интеграл
(см. [98] и второй том. Свойства интегрируемых функций. Пользуясь найденным выше необходимыми достаточным условием интегрируе- мости, нетрудно выяснить основные свойства интегрируемых функций. Если f (x) интегрируема в промежутке (a, b), и мы изменим произвольно значения f (x) в конечном числе точек из (a, тоновая функция будет также интегрируема в (a, b) и величина интеграла от этого не изменится.
Ограничимся рассмотрением того случая, когда мы изменили значение f (x) водной точке, например в точке x = a. Новая функция) везде совпадет с f (x), кроме x = a, а ϕ(a) берем произвольно. Пусть m и M — точные нижняя и верхняя границы f (в (a, b). Точная нижняя граница ϕ(x) будет, очевидно, больше или равна m, если ϕ(a) > m, и будет ϕ(a), если ϕ(a) < m. Точно также точная верхняя граница ϕ(x) будет меньше или равна M , если, и будет ϕ(a), если ϕ(a) > M . Сравнивая сумму (для f (x) и ϕ(x), замечаем, что разница может быть только впер- вом слагаемом (при k = 1). Но это первое слагаемое, очевидно, для f (x) и ϕ(x) стремится к нулю, так как δ
1
→ 0 и (M
1
−m
1
) ограничено. Сумма остальных слагаемых, кроме первого, также, очевидно,
стремится к нулю, так как f (x) интегрируема, и вся сумма (8) для f (x) должна стремиться к нулю. Интегрируемость ϕ(x) доказана.
Совпадение значений интеграла для f (x) и ϕ(x) очевидно, ибо при составлении сумм (2) мы всегда можем считать ξ
1
, отличным от
[116
Но δ
k
6
µ(δ) и разности f (x k
) − f(x k−1
) неотрицательны, и, следовательно Принимая во внимание, что n
X
k=1
[f (x k
) − f(x k−1
)] = [f (x
1
) − f(a)]+
+ [f (x
2
) − f(x
1
)] + · · · + [f(b) − f(x n−1
)] = f (b) − получаем) − s(δ) 6 [f(b) − откуда следует, что) − s(δ) < ε, если µ(δ) <
ε
f (b) − при f (b) > f (Если f (b) = f (a), то f (x) — постоянная.
Таким образом, всякая монотонная ограниченная функция ин- тегрируема.
Заметим, что монотонная функция может иметь и бесчисленное множество точек разрыва, так что случай (III) не исчерпывается случаем (II). В качестве примера можем привести функцию, равную нулю при 0 6 x <
1 2
, равную при 2
6
x <
2 3
, равную при 3
6
x <
3 4
, и т. д. и, наконец, равную 1 при x = 1. У этой неубывающей функции точками разрыва будут на промежутке (0, 1) значения. Упомянем о том, что монотонная ограниченная функция должна иметь во всякой точке разрыва x = c пределы f (c − 0) и f(c + Это непосредственно следует из существования предела у монотонной и ограниченной последовательности чисел При выводе условий интегрируемости мы всегда предполагали) ограниченной. Можно доказать, что это условие является
117] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
367
необходимым условием интегрируемости, те. существования определенного предела у суммы (2). Если это условие ограниченности не выполнено, то все же в некоторых случаях можно определить интеграл от f (x) по промежутку (a, b), но уже не как предел суммы. В этом случае интеграл называется несобственным. Основы учения о несобственном интеграле выяснены нами в [97]. Более подробно это будет изложено во втором томе.
Если промежуток интегрирования (a, b) бесконечен в одну или в обе стороны, то понятие об определенном интеграле по такому промежутку также не приводится непосредственно к пределу суммы вида (2). В этом случае мы имеем тоже несобственный интеграл
(см. [98] и второй том. Свойства интегрируемых функций. Пользуясь найденным выше необходимыми достаточным условием интегрируе- мости, нетрудно выяснить основные свойства интегрируемых функций. Если f (x) интегрируема в промежутке (a, b), и мы изменим произвольно значения f (x) в конечном числе точек из (a, тоновая функция будет также интегрируема в (a, b) и величина интеграла от этого не изменится.
Ограничимся рассмотрением того случая, когда мы изменили значение f (x) водной точке, например в точке x = a. Новая функция) везде совпадет с f (x), кроме x = a, а ϕ(a) берем произвольно. Пусть m и M — точные нижняя и верхняя границы f (в (a, b). Точная нижняя граница ϕ(x) будет, очевидно, больше или равна m, если ϕ(a) > m, и будет ϕ(a), если ϕ(a) < m. Точно также точная верхняя граница ϕ(x) будет меньше или равна M , если, и будет ϕ(a), если ϕ(a) > M . Сравнивая сумму (для f (x) и ϕ(x), замечаем, что разница может быть только впер- вом слагаемом (при k = 1). Но это первое слагаемое, очевидно, для f (x) и ϕ(x) стремится к нулю, так как δ
1
→ 0 и (M
1
−m
1
) ограничено. Сумма остальных слагаемых, кроме первого, также, очевидно,
стремится к нулю, так как f (x) интегрируема, и вся сумма (8) для f (x) должна стремиться к нулю. Интегрируемость ϕ(x) доказана.
Совпадение значений интеграла для f (x) и ϕ(x) очевидно, ибо при составлении сумм (2) мы всегда можем считать ξ
1
, отличным от
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения, а значения f (x) и ϕ(x) во всех точках, кроме x = a, совпадают. Если f (x) интегрируема в промежутке (a, b), то она интегрируема в любом промежутке (c, d), составляющем часть (a, Это легко следует из того, что сумма (8), состоящая из неотрицательных слагаемых, для промежутка (c, d) не больше, чем эта сумма для (a, b), при условии, что в этой последней сумме x = c и x = d суть точки деления. В силу интегрируемости f (x) на (a, сумма (8) для (a, b) стремится к нулю при µ(δ) → 0 при любых точках деления. Тем более и сумма для (c, d) стремится к нулю,
если µ(δ) → 0 для частичных промежутков из (c, d), те) интегрируема на (c, d). Заметим, что c может совпадать с a, а d может совпадать с b. Совершенно также, как ив, доказывается равенство. Если f (x) интегрируема в (a, b), то и cf (x), при любом постоянном c, также интегрируема в (a, Считая, например, c > 0, можно утверждать, что для функции cf (x) надо заменить прежние m и M
k на cm и cM
k
. Сумма (приобретает лишь множитель c и будет по-прежнему стремиться к нулю. Свойство V из [94], очевидно, сохраняется и доказывается по-прежнему.
IV. Если f
1
(x) и f
2
(x) — функции, интегрируемые в (a, b), то их сумма) = f
1
(x) + также интегрируема в (a, Пусть m
′
k
, M
′
k
, m
′′
k
, M
′′
k
— точные нижние и верхние границы f
1
(x) ив промежутке (x k−1
, x k
). Таким образом, все значения f
1
(x) в промежутке (x k−1
, x k
) больше или равны m
′
k
, а все значения f
2
(x) там же больше или равны m
′′
k
. Отсюда ϕ(x) > m
′
k
+ m
′′
k в
промежутке (x k−1
, x Точно также доказывается, что ϕ(x) 6 M
′
k
+ M
′′
k в промежутке k−1
, x k
). Обозначая через m и M
k точную нижнюю и точную
117] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
369
верхнюю границы ϕ(x) в промежутке (x k−1
, x k
), имеем, таким образом и M
k
6
M
′
k
+ откуда следует неравенство m k
6
(M
′
k
+ M
′′
k
) − (m
′
k
+ то есть m k
6
(M
′
k
− m
′
k
) + (M
′′
k
− Составляя сумму (8) для ϕ(x), получим 6
n
X
k=1
(M
k
− m k
)δ
k
6
n
X
k=1
(M
′
k
− m
′
k
)δ
k
+
n
X
k=1
(M
′′
k
− Обе суммы, стоящие справа, стремятся к нулю при µ(δ) → так как функции f
1
(x) и f
2
(x) по условию интегрируемы. Следовательно, сумма (8) длят. е. сумма n
X
k=1
(M
k
− m и подавно стремится к нулю, те) также интегрируема. Доказательство распространяется легко на случай алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых. Свойство VI из [94] доказывается, как и раньше.
Аналогично предыдущему доказываются следующие свойства. Произведение f
1
(x)f
2
(x) двух функций, интегрируемых в, b), будет функция, также интегрируемая в (a, b).
VI. Если f (x) интегрируема в (a, b) и точные нижняя и верхняя границы m и M функции f (x) водного итого же знака,
то и (есть функция, интегрируемая в (a, b).
VII. Если f (x) интегрируема в (a, b), то и ее абсолютное значение также есть функция, интегрируемая в (a, Неравенство (10) из [95] может быть доказано, как и выше. Совершенно также остается справедливыми свойство VII из [95], если f (x) и ϕ(x) — интегрируемые функции. Теорема о среднем читается так
117] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
371
мы получим) − F
1
(a) =
n
X
k=1
f (Равенство это справедливо при любом разбиении промежутка, b) на части ввиду специального выбора точек ξ
k
, определяемого формулой конечных приращений (14). Переходя к пределу, получим вместо суммы интеграл) − F
1
(a) =
b
Z
a f (что и требовалось доказать. Заметим, что при определении интеграла значения f (x) на концах промежутка (a, b) не играют роли,
в силу свойства I настоящего номера
118]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
373
сходится и имеет сумму s, и пишут = u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . Если жене стремится к пределу, то говорят, что бесконечный ряд (3) расходится.
∗
Иначе говоря, бесконечный ряд (3) называется сходящимся, если сумма его первых n слагаемых при беспредельном возрастании n по всем целым положительным значениям стремится к пределу, и этот предел называется суммою ряда.
О сумме бесконечного ряда можно говорить только тогда, когда он сходится и тогда сумма первых членов ряда s является приближенные выражением для суммы ряда s. Погрешность r этого приближенного выражения, те. разность r
n
= s − s называется остатком ряда.
Очевидно, что остаток r есть в свою очередь сумма бесконечного ряда, который получается изданного ряда (1), если в нем отбросить первые n членов сначала. Точная величина этого остатка в большинстве случаев остается неизвестной, и потому особенно важной является приближенная оценка этого остатка.
Простейший пример бесконечного ряда представляет геометрическая прогрессия a + aq + aq
2
+ . . . + aq n−1
+ . . .
(a 6= Рассмотрим отдельно случаи < 1,
|q| > 1,
q = 1,
q = Мы знаем [27], что при |q| < 1 геометрическая прогрессия имеет конечную сумму s =
a
1−q
, и потому оказывается сходящимся рядом;
∗
Суммы S
n называются частичными суммами ряда
если µ(δ) → 0 для частичных промежутков из (c, d), те) интегрируема на (c, d). Заметим, что c может совпадать с a, а d может совпадать с b. Совершенно также, как ив, доказывается равенство. Если f (x) интегрируема в (a, b), то и cf (x), при любом постоянном c, также интегрируема в (a, Считая, например, c > 0, можно утверждать, что для функции cf (x) надо заменить прежние m и M
k на cm и cM
k
. Сумма (приобретает лишь множитель c и будет по-прежнему стремиться к нулю. Свойство V из [94], очевидно, сохраняется и доказывается по-прежнему.
IV. Если f
1
(x) и f
2
(x) — функции, интегрируемые в (a, b), то их сумма) = f
1
(x) + также интегрируема в (a, Пусть m
′
k
, M
′
k
, m
′′
k
, M
′′
k
— точные нижние и верхние границы f
1
(x) ив промежутке (x k−1
, x k
). Таким образом, все значения f
1
(x) в промежутке (x k−1
, x k
) больше или равны m
′
k
, а все значения f
2
(x) там же больше или равны m
′′
k
. Отсюда ϕ(x) > m
′
k
+ m
′′
k в
промежутке (x k−1
, x Точно также доказывается, что ϕ(x) 6 M
′
k
+ M
′′
k в промежутке k−1
, x k
). Обозначая через m и M
k точную нижнюю и точную
117] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
369
верхнюю границы ϕ(x) в промежутке (x k−1
, x k
), имеем, таким образом и M
k
6
M
′
k
+ откуда следует неравенство m k
6
(M
′
k
+ M
′′
k
) − (m
′
k
+ то есть m k
6
(M
′
k
− m
′
k
) + (M
′′
k
− Составляя сумму (8) для ϕ(x), получим 6
n
X
k=1
(M
k
− m k
)δ
k
6
n
X
k=1
(M
′
k
− m
′
k
)δ
k
+
n
X
k=1
(M
′′
k
− Обе суммы, стоящие справа, стремятся к нулю при µ(δ) → так как функции f
1
(x) и f
2
(x) по условию интегрируемы. Следовательно, сумма (8) длят. е. сумма n
X
k=1
(M
k
− m и подавно стремится к нулю, те) также интегрируема. Доказательство распространяется легко на случай алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых. Свойство VI из [94] доказывается, как и раньше.
Аналогично предыдущему доказываются следующие свойства. Произведение f
1
(x)f
2
(x) двух функций, интегрируемых в, b), будет функция, также интегрируемая в (a, b).
VI. Если f (x) интегрируема в (a, b) и точные нижняя и верхняя границы m и M функции f (x) водного итого же знака,
то и (есть функция, интегрируемая в (a, b).
VII. Если f (x) интегрируема в (a, b), то и ее абсолютное значение также есть функция, интегрируемая в (a, Неравенство (10) из [95] может быть доказано, как и выше. Совершенно также остается справедливыми свойство VII из [95], если f (x) и ϕ(x) — интегрируемые функции. Теорема о среднем читается так
Гл. III. Понятие об интеграле и его приложения
[117
Если f (x) и ϕ(x) интегрируемы в промежутке (a, b) и сохраняет знак в этом промежутке, то b
Z
a f (x)ϕ(x)dx = где µ — некоторое число, удовлетворяющее неравенству m 6 µ 6
M , аи точные нижняя и верхняя границы f (x) в (a, b). В
частности,
b
Z
a f (x)dx = µ(b − Доказательство будет таким же, что и раньше [95]. Пользуясь этой формулой, нетрудно установить, что (x) =
x
Z
a f (t)dt есть непрерывная функция от x, и F
′
(x) = f (x) при всех значениях, где f (x) непрерывна. Наконец, установим основную формулу интегрального исчисления для интегрируемых функций. Пусть) — непрерывная в промежутке (a, b) функция, и при любом значении x внутри промежутка (a, b) имеется производная F
′
1
(x) =
f (x), где f (x) — интегрируемая в (a, b) функция.
При этом имеет место основная формула b
Z
a f (x)dx = F
1
(b) − Разбивая промежуток на части и применяя к каждой части k−1
, x k
) формулу конечных приращений [63], можем написать k
) − F
1
(x k−1
) = F
′
1
(ξ
k
)δ
k
= f (ξ
k
)δ
k
(x k−1
< ξ
k
< x Далее, суммируя пои принимая во внимание, что (III из [116])
n
X
k=1
[F
1
(x k
) − F
1
(x k−1
)] = F
1
(b) − F
1
(a),
[117
Если f (x) и ϕ(x) интегрируемы в промежутке (a, b) и сохраняет знак в этом промежутке, то b
Z
a f (x)ϕ(x)dx = где µ — некоторое число, удовлетворяющее неравенству m 6 µ 6
M , аи точные нижняя и верхняя границы f (x) в (a, b). В
частности,
b
Z
a f (x)dx = µ(b − Доказательство будет таким же, что и раньше [95]. Пользуясь этой формулой, нетрудно установить, что (x) =
x
Z
a f (t)dt есть непрерывная функция от x, и F
′
(x) = f (x) при всех значениях, где f (x) непрерывна. Наконец, установим основную формулу интегрального исчисления для интегрируемых функций. Пусть) — непрерывная в промежутке (a, b) функция, и при любом значении x внутри промежутка (a, b) имеется производная F
′
1
(x) =
f (x), где f (x) — интегрируемая в (a, b) функция.
При этом имеет место основная формула b
Z
a f (x)dx = F
1
(b) − Разбивая промежуток на части и применяя к каждой части k−1
, x k
) формулу конечных приращений [63], можем написать k
) − F
1
(x k−1
) = F
′
1
(ξ
k
)δ
k
= f (ξ
k
)δ
k
(x k−1
< ξ
k
< x Далее, суммируя пои принимая во внимание, что (III из [116])
n
X
k=1
[F
1
(x k
) − F
1
(x k−1
)] = F
1
(b) − F
1
(a),
117] § 11. Дополнительные сведения об определенном интеграле
371
мы получим) − F
1
(a) =
n
X
k=1
f (Равенство это справедливо при любом разбиении промежутка, b) на части ввиду специального выбора точек ξ
k
, определяемого формулой конечных приращений (14). Переходя к пределу, получим вместо суммы интеграл) − F
1
(a) =
b
Z
a f (что и требовалось доказать. Заметим, что при определении интеграла значения f (x) на концах промежутка (a, b) не играют роли,
в силу свойства I настоящего номера
ГЛАВА РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К
ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 12. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИЗ ТЕОРИИ
БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ. Понятие о бесконечном ряде. Пусть дана бесконечная последовательность чисел u
1
, u
2
, u
3
, . . . , u n
, . . Составив сумму n первых членов последовательности s
n
= u
1
+ u
2
+ . . . + u мы получим, таким образом, другую бесконечную последовательность чисел s
1
,
s
2
,
. . . ,
s Если эта последовательность стремится к пределу конечному говорят, что бесконечный ряд u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . .
(3)
ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 12. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИЗ ТЕОРИИ
БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ. Понятие о бесконечном ряде. Пусть дана бесконечная последовательность чисел u
1
, u
2
, u
3
, . . . , u n
, . . Составив сумму n первых членов последовательности s
n
= u
1
+ u
2
+ . . . + u мы получим, таким образом, другую бесконечную последовательность чисел s
1
,
s
2
,
. . . ,
s Если эта последовательность стремится к пределу конечному говорят, что бесконечный ряд u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . .
(3)
118]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
373
сходится и имеет сумму s, и пишут = u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . Если жене стремится к пределу, то говорят, что бесконечный ряд (3) расходится.
∗
Иначе говоря, бесконечный ряд (3) называется сходящимся, если сумма его первых n слагаемых при беспредельном возрастании n по всем целым положительным значениям стремится к пределу, и этот предел называется суммою ряда.
О сумме бесконечного ряда можно говорить только тогда, когда он сходится и тогда сумма первых членов ряда s является приближенные выражением для суммы ряда s. Погрешность r этого приближенного выражения, те. разность r
n
= s − s называется остатком ряда.
Очевидно, что остаток r есть в свою очередь сумма бесконечного ряда, который получается изданного ряда (1), если в нем отбросить первые n членов сначала. Точная величина этого остатка в большинстве случаев остается неизвестной, и потому особенно важной является приближенная оценка этого остатка.
Простейший пример бесконечного ряда представляет геометрическая прогрессия a + aq + aq
2
+ . . . + aq n−1
+ . . .
(a 6= Рассмотрим отдельно случаи < 1,
|q| > 1,
q = 1,
q = Мы знаем [27], что при |q| < 1 геометрическая прогрессия имеет конечную сумму s =
a
1−q
, и потому оказывается сходящимся рядом;
∗
Суммы S
n называются частичными суммами ряда
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям действительно, при этом s
n
= a + aq + . . . + aq n−1
=
a − aq n
1 − q
,
s − s n
=
a
1 − q
−
a − aq n
1 − q
=
aq n
1 − и s − s n
→ 0 при n → ∞, так как q n
→ 0 при |q| < 1 [26]. При |q| > из выражения s видно, что s n
→ ∞ при n → ∞, так как q n
→ при |q| > 1 [29]. Примы имеем s n
= an, и, очевидно, также s
n
→ ∞, так что при |q| > 1 и q = 1 геометрическая прогрессия оказывается расходящимся рядом. Примы получаем ряд a − a + a − a + . . Сумма s первых n его членов равна нулю, если n четное, и равна, если n нечетное, те не стремится к пределу, и ряд расходится однако при всех значениях n эта сумма в отличие от предыдущего случая остается ограниченной, так как принимает только значения 0 и Если абсолютная величина s n
— суммы n первых членов ряда) — стремится к бесконечности при беспредельном возрастании n, то ряд (3) называется собственно расходящимся. В дальнейшем, говоря о собственно расходящемся ряде, мы для краткости будем говорить просто расходящийся ряд. Основные свойства бесконечных рядов. Сходящиеся бесконечные ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать сними, как с конечными суммами. Если ряд u
n
= a + aq + . . . + aq n−1
=
a − aq n
1 − q
,
s − s n
=
a
1 − q
−
a − aq n
1 − q
=
aq n
1 − и s − s n
→ 0 при n → ∞, так как q n
→ 0 при |q| < 1 [26]. При |q| > из выражения s видно, что s n
→ ∞ при n → ∞, так как q n
→ при |q| > 1 [29]. Примы имеем s n
= an, и, очевидно, также s
n
→ ∞, так что при |q| > 1 и q = 1 геометрическая прогрессия оказывается расходящимся рядом. Примы получаем ряд a − a + a − a + . . Сумма s первых n его членов равна нулю, если n четное, и равна, если n нечетное, те не стремится к пределу, и ряд расходится однако при всех значениях n эта сумма в отличие от предыдущего случая остается ограниченной, так как принимает только значения 0 и Если абсолютная величина s n
— суммы n первых членов ряда) — стремится к бесконечности при беспредельном возрастании n, то ряд (3) называется собственно расходящимся. В дальнейшем, говоря о собственно расходящемся ряде, мы для краткости будем говорить просто расходящийся ряд. Основные свойства бесконечных рядов. Сходящиеся бесконечные ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать сними, как с конечными суммами. Если ряд u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . имеет сумму s, то ряд au
1
+ au
2
+ . . . + au n
+ . . . получаемый из предыдущего умножением всех членов на одно и тоже число a, имеет сумму as, ибо сумма σ
n первых n членов ряда) есть au
1
+ au
2
+ . . . + au n
= as n
,
119]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
375
а потому lim n→∞
σ
n
= lim n→∞
as n
= a lim n→∞
s n
= as.
II. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать,
т. е. если u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ . . . = s,
v
1
+ v
2
+ . . . + v n
+ . . . = то ряд v
1
) + (u
2
± v
2
) + . . . + (u n
± v n
) + . . также сходится и сумма его равна s±σ, ибо сумма первых членов ряда v
1
) + (u
2
± v
2
) + . . . + (u n
± v n
) = s n
± Другие свойства суммы, например независимость суммы от порядка слагаемых, правило перемножения двух сумм и т. п, в применении к бесконечным рядам будут рассмотрены ниже в § 14. Заметим пока, что они справедливы не для всякого ряда. Сочетательный закон справедлив, очевидно, для любого сходящегося ряда, т. е.
можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые. Это сводится к тому, что вместо всех s n
(n = 1, 2, 3, . . . ) мы берем последовательность s n
k
, что не меняет предела s [27].
III. Свойство сходимости или расходимости ряда не нарушится, если в ряде отбросить или приписать к нему любое конечное число членов с начала.
Действительно, рассмотрим два ряда u
1
+ u
2
+ u
3
+ u
4
+ . . . ,
u
3
+ u
4
+ u
5
+ u
6
+ . . Второй получается из первого отбрасыванием первых двух слагаемых. Если обозначить через s сумму первых n членов первого ряда, а через σ
n
— тоже для второго ряда, то, очевидно s n
− (u
1
+ u
2
),
s n
= σ
n−2
+ (u
1
+ причем если n → ∞, то и значок (n − 2) → ∞. Отсюда видно,
что если s имеет предел, то и имеет предел, и наоборот. Эти
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям пределы s и σ, те. суммы взятых двух рядов, будут, конечно, различны, а именно = s − (u
1
+ u
2
).
IV. Общий член u сходящегося ряда стремится к нулю при беспредельном возрастании n:
lim u n
= ибо очевидно, что u
n
= s n
− s и если ряд сходится и имеет сумму s, то lim s n−1
= lim s n
= откуда lim u n
= lim s n
− lim s n−1
= s − s = Таким образом, условие (8) необходимо для сходимости ряда, но оно недостаточно общий член ряда может стремиться к нулю, и ряд все же может быть расходящимся.
П р им ер. Гармонический ряд +
1 2
+
1 3
+
1 4
+ . . . +
1
n
+ . . . =
∞
X
n=1 Здесь мы имеем u
n
=
1
n
→ 0 при → Нетрудно, однако, показать, что сумма n первых членов ряда (9) беспредельно возрастает. Для этого сгруппируем слагаемые, начиная со второго, в группы из 1, 2, 4, 8, . . . членов +
1 2
+
1 3
+
1 4
+
1 5
+ . . . +
1 8
+
1 9
+ . . . +
1 16
+ . . . так что в й группе будет членов. Если в каждой группе заменим все члены последним, наименьшим членом группы, то получится ряд +
1 2
+
1 4
· 2 +
1 8
· 4 +
1 16
· 8 + . . . = 1 +
1 2
+
1 2
+ . . . ,
(10)
1
+ u
2
).
IV. Общий член u сходящегося ряда стремится к нулю при беспредельном возрастании n:
lim u n
= ибо очевидно, что u
n
= s n
− s и если ряд сходится и имеет сумму s, то lim s n−1
= lim s n
= откуда lim u n
= lim s n
− lim s n−1
= s − s = Таким образом, условие (8) необходимо для сходимости ряда, но оно недостаточно общий член ряда может стремиться к нулю, и ряд все же может быть расходящимся.
П р им ер. Гармонический ряд +
1 2
+
1 3
+
1 4
+ . . . +
1
n
+ . . . =
∞
X
n=1 Здесь мы имеем u
n
=
1
n
→ 0 при → Нетрудно, однако, показать, что сумма n первых членов ряда (9) беспредельно возрастает. Для этого сгруппируем слагаемые, начиная со второго, в группы из 1, 2, 4, 8, . . . членов +
1 2
+
1 3
+
1 4
+
1 5
+ . . . +
1 8
+
1 9
+ . . . +
1 16
+ . . . так что в й группе будет членов. Если в каждой группе заменим все члены последним, наименьшим членом группы, то получится ряд +
1 2
+
1 4
· 2 +
1 8
· 4 +
1 16
· 8 + . . . = 1 +
1 2
+
1 2
+ . . . ,
(10)
120]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
377
сумма первых n членов которого, равная h
1+
1 2
(n−1)
i
, стремится, очевидно, к (Взяв достаточно больше число членов ряда (9), мы можем получить какое угодно число n групп, и сумма этих членов будет еще больше, чем h
1 +
1 2
(n − 1)
i
, и отсюда видно, что для ряда (9) s n
→ +∞.
120. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Особенное значение имеют ряды с положительными (неотрицательными) членами, для которых все числа u
1
,
u
2
,
u
3
,
. . . ,
u Для них мы установим ряд признаков сходимости и расходимости. Ряд с положительными членами может быть только либо сходящимся, либо же собственно расходящимся для такого ряда s
n
→ s или s n
→ +Для того чтобы ряд с положительными членами был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сумма s его первых членов при всяком n оставалась меньше некоторой постоянной A, независящей от Действительно, для такого ряда сумма s не убывает привоз- растании n, так как при этом добавляются новые положительные (неотрицательные) слагаемые, и все наши утверждения вытекают из разобранных раньше свойств возрастающих переменных
[30].
Для суждения о сходимости или расходимости рядов с положительными членами часто полезно бывает сравнить их с другими,
более простыми рядами, чаще всего с геометрической прогрессией.
Для этого мы установим признак. Если каждый член ряда с положительными членами u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . . Мы получаем, что последовательность частичных сумм гармонического ряда ограничена снизу числовой последовательностью, члены которой неограниченно возрастают с ростом n.
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям начиная с некоторого члена, не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда v
1
+ v
2
+ v
3
+ . . . + v n
+ . . . то и ряд (11) также сходится.
Если же, наоборот, каждый член ряда (11), начиная с некоторого, не меньше соответствующего члена расходящегося ряда) с положительными членами, то и ряд (11) также расхо- дится.
∗
Допустим сперва, что мы имеем u
n
6
v причем ряд (12) сходится. Не ограничивая общности, мы можем считать, что это неравенство выполняется при всех значениях отбросив, в случае надобности, те первые члены, для коих оно не выполняется (свойство III [119]). Обозначив через s сумму n первых членов ряда (11), через σ
n
— аналогичную сумму для ряда (мы имеем, в силу (13),
s Но ряд (12) по условию сходится, и, обозначив через σ сумму ряда (12), имеем
σ
n
6
σ,
а потому и откуда, в силу 1, вытекает сходимость ряда (Пусть теперь выполняется неравенство u
n
>
v Мы имеем, очевидно Любое конечное число первых членов ряда не влияет на его сходимость
121]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
379
но ряд (12) теперь расходится, и сумма σ
n первых его n членов может быть сделана больше сколь угодно большого данного наперед числа тем же свойством, в силу (15), обладает и s n
, те. ряд (будет также расходящимся.
З а меча ни е. Из сходимости (или расходимости) ряда (12) вытекает и сходимость (или расходимость) ряда kv
1
+ kv
2
+ kv
3
+ . . . + kv n
+ . . . где k — какое угодно постоянное положительное число.
Действительно, из сходимости ряда Σv вытекает и сходимость ряда Σkv в силу I [119]. Наоборот, если Σv расходится, то и ряд должен быть расходящимся, ибо, если бы он сходился, то,
умножая его члены намыв силу I [119], имели бы и сходимость ряда Σv n
. Из сказанного вытекает:
Ряд (11) сходится, если u
n
6
kv причем ряд Σv n
— сходящийся и k — какое-нибудь положительное число ряд (11) расходится, если u
n
>
kv причем ряд Σv n
— расходящийся.
Сравнивая данный ряд с геометрической прогрессией, мы получим два основных признака сходимости рядов с положительными членами. Признаки Коши и Даламбера. 3. Признак Кош и.
Если общий член ряда с положительными членами (11)
u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . . начиная с некоторого значения n, удовлетворяет неравенству n
√
u n
6
q < где q не зависит от n, то ряд сходится
121]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
381
т. е. члены ряда меньше членов убывающей геометрической прогрессии ив силу 2, ряд (11) сходится. В случае же (21)
u
1 6
u
2 6
u
3 6
. . . 6 u n−1 6
u n
6
. . . те. члены ряда не убывают по мере удаления от начала, следовательно не стремится к нулю при n → ∞, и ряд сходиться не может (свойство IV Следствие. Если при беспредельном возрастании n n
√
u или u
n стремится к конечному пределу r, то ряд u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . сходится при условии r < 1 и расходится при условии r > Пусть сперва r < 1. Выберем число ε настолько малым, чтобы было также и r + ε < При больших значениях n величина n
√
u или u
n будет отличаться от своего предела r не больше, чем нате. мы, начиная с некоторого достаточно большого значения n, будем иметь r − ε 6
n
√
u n
6
r + ε < 1
(23 или r − ε 6
u n
u n−1 6
r + ε < 1.
(23 Применяя признаки Коши или Даламбера при q = r + ε < 1, в силу (23 1
) или (23 2
), сразу заключаем о сходимости данного ряда.
∗
При r = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
∗∗
Такое ε всегда найдется так как r строго меньше 1.
1
+ v
2
+ v
3
+ . . . + v n
+ . . . то и ряд (11) также сходится.
Если же, наоборот, каждый член ряда (11), начиная с некоторого, не меньше соответствующего члена расходящегося ряда) с положительными членами, то и ряд (11) также расхо- дится.
∗
Допустим сперва, что мы имеем u
n
6
v причем ряд (12) сходится. Не ограничивая общности, мы можем считать, что это неравенство выполняется при всех значениях отбросив, в случае надобности, те первые члены, для коих оно не выполняется (свойство III [119]). Обозначив через s сумму n первых членов ряда (11), через σ
n
— аналогичную сумму для ряда (мы имеем, в силу (13),
s Но ряд (12) по условию сходится, и, обозначив через σ сумму ряда (12), имеем
σ
n
6
σ,
а потому и откуда, в силу 1, вытекает сходимость ряда (Пусть теперь выполняется неравенство u
n
>
v Мы имеем, очевидно Любое конечное число первых членов ряда не влияет на его сходимость
121]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
379
но ряд (12) теперь расходится, и сумма σ
n первых его n членов может быть сделана больше сколь угодно большого данного наперед числа тем же свойством, в силу (15), обладает и s n
, те. ряд (будет также расходящимся.
З а меча ни е. Из сходимости (или расходимости) ряда (12) вытекает и сходимость (или расходимость) ряда kv
1
+ kv
2
+ kv
3
+ . . . + kv n
+ . . . где k — какое угодно постоянное положительное число.
Действительно, из сходимости ряда Σv вытекает и сходимость ряда Σkv в силу I [119]. Наоборот, если Σv расходится, то и ряд должен быть расходящимся, ибо, если бы он сходился, то,
умножая его члены намыв силу I [119], имели бы и сходимость ряда Σv n
. Из сказанного вытекает:
Ряд (11) сходится, если u
n
6
kv причем ряд Σv n
— сходящийся и k — какое-нибудь положительное число ряд (11) расходится, если u
n
>
kv причем ряд Σv n
— расходящийся.
Сравнивая данный ряд с геометрической прогрессией, мы получим два основных признака сходимости рядов с положительными членами. Признаки Коши и Даламбера. 3. Признак Кош и.
Если общий член ряда с положительными членами (11)
u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . . начиная с некоторого значения n, удовлетворяет неравенству n
√
u n
6
q < где q не зависит от n, то ряд сходится
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Если же, наоборот, начиная с некоторого значения, имеем n
√
u то ряд (11) расходится.
Не ограничивая общности, можем допустить, что неравенства) или (19) выполняются при всех значениях n (свойство III Если выполнено (18), тот. е. общий член данного ряда не превосходит соответствующего члена бесконечной убывающей геометрической прогрессии, а потому, в силу 2, ряд будет сходящимся. В случае же (19) имеем и ряд (11), общий член которого не стремится к нулю (больше единицы, не может быть сходящимся (свойство IV [119]).
4. Признак Даламбера. Если отношение последующего члена ряда к предыдущему u
n u
n−1
, начиная с некоторого значения удовлетворяет неравенству u
n u
n−1 6
q < где q не зависит от n, то ряд (11) сходится.
Если же, наоборот, начиная с некоторого значения n, имеем u
n то данный ряд расходится.
Допустив, как и раньше, что неравенства (20) или (21) выполняются при всех значениях n в случае (20), мы имеем u
n
6
u n−1
q,
u n−1 6
u n−2
q,
u n−2 6
u n−3
q,
. . . ,
u
2 откуда, перемножая почленно и сокращая общие множители n
6
u
1
q n−1
,
√
u то ряд (11) расходится.
Не ограничивая общности, можем допустить, что неравенства) или (19) выполняются при всех значениях n (свойство III Если выполнено (18), тот. е. общий член данного ряда не превосходит соответствующего члена бесконечной убывающей геометрической прогрессии, а потому, в силу 2, ряд будет сходящимся. В случае же (19) имеем и ряд (11), общий член которого не стремится к нулю (больше единицы, не может быть сходящимся (свойство IV [119]).
4. Признак Даламбера. Если отношение последующего члена ряда к предыдущему u
n u
n−1
, начиная с некоторого значения удовлетворяет неравенству u
n u
n−1 6
q < где q не зависит от n, то ряд (11) сходится.
Если же, наоборот, начиная с некоторого значения n, имеем u
n то данный ряд расходится.
Допустив, как и раньше, что неравенства (20) или (21) выполняются при всех значениях n в случае (20), мы имеем u
n
6
u n−1
q,
u n−1 6
u n−2
q,
u n−2 6
u n−3
q,
. . . ,
u
2 откуда, перемножая почленно и сокращая общие множители n
6
u
1
q n−1
,
121]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
381
т. е. члены ряда меньше членов убывающей геометрической прогрессии ив силу 2, ряд (11) сходится. В случае же (21)
u
1 6
u
2 6
u
3 6
. . . 6 u n−1 6
u n
6
. . . те. члены ряда не убывают по мере удаления от начала, следовательно не стремится к нулю при n → ∞, и ряд сходиться не может (свойство IV Следствие. Если при беспредельном возрастании n n
√
u или u
n стремится к конечному пределу r, то ряд u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . сходится при условии r < 1 и расходится при условии r > Пусть сперва r < 1. Выберем число ε настолько малым, чтобы было также и r + ε < При больших значениях n величина n
√
u или u
n будет отличаться от своего предела r не больше, чем нате. мы, начиная с некоторого достаточно большого значения n, будем иметь r − ε 6
n
√
u n
6
r + ε < 1
(23 или r − ε 6
u n
u n−1 6
r + ε < 1.
(23 Применяя признаки Коши или Даламбера при q = r + ε < 1, в силу (23 1
) или (23 2
), сразу заключаем о сходимости данного ряда.
∗
При r = 1 признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
∗∗
Такое ε всегда найдется так как r строго меньше 1.
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Аналогичным образом доказывается и расходимость его при условии r > 1 или если хоть одно из выражений (22) стремится к Примеры. Ряд +
x
1
+
x
2 1 · 2
+ . . . +
x n
1 · 2 · 3 . . . n
+ . . . =
∞
X
n=0
x Применяя признак Даламбера u
n+1
=
x n
n!
,
u n
=
x n−1
(n − 1)!
,
u n+1
u n
=
x n
→ 0 при n → а потому данный ряд сходится при всех конечных значениях x (положи- тельных).
2.
Ряд
∞
X
n=1
x Здесь мы имеем u
n
=
x n
n
,
u n−1
=
x n−1
n − 1
,
u n
u n−1
=
n − 1
n x → а потому, по признаку Даламбера, данный ряд сходится при 0 6 x < 1 и расходится при x > Ряд n
sin
2
nα
(r > Применяя признак Коши, имеем u
n
= r n
sin
2
nα,
n
√
u n
= r n
p sin
2
nα 6 а потому данный ряд сходится, если r < Признак Даламбера в данном случае не дает никакого результата,
ибо отношение u
n u
n−1
= r h
sin nα
sin(n − не стремится ник какому пределу и даже не остается все время < 1 или
121]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
383
Вообще, можно показать, что признак Коши сильнее признака Даламбера, те. он может применяться во всех случаях, когда применяется признак Даламбера, но сверх того ив некоторых других, когда последний не может применяться. Но зато пользование им сложнее, чем признаком Даламбера, в чем нетрудно убедиться хотя бы на первых двух из разобранных выше примерах.
Заметим, далее, что бывают случаи, когда и признак Коши и признак
Даламбера применяться не могут это случается, например, всякий раз,
когда n
√
u и u
n u
n−1
→ те. когда r = 1. Мы имеем тогда дело с сомнительным случаем, когда вопрос о сходимости или расходимости должен быть разрешен каким- либо иным путем.
Так, например, для гармонического ряда который, как мы видели весть ряд расходящийся, мы имеем u
n u
n−1
=
n − 1
n
→ 1,
n
√
u n
=
n r
1
n
= e
1
n log
1
n
→ 1 и, таким образом, вопрос о сходимости или расходимости гармонического ряда не мог быть решен с помощью признаков Коши или Даламбера.
С другой стороны, дальше мы докажем, что ряд 1
n
2
= 1 +
1 4
+
1 9
+
1 16
+ . . есть ряд сходящийся.
Но для него мы имеем опять u
n u
n−1
=
n − 1
n
2
→ 1,
n
√
u n
=
n r
1
n
2
=
n r
1
n
!
2
→ В предыдущих вычислениях существенно обратить внимание на то, что если положить x =
1
n
, то x → 0 и log
1
n
= x log x → 0 [66]. Отсюда, логарифмируя выражение n
q
1
n
, убеждаемся, что оно стремится к единице
122]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
385
С другой стороны, та же фигура заключает внутри себя все
«входящие» прямоугольники, сумма площадей которых равна u
2
+ u
3
+ u
4
+ . . . + u n+1
= s n+1
− а потому s
n+1
− u
1 6
n+1
Z
1
f (Эти неравенства приводят нас к следующему признаку. Интегральный признак Коши. Ряд (27)
u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . . ,
u n
= f (члены которого положительны и не возрастают при возрастании n, сходится или собственно расходится, смотря потому, имеет ли интеграл =
∞
Z
1
f (конечное значение или равен бесконечности.
Напомним при этом, что f (x) должна убывать при возрастании Пусть сперва интеграл I имеет конечное значение, те. кривая y = f (x) имеет конечную площадь [98]. Из положительности f (вытекает n+1
Z
1
f (x)dx <
∞
Z
1
f (а потому, в силу (31),
s n
< s n+1 6
u
1
+ те. сумма s остается ограниченной при всех значениях n, и на основании признака I [120] ряд (27) будет сходящимся
123]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
387
где p — любое число, большее нуля (при p 6 1 ряд, очевидно, расходящийся. Здесь мы имеем f (n) =
1
n p
,
f (x) =
1
x p
,
I =
∞
Z
1
dx x
p
=
1 1 − p x
1−p
∞
1
, если, если p = Отсюда ясно, что интеграл расходится, если p 6 1, и сходится и равен, если p > 1. Действительно, в последнем случае показатель 1−p < 0,
x
1−p
=
1
x p−1
→ 0 при x → +∞, и, следовательно 1 − p x
1−p
∞
1
= 0 −
1 1 − p
=
1
p − Следовательно, в силу признака Коши, ряд (33) будет сходящимся, если p > 1, и расходящимся, если p 6 1.
123. Знакопеременные ряды. Переходя к рядам с какими угодно членами, мы рассмотрим прежде всего ряды знакопеременные, у которых члены попеременно положительны и отрицательны.
Такие ряды удобнее писать не так, как раньше, а в виде u
1
− u
2
+ u
3
− u
4
. . . ± u n
∓ u n+1
. . . причем числа u
1
,
u
2
,
u
3
,
. . . , u n
,
. . . считаются положительными
10
Относительно знакопеременных рядов можно доказать следующее предложение:
Для того чтобы знакопеременный ряд сходился, достаточно,
чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n. Остаток такого ряда по абсолютному значению не превосходит абсолютного значения первого из отброшенных членов.
Рассмотрим сперва суммы четного числа членов ряда s
2n
= u
1
− u
2
+ u
3
− u
4
+ . . . + u
2n−1
− Здесь мы считаем, что первый член ряда положительный если он отрицательный, то ряд запишется в виде −u
1
+ u
2
− u
3
+ u
4
− . . ..
x
1
+
x
2 1 · 2
+ . . . +
x n
1 · 2 · 3 . . . n
+ . . . =
∞
X
n=0
x Применяя признак Даламбера u
n+1
=
x n
n!
,
u n
=
x n−1
(n − 1)!
,
u n+1
u n
=
x n
→ 0 при n → а потому данный ряд сходится при всех конечных значениях x (положи- тельных).
2.
Ряд
∞
X
n=1
x Здесь мы имеем u
n
=
x n
n
,
u n−1
=
x n−1
n − 1
,
u n
u n−1
=
n − 1
n x → а потому, по признаку Даламбера, данный ряд сходится при 0 6 x < 1 и расходится при x > Ряд n
sin
2
nα
(r > Применяя признак Коши, имеем u
n
= r n
sin
2
nα,
n
√
u n
= r n
p sin
2
nα 6 а потому данный ряд сходится, если r < Признак Даламбера в данном случае не дает никакого результата,
ибо отношение u
n u
n−1
= r h
sin nα
sin(n − не стремится ник какому пределу и даже не остается все время < 1 или
121]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
383
Вообще, можно показать, что признак Коши сильнее признака Даламбера, те. он может применяться во всех случаях, когда применяется признак Даламбера, но сверх того ив некоторых других, когда последний не может применяться. Но зато пользование им сложнее, чем признаком Даламбера, в чем нетрудно убедиться хотя бы на первых двух из разобранных выше примерах.
Заметим, далее, что бывают случаи, когда и признак Коши и признак
Даламбера применяться не могут это случается, например, всякий раз,
когда n
√
u и u
n u
n−1
→ те. когда r = 1. Мы имеем тогда дело с сомнительным случаем, когда вопрос о сходимости или расходимости должен быть разрешен каким- либо иным путем.
Так, например, для гармонического ряда который, как мы видели весть ряд расходящийся, мы имеем u
n u
n−1
=
n − 1
n
→ 1,
n
√
u n
=
n r
1
n
= e
1
n log
1
n
→ 1 и, таким образом, вопрос о сходимости или расходимости гармонического ряда не мог быть решен с помощью признаков Коши или Даламбера.
С другой стороны, дальше мы докажем, что ряд 1
n
2
= 1 +
1 4
+
1 9
+
1 16
+ . . есть ряд сходящийся.
Но для него мы имеем опять u
n u
n−1
=
n − 1
n
2
→ 1,
n
√
u n
=
n r
1
n
2
=
n r
1
n
!
2
→ В предыдущих вычислениях существенно обратить внимание на то, что если положить x =
1
n
, то x → 0 и log
1
n
= x log x → 0 [66]. Отсюда, логарифмируя выражение n
q
1
n
, убеждаемся, что оно стремится к единице
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям те. опять-таки сомнительный случай, если применять признаки Коши или Даламбера. Интегральный признак сходимости Коши. Предположим, что члены данного ряда u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . положительны и не возрастают, те Изобразим члены ряда графически, откладывая по оси абсцисс независимую переменную n, принимающую пока только целые значения, а по оси ординат — соответствующие значения u рис. Всегда можно найти такую непрерывную функцию y = f (x), которая при целых значениях x = n принимает как раз значения u Рис. для этого достаточно провести непрерывную кривую через все построенные точки будем при этом считать,
что и функция y = f (x) не возрастающая.
∗
При таком графическом изображении сумма n первых членов данного ряда s
n
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u представится как сумма площадей выходящих прямоугольников,
которая заключает внутри себя площадь фигуры, ограниченной кривой y = f (x), осью OX и ординатами x = 1, x = n + 1, а потому s
n
>
n+1
Z
1
f (Обычно эта функция может быть получена путем замены n в формуле общего члена ряда на x. Например U
n
=
1
(2n+3)
2
, f
(x) =
1
(2x+3)
2
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . положительны и не возрастают, те Изобразим члены ряда графически, откладывая по оси абсцисс независимую переменную n, принимающую пока только целые значения, а по оси ординат — соответствующие значения u рис. Всегда можно найти такую непрерывную функцию y = f (x), которая при целых значениях x = n принимает как раз значения u Рис. для этого достаточно провести непрерывную кривую через все построенные точки будем при этом считать,
что и функция y = f (x) не возрастающая.
∗
При таком графическом изображении сумма n первых членов данного ряда s
n
= u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u представится как сумма площадей выходящих прямоугольников,
которая заключает внутри себя площадь фигуры, ограниченной кривой y = f (x), осью OX и ординатами x = 1, x = n + 1, а потому s
n
>
n+1
Z
1
f (Обычно эта функция может быть получена путем замены n в формуле общего члена ряда на x. Например U
n
=
1
(2n+3)
2
, f
(x) =
1
(2x+3)
2
122]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
385
С другой стороны, та же фигура заключает внутри себя все
«входящие» прямоугольники, сумма площадей которых равна u
2
+ u
3
+ u
4
+ . . . + u n+1
= s n+1
− а потому s
n+1
− u
1 6
n+1
Z
1
f (Эти неравенства приводят нас к следующему признаку. Интегральный признак Коши. Ряд (27)
u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . . ,
u n
= f (члены которого положительны и не возрастают при возрастании n, сходится или собственно расходится, смотря потому, имеет ли интеграл =
∞
Z
1
f (конечное значение или равен бесконечности.
Напомним при этом, что f (x) должна убывать при возрастании Пусть сперва интеграл I имеет конечное значение, те. кривая y = f (x) имеет конечную площадь [98]. Из положительности f (вытекает n+1
Z
1
f (x)dx <
∞
Z
1
f (а потому, в силу (31),
s n
< s n+1 6
u
1
+ те. сумма s остается ограниченной при всех значениях n, и на основании признака I [120] ряд (27) будет сходящимся
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Пусть теперь I = ∞, те. интеграл n+1
Z
1
f (x)dx при увеличении n может быть сделан больше любого заданного наперед числа N . Тогда в силу (29) и сумма s может быть сделана больше N , те. ряд (27) будет собственно расходящимся.
Аналогичным путем можно показать, что остаток ряда (27) не превосходит интеграла f Замечание. При применении признака Коши в интеграле) нижний предел, равный единице, можно заменить любым числом a, большим единицы, так как интегралы с нижним пределом единица и a одновременно или сходятся или расходятся Примеры. 1. Гармонический ряд Здесь мы имеем f (n) а потому можно положить f (x) тогда =
∞
Z
1
dx x
= log и интеграл расходится, ибо log x → +∞ приданный ряд, как мы уже знаем, расходящийся.
2.
Более общий ряд 1
n p
,
(33)
Z
1
f (x)dx при увеличении n может быть сделан больше любого заданного наперед числа N . Тогда в силу (29) и сумма s может быть сделана больше N , те. ряд (27) будет собственно расходящимся.
Аналогичным путем можно показать, что остаток ряда (27) не превосходит интеграла f Замечание. При применении признака Коши в интеграле) нижний предел, равный единице, можно заменить любым числом a, большим единицы, так как интегралы с нижним пределом единица и a одновременно или сходятся или расходятся Примеры. 1. Гармонический ряд Здесь мы имеем f (n) а потому можно положить f (x) тогда =
∞
Z
1
dx x
= log и интеграл расходится, ибо log x → +∞ приданный ряд, как мы уже знаем, расходящийся.
2.
Более общий ряд 1
n p
,
(33)
123]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
387
где p — любое число, большее нуля (при p 6 1 ряд, очевидно, расходящийся. Здесь мы имеем f (n) =
1
n p
,
f (x) =
1
x p
,
I =
∞
Z
1
dx x
p
=
1 1 − p x
1−p
∞
1
, если, если p = Отсюда ясно, что интеграл расходится, если p 6 1, и сходится и равен, если p > 1. Действительно, в последнем случае показатель 1−p < 0,
x
1−p
=
1
x p−1
→ 0 при x → +∞, и, следовательно 1 − p x
1−p
∞
1
= 0 −
1 1 − p
=
1
p − Следовательно, в силу признака Коши, ряд (33) будет сходящимся, если p > 1, и расходящимся, если p 6 1.
123. Знакопеременные ряды. Переходя к рядам с какими угодно членами, мы рассмотрим прежде всего ряды знакопеременные, у которых члены попеременно положительны и отрицательны.
Такие ряды удобнее писать не так, как раньше, а в виде u
1
− u
2
+ u
3
− u
4
. . . ± u n
∓ u n+1
. . . причем числа u
1
,
u
2
,
u
3
,
. . . , u n
,
. . . считаются положительными
10
Относительно знакопеременных рядов можно доказать следующее предложение:
Для того чтобы знакопеременный ряд сходился, достаточно,
чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n. Остаток такого ряда по абсолютному значению не превосходит абсолютного значения первого из отброшенных членов.
Рассмотрим сперва суммы четного числа членов ряда s
2n
= u
1
− u
2
+ u
3
− u
4
+ . . . + u
2n−1
− Здесь мы считаем, что первый член ряда положительный если он отрицательный, то ряд запишется в виде −u
1
+ u
2
− u
3
+ u
4
− . . ..
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Так как по условию абсолютные значения членов ряда убывают
(лучше сказать, не возрастают) при возрастании n, то, вообще k
>
u и u
2n+1
− а потому s
2n+2
= s
2n
+ (u
2n+1
− u
2n+2
) > те. переменная s
2n
— неубывающая. С другой стороны, мы имеем s
2n
= u
1
− (u
2
− u
3
) − (u
4
− u
5
) − . . . − (u
2n−2
− u
2n−1
) − так как все разности в скобках неотрицательны, те. переменная s
(лучше сказать, не возрастают) при возрастании n, то, вообще k
>
u и u
2n+1
− а потому s
2n+2
= s
2n
+ (u
2n+1
− u
2n+2
) > те. переменная s
2n
— неубывающая. С другой стороны, мы имеем s
2n
= u
1
− (u
2
− u
3
) − (u
4
− u
5
) − . . . − (u
2n−2
− u
2n−1
) − так как все разности в скобках неотрицательны, те. переменная s
1 ... 20 21 22 23 24 25 26 27 ... 43
2n остается ограниченной при всех значениях n. Отсюда следует,
что, при беспредельном возрастании n, s
2n стремится к конечному пределу [30], который мы обозначим через s:
lim n→∞
s
2n
= Далее, мы имеем s
2n+1
= s
2n
+ u
2n+1
→ s при n → так как по условию u
2n+1
→ Мы видим, таким образом, что как сумма четного, таки сумма нечетного числа членов ряда (34) стремится к одному и тому же пределу s, те. ряд (34) сходящийся и имеет сумму Остается еще оценить остаток r ряда. Мы имеем r
n
= ±u n+1
∓ u n+2
± u n+3
∓ u n+4
± . . . причем одновременно надо брать верхние или нижние знаки. Иначе r
n
= ±(u n+1
− u n+2
+ u n+3
− u n+4
+ . . откуда, рассуждая как и раньше, имеем n
| = (u n+1
− u n+2
) + (u n+3
− u n+4
) + . . . =
124]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов u n+1
− (u n+2
− u n+3
) − (u n+4
− u n+5
) − . . . 6 u что и требовалось доказать.
Из формулы r
n
= ±[(u n+1
− u n+2
) + (u n+3
− u n+4
) + . . в квадратных скобках которой стоят неотрицательные количества,
следует, что знак r совпадает стем знаком, который надо брать перед квадратной скобкой, те. совпадает со знаком ±u n+1
. Итак,
при указанных в теореме условиях знак остатка знакопеременного ряда совпадает со знаком первого из отброшенных членов.
П р им ер. Ряд −
1 2
+
1 3
−
1 4
+ . . есть знакопеременный ряд, абсолютные значения членов которого беспредельно убывают при n → ∞, а потому он будет сходящимся. Мы увидим в дальнейшем, что его сумма равна log 2. Однако для действительного вычисления log 2 этот ряд не годится, так как для того чтобы остаток его был меньше 0,0001, нужно взять 10 000 его членов n
| <
1
n + 1 6
0, 0001;
n > 10 Итак, ряд этот хотя и сходится, но сходится очень медленно для того чтобы иметь с такими рядами дело на практике, нужно предварительно преобразовать их из медленно сходящихся в быстро сходящиеся, или, как говорят, улучшить сходимость. Абсолютно сходящиеся ряды. Из прочих рядов с какими угодно членами мы остановимся лишь нарядах абсолютно сходящихся.
Ряд u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда, те. ряд + |u
2
| + |u
3
| + . . . + |u n
| + . . .
(36)
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Такие ряды называются абсолютно сходящимися рядами.
∗
Итак, допустим, что ряд (36) сходится, и положим v
n
=
1 2
(|u n
| + u n
),
w n
=
1 2
(|u n
| − u Оба числа v и w n
, наверно, неотрицательны, так как очевидно v
n
=
(
u n
, если u если u n
6 0,
w если u n
>
0,
|u n
|, если u n
6 С другой стороны, как v n
, таки не превосходят |u n
|, т. е.
общего члена сходящегося ряда (36), а потому, в силу признака сходимости рядов с положительными членами [120], оба ряда n
,
∞
X
n=1
w будут сходящимися.
Так как мы имеем u
n
= v n
− w то будет сходиться и ряд n
=
∞
X
n=1
(v n
− w n
) =
∞
X
n=1
v n
−
∞
X
n=1
w который получается вычитанием ряда из ряда Сходящиеся ряды с положительными членами представляют частный случай абсолютно сходящихся рядов, признаки сходимости которых получаются непосредственно из признаков сходимости рядов с положительными членами.
Признаки сходимости 1–5, выведенные в [120, 121, 122] для рядов с положительными членами, применяются и к рядам с какими угодно членами, если только условиться заменить везде u на n
|. При этом условии останутся в силе и признаки расходимости и 4 и следствие из них Если ряд сходится, но абсолютной сходимости нет, ряд называется сходящимся условно. Из абсолютной сходимости следует условная
124]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
391
В частности, в формулировках признаков Коши и Даламбера нужно заменить n
√
u и u
n на n
p
|u n
| и u
n Так, например, если u
n u
n−1
< q < 1, те, то согласно признаку Даламбера [121], ряд с положительными членами (сходится, а следовательно, ряд (35) сходится абсолютно. Если же u
n u
n−1
> 1, те, то, при возрастании n, члены u не убывают по абсолютному значению, а потому не могут стремиться к нулю, и ряд (35) расходится. Отсюда, как ив следствии следует, что если u
n u
n−1
→ r < 1, то ряд (35) абсолютно сходится;
если же u
n u
n−1
→ r > 1, то ряд (35) расходится.
З а меча ни е. Заметим еще, что если члены некоторого ряда) по абсолютному значению не больше некоторых положительных чисел |u n
| 6 a и ряд a
1
+ a
2
+ . . . + a n
+ . . . из этих чисел сходится, то ряди подавно сходится [120], те. ряд (35) абсолютно сходится.
П р им еры. Ряд (пример [121])
∞
X
n=1
x абсолютно сходится при всех конечных значениях x как положительных,
так и отрицательных, ибо u
n+1
u n
=
|x|
n
→ при всех конечных значениях Ряд n
n абсолютно сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1, так как u
n u
n−1
=
n − 1
n
|x| → |x|.
126]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
393
при всяких m и n > N . Положим для определенности, что m > n и пусть m = n+p, где p — любое целое положительное число. Заметив,
что тогда s
m
− s n
= s n+p
− s n
= (u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ u n+1
+ . . . + u n+p
)−
− (u
1
+ u
2
+ . . . + u n
) = u n+1
+ u n+2
+ . . . + u мы можем высказать следующий общий признак сходимости ряда.
Для сходимости бесконечного ряда u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного положительного существовало такое число N , что при всяком n > и при всяком положительном p выполняется неравенство n+1
+ u n+2
+ . . . + u n+p
| < те. сумма какого угодно числа последовательных членов ряда, начиная с u n+1
, остается по абсолютному значению меньше ε, коль скоро n > N Необходимо заметить, что при всей теоретической важности этого общего признака сходимости ряда, применение его на практике обычно затруднительно 13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Формула Тейлора. Рассмотрим многочлен й степени (x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ . . . + a n
x придадим x приращение h и вычислим соответствующее значение функции f (x + h). Это значение, очевидно, можно разложить по степеням h, раскрывая различные степени (x + h) по формуле бинома Ньютона и располагая окончательный результат по степеням h. Коэффициенты при различных степенях h будут многочленами,
зависящими от x:
126]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
395
Продолжая эту операцию, дифференцируя k рази полагая затем, мы получим f
(k)
(x) = k(k − 1) . . . 2 · 1A
k
(a) + . . . +
+ n(n − 1) . . . (n − k + 1)(x − a)
n−k
A
n
(a),
f
(k)
(a) = Итак, мы имеем) = f (a),
A
1
(a) =
f
′
(a)
1!
,
A
2
(a) =
f
′′
(a)
2!
,
. . . ,
A
k
(a) =
f
(k)
(a)
k!
,
. . . ,
A
n
(a) после чего формула (2) примет вид f (x) = f (a) +
f
′
(a)
1!
(x − a) +
f
′′
(a)
2!
(x − a)
2
+ . . . +
+
f
(k)
(a)
k!
(x − a)
k
+ . . . +
f
(n)
(a)
n!
(x − a)
n
. (Эта формула верна только в том случае, когда f
′
(x) есть многочлен степени не выше n, иона дает разложение такого многочлена по степеням разности (x − Положим теперь, что f (x) — не многочлена какая-либо функция, определенная внутри некоторого промежутка I и имеющая непрерывные производные до порядка (n+1). Пусть значение x = a находится внутри I. В дальнейшем считаем, что x принадлежит Обозначим через R
n
(x) разность между f (x) и правой частью формулы (3), те. положим f (x) = f (a) +
f
′
(a)
1!
(x − a) +
f
′′
(a)
2!
(x − a)
2
+ . . . +
+
f
(n)
(a)
n!
(x − a)
n
+ R
n
(x).
(4)
126]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения −
x
Z
a
R
′′
n
(t)d
(x − t)
2 2!
=
= −R
′′
n
(t)
(x − t)
2 2!
x a
+
x
Z
a
R
′′′
n
(t)
(x − t)
2 2!
dt =
= −
x
Z
a
R
′′′
n
(t)d
(x − t)
3 3!
=
= −R
′′′
n
(t)
(x − t)
3 3!
x a
+
x
Z
a
R
4
n
(t)
(x − t)
3 3!
dt = . . . =
=
x
Z
a
R
(n+1)
n
(t)
(x − t)
n n!
dt =
1
n!
x
Z
a f
(n+1)
(t)(x − t)
n Для уяснения сделанных преобразований заметим следующее.
Переменная интегрирования обозначена буквой t, так что x под знаком интеграла надо считать постоянными дифференциал x равным нулю, и потому, например − t)
3 3!
=
3(x − t)
2 3!
d(x − t) = −
(x − t)
2 2!
dt и, вообще − t)
k k!
=
k(x − t)
k−1
k!
d(x − t) = −
(x − t)
k−1
(k − Точно также выражение − t)
k k!
x a
(k 6 обращается в нуль, так как при подстановке t = x обращается в нуль множитель (x − t)
k
, а при подстановке t = a множитель) = 0 в силу (Мы получаем таким путем следующее важное предложение
∗
Итак, допустим, что ряд (36) сходится, и положим v
n
=
1 2
(|u n
| + u n
),
w n
=
1 2
(|u n
| − u Оба числа v и w n
, наверно, неотрицательны, так как очевидно v
n
=
(
u n
, если u если u n
6 0,
w если u n
>
0,
|u n
|, если u n
6 С другой стороны, как v n
, таки не превосходят |u n
|, т. е.
общего члена сходящегося ряда (36), а потому, в силу признака сходимости рядов с положительными членами [120], оба ряда n
,
∞
X
n=1
w будут сходящимися.
Так как мы имеем u
n
= v n
− w то будет сходиться и ряд n
=
∞
X
n=1
(v n
− w n
) =
∞
X
n=1
v n
−
∞
X
n=1
w который получается вычитанием ряда из ряда Сходящиеся ряды с положительными членами представляют частный случай абсолютно сходящихся рядов, признаки сходимости которых получаются непосредственно из признаков сходимости рядов с положительными членами.
Признаки сходимости 1–5, выведенные в [120, 121, 122] для рядов с положительными членами, применяются и к рядам с какими угодно членами, если только условиться заменить везде u на n
|. При этом условии останутся в силе и признаки расходимости и 4 и следствие из них Если ряд сходится, но абсолютной сходимости нет, ряд называется сходящимся условно. Из абсолютной сходимости следует условная
124]
§ 12. Основные понятия из теории бесконечных рядов
391
В частности, в формулировках признаков Коши и Даламбера нужно заменить n
√
u и u
n на n
p
|u n
| и u
n Так, например, если u
n u
n−1
< q < 1, те, то согласно признаку Даламбера [121], ряд с положительными членами (сходится, а следовательно, ряд (35) сходится абсолютно. Если же u
n u
n−1
> 1, те, то, при возрастании n, члены u не убывают по абсолютному значению, а потому не могут стремиться к нулю, и ряд (35) расходится. Отсюда, как ив следствии следует, что если u
n u
n−1
→ r < 1, то ряд (35) абсолютно сходится;
если же u
n u
n−1
→ r > 1, то ряд (35) расходится.
З а меча ни е. Заметим еще, что если члены некоторого ряда) по абсолютному значению не больше некоторых положительных чисел |u n
| 6 a и ряд a
1
+ a
2
+ . . . + a n
+ . . . из этих чисел сходится, то ряди подавно сходится [120], те. ряд (35) абсолютно сходится.
П р им еры. Ряд (пример [121])
∞
X
n=1
x абсолютно сходится при всех конечных значениях x как положительных,
так и отрицательных, ибо u
n+1
u n
=
|x|
n
→ при всех конечных значениях Ряд n
n абсолютно сходится при |x| < 1 и расходится при |x| > 1, так как u
n u
n−1
=
n − 1
n
|x| → |x|.
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [125 Ряд n
sin абсолютно сходится при |r| < 1, ибо для него n
p
|u n
| =
n p
|r n
|| sin nα| 6
n p
|r|
n
= |r| < Необходимо заметить, что далеко не всякий сходящийся ряд есть вместе стем и абсолютно сходящийся, те. остается сходящимся, если каждый член ряда заменить его абсолютным значением. Так, например,
знакопеременный ряд −
1 2
+
1 3
−
1 4
+ . . . как мы видели, — сходящийся если же заменить каждый член его абсолютным значением, получим расходящийся гармонический ряд +
1 2
+
1 3
+
1 4
+ . . Абсолютно сходящиеся ряды обладают многими замечательными свойствами, которые изложены в § 14. Так, например, только они обладают свойством конечных сумм — независимостью суммы от порядка слагаемых. Общий признак сходимости. В заключение настоящего параграфа упомянем о необходимом и достаточном условии сходимости ряда u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . Сходимость эта по определению равносильна существованию предела у последовательности s
1
,
s
2
,
s
3
,
. . . ,
s n
. . . где s n
— сумма n первых членов ряда. Но для существования этого предела мы имеем следующее необходимое и достаточное условие
Коши для любого заданного положительного ε существует такое N что m
− s n
| < ε
sin абсолютно сходится при |r| < 1, ибо для него n
p
|u n
| =
n p
|r n
|| sin nα| 6
n p
|r|
n
= |r| < Необходимо заметить, что далеко не всякий сходящийся ряд есть вместе стем и абсолютно сходящийся, те. остается сходящимся, если каждый член ряда заменить его абсолютным значением. Так, например,
знакопеременный ряд −
1 2
+
1 3
−
1 4
+ . . . как мы видели, — сходящийся если же заменить каждый член его абсолютным значением, получим расходящийся гармонический ряд +
1 2
+
1 3
+
1 4
+ . . Абсолютно сходящиеся ряды обладают многими замечательными свойствами, которые изложены в § 14. Так, например, только они обладают свойством конечных сумм — независимостью суммы от порядка слагаемых. Общий признак сходимости. В заключение настоящего параграфа упомянем о необходимом и достаточном условии сходимости ряда u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . Сходимость эта по определению равносильна существованию предела у последовательности s
1
,
s
2
,
s
3
,
. . . ,
s n
. . . где s n
— сумма n первых членов ряда. Но для существования этого предела мы имеем следующее необходимое и достаточное условие
Коши для любого заданного положительного ε существует такое N что m
− s n
| < ε
126]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
393
при всяких m и n > N . Положим для определенности, что m > n и пусть m = n+p, где p — любое целое положительное число. Заметив,
что тогда s
m
− s n
= s n+p
− s n
= (u
1
+ u
2
+ . . . + u n
+ u n+1
+ . . . + u n+p
)−
− (u
1
+ u
2
+ . . . + u n
) = u n+1
+ u n+2
+ . . . + u мы можем высказать следующий общий признак сходимости ряда.
Для сходимости бесконечного ряда u
1
+ u
2
+ u
3
+ . . . + u n
+ . . необходимо и достаточно, чтобы для любого заданного положительного существовало такое число N , что при всяком n > и при всяком положительном p выполняется неравенство n+1
+ u n+2
+ . . . + u n+p
| < те. сумма какого угодно числа последовательных членов ряда, начиная с u n+1
, остается по абсолютному значению меньше ε, коль скоро n > N Необходимо заметить, что при всей теоретической важности этого общего признака сходимости ряда, применение его на практике обычно затруднительно 13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. Формула Тейлора. Рассмотрим многочлен й степени (x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ . . . + a n
x придадим x приращение h и вычислим соответствующее значение функции f (x + h). Это значение, очевидно, можно разложить по степеням h, раскрывая различные степени (x + h) по формуле бинома Ньютона и располагая окончательный результат по степеням h. Коэффициенты при различных степенях h будут многочленами,
зависящими от x:
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [126
f (x + h) = A
0
(x) + hA
1
(x) + h
2
A
2
(x) + . . . +
+ h k
A
k
(x) + . . . + h и нужно только определить многочлены. . . Для этого мы изменим обозначения, написав в тождестве (1) a вместо x и вместо x + h просто x. Тогда окажется h = x − и, вместо (1), мы получим f (x) = A
0
(a) + (x − a)A
1
(a) + (x − a)
2
A
2
(a) + . . . +
+ (x − a)
k
A
k
(a) + . . . + (x − a)
n
A
n
(a). (Для определения A
0
(a) положим в этом тождестве x = a, что даст f (a) = Для определения A
1
(a) продифференцируем тождество (2) пои затем положим x = a:
f
′
(x) = 1 · A
1
(a) + 2(x − a)A
2
(a) + . . . + k(x − a)
k−1
A
k
(a)+
+ . . . + n(x − a)
n−1
A
n
(a),
f
′
(a) = 1 · Дифференцируя еще одни раз пои полагая затем x = a, получим − a)
n−2
A
n
(a),
f
′′
(a) = 2 · 1A
2
(a).
f (x + h) = A
0
(x) + hA
1
(x) + h
2
A
2
(x) + . . . +
+ h k
A
k
(x) + . . . + h и нужно только определить многочлены. . . Для этого мы изменим обозначения, написав в тождестве (1) a вместо x и вместо x + h просто x. Тогда окажется h = x − и, вместо (1), мы получим f (x) = A
0
(a) + (x − a)A
1
(a) + (x − a)
2
A
2
(a) + . . . +
+ (x − a)
k
A
k
(a) + . . . + (x − a)
n
A
n
(a). (Для определения A
0
(a) положим в этом тождестве x = a, что даст f (a) = Для определения A
1
(a) продифференцируем тождество (2) пои затем положим x = a:
f
′
(x) = 1 · A
1
(a) + 2(x − a)A
2
(a) + . . . + k(x − a)
k−1
A
k
(a)+
+ . . . + n(x − a)
n−1
A
n
(a),
f
′
(a) = 1 · Дифференцируя еще одни раз пои полагая затем x = a, получим − a)
n−2
A
n
(a),
f
′′
(a) = 2 · 1A
2
(a).
126]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
395
Продолжая эту операцию, дифференцируя k рази полагая затем, мы получим f
(k)
(x) = k(k − 1) . . . 2 · 1A
k
(a) + . . . +
+ n(n − 1) . . . (n − k + 1)(x − a)
n−k
A
n
(a),
f
(k)
(a) = Итак, мы имеем) = f (a),
A
1
(a) =
f
′
(a)
1!
,
A
2
(a) =
f
′′
(a)
2!
,
. . . ,
A
k
(a) =
f
(k)
(a)
k!
,
. . . ,
A
n
(a) после чего формула (2) примет вид f (x) = f (a) +
f
′
(a)
1!
(x − a) +
f
′′
(a)
2!
(x − a)
2
+ . . . +
+
f
(k)
(a)
k!
(x − a)
k
+ . . . +
f
(n)
(a)
n!
(x − a)
n
. (Эта формула верна только в том случае, когда f
′
(x) есть многочлен степени не выше n, иона дает разложение такого многочлена по степеням разности (x − Положим теперь, что f (x) — не многочлена какая-либо функция, определенная внутри некоторого промежутка I и имеющая непрерывные производные до порядка (n+1). Пусть значение x = a находится внутри I. В дальнейшем считаем, что x принадлежит Обозначим через R
n
(x) разность между f (x) и правой частью формулы (3), те. положим f (x) = f (a) +
f
′
(a)
1!
(x − a) +
f
′′
(a)
2!
(x − a)
2
+ . . . +
+
f
(n)
(a)
n!
(x − a)
n
+ R
n
(x).
(4)
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Дифференцируем последовательно это тождество) = f
′
(a) +
f
′′
(a)
1!
(x − a) + . . . +
+
f
(n)
(a)
(n − 1)!
(x − a)
n−1
+ R
′
n
(x),
f
′′
(x) = f
′′
(a) +
f
′′′
(a)
1!
(x − a) + . . . +
+
f
(n)
(a)
(n − 2)
(x − a)
n−2
+ R
′′
n
(x),
f
(n)
(x) = f
(n)
(a) + R
(n)
(x).
(4 Полагая в (4) и последних тождествах x = a, получаем) = 0,
R
′
n
(a) = 0,
. . . ,
R
(n)
n
(a) = Дифференцируя последнее из равенств (4 1
) еще один раз, найдем Из соотношений (5) и (6) мы без труда получим выражение для, ибо по основной формуле интегрального исчисления) − R
n
(a) откуда, принимая во внимание (5) и интегрируя по частям, выводим последовательно) =
x
Z
a
R
′
n
(t)dt = −
x
Z
a
R
n
(t)d(x − 1) =
= −R
′
n
(t)(x − t)
x a
+
x
Z
a
R
′′
n
(t)(x − t)dt =
′
(a) +
f
′′
(a)
1!
(x − a) + . . . +
+
f
(n)
(a)
(n − 1)!
(x − a)
n−1
+ R
′
n
(x),
f
′′
(x) = f
′′
(a) +
f
′′′
(a)
1!
(x − a) + . . . +
+
f
(n)
(a)
(n − 2)
(x − a)
n−2
+ R
′′
n
(x),
f
(n)
(x) = f
(n)
(a) + R
(n)
(x).
(4 Полагая в (4) и последних тождествах x = a, получаем) = 0,
R
′
n
(a) = 0,
. . . ,
R
(n)
n
(a) = Дифференцируя последнее из равенств (4 1
) еще один раз, найдем Из соотношений (5) и (6) мы без труда получим выражение для, ибо по основной формуле интегрального исчисления) − R
n
(a) откуда, принимая во внимание (5) и интегрируя по частям, выводим последовательно) =
x
Z
a
R
′
n
(t)dt = −
x
Z
a
R
n
(t)d(x − 1) =
= −R
′
n
(t)(x − t)
x a
+
x
Z
a
R
′′
n
(t)(x − t)dt =
126]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения −
x
Z
a
R
′′
n
(t)d
(x − t)
2 2!
=
= −R
′′
n
(t)
(x − t)
2 2!
x a
+
x
Z
a
R
′′′
n
(t)
(x − t)
2 2!
dt =
= −
x
Z
a
R
′′′
n
(t)d
(x − t)
3 3!
=
= −R
′′′
n
(t)
(x − t)
3 3!
x a
+
x
Z
a
R
4
n
(t)
(x − t)
3 3!
dt = . . . =
=
x
Z
a
R
(n+1)
n
(t)
(x − t)
n n!
dt =
1
n!
x
Z
a f
(n+1)
(t)(x − t)
n Для уяснения сделанных преобразований заметим следующее.
Переменная интегрирования обозначена буквой t, так что x под знаком интеграла надо считать постоянными дифференциал x равным нулю, и потому, например − t)
3 3!
=
3(x − t)
2 3!
d(x − t) = −
(x − t)
2 2!
dt и, вообще − t)
k k!
=
k(x − t)
k−1
k!
d(x − t) = −
(x − t)
k−1
(k − Точно также выражение − t)
k k!
x a
(k 6 обращается в нуль, так как при подстановке t = x обращается в нуль множитель (x − t)
k
, а при подстановке t = a множитель) = 0 в силу (Мы получаем таким путем следующее важное предложение
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Формула Тейлора. Всякая функция f (x), имеющая внутри некоторого промежутка, содержащего точку x = a внутри себя, непрерывные производные до (n + го порядка включительно, при всех значениях x внутри этого промежутка может быть разложена по степеням разности (x − a) в виде f (x) = f (a) + (x − a)
f
′
(a)
1!
+ (x − a)
2
f
′′
(a)
2!
+ . . . +
+ (x − a)
n f
(n)
(a)
n!
+ где R
n
(x), остаточный член формулы, имеет вид) =
1
n!
x
Z
a f
(n+1)
(t)(x − t)
n Весьма часто в приложениях встречается другая форма остаточного члена, которая непосредственно получается из (8) при применении теоремы о среднем [
95]. Под знаком интеграла в правой части формулы (8) функция (x − t)
n сохраняет знака потому по теореме о среднем мы имеем) =
f
(n+1)
(ξ)
n!
x
Z
a
(x − t)
n dt =
f
(n+1)
(ξ)
n!
−
(x − t)
n+1
n + 1
x Подставляя верхний и нижний пределы, получим − t)
n+1
n + 1
x a
=
(x − a)
n+1
n + так как при t = x написанное выражение обращается в нуль. Подставляя это в предыдущую формулу, будем иметь) = (x − a)
n+1
f
(n+1)
(ξ)
(n + где ξ есть некоторое среднее значение, лежащее между a и x. Эта форма остаточного члена называется остаточным членом в форме Лагранжа, и формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа
127]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
399
будет f (x) = f (a) + (x − a)
f
′
(a)
1!
+ (x − a)
2
f
′′
(a)
2!
+ . . . +
+ (x − a)
n f
(n)
(a)
n!
+ (x − a)
n+1
f
(n+1)
(ξ)
(n + 1)!
(7 1
)
(ξ между a и x).
127. Различные виды формулы Тейлора. Примы получаем из (7 1
) выведенную раньше [63] формулу конечных приращений Лагранжа (x) − f(a) = (x − формула Тейлора является, таким образом, непосредственным обобщением формулы конечных приращений.
Переходя к прежним обозначениями написав x вместо a и x + h вместо x, перепишем формулу Тейлора (7) в виде f (x + h) − f(x) =
hf
′
(x)
1!
+
h
2
f
′′
(x)
2!
+ . . . +
h n
f
(n)
(x)
n!
+ R
n
(x), (так как при новых обозначениях (x − a) надо заменить на h. Значение, лежащее при прежних обозначениях между a и x, будет лежать между x и (x + h), и его можно обозначить через (x + где 0 < θ < 1. В силу (9) остаточный член формулы (10) можно,
таким образом, написать в виде) = h n+1
f
(n+1)
(x + θh)
(n + 1)!
(0 < θ < Левая часть формулы (10) есть приращение ∆y функции y =
f (x), соответствующее приращению или, что тоже, дифференциалу независимой переменной. Вспомнив выражения для дифференциалов высших порядков [55], мы имеем dy = y
′
dx = f
′
(x)h,
d
2
y = y
′′
(dx)
2
= f
′′
(x)h
2
,
. . . ,
129]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
401
т. е. S
n+1
(x) есть сумма первых (n + 1) членов бесконечного ряда f (a) + (x − a)
f
′
(a)
1!
+ . . . + (x − a)
n f
(n)
(a)
n!
+ . . Если при некотором значении x и беспредельном возрастании n lim n→∞
R
n
(x) = тов силу сказанного в [118], указанный выше бесконечный ряд сходится при указанном значении x и его сумма равна f (x). Таким образом, получается разложении функции f (x) в бесконечный степенной ряд Тейлора (x) = f (a) + (x − a)
f
′
(a)
1!
+ . . . + (x − a)
n f
(n)
(a)
n!
+ . . по степеням разности (x − В дальнейшем мы всегда будем иметь дело стем случаем, когда условие (15) имеет место не для отдельного значения x, а для всех x из некоторого промежутка.
Таким же образом формула Маклорена дает нам при соблюдении условия (15) разложение f (x) вряд Маклорена f (x) = f (0) + x f
′
(0)
1!
+ . . . + x n
f
(n)
(0)
n!
+ . . Оценка R
n
(x) имеет важное значение для приближенного вычисления значений функции f (x) при помощи разложения ее в степенной ряд.
f
′
(a)
1!
+ (x − a)
2
f
′′
(a)
2!
+ . . . +
+ (x − a)
n f
(n)
(a)
n!
+ где R
n
(x), остаточный член формулы, имеет вид) =
1
n!
x
Z
a f
(n+1)
(t)(x − t)
n Весьма часто в приложениях встречается другая форма остаточного члена, которая непосредственно получается из (8) при применении теоремы о среднем [
95]. Под знаком интеграла в правой части формулы (8) функция (x − t)
n сохраняет знака потому по теореме о среднем мы имеем) =
f
(n+1)
(ξ)
n!
x
Z
a
(x − t)
n dt =
f
(n+1)
(ξ)
n!
−
(x − t)
n+1
n + 1
x Подставляя верхний и нижний пределы, получим − t)
n+1
n + 1
x a
=
(x − a)
n+1
n + так как при t = x написанное выражение обращается в нуль. Подставляя это в предыдущую формулу, будем иметь) = (x − a)
n+1
f
(n+1)
(ξ)
(n + где ξ есть некоторое среднее значение, лежащее между a и x. Эта форма остаточного члена называется остаточным членом в форме Лагранжа, и формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа
127]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
399
будет f (x) = f (a) + (x − a)
f
′
(a)
1!
+ (x − a)
2
f
′′
(a)
2!
+ . . . +
+ (x − a)
n f
(n)
(a)
n!
+ (x − a)
n+1
f
(n+1)
(ξ)
(n + 1)!
(7 1
)
(ξ между a и x).
127. Различные виды формулы Тейлора. Примы получаем из (7 1
) выведенную раньше [63] формулу конечных приращений Лагранжа (x) − f(a) = (x − формула Тейлора является, таким образом, непосредственным обобщением формулы конечных приращений.
Переходя к прежним обозначениями написав x вместо a и x + h вместо x, перепишем формулу Тейлора (7) в виде f (x + h) − f(x) =
hf
′
(x)
1!
+
h
2
f
′′
(x)
2!
+ . . . +
h n
f
(n)
(x)
n!
+ R
n
(x), (так как при новых обозначениях (x − a) надо заменить на h. Значение, лежащее при прежних обозначениях между a и x, будет лежать между x и (x + h), и его можно обозначить через (x + где 0 < θ < 1. В силу (9) остаточный член формулы (10) можно,
таким образом, написать в виде) = h n+1
f
(n+1)
(x + θh)
(n + 1)!
(0 < θ < Левая часть формулы (10) есть приращение ∆y функции y =
f (x), соответствующее приращению или, что тоже, дифференциалу независимой переменной. Вспомнив выражения для дифференциалов высших порядков [55], мы имеем dy = y
′
dx = f
′
(x)h,
d
2
y = y
′′
(dx)
2
= f
′′
(x)h
2
,
. . . ,
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [128
d n
y = y
(n)
(dx)
n
= f
(n)
(x)h откуда =
dy
1!
+
d
2
y
2!
+ . . . +
d n
y n!
+
d n+1
y
(n + причем символ d
n
+1
y
(n+1)!
x+θh обозначает результат подстановки в выражение вместо x суммы x + В этом виде формула Тейлора особенно интересна тогда, когда приращение h независимой переменной есть величина бесконечно малая. Формула (12) дает тогда возможность выделить из приращения функции ∆y бесконечно малые слагаемые различных порядков относительно В частном случае, когда исходное значение a независимой переменной есть нуль, формула Тейлора (7) принимает вид f (x) = f (0) + x f
′
(0)
1!
+ x
2
f
′′
(0)
2!
+ . . . + x n
f
(n)
(0)
n!
+ где) =
1
n!
x
Z
0
f
(n+1)
(t)(x − t)
n dt =
x n+1
f
(n+1)
(ξ)
(n + и ξ, лежащее между 0 и x, можно обозначить θx, где θ, зависящее от x, удовлетворяет неравенству 0 < θ < 1. Формула (13) называется формулой Маклорена.
128. Ряды Тейлора и Маклорена. Если f(x) имеет при x = a и x близких к a производные всех порядков, то мы можем написать формулу Тейлора при любом значении n. Перепишем формулу Тейлора в виде (x) − S
n+1
(x) = где) = f (a) + (x − a)
f
′
(a)
1!
+ . . . + (x − a)
n f
(n)
(a)
n!
,
d n
y = y
(n)
(dx)
n
= f
(n)
(x)h откуда =
dy
1!
+
d
2
y
2!
+ . . . +
d n
y n!
+
d n+1
y
(n + причем символ d
n
+1
y
(n+1)!
x+θh обозначает результат подстановки в выражение вместо x суммы x + В этом виде формула Тейлора особенно интересна тогда, когда приращение h независимой переменной есть величина бесконечно малая. Формула (12) дает тогда возможность выделить из приращения функции ∆y бесконечно малые слагаемые различных порядков относительно В частном случае, когда исходное значение a независимой переменной есть нуль, формула Тейлора (7) принимает вид f (x) = f (0) + x f
′
(0)
1!
+ x
2
f
′′
(0)
2!
+ . . . + x n
f
(n)
(0)
n!
+ где) =
1
n!
x
Z
0
f
(n+1)
(t)(x − t)
n dt =
x n+1
f
(n+1)
(ξ)
(n + и ξ, лежащее между 0 и x, можно обозначить θx, где θ, зависящее от x, удовлетворяет неравенству 0 < θ < 1. Формула (13) называется формулой Маклорена.
128. Ряды Тейлора и Маклорена. Если f(x) имеет при x = a и x близких к a производные всех порядков, то мы можем написать формулу Тейлора при любом значении n. Перепишем формулу Тейлора в виде (x) − S
n+1
(x) = где) = f (a) + (x − a)
f
′
(a)
1!
+ . . . + (x − a)
n f
(n)
(a)
n!
,
129]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
401
т. е. S
n+1
(x) есть сумма первых (n + 1) членов бесконечного ряда f (a) + (x − a)
f
′
(a)
1!
+ . . . + (x − a)
n f
(n)
(a)
n!
+ . . Если при некотором значении x и беспредельном возрастании n lim n→∞
R
n
(x) = тов силу сказанного в [118], указанный выше бесконечный ряд сходится при указанном значении x и его сумма равна f (x). Таким образом, получается разложении функции f (x) в бесконечный степенной ряд Тейлора (x) = f (a) + (x − a)
f
′
(a)
1!
+ . . . + (x − a)
n f
(n)
(a)
n!
+ . . по степеням разности (x − В дальнейшем мы всегда будем иметь дело стем случаем, когда условие (15) имеет место не для отдельного значения x, а для всех x из некоторого промежутка.
Таким же образом формула Маклорена дает нам при соблюдении условия (15) разложение f (x) вряд Маклорена f (x) = f (0) + x f
′
(0)
1!
+ . . . + x n
f
(n)
(0)
n!
+ . . Оценка R
n
(x) имеет важное значение для приближенного вычисления значений функции f (x) при помощи разложения ее в степенной ряд.
1 ... 21 22 23 24 25 26 27 28 ... 43
Применим предыдущие соображения к разложению и приближенному вычислению простейших функций. Разложение e x
. Прежде всего мы имеем f (x) = e x
,
f
′
(x) = e x
,
. . . ,
f
(k)
(x) = e x
,
. . . а потому f (0) = f
′
(0) = . . . = f
(k)
(0) = 1,
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениями формула Маклорена с остаточным членом (14) дает f (x) = 1 +
x
1!
+
x
2 2!
+ . . . +
x n
n!
+
x n+1
(n + 1)!
e
θx
(0 < θ < Мы видели (пример [121]), что ряд есть абсолютно сходящийся при всех конечных значениях x, а потому при всяком x имеем x
n+1
(n + 1)!
→ 0 при n → так как это выражение есть общий член сходящегося ряда. С другой стороны, множитель e
θx в выражении остаточного члена, наверно, не превосходит e при x > 0 и единицы при x < 0, а потому остаточный член стремится к нулю при всех значениях x, и мы получим разложение e
x
= 1 +
x
1!
+
x
2 2!
+ . . . +
x n
n!
+ . . . которое имеет место при всех значениях В частности, при x = 1 получаем выражение для e, весьма удобное для вычисления e с любой степенью точности e = 1 +
1 1!
+
1 2!
+ . . . +
1
n!
+ . . Пользуясь этой формулой, вычислим число e с шестью десятичными знаками. Если мы приближенно положим e ≈ 2 +
1 2!
+ . . . +См. также пример в [34].
x
1!
+
x
2 2!
+ . . . +
x n
n!
+
x n+1
(n + 1)!
e
θx
(0 < θ < Мы видели (пример [121]), что ряд есть абсолютно сходящийся при всех конечных значениях x, а потому при всяком x имеем x
n+1
(n + 1)!
→ 0 при n → так как это выражение есть общий член сходящегося ряда. С другой стороны, множитель e
θx в выражении остаточного члена, наверно, не превосходит e при x > 0 и единицы при x < 0, а потому остаточный член стремится к нулю при всех значениях x, и мы получим разложение e
x
= 1 +
x
1!
+
x
2 2!
+ . . . +
x n
n!
+ . . . которое имеет место при всех значениях В частности, при x = 1 получаем выражение для e, весьма удобное для вычисления e с любой степенью точности e = 1 +
1 1!
+
1 2!
+ . . . +
1
n!
+ . . Пользуясь этой формулой, вычислим число e с шестью десятичными знаками. Если мы приближенно положим e ≈ 2 +
1 2!
+ . . . +См. также пример в [34].
130]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
403
то ошибка будет + 1)!
+
1
(n + 2)!
+ . . . =
1
(n + 1)!
h
1 +
1
n + 2
+
1
(n + 2)(n + 3)
+ . . .
i
<
<
1
(n + 1)!
h
1 +
1
n + 1
+
1
(n + 1)
2
+ . . .
i
=
1
(n + 1)!
·
1 1 причем знак (<) поставлен потому, что в знаменателе дробей множители + 2), (n + 3), (n + 4), . . . заменены меньшим числом (n + 1), отчего все дроби увеличились.
Можно поэтому указать следующие пределы, между которыми заключается число e:
2 +
1 2!
+ . . . +
1
n!
< e < 2 +
1 2!
+ . . . +Если желаем получить для e приближенное значение, отличающееся от истинного не более, чем на 0,000 001, положим n = 10; тогда e ≈ 2 +
1 2!
+
1 3!
+ . . . +
1 и ошибка не превзойдет 10!10
< 3 · 10
−8
. В этой формуле первые два слагаемых вычисляются точно остальные восемь слагаемых нужно вычислить с семью знаками, так как при этом ошибка каждого слагаемого не больше 0,5 единицы седьмого знака, те, а вся ошибка не больше 0, 5 · 8 = 4 · те. четырех единиц седьмого знака, а потому общая ошибка по абсолютному значению не будет превышать 4, 3 · 10
−7
. Мы имеем
Значение e с 12 знаками есть 2,718 281 828 459.
130. Разложение sin x и cos x. Мы имеем [53]:
f (x) = sin x,
f
′
(x) = sin
x +
π
2
,
. . . ,
f
(n)
(x) = sin
x + откуда f (0) = 0,
f
′
(0) = 1,
f
′′
(0) = 0,
f
′′′
(0) = −1,
. . . ,
f
(2m)
(0) = 0,
f
(2m+1)
(0) = (−1)
m
,
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [130 2 = 2, 000 000 0 (точно 2!
=
1 2
= 0, 500 000 0 „
1 3!
=
1 2!3
= 0, 166 666 7 (по избытку 4!
=
1 3!4
= 0, 041 666 7 „ „
1 5!
=
1 4!5
= 0, 008 333 3 (по недостатку 2, 7182818.
1 6!
=
1 5!6
= 0, 001 388 9 (по избытку 7!
=
1 6!7
= 0, 000 198 4 (по недостатку 8!
=
1 7!8
= 0, 000 024 8 „ „
1 9!
=
1 8!9
= 0, 000 002 8 (по избытку 10!
=
1 9!10
= 0, 000 000 3 „ после чего формула (13) дает sin x =
x
1!
−
x
3 3!
+
x
5 5!
− . . . +
(−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
+
x
2n+3
(2n + 3)!
sin
θx +
(2n + В остаточном члене множитель x
2n+3
(2n+3)!
, как мы видели выше,
стремится к нулю при n → ∞, а абсолютное значение синуса не превышает единицы, и, следовательно, остаточный член стремится к нулю при всех конечных значениях x, те. разложение sin x = x −
x
3 3!
+
x
5 5!
− . . . +
(−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
+ . . имеет место при всех значениях Аналогичным образом мы можем доказать, что разложение cos x = 1 −
x
2 2!
+
x
4 4!
− . . . +
(−1)
n x
2n
(2n)!
+ . . имеет место при всех значениях Ряды (19) и (20) весьма удобны для вычисления значений функций и cos x при малых значениях угла x. При всех значениях x, как положительных, таки отрицательных, они знакопеременные, так что если мы взяли такое число членов, что дальнейшие
131]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
405
идут убывая, то ошибка по абсолютному значению не превосходит первого из отброшенных членов При больших значениях x ряды (19) и (20) также сходятся, но медленно и для вычисления неудобны. На рис. 156 показано взаим-
Рис. 156.
ное расположение точной кривой sin x и первых трех приближений −
x
3 6
,
x −
x
3 6
+
x
5 Чем больше членов взято в приближенной формуле, тем в большем промежутке приближенная кривая близка к точной. Заметим, что во всех написанных формулах угол x выражается в дуговой мере, те. в радианах Пример. Вычислить sin с точностью до 10
−5
. Прежде всего переводим градусную меру в дуговую arc10
◦
=
2π
360
· 10 =
π
18
= 0, 17 . . Остановившись на приближенной формуле sin
π
18
≈
π
18
−
1 6
мы делаем ошибку, не превосходящую 120
· (0, 2)
5
< 4 · 10
−6
π
18
< 0, В правой части предыдущей формулы надлежит вычислять каждое слагаемое с шестью знаками, так как тогда полная ошибка будет не больше · 0, 5 · 10
−6
= 5 · С указанной точностью мы имеем 0, 174 533,
1 6
π
18
3
= 0, 000 886,
sin
π
18
= 0, 173 причем за первые четыре знака можно ручаться
131]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
407
Если R
n
→ 0, то ряд +
m
1!
x +
m(m − 1)
2!
x
2
+ . . . +
m(m − 1) . . . (m − n + 1)
n!
x n
+ . . . (должен быть сходящимся [118]. Мы имеем u
n+1
u n
=
m − n + 1
n x
→ |
x| при n → а потому ряд сходится (абсолютно) при |x| < 1 и расходится при > 1 [124]. Хотя ряди сходится при |x| < 1, однако еще неясно, что при этом его сумма равна (1 + x)
m
, и приходится еще доказывать, что R
n
(x) → 0 при |x| < 1. Множитель − 1)(m − 2) . . . (m − n)
n!
x в выражении (23) для R
n
(x) будет общим членом сходящегося ряда, в котором m заменено на (m − 1), а потому [118] стремится к нулю при n → Множитель не превосходит единицы при всех значениях. В самом деле, в рассматриваемом случае −1 < x < +1, а потому как при положительных, таки при отрицательных значениях будет 0 < 1 < θ < 1 + θx, откуда <
1 − θ
1 + θx
< и 0 <
1 − θ
1 + θx
< Последний множитель также остается ограниченным, так как число (1 + θx) лежит между 1 и 1 + x, и mx(1 + лежит между пределами mx и mx(1 + x)
m−1
, независящими от Из сказанного ясно, что R
n
(x) по формуле (23) представляется в виде произведения трех множителей, из которых один стремится к нулю, а два других остаются ограниченными при беспредельном возрастании n, а потому и) → 0 при n → ∞.
131]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
409
Так как здесь b
a m
< 1, то обозначив отношение b
a через x, мы можем вычислить q
1 +
b a
m по формуле бинома Ньютона, причем ряд будет сходиться тем лучше, чем меньше абсолютное значение рассматриваемого отношения.
Вычислим, например с точностью до 10
−5
. Мы имеем =
5
√
1024 − 24 = 4
1 −
3 128
1
/
5
=
= 4
1 −
1 5
·
3 128
−
1 5
·
4 10
3 128
2
−
1 5
·
4 10
·
9 15
3 128
3
− . . Остановимся на написанных членах и оценим ошибку, подставляя в формулу Множитель, как было указано, заключается между нулем и единицей. Множитель (1 + будет − θ
3 128
−
4
/
5
<
1 −
3 128
−
4
/
5
=
125 128
4
/
5
<
6 5
4
/
5
=
5
r
6 5
4
/
5
<
4 ибо 5
<
6 5
<
4 Окончательно из формулы (23) получим <
4 1 · 2 · 3
·
1 5
·
4 5
·
9 5
·
14 5
4 128
4
<
< 2 · 0, 2 · 0, 8 · 0, 6 · 2, 8 · (0, 03)
4
< 5 · Вычисление оставшихся членов нужно вести с шестью знаками, так как тогда полная ошибка не превзойдет · 3 · 0, 5 · 10
−6
+ 5 · 10
−7
= 6, 5 · 10
−6
< Вычисление можно расположить следующим образом
=
1 2
= 0, 500 000 0 „
1 3!
=
1 2!3
= 0, 166 666 7 (по избытку 4!
=
1 3!4
= 0, 041 666 7 „ „
1 5!
=
1 4!5
= 0, 008 333 3 (по недостатку 2, 7182818.
1 6!
=
1 5!6
= 0, 001 388 9 (по избытку 7!
=
1 6!7
= 0, 000 198 4 (по недостатку 8!
=
1 7!8
= 0, 000 024 8 „ „
1 9!
=
1 8!9
= 0, 000 002 8 (по избытку 10!
=
1 9!10
= 0, 000 000 3 „ после чего формула (13) дает sin x =
x
1!
−
x
3 3!
+
x
5 5!
− . . . +
(−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
+
x
2n+3
(2n + 3)!
sin
θx +
(2n + В остаточном члене множитель x
2n+3
(2n+3)!
, как мы видели выше,
стремится к нулю при n → ∞, а абсолютное значение синуса не превышает единицы, и, следовательно, остаточный член стремится к нулю при всех конечных значениях x, те. разложение sin x = x −
x
3 3!
+
x
5 5!
− . . . +
(−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
+ . . имеет место при всех значениях Аналогичным образом мы можем доказать, что разложение cos x = 1 −
x
2 2!
+
x
4 4!
− . . . +
(−1)
n x
2n
(2n)!
+ . . имеет место при всех значениях Ряды (19) и (20) весьма удобны для вычисления значений функций и cos x при малых значениях угла x. При всех значениях x, как положительных, таки отрицательных, они знакопеременные, так что если мы взяли такое число членов, что дальнейшие
131]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
405
идут убывая, то ошибка по абсолютному значению не превосходит первого из отброшенных членов При больших значениях x ряды (19) и (20) также сходятся, но медленно и для вычисления неудобны. На рис. 156 показано взаим-
Рис. 156.
ное расположение точной кривой sin x и первых трех приближений −
x
3 6
,
x −
x
3 6
+
x
5 Чем больше членов взято в приближенной формуле, тем в большем промежутке приближенная кривая близка к точной. Заметим, что во всех написанных формулах угол x выражается в дуговой мере, те. в радианах Пример. Вычислить sin с точностью до 10
−5
. Прежде всего переводим градусную меру в дуговую arc10
◦
=
2π
360
· 10 =
π
18
= 0, 17 . . Остановившись на приближенной формуле sin
π
18
≈
π
18
−
1 6
мы делаем ошибку, не превосходящую 120
· (0, 2)
5
< 4 · 10
−6
π
18
< 0, В правой части предыдущей формулы надлежит вычислять каждое слагаемое с шестью знаками, так как тогда полная ошибка будет не больше · 0, 5 · 10
−6
= 5 · С указанной точностью мы имеем 0, 174 533,
1 6
π
18
3
= 0, 000 886,
sin
π
18
= 0, 173 причем за первые четыре знака можно ручаться
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [131 131. Бином Ньютона. Здесь мы имеем, считая x > −1, те. . (m − k + 1)(1 + x)
m−k
,
f (0) = 1,
f
′
(0) = m,
. . . ,
f
(k)
(0) = m(m − 1) . . . (m − k + где m — любое вещественное число, так что формула (13) дает нам + x)
m
= 1 +
m
1
x +
m(m − 1)
2!
x
2
+ . . . +
+
m(m − 1) . . . (m − n + 1)
n!
x n
+ где остаточный член может быть определен по формуле (8) при a = 0:
R
n
(x) =
1
n!
x
Z
0
f
(n+1)
(t)(x − t)
n Принимая во внимание, что в данном случае f
(n+1)
(t) = m(m − 1) . . . (m − n)(1 + можем написать) =
m(m − 1) . . . (m − n)
n!
x
Z
0
(x − t)
n
(1 + Применяя к интегралу теорему о среднем (13) из [95] и обозначая через θx, где 0 < θ < 1, значение t, лежащее между 0 и x и входящее в упомянутую теорему о среднем, получим) =
m(m − 1) . . . (m − n)
n!
(x − θx)
n
(1 + θx)
m−n−1
x
Z
0
dt =
=
(m − 1)(m − 2) . . . (m − n)
n!
x n
1 − θ
1 + θx
n
(1 + θx)
m−1
mx.
(23)
m−k
,
f (0) = 1,
f
′
(0) = m,
. . . ,
f
(k)
(0) = m(m − 1) . . . (m − k + где m — любое вещественное число, так что формула (13) дает нам + x)
m
= 1 +
m
1
x +
m(m − 1)
2!
x
2
+ . . . +
+
m(m − 1) . . . (m − n + 1)
n!
x n
+ где остаточный член может быть определен по формуле (8) при a = 0:
R
n
(x) =
1
n!
x
Z
0
f
(n+1)
(t)(x − t)
n Принимая во внимание, что в данном случае f
(n+1)
(t) = m(m − 1) . . . (m − n)(1 + можем написать) =
m(m − 1) . . . (m − n)
n!
x
Z
0
(x − t)
n
(1 + Применяя к интегралу теорему о среднем (13) из [95] и обозначая через θx, где 0 < θ < 1, значение t, лежащее между 0 и x и входящее в упомянутую теорему о среднем, получим) =
m(m − 1) . . . (m − n)
n!
(x − θx)
n
(1 + θx)
m−n−1
x
Z
0
dt =
=
(m − 1)(m − 2) . . . (m − n)
n!
x n
1 − θ
1 + θx
n
(1 + θx)
m−1
mx.
(23)
131]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
407
Если R
n
→ 0, то ряд +
m
1!
x +
m(m − 1)
2!
x
2
+ . . . +
m(m − 1) . . . (m − n + 1)
n!
x n
+ . . . (должен быть сходящимся [118]. Мы имеем u
n+1
u n
=
m − n + 1
n x
→ |
x| при n → а потому ряд сходится (абсолютно) при |x| < 1 и расходится при > 1 [124]. Хотя ряди сходится при |x| < 1, однако еще неясно, что при этом его сумма равна (1 + x)
m
, и приходится еще доказывать, что R
n
(x) → 0 при |x| < 1. Множитель − 1)(m − 2) . . . (m − n)
n!
x в выражении (23) для R
n
(x) будет общим членом сходящегося ряда, в котором m заменено на (m − 1), а потому [118] стремится к нулю при n → Множитель не превосходит единицы при всех значениях. В самом деле, в рассматриваемом случае −1 < x < +1, а потому как при положительных, таки при отрицательных значениях будет 0 < 1 < θ < 1 + θx, откуда <
1 − θ
1 + θx
< и 0 <
1 − θ
1 + θx
< Последний множитель также остается ограниченным, так как число (1 + θx) лежит между 1 и 1 + x, и mx(1 + лежит между пределами mx и mx(1 + x)
m−1
, независящими от Из сказанного ясно, что R
n
(x) по формуле (23) представляется в виде произведения трех множителей, из которых один стремится к нулю, а два других остаются ограниченными при беспредельном возрастании n, а потому и) → 0 при n → ∞.
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Итак, разложение + x)
m
= 1 +
m
1
x +
m(m − 1)
2!
x
2
+ . . . +
+
m(m − 1) . . . (m − n + 1)
n!
x n
+ . . . (имеет место при всех значениях x, удовлетворяющих условию < Когда показатель m есть число целое и положительное, то ряд) заканчивается на члене n = m и превращается в элементарную формулу бинома Ньютона. В общем же случае разложение (дает обобщение бинома Ньютона для какого угодно показателя Полезно отметить некоторые частные случае бинома 1 − x
= 1 + x + x
2
+ x
3
+ . . . + x n
+ . . . ,
(26)
√
1 + x = 1 +
1 2
x −
1 2 · 4
x
2
+
1 · 3 2 · 4 · 6
x
3
−
1 · 3 · 5 2 · 4 · 6 · 8
x
4
+ . . . ,
(27)
1
√
1 + x
= 1 −
1 2
x +
1 · 3 2 · 4
x
2
−
1 · 3 · 5 2 · 4 · 6
x
3
+
1 · 3 · 5 · 7 2 · 4 · 6 · 8
x
4
− . . Заметим, что функция (1 + x)
m при всяких x > −1 имеет положительные значения [19, 44], те. сумма ряда (24) при −1 < x < +положительна. В частности, например, ряд (27) дает в этом промежутке положительное значение + Примеры. Извлечение корней. Формула (25) особенно удобна для извлечения корней с любой степенью точности. Пусть нужно извлечь корень й степени из целого числа A. Всегда можно подобрать целое число a так, чтобы я степень a была, по возможности, ближе к A, так что, положив A = a m
+ b, причем |b| < a m
, мы имели бы m
√
A =
m
√
a m
+ b = a m
r
1 +
b a
m
m
= 1 +
m
1
x +
m(m − 1)
2!
x
2
+ . . . +
+
m(m − 1) . . . (m − n + 1)
n!
x n
+ . . . (имеет место при всех значениях x, удовлетворяющих условию < Когда показатель m есть число целое и положительное, то ряд) заканчивается на члене n = m и превращается в элементарную формулу бинома Ньютона. В общем же случае разложение (дает обобщение бинома Ньютона для какого угодно показателя Полезно отметить некоторые частные случае бинома 1 − x
= 1 + x + x
2
+ x
3
+ . . . + x n
+ . . . ,
(26)
√
1 + x = 1 +
1 2
x −
1 2 · 4
x
2
+
1 · 3 2 · 4 · 6
x
3
−
1 · 3 · 5 2 · 4 · 6 · 8
x
4
+ . . . ,
(27)
1
√
1 + x
= 1 −
1 2
x +
1 · 3 2 · 4
x
2
−
1 · 3 · 5 2 · 4 · 6
x
3
+
1 · 3 · 5 · 7 2 · 4 · 6 · 8
x
4
− . . Заметим, что функция (1 + x)
m при всяких x > −1 имеет положительные значения [19, 44], те. сумма ряда (24) при −1 < x < +положительна. В частности, например, ряд (27) дает в этом промежутке положительное значение + Примеры. Извлечение корней. Формула (25) особенно удобна для извлечения корней с любой степенью точности. Пусть нужно извлечь корень й степени из целого числа A. Всегда можно подобрать целое число a так, чтобы я степень a была, по возможности, ближе к A, так что, положив A = a m
+ b, причем |b| < a m
, мы имели бы m
√
A =
m
√
a m
+ b = a m
r
1 +
b a
m
131]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
409
Так как здесь b
a m
< 1, то обозначив отношение b
a через x, мы можем вычислить q
1 +
b a
m по формуле бинома Ньютона, причем ряд будет сходиться тем лучше, чем меньше абсолютное значение рассматриваемого отношения.
Вычислим, например с точностью до 10
−5
. Мы имеем =
5
√
1024 − 24 = 4
1 −
3 128
1
/
5
=
= 4
1 −
1 5
·
3 128
−
1 5
·
4 10
3 128
2
−
1 5
·
4 10
·
9 15
3 128
3
− . . Остановимся на написанных членах и оценим ошибку, подставляя в формулу Множитель, как было указано, заключается между нулем и единицей. Множитель (1 + будет − θ
3 128
−
4
/
5
<
1 −
3 128
−
4
/
5
=
125 128
4
/
5
<
6 5
4
/
5
=
5
r
6 5
4
/
5
<
4 ибо 5
<
6 5
<
4 Окончательно из формулы (23) получим <
4 1 · 2 · 3
·
1 5
·
4 5
·
9 5
·
14 5
4 128
4
<
< 2 · 0, 2 · 0, 8 · 0, 6 · 2, 8 · (0, 03)
4
< 5 · Вычисление оставшихся членов нужно вести с шестью знаками, так как тогда полная ошибка не превзойдет · 3 · 0, 5 · 10
−6
+ 5 · 10
−7
= 6, 5 · 10
−6
< Вычисление можно расположить следующим образом
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [131 1
5
= 0, 2
×
3 128
= 0, 023 4375 × 0, 2 = 0, 004 687 1
5
·
4 10
= 0, 08
×
3 128 2
= 0, 000 549 × 0, 08 = 0, 000 044 1
5
·
4 10
·
9 15
= 0, 048
×
3 128 3
= 0, 000 013 × 0, 048 = 0, 000 001 0,004 732 1 − 0, 004 732 = 0, 995 268
× 4 3, 981 072 Приближенное вычисление длины эллипса. В [103] было получено следующее выражение для длины l эллипса с полуосями a и b:
l = 4
π
/
2
Z
0
p a
2
sin
2
t + b
2
cos
2
tdt = 4a
π
/
2
Z
0
r sin
2
t +формула (22)]. Вводя в рассмотрение эксцентриситет ε эллипса b
2
a
2
,
b
2
a
2
= 1 − получаем = 4a
π
/
2
Z
0
p
1 − Интеграл этот точно вычислить нельзя, но его можно вычислить с какой угодно степенью точности, разложив
12
подынтегральную функцию вряд по степеням ε:
p
1 − ε
2
cos
2
t = 1 −
1 2
ε
2
cos
2
t +
1 2
1 2
− 1
1 · 2
ε
4
cos
4
t−
−
1 2
1 2
− 1
1 2
− 2
1 · 2 · 3
ε
6
cos
6
t + . . . =
= 1 −
1 2
ε
2
cos
2
t −
1 8
ε
4
cos
4
t −
1 16
ε
6
cos
6
t + Разложение это, наверно, возможно, так как для эллипса ε < 1, и потому слагаемое −ε
2
cos
2
t
, которое играет здесь роль x в формуле бинома Ньютона, по абсолютному значению меньше единицы при этом разложении вообще говоря подразумевается, что ε мало
131]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
411
причем ошибка R
3
, если ее оценить по формуле (23) при n = 3, удовлетворяет неравенству =
1 2
·
1 2
·
3 2
·
5 2
1 · 2 · 3
ε
8
cos
8
t
1 − θ
1 − θε
2
cos
2
t
3
(1 − θε
2
cos
2
t)
1 2
−1
<
<
5 32
ε
8
cos
8
t
√
1 − так как <
1 − θ
1 − θε
2
cos
2
t
3
< и − θε
2
cos
2
t)
1 2
−1
< (1 − ε
2
cos
2
t)
−
1 Подставив это выражение в (29) для l, интегрируя и вспомнив формулы, находим l = 4a
π
/
2
Z
0
dt −
1 2
ε
2
π
/
2
Z
0
cos
2
tdt −
1 8
ε
4
π
/
2
Z
0
cos
4
tdt −
1 16
ε
6
π
/
2
Z
0
cos
6
tdt +
π
/
2
Z
0
R
3
dt
=
= 2πa h
1 −
1 4
ε
2
−
3 64
ε
4
−
5 256
ε
6
+ где, в силу формулы (10 1
) [95] и неравенства (30),
|ρ| =
2
π
π
/
2
Z
0
R
3
dt
<
5 32
ε
8
√
1 − ε
2 2
π
π
/
2
Z
0
cos
8
tdt =
175 2
12
ε
8
√
1 − ε
2
<
0, 05ε
8
√
1 − Формула (31) сама по себе удобна для вычисления длины эллипса,
особенно для малых эксцентриситетов. Основываясь на ней, можно указать простое геометрическое построение приближенного выражения для длины эллипса, при котором нужно иметь дело только с окружностями.
Обозначим через и l
2
, соответственно, среднее арифметическое и среднее геометрическое полуосей эллипса + b
2
,
l
2
=
√
ab и сравним длину l эллипса с длинами 2πl
1
, двух окружностей радиусов и Замечая, что b = a p
1 − ε
2
,
a + b
2
=
a
2
[1 +
p
1 − ε
2
],
√
ab = a
4
p
1 − ε
2
,
132]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
413
т. е. оказывается, что совпадают члены не только с ε
4
, но и си расхождение формул (31) и (35) начинается только с членов с ε
8
. Приняв во внимание найденные выше оценки для ρ, и и заметив, что − и − ε
2
)
3
/
4
<
1 1 − ε
2
,
175 2
12
+
5 32
·
3 2
+
77 512
·
1 2
< 0, можем окончательно сказать с ошибкой, не превосходящей 1−ε
2
, за длину эллипса с полуосями a, b и эксцентриситетом ε можно принять длину окружности радиуса r, причем r =
3 2
a + b
2
−
1 2
√
ab.
132. Разложение log(1 + Это разложение можно получить из общей теории, номы применим другой способ, который с успехом употребляется и во многих других случаях.
Выразим log(1 + x) в виде определенного интеграла. Мы имеем,
очевидно, при x > −1:
x
Z
0
dt
1 + t
= log(1 + t)
x
0
= log(1 + x) − log 1 = log(1 + то есть log(1 + x) =
x
Z
0
dt
1 + Но имеет место тождество 1 + t
= 1 − t + t
2
− t
3
+ . . . + (−1)
n−1
t n−1
+
(−1)
n t
n
1 + которое непосредственно получается, если делить единицу на 1 + t и остановиться на остатке (−1)
n t
n
. Таким образом,
13
Функция log x не может быть разложена вряд по степеням x, так как при x
= 0 она сама и ее производные терпят разрыв непрерывности и обращаются в бесконечность
5
= 0, 2
×
3 128
= 0, 023 4375 × 0, 2 = 0, 004 687 1
5
·
4 10
= 0, 08
×
3 128 2
= 0, 000 549 × 0, 08 = 0, 000 044 1
5
·
4 10
·
9 15
= 0, 048
×
3 128 3
= 0, 000 013 × 0, 048 = 0, 000 001 0,004 732 1 − 0, 004 732 = 0, 995 268
× 4 3, 981 072 Приближенное вычисление длины эллипса. В [103] было получено следующее выражение для длины l эллипса с полуосями a и b:
l = 4
π
/
2
Z
0
p a
2
sin
2
t + b
2
cos
2
tdt = 4a
π
/
2
Z
0
r sin
2
t +формула (22)]. Вводя в рассмотрение эксцентриситет ε эллипса b
2
a
2
,
b
2
a
2
= 1 − получаем = 4a
π
/
2
Z
0
p
1 − Интеграл этот точно вычислить нельзя, но его можно вычислить с какой угодно степенью точности, разложив
12
подынтегральную функцию вряд по степеням ε:
p
1 − ε
2
cos
2
t = 1 −
1 2
ε
2
cos
2
t +
1 2
1 2
− 1
1 · 2
ε
4
cos
4
t−
−
1 2
1 2
− 1
1 2
− 2
1 · 2 · 3
ε
6
cos
6
t + . . . =
= 1 −
1 2
ε
2
cos
2
t −
1 8
ε
4
cos
4
t −
1 16
ε
6
cos
6
t + Разложение это, наверно, возможно, так как для эллипса ε < 1, и потому слагаемое −ε
2
cos
2
t
, которое играет здесь роль x в формуле бинома Ньютона, по абсолютному значению меньше единицы при этом разложении вообще говоря подразумевается, что ε мало
131]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
411
причем ошибка R
3
, если ее оценить по формуле (23) при n = 3, удовлетворяет неравенству =
1 2
·
1 2
·
3 2
·
5 2
1 · 2 · 3
ε
8
cos
8
t
1 − θ
1 − θε
2
cos
2
t
3
(1 − θε
2
cos
2
t)
1 2
−1
<
<
5 32
ε
8
cos
8
t
√
1 − так как <
1 − θ
1 − θε
2
cos
2
t
3
< и − θε
2
cos
2
t)
1 2
−1
< (1 − ε
2
cos
2
t)
−
1 Подставив это выражение в (29) для l, интегрируя и вспомнив формулы, находим l = 4a
π
/
2
Z
0
dt −
1 2
ε
2
π
/
2
Z
0
cos
2
tdt −
1 8
ε
4
π
/
2
Z
0
cos
4
tdt −
1 16
ε
6
π
/
2
Z
0
cos
6
tdt +
π
/
2
Z
0
R
3
dt
=
= 2πa h
1 −
1 4
ε
2
−
3 64
ε
4
−
5 256
ε
6
+ где, в силу формулы (10 1
) [95] и неравенства (30),
|ρ| =
2
π
π
/
2
Z
0
R
3
dt
<
5 32
ε
8
√
1 − ε
2 2
π
π
/
2
Z
0
cos
8
tdt =
175 2
12
ε
8
√
1 − ε
2
<
0, 05ε
8
√
1 − Формула (31) сама по себе удобна для вычисления длины эллипса,
особенно для малых эксцентриситетов. Основываясь на ней, можно указать простое геометрическое построение приближенного выражения для длины эллипса, при котором нужно иметь дело только с окружностями.
Обозначим через и l
2
, соответственно, среднее арифметическое и среднее геометрическое полуосей эллипса + b
2
,
l
2
=
√
ab и сравним длину l эллипса с длинами 2πl
1
, двух окружностей радиусов и Замечая, что b = a p
1 − ε
2
,
a + b
2
=
a
2
[1 +
p
1 − ε
2
],
√
ab = a
4
p
1 − ε
2
,
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениями разлагая в ряды по формуле бинома Ньютона, получим без труда следующие выражения 2πa h
1 −
1 4
ε
2
−
1 16
ε
4
−
1 32
ε
6
+ ρ
1
i
,
(32)
2πl
2
= 2πa h
1 −
1 4
ε
2
−
3 32
ε
4
−
7 128
ε
6
+ причем ошибки и ρ
2
, если их оценить по формуле (23), удовлетворяют неравенствам <
5 32
ε
8
√
1 − ε
2
,
|ρ
2
| <
77 512
ε
8
(1 − Отсюда ясно, что при малом эксцентриситете, когда можно пренебречь высшими степенями ε по сравнению с ε
2
, можно принять за длину эллипса длину любой из двух окружностей, радиусы которых равны среднему арифметическому или среднему геометрическому полуосей.
Если желательна большая точность, составим выражение · 2πl
1
+ β · подобрав множители α итак, чтобы по возможности большее число членов в выражениях (31) и (34) совпадали между собой. Так как первые два члена каждого из выражений (31), (32) и (33) совпадают, то, прежде всего, должно быть + β = Приравнивая, далее, между собой коэффициенты при в выражениях) и (34), получаем или + 6β = Решая полученные два уравнения относительно α и β, находим =
3 2
,
β = −
1 Подставив это в (34), имеем · 2πl
1
+ β · 2πl
2
= 2π
3 2
l
1
−
1 2
l
2
=
= 2πa
1 −
1 4
ε
2
−
3 64
ε
4
−
5 256
ε
6
+
3 2
ρ
1
−
1 2
ρ
2
,
(35)
1 −
1 4
ε
2
−
1 16
ε
4
−
1 32
ε
6
+ ρ
1
i
,
(32)
2πl
2
= 2πa h
1 −
1 4
ε
2
−
3 32
ε
4
−
7 128
ε
6
+ причем ошибки и ρ
2
, если их оценить по формуле (23), удовлетворяют неравенствам <
5 32
ε
8
√
1 − ε
2
,
|ρ
2
| <
77 512
ε
8
(1 − Отсюда ясно, что при малом эксцентриситете, когда можно пренебречь высшими степенями ε по сравнению с ε
2
, можно принять за длину эллипса длину любой из двух окружностей, радиусы которых равны среднему арифметическому или среднему геометрическому полуосей.
Если желательна большая точность, составим выражение · 2πl
1
+ β · подобрав множители α итак, чтобы по возможности большее число членов в выражениях (31) и (34) совпадали между собой. Так как первые два члена каждого из выражений (31), (32) и (33) совпадают, то, прежде всего, должно быть + β = Приравнивая, далее, между собой коэффициенты при в выражениях) и (34), получаем или + 6β = Решая полученные два уравнения относительно α и β, находим =
3 2
,
β = −
1 Подставив это в (34), имеем · 2πl
1
+ β · 2πl
2
= 2π
3 2
l
1
−
1 2
l
2
=
= 2πa
1 −
1 4
ε
2
−
3 64
ε
4
−
5 256
ε
6
+
3 2
ρ
1
−
1 2
ρ
2
,
(35)
132]
§ 13. Формула Тейлора и ее приложения
413
т. е. оказывается, что совпадают члены не только с ε
4
, но и си расхождение формул (31) и (35) начинается только с членов с ε
8
. Приняв во внимание найденные выше оценки для ρ, и и заметив, что − и − ε
2
)
3
/
4
<
1 1 − ε
2
,
175 2
12
+
5 32
·
3 2
+
77 512
·
1 2
< 0, можем окончательно сказать с ошибкой, не превосходящей 1−ε
2
, за длину эллипса с полуосями a, b и эксцентриситетом ε можно принять длину окружности радиуса r, причем r =
3 2
a + b
2
−
1 2
√
ab.
132. Разложение log(1 + Это разложение можно получить из общей теории, номы применим другой способ, который с успехом употребляется и во многих других случаях.
Выразим log(1 + x) в виде определенного интеграла. Мы имеем,
очевидно, при x > −1:
x
Z
0
dt
1 + t
= log(1 + t)
x
0
= log(1 + x) − log 1 = log(1 + то есть log(1 + x) =
x
Z
0
dt
1 + Но имеет место тождество 1 + t
= 1 − t + t
2
− t
3
+ . . . + (−1)
n−1
t n−1
+
(−1)
n t
n
1 + которое непосредственно получается, если делить единицу на 1 + t и остановиться на остатке (−1)
n t
n
. Таким образом,
13
Функция log x не может быть разложена вряд по степеням x, так как при x
= 0 она сама и ее производные терпят разрыв непрерывности и обращаются в бесконечность
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям [132
log(1 + x) =
x
Z
0
dt
1 + t
=
=
x
Z
0
1 − t + t
2
− t
3
+ . . . + (−1)
n−1
t n−1
+
(−1)
n t
n
1 + t i
dt =
= x −
x
2 2
+
x
3 3
−
x
4 4
+ . . . +
(−1)
n−1
x n
n
+ где) = (−1)
n x
Z
0
t n
dt
1 + Ряд x −
x
2 2
+
x
3 3
− . . . +
(−1)
n−1
x n
n
+ . . . для которого u
n u
n−1
log(1 + x) =
x
Z
0
dt
1 + t
=
=
x
Z
0
1 − t + t
2
− t
3
+ . . . + (−1)
n−1
t n−1
+
(−1)
n t
n
1 + t i
dt =
= x −
x
2 2
+
x
3 3
−
x
4 4
+ . . . +
(−1)
n−1
x n
n
+ где) = (−1)
n x
Z
0
t n
dt
1 + Ряд x −
x
2 2
+
x
3 3
− . . . +
(−1)
n−1
x n
n
+ . . . для которого u
n u
n−1
1 ... 22 23 24 25 26 27 28 29 ... 43