Файл: Учебнометодическое пособие задание и указания по выполнению курсовой работы по дисциплине.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 235
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1.2. Законы Кирхгофа
В основе методов анализа электрических цепей лежат законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа формулируется по отношению к узлам электрической цепи и гласит: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся
в любом узле электрической цепи, равна нулю. Он отражает тот факт, что в узлах не могут накапливаться заряды. Формально первый закон Кирхгофа записывается так:
1 0
m
k
k
i
, (1.3) где m — число ветвей, сходящихся в узле.
В уравнении (1.3) токи одинаково ориентированные относительно узла имеют одинаковые знаки, т.е. токи, направленные к узлу, берутся с одним знаком (например, «+»), а токи, направленные от узла, берутся с противоположным знаком (для нашего примера – «-»). Можно наоборот, знаки выходящих из узла токов считать положительными, а входящих в узел — отрицательными. Число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, будет на единицу меньше числа узлов электрической цепи.
При этом под узлом подразумевается место (точка) соединения трёх и более элементов цепи.
Второй закон Кирхгофа формулируется по отношению к контурам.
Контуром называется любой замкнутый путь в цепи.
Второй закон Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма напряжений
ветвей в любом контуре цепи равна нулю:
1 0
n
k
k
u
, (1.4) где n — число ветвей, входящих в контур. Ветвью называется часть цепи, включённая между двумя узлами.
В уравнении (1.4) напряжения, совпадающие с направлением обхода контура, записываются со знаком «+», а противоположные направлению обхода
— со знаком «-».
Если контур содержит ЭДС, то второй закон Кирхгофа можно сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма падений
напряжений (на сопротивлениях) в любом контуре цепи равна алгебраической
сумме ЭДС в данном контуре:
1 1
n
n
k k
k
k
k
R I
E
(1.5)
14
Направление обхода контура выбирается произвольно. При записи левой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения (на сопротивлениях) в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода (независимо от направления
ЭДС в этих ветвях), а со знаком минус — падения напряжения (на сопротивлениях) в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода. При записи правой части равенства,
ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода
(независимо от направления тока, протекающего через них), берутся со знаком плюс, а ЭДС, направленные против выбранного направления обхода, — со знаком минус.
Применение законов Кирхгофа.
В методе расчёта электрических цепей, основанном на законах Кирхгофа, при составлении уравнений считается, что независимыми переменными являются токи ветвей. В этом случае устанавливается число неизвестных токов, равное числу ветвей, не содержащих источников тока. Для каждой такой ветви задается произвольно положительное направление тока.
Число независимых уравнений, составляемых по первому закону
Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов. Число независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа,
Т
N
У
N
В
N
K
1
, (1.6)
где N
В
– число ветвей цепи, N
У
- число узлов цепи, N
Т
– число ветвей цепи, содержащих источники тока.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.
Независимым называется контур, который содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры цепи.
Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам
Кирхгофа, равно числу (N
В
- N
Т
) неизвестных токов.
Задача 1.3
Записать для заданной цепи (рис.1.4) систему уравнений по законам
Кирхгофа для расчёта токов ветвей.
Решение. Число узлов цепи равно N
У
= 3, число ветвей цепи N
В
= 5, источников тока N
Т
= 1. Число неизвестных токов равно N
НТ
= N
B
– N
T
= 4.
Следовательно, система уравнений по законам Кирхгофа должна содержать четыре независимых уравнения. Число уравнений по первому закону Кирхгофа равняется N
У
– 1, следовательно, двум. Число уравнений по второму закону
Кирхгофа равняется N
B
– N
У
+ 1 – N
T
, следовательно, также двум.
15
Рис 1.4
Задаём произвольно положительные направления токов ветвей. Токи, направленные от узла, будем учитывать со знаком «-», а токи, направленные к узлу – со знаком «+».
Получаем систему уравнений:
1 3
3 2
4 1
1 3
3 2
2 1
2 2
2 2
3 0
0
I
I
J
I
I
I
I R
I R
I R
E
E
I R
E
E
1.3. Баланс мощностей
Баланс мощностей вытекает из теоремы Теллегена.
Пусть граф некоторой электрической цепи содержит
B
n
ветвей и узлов.
Для согласованных направлений напряжений и токов ветвей по теореме
Теллегена сумма попарных произведений напряжений
k
u
и токов
k
i
всех ветвей ориентированного графа, равна нулю.
1 0
в
n
k k
k
u i
(1.7)
Произведение
k
p
=
k k
u i
представляет собой мгновенную мощность
k
-й ветви графа, поэтому в соответствии с (1.7) алгебраическая сумма мгновенных мощностей всех ветвей цепи равняется нулю. Если в (1.7) выделить участки цепи с независимыми источниками, то баланс мощностей можно сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма мощностей,
отдаваемых независимыми источниками, равняется алгебраической сумме
мощностей, потребляемых остальными участками электрической цепи.
Мощность источника постоянного напряжения:
P
u
= E∙I = U∙I , где E и U – ЭДС или задающее напряжение источника соответственно, I – ток, протекающий в ветви с источником. Если ЭДС и ток совпадают по
16 направлению (рис.1.5), то их произведение берётся со знаком «+», если их направления противоположны, то c «-». Соответственно, для U – наоборот.
Рис 1.5
Мощность источника постоянного тока:
P
j
= J∙U , где J – ток источника , U – напряжение на зажимах источника. Если напряжение и ток источника направлены взаимно противоположно (рис.1.5), то их произведение берётся со знаком «+», если они совпадают по направлению, то с «-».
Мощность в резистивном сопротивлении может быть записана как:
P=U∙I, где U – напряжение на резистивном сопротивлении, I – ток, протекающий в ветви c элементом R. Поскольку напряжение и ток совпадают по направлению, то их произведение берётся со знаком «+». С учётом закона Ома легко получить следующие формулы расчёта мощности:
P = R∙I
2
или P = G∙U
2
В качестве примера запишем баланс мощностей для цепи, приведённой на рисунке 1.6.
Рис 1.6
Баланс мощностей для цепи:
2 2
2 1
1 2
2
i
EI
I
R
I
R
I
R
Задача 1.4
В приведенной схеме цепи рисунок 1.7
Е
1
= 50 В, Е
2
= 22 В, Е
3
= 20 В, R
1
= 2 Ом, R
2
= 4 Ом, R
3
= 5 Ом, R
4
= 1 Ом.
Определить ток цепи, напряжение между точками 2 – 0 (U
20
). Проверить
17 выполнение баланса мощностей.
Решение.
Рис.1.7
Выберем направление тока в цепи I по часовой стрелке. Тогда по обобщенному закону Ома для замкнутой цепи ток в цепи:
4 12 48 1
5 4
2 20 22 50 4
3 2
1 3
2 1
R
R
R
R
E
E
E
I
А.
Записав закон Ома для активного участка 0 – 1 – 2,
2 50 20 1
1 20
U
R
E
U
I
, найдем, что U
20
= 42 В.
Составим уравнение баланса мощностей:
I(E
1
– E
2
+ E
3
)=I
2
(R
1
+ R
2
+ R
3
+ R
4
); 4·48 = 16·12 = 192 Вт.
Баланс мощностей выполняется.
1.4. Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора базируется на теореме об активном двухполюснике и обычно используется в том случае, когда необходимо найти реакцию цепи (ток или напряжение) в одной ветви. При этом удобно всю остальную часть цепи, к которой подключена данная ветвь, рассматривать в виде активного двухполюсника.
Различают две модификации теоремы об активном двухполюснике: теорема об эквивалентном источнике напряжения и теорема об эквивалентном источнике тока.
Теорема об эквивалентном источнике напряжения:
− ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения (ЭДС) с задающим напряжением
(ЭДС), равным напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, и внутренним сопротивлением, равным эквивалентному входному
18 сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви.
Теорема об эквивалентном источнике тока:
− ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с задающим током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви.
Таким образом, часть электрической цепи с отключенной ветвью, в которой необходимо найти ток, может быть представлена в виде двух эквивалентных схем: либо источника напряжения (рис. 1.8,а) либо источника тока (рис. 1.8,б).
В соответствии с теоремами об эквивалентных источниках ЭДС задающее напряжение источника определяется как напряжение холостого хода на разомкнутых зажимах активного двухполюсника E
Э
= U
ХХ
или U
Э
= U
ХХ
, а задающий ток источника тока — как ток короткого замыкания J
Э
= I
К3
.
Внутреннее сопротивление активного двухполюсника R
Э
,
или его проводимость
G
Э
,
находятся как эквивалентные входные сопротивления, или проводимость, относительно разомкнутых зажимов пассивного двухполюсника, который получается после исключения из схемы всех источников напряжения и тока.
При этом идеальные источники напряжения закорачиваются (заменяются участком с нулевым сопротивлением, коротким замыканием), а источники тока
— размыкаются (заменяются участком с бесконечным сопротивлением, холостым ходом); реальные же источники заменяются своими внутренними сопротивлениями или проводимостями.
После нахождения параметров эквивалентного генератора напряжения или тока, ток I в нагрузке можно найти для схемы, изображенной на рис. 1.8, а, по формуле
Rн
Rэ
Uхх
Rн
Rэ
Eэ
I
Рис. 1.8
19 и для схемы (рис. 1.8, б)по формуле
Gн
Gэ
Gн
Jэ
Rн
Rэ
Rэ
Jэ
I
, хх э
кз
U
R
I
Задача 1.5
Требуется определить ток i в ветви с сопротивлением
3
R цепи, показанной на рисунке 1.9а а) б) в) г)
Рис. 1.9
Решение.
В качестве схемы замещения внешней по отношению к
3
R цепи используем схему с эквивалентным источником тока. Тогда, задав направление искомого тока, определяем ток короткого замыкания кз
i или, что то же самое, задающий ток эквивалентного источника тока э
j Соответствующая схема показана на рисунке 1.9б.
Ясно, что
1
кз э
1 2
R
i
j
j
R
R
. Далее, разомкнув ветвь с
3
R
, получим схему для нахождения эквивалентного сопротивления рисунок 1.9в.
Определяем входную проводимость со стороны зажимов
1, 1
вх э
1 2
4 5
1 2
4 5
(
) ((
) (
))
G
G
R
R
R
R
R
R
R
R
или входное сопротивление вх э
1 2
4 5
1 2
4 5
(
) (
) (
)
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
На рисунке 1.9г изображена схема цепи, в которой внешняя по отношению к нагрузке цепь заменена эквивалентным источником тока. Из её анализа следует, что искомый ток э
э э
3
R
i
j
R
R
Метод эквивалентного генератора служит для расчета тока в отдельной ветви разветвленной цепи. В любой электрической цепи можно выделить одну ветвь, а всю остальную часть цепи независимо от ее структуры и сложности можно рассматривать по отношению к выделенной ветви как двухполюсник – активный, если внутри двухполюсника имеются источники энергии, или пассивный, если источники отсутствуют.
20
2. Режим гармонических колебаний и частотные характеристики
электрических цепей
2.1. Математическая модель электрической цепи в режиме
гармонических колебаний. Символический метод.
В современной технике широкое распространение получили электрические цепи, в которых ЭДС, напряжения, токи изменяются во времени по синусоидальному закону.
Для анализа электрического состояния цепей с синусоидально изменяющимися токами и напряжениями применяются различные формы представления синусоидальных функций в виде:
- тригонометрических функций;
- комплексных чисел.
Для их графической иллюстрации используют:
- графики мгновенных значений;
-векторные диаграммы.
Рекомендуется повторить краткий теоретический материал по комплексным числам из приложения 4 данного учебно-методического пособия.
Переменные гармонические (синусоидальные) напряжения и токи являются синусоидальными функциями времени: sin(
) B,
sin(
) A,
m
u
m
i
u
U
t
i
I
t
где ,
u i - мгновенные значения напряжения и тока;
,
m
m
U
I
- амплитудные значения напряжения и тока;
2 2 f
T
- угловая частота, рад/с;
f
- циклическая частота, Гц;
T - период, с;
(
); (
)
u
i
t
t
- фаза, рад/с;
,
u
i
- начальные фазы напряжения и тока;
u
i
- сдвиг по фазе;
;
2 2
m
m
U
I
U
I
- действующие значения напряжения и тока.
Комплексные числа, изображающие гармонические (синусоидальные) напряжения и ток: для амплитудных значений для действующих значений
u
i
j
m
m
j
m
m
U
U e
I
I e
u
i
j
j
U
Ue
I
Ie
21
Графическими иллюстрациями описанных синусоидальных величин являются: график мгновенных значений
(зависимость мгновенных значений напряжения, тока в функции времени) векторная диаграмма
(представление комплексов напряжения, тока на комплексной плоскости)
Важными параметрами гармонических колебаний являются их действующее и среднее значения. Действующее значение гармонического тока
???? = √
1
????
∫ ????
2
????
0
????????
(2.1)
Здесь i = i(t) — мгновенное значение гармонического тока.
Действующее и амплитудное значения для гармонического тока связаны
???? =
????
????
√2
≈ 0,707????
????
. (2.2)
Аналогично определяются мгновенное и действующее значения напряжения и ЭДС:
????(????) = ????
????
cos(????
1
???? + ????
0
) ???? ≈ 0,707????
????
????(????) = ????
????
cos(????
1
???? + ????
0
) ???? ≈ 0,707????
????
Действующие значения токов и напряжений (ЭДС) называют также их
среднеквадратическими значениями.
Среднее значение гармонического тока
????
ср
=
1
????
∫ ????????????
????
0
. (2.3)
Задача 2.1
Синусоидальное напряжение задано в виде графика мгновенных значений
(рисунок 2.1)
20
m
U
В
0,02
T
с
(0) 10
U
В
Представить напряжение в виде:
22 1) тригонометрической функции времени;
2) комплексного числа;
3) вектора на комплексной плоскости (на векторной диаграмме).
Рис. 2.1
В основе методов анализа электрических цепей лежат законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа формулируется по отношению к узлам электрической цепи и гласит: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся
в любом узле электрической цепи, равна нулю. Он отражает тот факт, что в узлах не могут накапливаться заряды. Формально первый закон Кирхгофа записывается так:
1 0
m
k
k
i
, (1.3) где m — число ветвей, сходящихся в узле.
В уравнении (1.3) токи одинаково ориентированные относительно узла имеют одинаковые знаки, т.е. токи, направленные к узлу, берутся с одним знаком (например, «+»), а токи, направленные от узла, берутся с противоположным знаком (для нашего примера – «-»). Можно наоборот, знаки выходящих из узла токов считать положительными, а входящих в узел — отрицательными. Число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, будет на единицу меньше числа узлов электрической цепи.
При этом под узлом подразумевается место (точка) соединения трёх и более элементов цепи.
Второй закон Кирхгофа формулируется по отношению к контурам.
Контуром называется любой замкнутый путь в цепи.
Второй закон Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма напряжений
ветвей в любом контуре цепи равна нулю:
1 0
n
k
k
u
, (1.4) где n — число ветвей, входящих в контур. Ветвью называется часть цепи, включённая между двумя узлами.
В уравнении (1.4) напряжения, совпадающие с направлением обхода контура, записываются со знаком «+», а противоположные направлению обхода
— со знаком «-».
Если контур содержит ЭДС, то второй закон Кирхгофа можно сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма падений
напряжений (на сопротивлениях) в любом контуре цепи равна алгебраической
сумме ЭДС в данном контуре:
1 1
n
n
k k
k
k
k
R I
E
(1.5)
14
Направление обхода контура выбирается произвольно. При записи левой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения (на сопротивлениях) в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода (независимо от направления
ЭДС в этих ветвях), а со знаком минус — падения напряжения (на сопротивлениях) в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода. При записи правой части равенства,
ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода
(независимо от направления тока, протекающего через них), берутся со знаком плюс, а ЭДС, направленные против выбранного направления обхода, — со знаком минус.
Применение законов Кирхгофа.
В методе расчёта электрических цепей, основанном на законах Кирхгофа, при составлении уравнений считается, что независимыми переменными являются токи ветвей. В этом случае устанавливается число неизвестных токов, равное числу ветвей, не содержащих источников тока. Для каждой такой ветви задается произвольно положительное направление тока.
Число независимых уравнений, составляемых по первому закону
Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов. Число независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа,
Т
N
У
N
В
N
K
1
, (1.6)
где N
В
– число ветвей цепи, N
У
- число узлов цепи, N
Т
– число ветвей цепи, содержащих источники тока.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.
Независимым называется контур, который содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры цепи.
Общее число уравнений, составляемых по первому и второму законам
Кирхгофа, равно числу (N
В
- N
Т
) неизвестных токов.
Задача 1.3
Записать для заданной цепи (рис.1.4) систему уравнений по законам
Кирхгофа для расчёта токов ветвей.
Решение. Число узлов цепи равно N
У
= 3, число ветвей цепи N
В
= 5, источников тока N
Т
= 1. Число неизвестных токов равно N
НТ
= N
B
– N
T
= 4.
Следовательно, система уравнений по законам Кирхгофа должна содержать четыре независимых уравнения. Число уравнений по первому закону Кирхгофа равняется N
У
– 1, следовательно, двум. Число уравнений по второму закону
Кирхгофа равняется N
B
– N
У
+ 1 – N
T
, следовательно, также двум.
15
Рис 1.4
Задаём произвольно положительные направления токов ветвей. Токи, направленные от узла, будем учитывать со знаком «-», а токи, направленные к узлу – со знаком «+».
Получаем систему уравнений:
1 3
3 2
4 1
1 3
3 2
2 1
2 2
2 2
3 0
0
I
I
J
I
I
I
I R
I R
I R
E
E
I R
E
E
1.3. Баланс мощностей
Баланс мощностей вытекает из теоремы Теллегена.
Пусть граф некоторой электрической цепи содержит
B
n
ветвей и узлов.
Для согласованных направлений напряжений и токов ветвей по теореме
Теллегена сумма попарных произведений напряжений
k
u
и токов
k
i
всех ветвей ориентированного графа, равна нулю.
1 0
в
n
k k
k
u i
(1.7)
Произведение
k
p
=
k k
u i
представляет собой мгновенную мощность
k
-й ветви графа, поэтому в соответствии с (1.7) алгебраическая сумма мгновенных мощностей всех ветвей цепи равняется нулю. Если в (1.7) выделить участки цепи с независимыми источниками, то баланс мощностей можно сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма мощностей,
отдаваемых независимыми источниками, равняется алгебраической сумме
мощностей, потребляемых остальными участками электрической цепи.
Мощность источника постоянного напряжения:
P
u
= E∙I = U∙I , где E и U – ЭДС или задающее напряжение источника соответственно, I – ток, протекающий в ветви с источником. Если ЭДС и ток совпадают по
16 направлению (рис.1.5), то их произведение берётся со знаком «+», если их направления противоположны, то c «-». Соответственно, для U – наоборот.
Рис 1.5
Мощность источника постоянного тока:
P
j
= J∙U , где J – ток источника , U – напряжение на зажимах источника. Если напряжение и ток источника направлены взаимно противоположно (рис.1.5), то их произведение берётся со знаком «+», если они совпадают по направлению, то с «-».
Мощность в резистивном сопротивлении может быть записана как:
P=U∙I, где U – напряжение на резистивном сопротивлении, I – ток, протекающий в ветви c элементом R. Поскольку напряжение и ток совпадают по направлению, то их произведение берётся со знаком «+». С учётом закона Ома легко получить следующие формулы расчёта мощности:
P = R∙I
2
или P = G∙U
2
В качестве примера запишем баланс мощностей для цепи, приведённой на рисунке 1.6.
Рис 1.6
Баланс мощностей для цепи:
2 2
2 1
1 2
2
i
EI
I
R
I
R
I
R
Задача 1.4
В приведенной схеме цепи рисунок 1.7
Е
1
= 50 В, Е
2
= 22 В, Е
3
= 20 В, R
1
= 2 Ом, R
2
= 4 Ом, R
3
= 5 Ом, R
4
= 1 Ом.
Определить ток цепи, напряжение между точками 2 – 0 (U
20
). Проверить
17 выполнение баланса мощностей.
Решение.
Рис.1.7
Выберем направление тока в цепи I по часовой стрелке. Тогда по обобщенному закону Ома для замкнутой цепи ток в цепи:
4 12 48 1
5 4
2 20 22 50 4
3 2
1 3
2 1
R
R
R
R
E
E
E
I
А.
Записав закон Ома для активного участка 0 – 1 – 2,
2 50 20 1
1 20
U
R
E
U
I
, найдем, что U
20
= 42 В.
Составим уравнение баланса мощностей:
I(E
1
– E
2
+ E
3
)=I
2
(R
1
+ R
2
+ R
3
+ R
4
); 4·48 = 16·12 = 192 Вт.
Баланс мощностей выполняется.
1.4. Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора базируется на теореме об активном двухполюснике и обычно используется в том случае, когда необходимо найти реакцию цепи (ток или напряжение) в одной ветви. При этом удобно всю остальную часть цепи, к которой подключена данная ветвь, рассматривать в виде активного двухполюсника.
Различают две модификации теоремы об активном двухполюснике: теорема об эквивалентном источнике напряжения и теорема об эквивалентном источнике тока.
Теорема об эквивалентном источнике напряжения:
− ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения (ЭДС) с задающим напряжением
(ЭДС), равным напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, и внутренним сопротивлением, равным эквивалентному входному
18 сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви.
Теорема об эквивалентном источнике тока:
− ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с задающим током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви.
Таким образом, часть электрической цепи с отключенной ветвью, в которой необходимо найти ток, может быть представлена в виде двух эквивалентных схем: либо источника напряжения (рис. 1.8,а) либо источника тока (рис. 1.8,б).
В соответствии с теоремами об эквивалентных источниках ЭДС задающее напряжение источника определяется как напряжение холостого хода на разомкнутых зажимах активного двухполюсника E
Э
= U
ХХ
или U
Э
= U
ХХ
, а задающий ток источника тока — как ток короткого замыкания J
Э
= I
К3
.
Внутреннее сопротивление активного двухполюсника R
Э
,
или его проводимость
G
Э
,
находятся как эквивалентные входные сопротивления, или проводимость, относительно разомкнутых зажимов пассивного двухполюсника, который получается после исключения из схемы всех источников напряжения и тока.
При этом идеальные источники напряжения закорачиваются (заменяются участком с нулевым сопротивлением, коротким замыканием), а источники тока
— размыкаются (заменяются участком с бесконечным сопротивлением, холостым ходом); реальные же источники заменяются своими внутренними сопротивлениями или проводимостями.
После нахождения параметров эквивалентного генератора напряжения или тока, ток I в нагрузке можно найти для схемы, изображенной на рис. 1.8, а, по формуле
Rн
Rэ
Uхх
Rн
Rэ
Eэ
I
Рис. 1.8
19 и для схемы (рис. 1.8, б)по формуле
Gн
Gэ
Gн
Jэ
Rн
Rэ
Rэ
Jэ
I
, хх э
кз
U
R
I
Задача 1.5
Требуется определить ток i в ветви с сопротивлением
3
R цепи, показанной на рисунке 1.9а а) б) в) г)
Рис. 1.9
Решение.
В качестве схемы замещения внешней по отношению к
3
R цепи используем схему с эквивалентным источником тока. Тогда, задав направление искомого тока, определяем ток короткого замыкания кз
i или, что то же самое, задающий ток эквивалентного источника тока э
j Соответствующая схема показана на рисунке 1.9б.
Ясно, что
1
кз э
1 2
R
i
j
j
R
R
. Далее, разомкнув ветвь с
3
R
, получим схему для нахождения эквивалентного сопротивления рисунок 1.9в.
Определяем входную проводимость со стороны зажимов
1, 1
вх э
1 2
4 5
1 2
4 5
(
) ((
) (
))
G
G
R
R
R
R
R
R
R
R
или входное сопротивление вх э
1 2
4 5
1 2
4 5
(
) (
) (
)
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
На рисунке 1.9г изображена схема цепи, в которой внешняя по отношению к нагрузке цепь заменена эквивалентным источником тока. Из её анализа следует, что искомый ток э
э э
3
R
i
j
R
R
Метод эквивалентного генератора служит для расчета тока в отдельной ветви разветвленной цепи. В любой электрической цепи можно выделить одну ветвь, а всю остальную часть цепи независимо от ее структуры и сложности можно рассматривать по отношению к выделенной ветви как двухполюсник – активный, если внутри двухполюсника имеются источники энергии, или пассивный, если источники отсутствуют.
20
2. Режим гармонических колебаний и частотные характеристики
электрических цепей
2.1. Математическая модель электрической цепи в режиме
гармонических колебаний. Символический метод.
В современной технике широкое распространение получили электрические цепи, в которых ЭДС, напряжения, токи изменяются во времени по синусоидальному закону.
Для анализа электрического состояния цепей с синусоидально изменяющимися токами и напряжениями применяются различные формы представления синусоидальных функций в виде:
- тригонометрических функций;
- комплексных чисел.
Для их графической иллюстрации используют:
- графики мгновенных значений;
-векторные диаграммы.
Рекомендуется повторить краткий теоретический материал по комплексным числам из приложения 4 данного учебно-методического пособия.
Переменные гармонические (синусоидальные) напряжения и токи являются синусоидальными функциями времени: sin(
) B,
sin(
) A,
m
u
m
i
u
U
t
i
I
t
где ,
u i - мгновенные значения напряжения и тока;
,
m
m
U
I
- амплитудные значения напряжения и тока;
2 2 f
T
- угловая частота, рад/с;
f
- циклическая частота, Гц;
T - период, с;
(
); (
)
u
i
t
t
- фаза, рад/с;
,
u
i
- начальные фазы напряжения и тока;
u
i
- сдвиг по фазе;
;
2 2
m
m
U
I
U
I
- действующие значения напряжения и тока.
Комплексные числа, изображающие гармонические (синусоидальные) напряжения и ток: для амплитудных значений для действующих значений
u
i
j
m
m
j
m
m
U
U e
I
I e
u
i
j
j
U
Ue
I
Ie
21
Графическими иллюстрациями описанных синусоидальных величин являются: график мгновенных значений
(зависимость мгновенных значений напряжения, тока в функции времени) векторная диаграмма
(представление комплексов напряжения, тока на комплексной плоскости)
Важными параметрами гармонических колебаний являются их действующее и среднее значения. Действующее значение гармонического тока
???? = √
1
????
∫ ????
2
????
0
????????
(2.1)
Здесь i = i(t) — мгновенное значение гармонического тока.
Действующее и амплитудное значения для гармонического тока связаны
???? =
????
????
√2
≈ 0,707????
????
. (2.2)
Аналогично определяются мгновенное и действующее значения напряжения и ЭДС:
????(????) = ????
????
cos(????
1
???? + ????
0
) ???? ≈ 0,707????
????
????(????) = ????
????
cos(????
1
???? + ????
0
) ???? ≈ 0,707????
????
Действующие значения токов и напряжений (ЭДС) называют также их
среднеквадратическими значениями.
Среднее значение гармонического тока
????
ср
=
1
????
∫ ????????????
????
0
. (2.3)
Задача 2.1
Синусоидальное напряжение задано в виде графика мгновенных значений
(рисунок 2.1)
20
m
U
В
0,02
T
с
(0) 10
U
В
Представить напряжение в виде:
22 1) тригонометрической функции времени;
2) комплексного числа;
3) вектора на комплексной плоскости (на векторной диаграмме).
Рис. 2.1
1 2 3 4 5 6 7 8