Файл: Учебнометодическое пособие задание и указания по выполнению курсовой работы по дисциплине.pdf

58 2
1 2
( )
( )
(
)
L
R
H p
g t
p
p R
R
pL





Вычислим выражение для переходной характеристики с помощью теоремы разложения
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Если изображение представляет собой отношение двух полиномов, удовлетворяющих условиям:
‒ дробь несократима
‒ степень полинома числителя строго меньше степени знаменателя
0 1
2 0
( )
( )
( )
n
n
m
m
a p
a
F p
F p
F p
b p
b






оригинал можно найти по формуле:
1 1
2
(
)
( )
(
(
))
k
m
p t
k
k
k
F p
f t
e
F p




Переходная характеристика является оригиналом от
1
( )
H p
p
2 1
1 2
2
( )
( )
(
)
( )
L
R
F p
g t
p R
R
pL
F p





Корни характеристического уравнения (корни знаменателя)
2 1
2
( )
(
)
0
F p
p R
R
pL




1 0
p

,
1 2
2
(
)
R
R
p
L

 
Производная знаменателя
2
( )
F p
равна:
2 1
1 2
(
)
2
(
)
F p
pL
R
R




, находим коэффициенты, т.е. подставляем значения корней знаменателя в производную знаменателя и в числитель, но наш числитель не зависит от
p
, поэтому числитель оставляем без изменения
2 1
1 2
(
)
F p
R
R



2 2
1 2
(
)
(
).
F p
R
R

 

Переходная характеристика:

59 1
2 1
2
(
)
(
)
0 2
2 2
1 2
1 2
1 2
( )
1
R
R
R
R
t
t
t
L
L
R
R
R
g t
e
e
e
R
R
R
R
R
R




















Рассчитаем импульсную характеристику.
2 1
1 2
2
( )
( )
( )
( )
L
R
F p
h t
H p
R
R
pL
F p






Корни характеристического уравнения:
2 1
2
( )
0
F p
R
R
pL




1 2
1
R
R
p
L

 
Производная знаменателя равна:
2
( )
F
p
L


2 1
(
)
F
p
L


Окончательно
1 2
2
( )
R
R
t
L
R
h t
e
L



Графики функции g(t) и h(t) показаны на рисунках:
Задача 5
Рассчитать переходную и импульсную характеристики цепи. Построить графики.

60
Операторная передаточная функция имеет вид:
2 1
2 1
( )
1
(
)
pCR
H p
pC R
R




Переходная характеристика


2 1
1 2
2 1
( )
1
( )
( )
1
(
)
( )
L
pCR
F p
g t
H p
p
p
pC R
R
F p







Находим корни характеристического уравнения


2 1
2
( )
1
(
)
0
F p
p
pC R
R




1 0
p

,
2 1
2 1
(
)
p
C R
R
 

Производная знаменателя:
2 1
2
( )
2
(
) 1
F p
pC R
R




Рассчитаем коэффициенты: подставим корни в числитель
1 1
(
)
1
F p

2 1
1 2
1 2
1 2
(
)
1
R
R
F p
R
R
R
R
 



в производную знаменателя
2 1
(
)
1
F p


2 2
(
)
1.
F p

 
Переходная характеристика
1 2
1 2
1
(
)
1 1
1 1
1 2
1 2
1 1
2
(
)
(
)
( )
1
(
)
(
)
t
p t
p t
C R
R
F p
F p
R
g t
e
e
e
F p
F p
R
R




 



Импульсная характеристика
2 1
2 1
( )
( )
1
(
)
L
pCR
h t
H p
pC R
R






В этом выражении в числителе и знаменателе максимальная степень p одинакова, поэтому прежде, чем применить теорему разложения, проведём деление многочленов числителя и знаменателя (выделим целую часть).

61
–
2 1
pCR

2 2
1 2
R
pCR
R
R


1 2
(
)
1
pC R
R


2 1
2
R
R
R

2 1
2 1
R
R
R




2 2
2 1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
( )
1 1
(
)
(
) 1
(
)
L
R
R
R
R
h t
R
R
R
R
pC R
R
R
R
R
R
pC R
R




 
















Напомним, что оригинал постоянной величины – это дельта-функция
( )
t

, поэтому оригинал первого слагаемого
2 2
1 2
1 2
( )
( ),
L
I
R
R
U
p
t
R
R
R
R





a оригинал второго члена
( )
II
U
p
найдём по теореме разложения


1 1
1 1
2 1
2 1
2 2
( )
1
( )
(
) 1
(
)
( )
II
R
R
F p
U
p
R
R
pC R
R
R
R
F p








Уравнение
2 1
2
( )
1
(
)
0
F p
pC R
R
 


определяет корень
1 1
2 1
(
)
p
C R
R
 

2 1
2
( )
(
)
F
p
C R
R



Коэффициенты
1 1
(
)
1
F p

2 1
1 2
(
)
(
).
F
p
C R
R



Окончательно импульсная характеристика
1 2
1
(
)
2 1
2 1
2 1
2
( )
( )
(
)
t
C R
R
R
R
h t
t
e
R
R
R
R
C







Графики ( )
g t и
( )
h t
показаны на рисунке

62
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫОЛНЕНИЮ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Перед выполнением курсовой работы следует изучить краткий теоретический материал, разобрать все задачи.
Для выполнения 1 задания курсовой работы нужно освоить решение задач 1.3 и 1.4.
Для успешного выполнения пунктов 1, 2 второго задания курсовой работы необходимо применить навык решения задач 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, задачу 1 из примеров решения задач.
Остальные пункты второго задания можно решить по аналогии с задачами предложенными ниже.
Расчет и построение графиков рекомендуется с использованием компьютерных программ, примеры приведены в следующих разделах данного пособия.
Задача 6
Найти выражение комплексной передаточной функции по напряжению для схемы рисунок 4.11 (1). Записать выражения и построить графики импульсной и переходной характеристик цепи.
Решение.
Комплексная передаточная функция цепи не зависит от входного воздействия, а определяется только структурой цепи и параметрами её элементов. Для простоты вычислений допустим, что на вход цепи подаётся гармонический сигнал, определяемый значением комплексной амплитуды: m1
U
Тогда комплексное амплитудное значение тока в контуре будет равно:
2 1 z z
m1
U
m1
I


, а комплексное амплитудное значение напряжения на выходе цепи:
2
z
2
z
1
z
1m
U
2
z
1m
I
2m
U





Для схемы на рисунке 4.11(1)
,
Комплексная передаточная функция цепи:
Эта функция может быть представлена в показательной форме:
CR
jω
1
R
C
jω
1
R
C
jω
1
R
1
z








R
2
z

CR
jω
2
CR
jω
1 2
R
C
jω
2R
2
R
C
jω
R
2
z
1
z
2
z m1
U
m2
U
H(jω















)

63
Рис. 4.11
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – это зависимость модуля комплексной функции от частоты. АЧХ передаточной функции по напряжению:




2 4
2 1
)
CR
ω
CR
ω
H(ω





Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – это зависимость аргумента комплексной функции от частоты. ФЧХ передаточной функции по напряжению:
















2
CR
ω
arctg
1
CR
ω
arctg
θ(ω)
Графики АЧХ и ФЧХ показаны на рисунке 4.12
Рис. 4.12



























2
CR
ω
arctg j
1
CR
ω
arctg j
e e
2 4
2 1
)
CR
ω
CR
ω
H(jω

64
Сопротивление ёмкостного элемента зависит от частоты:
C
jω
1
c z


Модуль сопротивления:
C
ω
1
c z


На частоте

= 0,




C
0 1
c z
)
0
(
ёмкостный элемент эквивалентен ветви с бесконечно большим сопротивлением (ветвь разомкнута), модуль передаточной функции равен




5 0
2 4
2 1
)






CR
0
CR
0
H(0
На частоте



,
0
)
(





C
1
c z
ёмкостный элемент эквивалентен ветви с бесконечно малым сопротивлением (ветвь замкнута), модуль передаточной функции равен








1 2
2 2
4 2
1
)














CR
CR
CR
CR
H(
Для определения операторной передаточной функции по напряжению
H(p) необходимо составить операторную схему замещения и выполнить те же действия, что и для определения H(j

). Поэтому операторную передаточную функцию H(p) можно найти, заменив p
jω

в выражении H(j

). Для цепи рисунок 4.11(1) операторная передаточная функция по напряжению:
CR
p
2
CR
p
1
H(p)





Переходная характеристика g(t) численно совпадает с реакцией цепи на воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1(t):
1(t)
(t)
1
u
(t)
2
u g(t)


Изображение функции p
1 1(t)

. Операторное выражение реакции цепи
(p)
2
U
на воздействие p
1
(p)
1
U

определяется с использованием операторной передаточной функции по напряжению: p
H(p)
H(p)
(p)
1
U
(p)
U



2
. Для нашей цепи изображение переходной характеристики равно:
(p)
2
F
(p)
1
F
)
CR
2
(p p
CR
1
p
)
CR
2
(p p
CR
)
CR
1
(p
CR
CR)
p
(2
p
CR
p
1
p
H(p)


















65
Если степень полинома знаменателя выше степени полинома числителя, переход к оригиналу можно выполнить с использованием теоремы разложения:
- корни полинома знаменателя:
CR
2 2
p
0,
1
p



;
- производная полинома знаменателя:
CR
2
p
2
(p)
'
2
F



;
-















































CR
t
2
t)
0
t)
exp
CR
2
CR
2 2
CR
1
CR
2
exp(
CR
2 0
2
CR
1 0
k k
exp(p
)
k
(p
'
2
F
)
k
(p
1
F
g(t)











CR
t
2
exp
2 2
1
g(t)
1
. График переходной характеристики на рисунке
4.13
Рис. 4.13
Импульсная характеристика h(t)
численно совпадает с реакцией цепи на воздействие в виде дельта-функции (функции Дирака)

(t):
δ(t)
(t)
1
u
(t)
2
u h(t)


Изображение функции
1

δ(t)
Операторное выражение реакции цепи
(p)
2
U
на воздействие
1

(p)
1
U
определяется:
H(p)
H(p)
(p)
1
U
(p)
U



2
Изображение импульсной характеристики совпадает по значению с операторной передаточной функцией по напряжению, и для нашей цепи равно:
(p)
2
F
(p)
1
F
CR
1
CR
2
p
1
CR
1
CR
2
p
CR
1
p
)
CR
2
(p
CR
)
CR
1
(p
CR
CR
p
2
CR
p
1
H(p)




















1 1

66
Если степень полинома знаменателя не выше степени полинома числителя, то необходимо выполнить деление полиномов. Оригинал, также, как и изображение, состоит из двух слагаемых:
- первое слагаемое:
δ(t)
1

;
- для определения изображения второго слагаемого можно использовать теорему разложения, поэтому находим корень знаменателя (
CR
2 1
p


) и производную полинома знаменателя







1
(p)
'
2
F
, тогда:
























CR
t
2
exp
CR
1
-
CR
2
p
1
CR
1
-
На рисунке 4.14 представлен график импульсной характеристики, состоящий из двух слагаемых
CR
t
2
e
CR
δ(t)
h(t)





1
Дельта-функция (импульс бесконечно малой длительности и с бесконечно большим размахом напряжения) имеет только математический смысл. Физически реализовать такую функцию невозможно.
Рис. 4.14

67
Рис. 4.15
Решение.
Сигнал, изображённый на рисунке 4.15,
П
- видеоимпульс прямоугольной формы.
Выражение, описывающее мгновенное значение сигнала на входе цепи, имеет следующий вид:
τ)
1(t
1(t)
(t)
вх u





V
V
Умножение функции V на означает, что эта функция существует только при t

0; аналогично, умножение функции -V на означает, что эта функция существует только при t


Одно из свойств преобразования Фурье заключается в следующем:
- если некоторой функции мгновенных значений f(t) соответствует изображение F(j

), то функции, задержанной на интервал времени

, соответствует изображение:
ω
 

Следовательно, сигналу на рисунке 4.15 соответствует изображение:
ВХ
ω
ω
V
ω
ω



 






, где
ω
- комплексная спектральная плотность функции
Далее следует показать вывод выражения
П
ω , начиная с записи прямого преобразования Фурье:
П
П
ω

 




, и заканчивая выражением спектральной плотности сигнала на входе схемы:
П
ω







Модуль этой спектральной плотности:
П
ω




, В

с.
График представлен на рисунке 4.16. и 4.17(1)

68
Рис. 4.16
Поскольку передаточная функция цепи по определению
)
(j вх
S
)
(j вых
S
)
H(j
ω
ω
ω

, то комплексная спектральная плотность сигнала на выходе цепи определяется
ВЫХ
ВХ
ω
ω
ω


Амплитудный спектр сигнала на выходе цепи находится, как произведение модулей комплексной передаточной функции и спектральной плотности входного сигнала:
ВЫХ
ВХ
ω
ω
ω


Для рассматриваемой цепи 4.11(1) выражение АЧХ передаточной функции:




2 4
2 1
CR
ω
CR
ω
)
H(





ω
; график АЧХ цепи изображён на рисунке 4.17 (2). Амплитудный спектр выходного сигнала:




c
B
)
2
τ
(ω
)
2
τ
sin(ω
Vτ
CR
ω
CR
ω
)
(
вых
S











,
2 4
2 1
ω
представлен на рисунке 4.17(3).
Для удобства сопоставления на рисунке 4.17(1) изображён амплитудный спектр входного сигнала.