Файл: Учебнометодическое пособие задание и указания по выполнению курсовой работы по дисциплине.pdf

23
Задача 2.2
Синусоидально изменяющееся во времени напряжение задано в виде комплекса действующего значения


5 8
,
50Гц.
U
j
B
f



1. Построить на комплексной плоскости.
2. Представить тригонометрической функцией времени.
3. Начертить график мгновенных значений.
Решение.
1. Заданный комплекс представлен в алгебраической форме записи.
Построим его на комплексной плоскости, отложив на осях действительных и мнимых чисел соответствующие величины.
;
U
a
jb
 
5;
8.
a
b


2. Для перехода от комплекса к тригонометрической форме записи напряжения необходимо представить комплекс в показательной форме^
u
j
U
Ue


Модуль комплекса U - действующее значение напряжения
2 2
5 8
9, 4
U
B



Амплитуда -
2 13,3 .
m
U
U
B


Аргумент комплексного числа - начальная фаза синусоидальной функции
8 58 .
5
u
arctg


 
2 2
50 314
;
рад
f
с




 


Тогда


13,3sin 314 58
u
t
B

 
3. График мгновенных значений

24
Анализ электрических цепей переменного тока производится, как правило, комплексным (символическим) методом.
Идея символического метода заключается в замене мгновенных значений синусоидально изменяющихся ЭДС, напряжений и токов, действующих в расчетной схеме, на изображающие их комплексные ЭДС, напряжения, токи;
;
e
E

;
u
U

i
I

Параметры (сопротивление R, индуктивность L , емкость С) пассивных элементов схемы (резисторов, катушек индуктивности, конденсаторов) также заменяют их комплексными изображениями (комплексными сопротивлениями), которые учитывают сопротивления, оказываемые ими синусоидальному току, а также вносимый ими сдвиг по фазе между приложенным к этим элементам напряжениям и протекающим по ним токам.
;
R
R

;
L
j L


1
C
j
C

 
Интегродифференциальные уравнения, описывающие режимы в цепях синусоидального тока
1
(
,
, u
)
R
L
C
di
U
Ri u
L
idt
dt
C




, при изображении токов и напряжений в виде комплексов и введении комплексных сопротивлений превращаются в алгебраические, что значительно упрощает расчет цепей.
Закон Ома для участка цепи:
U
I
U Y
Z

 
, где
Z
- комплексное сопротивление участка;
Y
- комплексная проводимость участка.
1-й закон Кирхгофа
1 0
n
i
i
I



;
2-й закон Кирхгофа
1 1
n
m
i
i
i
i
i
I Z
E





АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИМВОЛИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
1. Заменить мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов расчетной схемы на их комплексные изображения (комплексные амплитуды, комплексные действующие значения)
2. Заменить параметры пассивных элементов схемы на их комплексные изображения (комплексные сопротивления).
3. Рассчитать одним из методов расчета цепей комплексные значения искомых величин.
4. При необходимости перейти к мгновенным значениям искомых величин.

25
Рассмотрим применение символического метода анализа цепей синусоидального тока на примере определения напряжения на элементах цепи при их последовательном соединении.
Задача 2.3
Дано:
10sin(314 30 ) ;
i
t
A

 
5
;
R
Ом

318
;
C
мкФ

47,8
L
мГн

Определить комплексные напряжения
,
,
R
L
C
U
U
U .
Записать мгновенные значения напряжений
( )
R
u t ,
( )
L
u t ,
( )
C
u t
Решение.
1. Согласно алгоритму, мы заменяем мгновенные значения напряжений и тока расчетной схемы на их комплексные изображения.
Комплексное действующее значение тока:
30 30 10 7,07 2
2
j i
j
j
m
I
I
e
e
e
A






2. Заменяем параметры пассивных элементов схемы на их комплексные сопротивления.
Комплексное индуктивное сопротивление:
3 314 47,8 10 15
L
j L
jX
j
j
Oм







Комплексное емкостное сопротивление:
6 1
1 10 314 318 10
C
j
jX
j
j
Oм
C



 
 
 


3. По закону Ома для участка цепи комплексные действующие значения напряжения на элементах:
30 30 5 7,07 35, 4
;
j
j
R
U
RI
e
e
В



 

30 120 15 7,07 106
;
j
j
L
L
U
jX I
j
e
e
В






30 60 10 7,07 7,07
j
j
C
C
U
jX I
j
e
e
В



 
 


4. Мгновенные значения напряжений на элементах:
35, 4 2 sin(314 30 ) ;
R
u
t
В


 
106 2 sin(314 120 ) ;
L
u
t
В




7,07 2 sin(314 60 ) .
C
u
t
В


 

26
2.2. Баланс комплексных мощностей
Для расчёта мощности в режиме гармонических колебаний, используя символический метод, вводится понятие комплексной мощности:
???? = ???? ∙ ????
∗
= ???? ∙ ???? ∙ ????
????????
= ???? ∙ ???? ∙ ???????????????? + ???? ∙ ???? ∙ ???? ∙ ????????????????. (2.4)
Комплексную мощность можно записать в алгебраической форме:
???? = ???? + ???? ∙ ????, (2.5) где P − активная мощность и Q − реактивная мощность.
???? = ???? ∙ ???? ∙ ???????????????? = ????
2
∙ ???? = ????
2
∙ ???? (2.6)
Модуль комплексной мощности называется полной мощностью:
???? = |????| = √????
2
+ ????
2
. (2.7)
Единица измерения реактивной мощности называется – ВАр (вольт- ампер реактивный), а полной – вольт-ампер (B∙A).
Из формул (2.4) − (2.7) видно, что
???? = ????????[???? ∙ ????
∗
] = ????????[????]; ???? = ????????[???? ∙ ????
∗
] = ????????[????]; ???? = ???? ∙ ???? = |????|, т.е. активная мощность равна реальной части, а реактивная – мнимой части комплексной мощности S.
Коэффициент мощности
???????????????? =
????
????
(2.8)
При ???????????????? = 1 ???? = ???? и ???? = 0, т.е. цепь носит чисто резистивный характер и сдвиг фаз между током i и напряжением u равен нулю.
К комплексной мощности применима теорема Теллегена в комплексной форме:
∑
????
????
∙ ????
????
∗
????
????
????=1
= ∑
????
????
= 0
????
????
????=1
(2.9)
Уравнение (2.9) отражает баланс комплексных мощностей: сумма комплексных мощностей, потребляемых всеми ветвями цепи, равна нулю.
Равенство (2.9) можно записать и в другой форме: сумма комплексных мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равна сумме комплексных мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи:
∑
????
???? ист
????
????
????=1
= ∑
????
???? пот
????
????
????=1
(2.10)
Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей:
∑
????
???? ист
????
????
????=1
= ∑
????
???? пот
????
????
????=1
;
(2.11)
∑
????
???? ист
????
????
????=1
= ∑
????
???? пот
????
????
????=1
(2.12)

27
Задача 2.4
Дано:
25 2 sin 314 ;
u
t B

5
;
R
Ом

8
;
L
мГн

637
C
мкФ

Определить токи ветвей.
Решение.
1.Запишем комплексное действующее напряжения
U
и комплексные сопротивления.
0 25
;
j
U
e
B


5
;
R
Z
R
Oм
 
3 314 8 10 2,5
L
L
Z
jX
j L
j
j
Oм





 

6 1
1 5
314 637 10
С
С
Z
jX
j
j
j Oм
LC


 
 
 
 


2.Эквивалентное комплексное сопротивление между узлами 1 и 2 12
(
)
5(
5)
2,5 2,5 5
5
C
C
R
jX
j
Z
j
Oм
R
jX
j








3. Входной комплексный действующий ток
3 12 25 10 .
2,5 2,5 2,5
L
U
I
A
jX
Z
j
j






4. Комплексное действующее напряжение между узлами 1 и 2 3
12 25 2,5 10 25 2,5 .
L
U
U
jX
I
j
j
B
 






Комплексные действующие токи ветвей
45 12 1
5 5
5 2
;
j
U
I
j
e
A
R



 
 
45 12 2
5 5
5 2
;
j
C
U
I
j
e
A
jX


 
 

Мгновенные значения токов
1 10sin(314 45 ) ;
i
t
A

 
2 10sin(314 45 ) ;
i
t
A

 
3 14,1 sin 314 ;
i
t A


ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!
В цепи имеет место резонанс напряжений.

28 5. Составим уравнение баланса мощности.
Определим комплексную мощность источника.
3 25 10 250
ист
S
U I
BA

 





Re
250 Вт
ист
ист
P
S




Im
0
ист
ист
Q
S
вар


Определим комплексную мощность приемников.
2 2
1
(5 2) 5 250 Вт;
R
P
I R


 
2 2
3 10 2,5 250
;
L
L
Q
I
X
вар





 
2 2
2
(
)
5 2
( 5)
250
C
C
Q
I
X
вар

 

   
0
потр
L
C
Q
Q
Q



ист
nотр
P
P

ист
потр
Q
Q

250 Вт
250 Вт

0 0
вар
вар

Баланс мощности выполняется. Решение верно
2.3. Частотные характеристики
2.3.1. Комплексная передаточная функция
Важнейшей характеристикой линейной электрической цепи является
комплексная передаточная функция ????(????????). Представим электрическую цепь в виде четырёхполюсника (рис. 2.8), на входные зажимы
)
1 1
(


которого подаётся сигнал в виде напряжения с комплексной амплитудой ????
????1
или тока с комплексной амплитудой ????
????1
, а реакция цепи снимается с выходных зажимов
)
2 2
(


также в виде напряжения или тока с комплексными амплитудами
????
????2
,
????
????2
соответственно. Комплексная передаточная функция цепи определяется как отношение комплексной амплитуды реакции цепи к комплексной амплитуде входного воздействия.
Рис. 2.2

29
В зависимости от типов входного воздействия и реакции цепи различают следующие виды ????(????????):
1. Комплексная передаточная функция по напряжению
2 2
1 1
(
)
m
U
m
U
U
H
j
U
U



,
(2.13) где ????
????1
, ????
????2
, ????
1
, ????
2
− комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжения воздействия на входе и напряжения реакции на выходе.
2. Комплексная передаточная функция по току
????
????
(????????) =
????
????2
????
????1
=
????
2
????
1
,
(2.14) где ????
????1
, ????
????2
, ????
1
, ????
2
− комплексные амплитуды и действующие значения тока воздействия и тока реакции.
3. Комплексное передаточное сопротивление
????
????
(????????) =
????
????2
????
????1
=
????
2
????
1
. (2.15)
4. Комплексная передаточная проводимость
????
????
(????????) =
????
????2
????
????1
=
????
2
????
1
. (2.16)
Из данных определений следует, что ????
????
(????????) и ????
????
(????????) являются безразмерными величинами, а ????
????
(????????) и ????
????
(????????) - имеют соответственно размерности сопротивления и проводимости.
Комплексные передаточные функции определяются на частоте ???? сигнала воздействия и зависят только от параметров цепи.
Как всякую комплексную величину ????(????????) можно представить в показательной, тригонометрической и алгебраической форме:
????(????????) = |????(????????)|????
????????(????)
= ????(????)????
????????(????)
; (2.17)
????(????????) = ????(????)????????????????(????) + ????????(????)????????????????(????); (2.18)
????(????????) = ????????(????(????????)) + ????????????(????(????????)); (2.19)
Наряду с передаточными функциями (2.13) − (2.16) при анализе цепей находят применение комплексные функции, определяющиеся отношением комплексными воздействиями на входе электрической цепи (рис. 2.2)
????
вх
(????????) =
????
1
????
1
; ????
вх
(????????) =
????
1
????
1
Эти функции носят название комплексных входных функций цепи.
Задача 2.5
Записать комплексную передаточную функцию цепи (рис. 2.3) по напряжению:

30
Рис. 2.3
????
1
= ???????????? ????
2
= ????
Комплексная передаточная функция цепи по напряжению:
????(????????) =
????
????2
????
????1
=
????
2
????
1
В данной цепи протекает один ток I. Следовательно,
????(????????) =
????????
2
????(????
1
+ ????
2
)
=
????
2
????
1
+ ????
2
=
????
???? + ????????????
Для любой цепи, эквивалентная символическая схема которой может быть сведена к Г-образному виду, комплексная передаточная функция цепи по напряжению может быть записана через отношение сопротивлений как:
????(????????) =
????
2
????
1
+????
2
(2.20)
2.3.2. Частотные характеристики цепей
Представим комплексная передаточная функция в показательной форме:
????(????????) = |????(????????)|????
????????(????)
= ????(????)????
????????(????)
Модуль комплексной передаточной функции ????(????) = |????(????????)| называется
амплитудно-частотной характеристикой цепи (АЧХ), аргумент комплексной передаточной функции ????(????) = ????????????????(????????) называют фазо-частотной
характеристикой цепи (ФЧХ).
Таким образом, амплитуда сигнала на выходе цепи определяется АЧХ
(модулем комплексной передаточной функции), а фаза – ФЧХ (аргументом комплексной передаточной функции):
????
2
(????) = ????
????
(????)????
1
(????)
????
????2
(????) = ????
????
(????) + ????
????1
(????)
(2.21)
Если обозначить вещественную и мнимую части комплексной передаточной функции цепи:
????
1
(????) = ????????(????(????????)) = ????(????)????????????????(????)
????
2
(????) = ????????(????(????????)) = ????(????)????????????????(????)
, то АЧХ и ФЧХ будут связаны с вещественной и мнимой частями комплексной передаточной функции ????
1
(????) и ????
2
(????) соотношениями:

31
????(????) = √????
1 2
(????) + ????
2 2
(????); (2.22)
????(????) = ????????????????????(
????
2
(????)
????
1
(????)
)
. (2.23)
Если необходимо для цепи построить графики АЧХ в общем случае, то для цепей первого порядка достаточно на основе анализа схемы получить значения АЧХ при ???? = 0, ???? → ∞ и по двум точкам построить график, ФЧХ для некоторых цепей также легко построить по двум точкам, а в случае отсутствия такой возможности достаточно проанализировать характер цепи на промежуточных частотах.
Важной характеристикой цепей является групповое время запаздывания
(ГВЗ). ГВЗ определяется как
]
[
,
)
(
c
d
d
ГВЗ





(2.24)
Знак минус перед производной объясняется тем, что для физически реализуемых цепей всегда ГВЗ ≥ 0, а ФЧХ таких цепей имеет отрицательный угол наклона.
Фазовые искажения сигнала цепью будут отсутствовать, если ее ГВЗ
постоянно, т.е. не зависит от частоты сигнала. Амплитудные искажения будут отсутствовать, если АЧХ не зависит от частоты сигнала. Таким образом, условие неискаженной передачи сигнала цепью будет H (ω)=const,
φ(ω)=−ω∙(ГВЗ) ± kπ.
2.3.3. Резонансы в электрических цепях
Резонансом называют такое состояние пассивной электрической цепи, состоящей из разнохарактерных реактивных элементов, при котором фазовый сдвиг между входным током и входным напряжением равен нулю. При этом входное реактивное сопротивление и/или входная реактивная проводимость цепи равны нулю.
Простейший колебательный контур содержит индуктивный и ёмкостный элементы, соединённые последовательно с источником (последовательный контур рисунок 2.4) или параллельно (параллельный контур). В последовательном контуре возникает резонанс напряжений, а в параллельном – резонанс токов.

32
Рис. 2.4
Частоту, на которой наблюдается явление резонанса, называют резонансной.
Резонанс – это такое состояние цепи, при котором фаза входного тока совпадает с фазой входного напряжения.
Резонанс – это такое состояние цепи, при котором входное комплексное сопротивление является чисто резистивным.
Резонанс – это такое состояние цепи, при котором мнимая часть входного комплексного сопротивления равна нулю.
Для определения резонансной частоты нужно:
1. Составить выражение входного комплексного сопротивлении Zвх(jω).
2. Привести его к виду Re[Zвх (jω)] + j Im[Zвх(jω)].
3. Приравняв мнимую часть к нулю Im[Zвх(jω)] = 0, решить полученное уравнение относительно аргумента ω.
Комплексное входное сопротивление контура на данной частоте
(
1
)
Z
R
jX
R
j
L
C


 
 

. (2.25)
При резонансе
0
X

или
0 0
1 0
L
C




, отсюда получаем уравнение резонансной частоты
0 1
LC


(2.26)
На резонансной частоте сопротивление контура носит чисто резистивный характер, т. е.
Z
R

, ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и достигает максимального значения
0
I
U R

. Сопротивления индуктивности и емкости на резонансной частоте
0

равны друг другу:
0 0
1
L
C
L C






. (2.27)
Величина

носит название характеристического сопротивления контура.
Резонансные свойства контура характеризуются его добротностью, которая в общем случае определяется как:
L C
Q
R
R



. (2.28)
Отношение действующих значений напряжений на реактивных элементах
( L и
C
) к действующему значению приложенного напряжения при резонансе:
Q
R
CU
I
U
L
I
U
U
U
U
C
L








0 0
0 0
0 0
. (2.29)