Файл: Учебнометодическое пособие задание и указания по выполнению курсовой работы по дисциплине.pdf

33
Таким образом, добротность
Q
показывает, во сколько раз напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряжение на резонансной частоте.
На рис. 2.5 изображены зависимости
( )
Z

,
( )
 
, определяемые формулами:
2 2
1
( )
Z
R
L
C












,
1
( )
L
C
arctg
R


 








. (2.30)
0
Z
R
( )
 
2

2




0

0

0
Рис. 2.5
Из представленных характеристик следует, что при
0
 

цепь имеет
ёмкостный характер
(
0)


и ток опережает по фазе приложенное напряжение, при
0
 

характер цепи индуктивный
(
0)


и ток отстаёт по фазе от приложенного напряжения; при
0
 

наступает резонанс напряжений
(
0)


и ток совпадает по фазе с приложенным напряжением. Полное сопротивление цепи принимает при резонансе минимальное значение
R
Z

Зависимость действующего значения тока от частоты определяется уравнением:
2 2
( )
(
1
)
I
U Z
U
R
L
C







. (2.31)
Анализ зависимости
( )
I

показывает, что она достигает максимума при резонансе
0
I
U R

Степень отклонения частоты воздействия от резонансной частоты принято оценивать абсолютной, относительной и обобщённой расстройками.
Расстройки определяются следующим образом: абсолютная
0
  
  
или
0
f
f
f
  
; относительная
0 0
f f

 
 
 
; (2.32) обобщённая































0 0
0 0
0 1
Q
R
L
R
C
L
R
X

34
Важной характеристикой колебательного контура является полоса пропускания. В общем случае абсолютной полосой пропускания называют диапазон частот, в пределах которого резонансная характеристика уменьшается в 2 раз по сравнению с ее максимальным значением. Абсолютная полоса пропускания
П
2 1
f
f
f
 

, где
1
f и
2
f - нижняя и верхняя граничные частоты полосы пропускания:
1,2 2
0 1,2
( 1 4 1)
2 2
f
f
Q
Q





. (2.33)
Из вышеизложенного следует, что на границе полосы пропускания
1,2 1

 
и
45

  
Абсолютную полосу пропускания
П
f

можно выразить через добротность
2 1
0
П
f
f
f
f
Q
 


(2.35)
Формула (2.35) показывает, что чем выше добротность
Q
, тем меньше полоса пропускания и наоборот. Следует отметить, что подключение к контуру сопротивления нагрузки приводит к увеличению резистивных потерь контура и, следовательно, к уменьшению его добротности и расширению полосы пропускания.

35
????
????????????
1
????
= cos(????????
1
????) + ???? ∙ ????????????(????????
1
????), (3.5) можно записать ряд Фурье в комплексной форме:
????(????) = ∑
????(????????) ∙ exp (????????????
1
????)
∞
????=−∞
; (3.6)
????(????????) =
1 2
[????
????
(????) − ????????
????
(????)]; ????(????????) =
1
????
∫ ????(????) ∙ exp(−????????????
1
????) ????????.
????
2
−
????
2
(3.7)
В комплексной форме ряда Фурье присутствуют положительные и отрицательные частоты. Составляющие ????(????????) и ????(−????????) имеют одинаковые модули, а их фазы противоположны по знаку:
????(????????) = |????(????????)| ∙ ????
????????(????)
,
????(−????????) = |????(????????)| ∙ ????
−????????(????)
. (3.8)
Отсюда находим:
????(????????)????
????????????
1
????
+ ????(−????????)????
−????????????
1
????
= 2????(????)cos [????????
1
???? + ????(????)].
Тогда можно получить:
????(????) = ????(0) + 2 ∑
|????(????????)| ∙ cos[????????
1
???? + ????(????)] ,
∞
????=1
(3.9) где |????(????????)| =
1 2
√????
????
2
(????) + ????
????
2
(????) - амплитуда гармоники;
????(????) = −????????????????????(
????
????
(????)
????
????
(????)
) - фаза гармоники.
Это третья форма ряда Фурье в виде суммы реальных гармоник. Таким образом, отрицательные частоты являются математической абстракцией, определяемой комплексным представлением реального сигнала.
Любая спектральная составляющая характеризуется амплитудой и фазой.
Спектром амплитуд называется зависимость амплитуд гармоник от частоты.
Зависимость начальных фаз гармоник от частоты называется спектром фаз.
Спектр амплитуд и спектр фаз, представленные в графическом виде, называются спектральными диаграммами.
Активная мощность периодического негармонического сигнала равна сумме мощностей всех составляющих его обобщённого спектра:
????
????
=
1
????
∫ ????
2
(????)???????? = ∑
????
????
????
????
cos (????
????
)
∞
????=0
????
2
−
????
2
(3.10)
Формула (3.10) носит название «равенство Парсеваля».
Для ряда Фурье в комплексной форме, получим:
????
????
= ∑
|????(????????)|
2
∞
????=−∞
. (3.11)
При ограничении спектра по частоте мощность сигнала уменьшается, т.е. равенство Парсеваля позволяет судить о точности фильтрации сигнала.
Спектральный анализ периодических сигналов с помощью ряда Фурье может быть обобщён на случай непериодических сигналов.
Будем рассматривать абсолютно интегрируемые сигналы, т.е. сигналы с ограниченной энергией

36
∫ |????(????)|???????? < ∞
∞
−∞
Если дополнить финитный сигнал, т.е. сигнал, ограниченный по длительности, таким же, но следующим через интервал

n

T (T − период), то получим рассмотренный выше периодический сигнал.
Очевидно, исходный финитный сигнал отличается от периодического сигнала лишь тем, что у него период стремится к

. Тогда получим:
????(????) = lim
????→∞
????
пер
(????).
Если ???? → ∞, то спектральные составляющие располагаются так плотно, что при этом спектр становится сплошным; при этом расстояния между спектральными составляющими
2????
????
→ ????????, а
????????
1
→ ????.
В результате получим спектральную плотность сигнала:
????(????????) = ∫
????(????)????
−????????????
????????
∞
−∞
, (3.12) которая вычисляется прямым преобразованием Фурье.
Обратное преобразование Фурье:
????(????) =
1 2????
∫
????(????????)????
????????????
????????
∞
−∞
. (3.13)
Таким образом, непериодический сигнал и его спектральная плотность связаны взаимно-однозначными прямым и обратным преобразованиями Фурье.
Основные свойства спектральной плотности сигнала.
Из сравнения прямого преобразования Фурье с рядом Фурье видно, что и там, и там сигнал представляется в виде суммы гармоник, но в отличие от ряда
Фурье спектральная плотность представляет собой сумму бесконечно малых гармоник
1 2????
|????(????????)|????????.
Если рассмотреть какую-либо k-тую гармонику, то амплитуда этой гармоники будет равна
1 1
1
(
)
(
)
2
m
S jk
U
jk
 



, (3.14) т.е. спектральная плотность имеет смысл плотности амплитуды спектра и измеряется




Гц ампл
. Отсюда и произошло название «спектральная плотность сигнала». Таким образом, спектральная плотность показывает распределение
амплитуд по частоте.

37
Другой важный вывод: спектральная плотность непериодического сигнала и огибающая спектра периодического сигнала, полученного из непериодического, совпадают по форме и отличаются только масштабом. Это позволяет вычислять огибающую спектра периодического сигнала с помощью прямого преобразования Фурье, что гораздо легче, чем вычисление коэффициентов ряда Фурье.
Так как интегрирование – линейная операция, то преобразование Фурье обладают свойствами линейности (это линейный функциональный оператор).
Введём обозначение: F(

) − прямое преобразование Фурье; F
-1
(

) − обратное преобразование Фурье.
Если
????(????) = ∑ ????
????
∙ ????
????
(????)
????
, то ????(????????) = ∑ ????
????
∙ ????
????
(????????)
????
, (3.15) где ????
????
(????????) = ????(????
????
(????)). Справедливо и обратное утверждение.
Основные теоремы преобразования Фурье.
Теорема о сдвиге по оси времени.
Если дан смещённый во времени сигнал ????(???? − ????
0
) (запаздывание на t
0
), то
Фурье-преобразование от этого сигнала будет:
????[????(???? − ????
0
)] = ????
−????????????
0
????(????????) , где ????(????????) = ????[????(????)]. (3.16)
Таким образом, смещённый сигнал имеет спектральную плотность, отличающуюся лишь спектральной плотностью фаз.
Теорема о свёртке.
Интегралом свёртки называется:
????
1
(????) ⊗ ????
2
(????) = ∫ ????
1
(????)
????
0
????
2
(???? − ????)????????
Если заданы два сигнала ????
1
(????), ????
2
(????) и известны их спектральные плотности ????
1
(????????), ????
2
(????????), то Фурье-преобразование свёртки сигналов равно:
???? [∫ ????
1
(????)????
2
(???? − ????)????????
????
0
] = ????
1
(????????) ∙ ????
2
(????????).
Теорема о масштабе (подобии).
Если известны сигнал и его спектральная плотность, то Фурье- преобразование равно ???? = [????(????????)] =
1
????
????(????
????
????
), где k – коэффициент.
Теорема о модуляции.
Если известен сигнал ????(????) и его спектральная плотность ????(????????), то Фурье- преобразование равно: ????[????(????)????
????????
????
????
] = ????[????(???? − ????
0
)]. (3.17)
Таким образом, при умножении сигнала на ????
????????
????
????
его спектр сдвигается по оси частот на ????
0
Теорема Парсеваля.

38
Если заданы два сигнала с известными спектральными плотностями, то их скалярное произведение во временной области имеет преобразование:
(????
1
, ????
2
) = ∫
????
1
(????)????
2
(????)????????
∞
−∞
=
1 2????
∫ | ????
1
(????????)| ∙ | ????
2
(????????)| ????????
∞
−∞
Частный случай ????
1
(????) = ????
2
(????) приводит к равенству (иногда называют равенством Релея):
????
????
= ∫
????
2
(????)???????? =
1 2????
∫ |????(????????)|
2
∞
−∞
????????
∞
−∞
Если принять, что s(t) есть напряжение, приложенное к активному сопротивлению 1 Ом, то ∫ ????
2
(????)????????
∞
−∞
представляет собой энергию, выделяющуюся в этом сопротивлении.
Функцию
|????(????????)|
2
называют энергетическим спектром сигнала, или спектральной плотностью энергии сигнала
3.2. Спектральное представление элементарных сигналов
Элементарные сигналы (функции) часто используются для описания более сложных, например, цифровых сигналов. Это позволяет производить с ними различные операции по правилам непрерывных сигналов, что существенно облегчает анализ.
Функция единичного скачка
t
( )
t

1 0
Рис. 3.1
Аналитическое описание функции единичного скачка, которая ещё называется функцией Хевисайда или функцией включения, имеет следующий вид:
????(????) = {
0 ,
???? < 0;
0,5 , ???? = 0;
1 , ???? > 0.
Таким образом, единичная функция − это «скачок» от 0 до 1 в момент времени t = 0 (в точке разрыва значение функции равно среднему значению, т.е.
????(0) = 0,5)
Прямое определение спектральной плотности единичной функции невозможно, поскольку она не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Однако, можно найти её спектральную плотность,

39 воспользовавшись предельным переходом и линейностью преобразования
Фурье. Находим:
????[????(????)] = ???? [lim
????→0
????
−????????
0 0



t
] = lim
????→0
???? [????
−????????
] = lim
????→0 1
????+????????
=
1
????????
. (3.18)
Прямоугольный импульс.
Аналитическая запись прямоугольного импульса даётся следующим выражением:
1,
2 2
( )
0,
;
2 2
и
и
и
и
t
f t
t


 
   

 



 






(3.19) где ????
????
– длительность импульса
t
( , )
u
rect t

1 0
2
u

2
u


Рис. 3.2
Спектральная плотность прямоугольного импульса находится непосредственно из прямого преобразования Фурье. Находим:
???? [???????????????? (
????
????
????
)] = ∫
???????????????? (
????
????
????
) ????
−????????????
???????? = ????
????
(
sin(
????????????
2
)
????????????
2
)
∞
−∞
. (3.20)
При описании сигналов иногда используют, так называемый, единичный импульс r(t), имеющий единичную амплитуду и бесконечно малую длительность. Единичный импульс связан с прямоугольным импульсом следующим соотношением:
????(????) = lim
????
и
→0
(
????
????
и
) .
Дельта–функция.
t
( )
t

0
Рис. 3.3

40
Аналитическая запись ????(????) функции, которая часто называется функцией
Дирака, имеет следующий вид:
????(????) = {
0,
???? < 0;
∞,
???? = 0;
0,
???? > 0.
Дельта-функция связана с единичной функцией очевидным соотношением:
????(????) =
????
????????
[????(????)], (3.21) т.е. она выражает скорость изменения ????(????). Поэтому их размерность отличается множителем 1/с (если
)
t
(

− безразмерна, то ????(????) − имеет размерность [1/с]).
Функция ????(????) обладает двумя важными свойствами:
∫
????(????)???????? = 1;
∞
−∞
∫
????(????) ∙ ????(???? − ????)???????? = ????(????)
∞
−∞
. (3.22)
Последнее свойство называется “фильтрующим свойством” ????(????)- функции. Из этого свойства непосредственно следует спектральная плотность
????(????)-функции:
????[????(????)] = ∫
????(????)????
−????????????
???????? = 1
∞
−∞
(3.23)
Для описания сигналов иногда используют связь между ????(????)-функцией и единичным прямоугольным импульсом:
????(????) = ????????????????(????)/????????
и
. (3.24)
Используя выражение (3.23) и свойство линейности преобразования
Фурье, легко найти спектральную плотность постоянного во времени сигнала, т.е. когда s(t) = 1 при −∞ ≤ ???? ≤ ∞. Находим:
????
−1
[????(????)] =
1 2????
;
????[1] = 2????????(????). (3.25)
Поскольку функцию единичного скачка можно представить суммой
0,5[1 + ????????????????(????)], где sign(t) – функция знака, т.е. функция, определяемая следующим соотношением:
????????????????(????) =
|????|
????
{
−1, ???? < 0;
0, ???? = 0;
1, ???? > 0.
, постольку спектральную плотность функции единичного скачка иногда представляют в следующем виде:
????[????(????)] = ????????(????) +
1
????????
|
????≠0
. (3.26)
Таким образом, особенность спектральной плотности единичной функции подчеркивается отдельным слагаемым.
Задача 3.1
Построить амплитудный спектр периодического сигнала (рис. 3.4).

41 0
T/3
T
t u
U
…..
Рис. 3.4
Решение.
Из теоремы сдвига (3.16) следует, что амплитудный спектр сигнала не изменяется при сдвиге сигнала по оси времени. Кроме того, спектральная плотность непериодического сигнала и огибающая спектра периодического сигнала, полученного из непериодического, совпадают по форме и отличаются только масштабом. Следовательно, для получения амплитудного спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов можно воспользоваться формулой расчёта спектральной плотности прямоугольного импульса (3.20).




1 1
1 1
2
|
|
2
m
и
и
и
sink
sink
U
U
Q
U
jk
S jk
U
k
k
T
T
Q
Q

 



 




(3.27) где ???? =
????
????
????
- скважность импульсов.
Из полученной формулы следует, что амплитуды гармоник, частота которых кратна скважности, будут равны нулю.
Для заданной периодической последовательности Q = 3, следовательно,
????
????
(????????????
1
) =
????
3
|
????????????????
????
3
????????
3
| и амплитуды гармоник, частоты которых равны
3????
1
, 6????
1
, 9????
1
и т.д., будут равны нулю.
Формула (3.27) позволяет вычислить амплитудный спектр комплексного ряда Фурье, т.е. включает гармоники с положительными и отрицательными частотами. Чтобы вычислить амплитудный спектр одностороннего ряда Фурье
(включающего реальные гармоники с положительными частотами), амплитуды гармонических составляющих необходимо умножить на 2. Тогда получим:
????
0
=
????
3
,
????
????
(????
1
) = 0,551 ∙ ????,
????
????
(2????
1
) = 0,276 ∙ ????,
????
????
(4????
1
) = 0,138 ∙ ????,
????
????
(5????
1
) = 0,11 ∙ ????, и т.д.
Амплитудный спектр заданного периодического сигнала приведён на рис. 3.5.