Файл: Учебнометодическое пособие задание и указания по выполнению курсовой работы по дисциплине.pdf

50
Сигнал ????(????) в операторном методе называется оригиналом, а соответствующая функция комплексной переменной – изображением.
Изображение находится с помощью прямого преобразования Лапласа.
Например, для напряжения:
????(????) = ∫ ????(????)????
−????????
????????
∞
0
(4.9)
Оригинал находится с помощью обратного преобразования:
????(????) =
1 2????∗????
∫
????(????)????
????????
????????
????+????∞
????−????∞
(4.10)
В математике используются обозначения: L[...]- прямой,
1
L [...]

- обратный операторы Лапласа
Алгебраизация дифференциальных уравнений связана с теоремами дифференцирования и интегрирования в области изображения.
Пусть задан сигнал, удовлетворяющий условию ограниченности, и его изображение. Найдём изображение от первой производной сигнала. Используя интегрирование по частям, находим:
????[????
′
(????)] = ∫ ????
′
(????)????
−????????
???????? = ????
−????????
????(????)|
0
∞
+ ???? ∫ ????(????)????
−????????
????????
∞
0
= ????(0) + ????????(????)
∞
0
, где s(0) – начальная величина сигнала.
Аналогично можно доказать для производной любого порядка:
????[????
(????)
(????)] = ????
????
{????[????(????)] −
????(0)
????
−
????
′
(0)
????
2
− ⋯ −
????
????−1
(0)
????
????
} (4.11)
С помощью этой формулы осуществляется алгебраизация дифференциальных уравнений. Аналогично определяется изображение интеграла от сигнала:
???? [∫ ????(????)????????
????
0
] =
1
????
????[????(????)] =
1
????
????(????) (4.12)
Есть достаточно подробные таблицы преобразования Лапласа, где для данного оригинала можно найти изображение и наоборот.
Оператор Лапласа, как и оператор Фурье являются линейными. Они связаны между собой очень простой зависимостью:
????[… ] = ????[… ]|
????=????????
. (4.13)
Поэтому рассмотренный ранее символический метод легко обобщается на операторный метод анализа.
Для преобразования Лапласа справедливы основные теоремы преобразования Фурье:
- теорема о сдвиге (запаздывании):
????(???? − ????
0
)
????(????)????
−????????
0
; (4.14)
- теорема о свёртке:
∫ ????
1
(????) ∙ ????
2
(???? − ????) ????????
????
0
????
1
(????) ∙ ????
2
(????); (4.15)
- теоремы о предельных значениях: lim
????→∞
????(????) = lim
????→0
????????(????); lim
????→0
????(????) = lim
????→∞
????????(????).

51
Основные законы электрических цепей в операторной форме
Если ввести понятия операторного сопротивления и операторной проводимости, то в соответствии с известными зависимостями между токами и напряжениями для элементовэлектрических цепей, получим:
????
????
(????) = ????; ????
????
(????) = ????????; ????
????
(????) =
1
????????
(4.16)
Из определения сопротивления находим закон Ома в операторной форме при нулевых начальных условиях (???? = 0; ????
????
= 0; ????
????
= 0):
????(????) =
????(????)
????(????)
; ????(????) = ????(????) ∙ ????(????)
. (4.17)
Аналогично определяем законы Кирхгофа:
∑
????
????
(????) = 0;
????
????=1
∑
????(????) =
????
????=1
∑
????
????
(????)
????
????=1
(4.18)
Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме аналогичны по записи тем же законам в символьной форме.
При ненулевых начальных условиях необходимо учесть составляющие начальных условий: для индуктивности эта составляющая будет L∙i(0), для
ёмкостей
−
????
????
(0)
????
. Это дополнительные (внутренние) источники напряжения.
Можно учесть начальные условия и в виде внутренних источников тока.
При анализе цепей операторным методом необходимо перейти от заданной цепи к эквивалентной операторной схеме, где расчётные элементы моделируются операторными сопротивлениями и проводимостями. Далее анализ можно проводить, используя для определения операторных изображений токов и напряжений цепи весь аппарат вычислений, применяемый для расчётов установившегося режима (метод узловых потенциалов, контурных токов и так далее).
Таким образом, сущность операторного метода анализа линейных электрических цепей заключается в переходе к операторной схеме и к изображениям внешних воздействий. Далее используя законы электрических цепей в операторной форме, находят ток или напряжение в операторной форме.
По найденному изображению тока или напряжения находят оригинал.
Задача 4.4
Составить операторную схему замещения цепи (рис.4.8), если U = const.
Решение.
Чтобы составить операторную схему замещения цепи, необходимо определить начальные условия переходного процесса. До коммутации ключ разомкнут, и схема представляет собой последовательное соединение резистивного сопротивления и ёмкости. Ток в цепи от источника постоянного

52 напряжения будет равен нулю, и, следовательно, падение напряжения на резистивном сопротивлении также будет равно нулю.
Рис. 4.8
Тогда, исходя из закона Ома для одиночного контура: ????
????
+ ????
????
= ????, напряжение на емкости до коммутации будет равно входному напряжению:
????
????
(0
−
) = ????.
По закону коммутации ????
????
(0
+
) = ????
????
(0
−
) = ????.
Ненулевые начальные условия необходимо учесть в операторной схеме замещения путем включения в нее дополнительного (внутреннего) источника напряжения с
????(????) =
????
????
(0)
????
. Операторная схема замещения цепи приведена на рис. 4.9.
Рис. 4.9
4.3.2. Операторная передаточная функция
Поскольку операторный метод по своей структуре аналогичен символическому методу, то по аналогии с комплексной передаточной функцией
)
j
(
H

можно ввести понятие операторной передаточной функции или просто передаточной функции H(p). Передаточной функцией называется отношение изображения сигнала на выходе (т.е. изображение реакции цепи) к изображению входного воздействия (т.е. входного сигнала). Обозначая воздействие индексом “1”, а реакцию - “2”, приходим к четырём типам передаточной функции:
????
????
(????) =
????
2
(????)
????
1
(????)
????
????
(????) =
????
2
(????)
????
1
(????)
????
????
(????) =
????
2
(????)
????
1
(????)
????
????
(????) =
????
2
(????)
????
1
(????)
(4.19)

53
Размерность ????
????
(????) и ????
????
(????) иногда подчёркивают тем, что их называют проходным сопротивлением и проходной проводимостью и обозначают Z
12
(p) и
Y
12
(p).
Передаточная функция является характеристикой электрической цепи и не зависит от входных воздействий. Очевидно, что если известна передаточная функция цепи, то легко найти реакцию этой цепи на любое входное воздействие. Например,
????
2
(????) = ????
????
(????)????
1
(????) (4.20)
Процедура определения операторной передаточной функции цепи полностью аналогична поиску комплексной передаточной функции при символическом методе.
4.3.3. Диаграмма нулей и полюсов
Из общего выражения для передаточной функции
????(????) =
????(????)
????(????)
=
????
????
????
????
+ ????
????−1
????
????−1
+ ⋯ + ????
1
???? + ????
0
????
????
????
????
+ ????
????−1
????
????−1
+ ⋯ + ????
1
???? + ????
0
следует, что это дробно-рациональная функция от переменной ???? = ???? + ????????.
Если числитель этого выражения приравнять к нулю, то получается уравнение нулей передаточной функции: ????(????) = 0. Ноль называется корнем этого уравнения, т.е. такое значение p,при котором передаточная функция обращается в нуль p
01
– первый нуль.
Если знаменатель приравнять к нулю, то получится уравнение полюсов.
Оно называется характеристическим уравнением, так как по форме полностью совпадает с характеристическим уравнением соответствующего дифференциального уравнения.
Полюсом называется корень характеристического уравнения, т.е. значение p, при котором передаточная функция обращается в бесконечность. p
*1
– первый полюс, p
*2
– второй полюс и т.д.
Для анализа свойств электрической цепи по расположению нулей и полюсов на плоскости переменной p, (p-плоскости) строят «диаграмму нулей и полюсов» рис. 4.10.
????(????) = ????
(????−????
01
)∙(????−????
02
)…(????−????
0????
)
(????−????
∗1
)∙(????−????
∗2
)…(????−????
∗????
)
, где
???? =
????
????
????
????
. (4.21)

54
*
*
*


j
P
01
P
02
P
03
P
*1
P
*2
P
*3
Рис. 4.10
Зная нули и полюсы легко найти передаточную функцию. Это представление обладает единственностью и называется факторизацией.

55 30 90 120 30 30 30 90 60 120 30 60 20 20 400 20 20 400 20 40 800 400 400 800 400 120 120
j
j
j
Lm
m
L
j
j
Rm
m
j
j
j
Cm
m
C
j
j
j
ВХm
Lm
Rm
Cm
U
I
j X
e
e
e
U
I
R
e
e
U
I
(
j X )
e
e
e
U
U
U
U
e
e
e
(cos(
)
j sin(






 
 


 

 







 





  


















 
15 30 30 2
60 2
60 1
3 3
1 1
3 400 2
2 2
2 2
2 2
2 1
3 1
3 400 566 2
2 2
2
j
)
cos(
)
j sin(
)
cos(
)
j
sin(
))
(
j
j
j
)
((
)
j (
))
e
 

 
 

  



   

      



 



По этим значениям записываем выражения для мгновенных напряжений:
400 120 400 30 800 60 566 15
L
R
C
ВХ
u ( t )
sin( t
); u ( t )
sin( t
);
u ( t )
sin( t
); u ( t )
sin( t
)
















Составим баланс мощностей. При расчете мощностей используются действующие значения токов и напряжений
Мощность источника:
15 30 45 1
1 566 20 5657 4000 4000 2
2 4000 Вт
4000 ВАр
j
j
j
m
ист
ВХm
ист
ист
S
U
I
e
e
e
j
Активная мощность P
Реактивная мощность Q

 
 
 
 

 






 

 
Потребляемые мощности.
Активная
2 2
1 1
20 20 4000 2
2
ПОТР
m
ист
P
I
R
P
 
  



Реактивная
2 2
1 1
20 20 40 4000 2
2
ПОТР
m
L
C
ист
Q
I
( X
X )
(
)
Q
 


 


 

Баланс мощностей выполняется.
Задача 2
Запишите выражение комплексной передаточной функции
2 1
(
)
U
H j
U



56
Решение:
Поскольку цепь Г-образная, то комплексная передаточная функция по напряжению может быть найдена, как отношение выходного комплексного сопротивления и входного комплексного сопротивления.
1 1
(
)
1 2
1
R
Rj C
j C
H j
Rj C
R
R
j C












Задача 3
Запишите выражение комплексной передаточной функции по току
2 1
(
)
I
H j
I


цепи
Решение:
Обозначим
1 2
1
R
C
j
Z
R
j
; Z
R
C
C



  
  




Тогда:
1 2
1 1
1 2
2 1
2 1
2 1
2 1
1 2
1 1
2 1
1 2
2 2
2 2
2
Z
Z
I
Z
Z
Z
I
I
Z
Z
Z
I
Z ( j
)
Z
H
; H( j
)
I
Z
Z
Z ( j
)
Z ( j
)
R
C
j
Z ( j
)
C
R
C
j
R
C
j
Z ( j
)
Z ( j
)
R
C
C
R
C
j
( R
C
j ) (
R
C
j )
H( j
)
R
C
j
(
R
C
j ) (
R
C
j
























 










  



  
   




 


  
  

   



   
   

   
2 2
2 2
1 2
1 2
1
)
( R
C )
R
C
j
(
R
C )
(
R
C )






 

 

 
  

  


57
Задача 4
Рассчитать переходную и импульсную характеристики цепи. Построить графики.
Решение:
Напомним, что переходная характеристика g(t) – это отклик цепи на входной сигнал вида единичной ступенчатой функции l(t), операторное изображение которого 1/p.
По определению операторной передаточной функции
2 1
( )
( )
,
( )
U
p
H p
U p

откуда изображение выходного напряжения
2 1
( )
( ) ( ).
U
p
U p H p

Для переходной характеристики
2 1
( )
( )
( ).
L
g t
U
p
H p
p



Операторная передаточная функция получается из выражения для комплексной передаточной функции заменой j

на p.
Импульсная характеристика цепи – это отклик цепи на входной сигнал в виде ( )
t

, операторное изображение которой – 1.
2
( )
( )
( ) 1
( )
L
h t
U p
H p
H p



 
Переход от изображений к оригиналам осуществляется по теореме разложения или таблицам.
Для схемы задания, операторная передаточная функция равна
2 1
2
( )
R
H p
R
R
pL


