Файл: Учебнометодическое пособие задание и указания по выполнению курсовой работы по дисциплине.pdf

42

0


1 1
1 2
3

4

1
…..
U
0
U
mk
0,5
Рис. 3.5
4. Режим негармонических воздействий
4.1. Классический метод анализа
4.1.1. Правила коммутации
При переходе электрической цепи из одного установившегося режима в другой (с другими параметрами) возникает переходный режим, который характеризуется нестационарным, неустановившимся или переходным процессом.
Целенаправленная коммутация в электрической цепи осуществляется с помощью ключей. При анализе электрических цепей все коммутационные устройства, ключи, считаются идеальными. Идеальный ключ
– это двухполюсник, у которого в замкнутом состоянии сопротивление равно нулю, а в разомкнутом – бесконечности, причем переход из одного состояния в другое происходит мгновенно.
Принято схемы с ключами изображать до момента коммутации. Момент коммутации обозначается t = t
0
, часто t
0
= 0.
Резистивная цепь при коммутации переходит из одного режима в другой мгновенно, а электрическая цепь с реактивными элементами (L,C) обладает инерционностью, связанной со способностью индуктивности и емкости запасать, а затем отдавать электрическую энергию.
Поведение реактивных элементов в момент коммутации определяется законами коммутации. При конечных по величине воздействиях напряжение на емкости и ток через индуктивность являются непрерывными функциями времени, т.е.
????
????
(????
0
+ 0) = ????
????
(????
0
− 0) = ????
????
(????
0
)
????
????
(????
0
+ 0) = ????
????
(????
0
− 0) = ????
????
(????
0
), (4.1) где (????
0
± 0) = lim
∆????→0
(????
0
± ∆????) - момент после (”+”) и до (”-”) коммутации.
Если коммутация происходит в момент времени
0 0
t

, то возможна запись законов коммутации в виде:

43
????
????
(0
+
) = ????
????
(0
−
) = ????
????
(0)
????
????
(0
+
) = ????
????
(0
−
) = ????
????
(0)
(4.2)
Величины ????
????
(????
0
), ????
????
(????
0
) - это значения параметров электрической цепи в момент коммутации. Поэтому они называются начальными условиями. В частности они могут быть нулевыми.
Задача 4.1
Определить значение напряжения на емкости в первый момент после коммутации ????
????
(0
+
) в цепи (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Решение.
Рассмотрим цепь до коммутации. Ток источника тока J будет протекать через сопротивления R
1
и R
2
, через ёмкость постоянный ток равен нулю.
Ёмкость С включена параллельно с сопротивлением R
2
, следовательно к ним приложено одно и тоже напряжение: ????
????
(0
−
) = ???? ∙ ????
2
В первый момент непосредственно после коммутации напряжение на
ёмкости по закону коммутации скачком измениться не может, т.е. получаем:
????
????
(0
+
) = ????
????
(0
−
) = ????
????
(0) = ???? ∙ ????
2
= 10 ????
4.1.2. Анализ цепей первого порядка
Математической основой классического метода анализа являются обыкновенные дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять напряжения и токи в электрических цепях. Составление дифференциальных уравнений базируется на законах Ома и Кирхгофа. Считается, что линейные электрические цепи имеют постоянные параметры.
В задаче анализа переходного процесса классическим методом задано: электрическая цепь, уравнения элементов цепи, начальные условия, внешние воздействия (источники тока и напряжения, зависимые и независимые). Вопрос задачи анализа заключается в определении параметров переходного процесса электрической цепи.
Классический метод анализа заключается в составлении неоднородных, обыкновенных дифференциальных уравнений электрической цепи и в их последующем решении. Поскольку рассматриваются линейные электрические цепи с постоянными параметрами, то и уравнения также будут линейными с

44 постоянными коэффициентами. Известно, что решение неоднородного уравнения является суммой общего решения, соответствующего однородного линейного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения характеризует свободные колебания в электрической цепи; частное решение характеризует вынужденные колебания. Свободными колебаниями в электрической цепи называется изменение тока или напряжения после прекращения внешних воздействий.
Вынужденными колебаниями в электрической цепи называется изменение тока или напряжения под действием только внешних источников (т.е. это установившиеся колебания, не зависящие от начальных условий); таким образом, в режиме вынужденных колебаний свободные отсутствуют.
Переходные колебания – это сумма свободных и вынужденных колебаний.
Время переходного процесса определяют по уровню отличия выходной величины от установившегося значения. Обычно этот уровень составляет
0.01

0.05. Тогда длительность переходного процесса Т
пер будет составлять величину от 3

до 5

. Простой электрической цепью или цепью первого порядка называют цепь, которая содержит один реактивный элемент.

45 постоянными коэффициентами имеет вид A∙
e
pt
, где А – постоянная интегрирования, а p – корень характеристического уравнения ???? ∙ ???? + 1 = 0.
Характеристическое уравнение
– алгебраическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению, где вместо производных взята переменная p, степень которой соответствует порядку производных.
Решая характеристическое уравнение, находим корень: ????
1
= −
1
????
. Общее решение будет иметь вид: ????
2 общ
= ???? ∙ exp (−
1
????
).
Частное решение неоднородного уравнения, в правой части которого постоянная величина U, необходимо искать также в виде постоянной ????
2 наст
=
????. Подставляя в исходное уравнение
????????
2
????????
= 0, легко показать, что B=U.
Следовательно, ????
2
(????) = ????????
−
????
????
+ ????;
Определим постоянную интегрирования А из начальных условий:
????
2
(0) = ???? + ???? = 0, т.е. ???? = −????, т.к. по закону коммутации
????
????
(0
+
) = ????
????
(0
−
). Тогда ????
2
(????) = ????(1 − ????
−
????
????
).
В графическом виде эта зависимость показана на рис. 4.3.
Рис. 4.3
Ток в цепи i
C
(t) легко найти:
????
????
(????) = ????
????????
????
????????
= ????
????????
2
????????
=
????
????
????
(−
????
????
)
4. 2. Временной метод анализа
4.2.1. Временные характеристики цепей
Временной метод анализа электрических цепей основан на линейной теории сигналов и цепей, т.е. использует свойство линейности оператора электрической цепи. Сигнал представляется в виде суммы элементарных функций времени: либо единичных функций, либо

-функций (функций
Дирака).
Реакция электрической цепи на
( )
t

- единичную функцию называется
переходной характеристикой этой цепи и обозначается g(t). Реакция электрической цепи на
( )
t

дельта-функцию называется импульсной
характеристикой цепи и обозначается h(t). Эти две системные характеристики линейной электрической цепи лежат в основе временного метода, и определяются при нулевых начальных условиях.
Сущность временного метода заключается в следующем:

46
− Входное воздействие произвольной формы считается заданным и его можно представить в виде суммы или интеграла элементарных функций.
− Заданы временные системные характеристики электрической цепи g(t) или
h(t). Если они не известны, то необходимо по заданным электрическим схемам найти их тем или иным способом (например, классическим методом).
− Используя формулы Дюамеля, вычисляют сигнал на выходе электрической цепи.
Рассмотрим основные свойства временных характеристик цепи.
Для физически реализуемых электрических цепей реакция на выходе цепи не может появиться раньше воздействия на входе. Поэтому, если на входе цепи действует единичная или

-функции, то на выходе будет:
????(????) = 0, ???? ≤ 0; ℎ(????) = 0, ???? ≤ 0 (4.3)
Найдем связь между переходной и импульсной характеристиками цепи.
Из математики известно, что
????(????) = ∫ ????(????)????????
????
0
;
????(????) =
????????(????)
????????
. (4.4)
Поскольку интегрирование и дифференцирование – это линейные операторы, то, используя линейность электрической цепи, получим:
????(????) = ∫ ℎ(????)????????
????
0
;
ℎ(????) =
????????(????)
????????
= ????′(????) + ????(0)????(????). (4.5)
Поэтому, если одна характеристика известна, то другую находят по формулам связи. Определим связь между временными и частотными характеристиками цепи. Спектральная плотность ????[????(????)] = 1, тогда в соответствии с определением комплексной передаточной функции можно найти спектральную плотность на выходе линейной электрической цепи, когда на входе действует

-функция:
????
2
(????????) = ????
1
(????????)????(????????) = ????(????????). Далее можно найти сигнал на выходе, а это и есть импульсная характеристика:
ℎ(????) = ????
−1
[????
2
(????????)] =
1 2????
∫
????(????????)????
????????????
????????
∞
−∞
. (4.6)
Таким образом, импульсная характеристика цепи и ее комплексная передаточная функция связаны Фурье преобразованиями: ℎ(????) = ????
−1
[????(????????)];
????(????????) = ????[ℎ(????)]. Таким образом, зная ????(????????), можно найти импульсную характеристику, а значит и переходную характеристику.
Задача 4.3
Построить график переходной характеристики цепи (рис. 4.4) по напряжению.
Решение.
Переходную характеристику цепи первого порядка можно построить качественно по двум значениям: в момент коммутации и установившемуся значению. Между этими значениями переходная характеристика будет

47 изменяться по экспоненциальному закону. Переходная характеристика определяется при нулевых начальных условиях, т. е. значение тока в цепи до коммутации равно нулю. По закону коммутации ????
????
(0
+
) = ????
????
(0
−
) = ????
????
(0) = 0, следовательно, выходное напряжение и, соответственно, переходная характеристика будут также равны нулю: ????(0) = 0.
Рис. 4.4
В установившемся режиме сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, следовательно, эквивалентная схема представляет собой два последовательно соединенных сопротивления, с одного из которых снимается напряжение. Учитывая равенство сопротивлений, получаем:
????(∞) = 0,5
Учитывая, что ????(????) = ????
уст
(????) + ????
св
(????), получаем:
????(????) = 0,5 − 0,5????
−
????
????
.
График переходной характеристики приведен на рисунке 4.5.
Рис. 4.5
4.2.2. Интеграл Дюамеля
Интеграл Дюамеля позволяет проводить анализ переходных процессов, если известна переходная характеристика этой цепи.
Сигнал на выходе электрической цепи будет иметь следующий вид:
????
2
(????) = ????
1
(0)????(????) + ∫ ????
1
′(????)????(???? − ????)????????
????
0
, где
(4.7)
????
1
′(????) =
????????
1
(????)
????????
|
????=????
Используя теорему о свертке двух функций можно получить другую форму интеграла Дюамеля:

48
????
2
(????) = ????
1
(0)????(????) + ∫ ????
1
′(???? − ????)????(????)????????
????
0
Интегрирую по частям, можно получить третью форму интеграла
Дюамеля:
????
2
(????) = ????
1
(????)????(0) + ∫ ????
1
(???? − ????)????′(????)????????
????
0
Та или иная форма интеграла Дюамеля выбирается, исходя из удобства вычислений.
Таким образом, с помощью формулы Дюамеля, зная сигнал на входе, можно определить сигнал на выходе электрической цепи, если известна переходная характеристика этой цепи.
Можно получить интеграл Дюамеля в виде формулы свертки, если воспользоваться импульсной характеристикой исследуемой цепи.
Действительно, из фильтрующего свойства

-функции находим для входного сигнала представление:
????
1
(????) = ∫ ????
1
(????)????(???? − ????)????????, ???? ∈ [0, ????]
????
0
Используя определение импульсной характеристики, можно получить:
????
2
(????) = ∫ ????
1
(????)ℎ(???? − ????)????????
????
0
(4.8)
Здесь использовано свойство линейности оператора. Полученная формула является сверткой входного сигнала и импульсной характеристики электрической цепи. Она позволяет рассчитать сигнал на выходе электрической цепи, если известна импульсная характеристика этой цепи.
4.2.3. Анализ цепей первого порядка
Далее для примера исследуем прохождение сигнала в виде одиночного прямоугольного импульса через интегрирующую цепь (рис. 4.6) временным методом.
Рис. 4.6
Входной сигнал можно представить следующей зависимостью:
????
1
(????) = ????
????
[????(????) − ????(???? − ????
????
)], где ????
????
− амплитуда импульса; ????
????
− длительность импульса.

49
Тогда напряжение на выходе цепи (на ёмкости С) в соответствии с определением переходной характеристики и линейностью цепи будет определяться следующим выражением:
????
2
(????) = ????
????
????(????)????(????) − ????
????
????(???? − ????
????
)????(???? − ????
????
).
Переходная характеристика цепи:
????(????) = 1 − ????
−
????
????
, где ???? = ????????.
Окончательно получаем:
????
2
(????) = ????
????
(1 − ????
−
????
????
) ????(????) − ????
????
(1 − ????
−
????−????????
????
) ????(???? − ????
????
).
При ???? → ∞, ????
2
(∞) → 0. Фрагмент временной диаграммы изображен на рис. 4.7.
U
m t
u

U
m t
u

1
( )
u t
2
( )
u t
Рис. 4.7.
4.3. Операторный метод анализа
4.3.1. Изображение сигналов и операторные схемы замещения
Операторный метод расчета переходных процессов базируется на том, что сигнал, удовлетворяющий условию ограниченной вариации,
|????(????)| < ???? ∙ ????
????
0
????
,
???? ≥ 0, 0 < ???? < ∞, ????
0
> 0 с помощью линейного оператора преобразования Лапласа из функции действительной переменной t преобразуется в функцию комплексной переменной ???? = ???? + ????????. При этом производные и интегралы от такого сигнала будут выражаться алгебраическими функциями от p и от начальных условий.
Поэтому с помощью преобразования Лапласа легко проводить алгебраизацию дифференциальных уравнений, что позволяет путём простых процедур находить решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений, т.е. существенно упростить анализ цепи по сравнению с классическим методом.
При решении алгебраических уравнений отпадает необходимость определения постоянных дифференцирования по начальным условиям, они автоматически учитываются при алгебраизации.