ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.11.2023
Просмотров: 395
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
(91.1)
Обозначим буквой угол, образуемый радиусом СМ с осью. Из треугольника SMCимеем
(91.2)
из треугольника CMS'
(91.3)
Складывая (91.2) и (91.3) и учитывая, что i=i', находим
(91.4)
Так как мы рассматриваем узкий пучок лучей, прилегающих к главной оси, т. е. углы ,'и малы, то мы можем заменить синусы углов самими углами и пренебречь длиной отрезка PQ. Тогда мы будем иметь приближенные равенства:
(91.5)
Подставляя полученные равенства в уравнение (91.4) и сокращая на общий множитель h, находим
(91.6)
*) В линзах главная оптическая ось существенно отличается от побочных тем, что она есть единственная ось, проходящая через центры обеих сферических поверхностей, ограничивающих линзу.
То, что высота h, равно как и угол , не входят в окончательный результат, означает, что любой луч, выходящий из точки S (и принадлежащий к достаточно узкому пучку), после отражения пройдет через точку S' на расстоянии а' от полюса. Таким образом, точка S' есть изображение точки S.
Мы видим, что при отражении в сферическом зеркале изображением точечного источника является снова точка. Как и в случае линзы, точка S, в которой расположен источник, и точка S', в которой находится изображение, сопряжены между собой, т. е., поместив источник в точку S', мы получим изображение в точке S (следствие закона обратимости световых лучей, см. § 82).
Полученная нами формула (91.6) является основной формулой сферического зеркала.
Легко доказать, что для выпуклого сферического зеркала формула (91.6) остается в силе.
43. Построение изображения в зеркалах.
Фокус и фокусное расстояние сферического зеркала.
Найдем положение фокуса F
сферического зеркала, т. е. точки, в которой пересекутся после отражения в подобном зеркале лучи, параллельные его главной оси. Как мы знаем, для получения параллельного пучка лучей источник нужно удалить весьма далеко, т. е. [положить в формуле (91.6) 1/а=0. В этом случае a'=fесть фокусное расстояние зеркала. Для величины фокусного расстояния, пользуясь формулой (91.6), находим
(92.1)
Соединяя формулы (91.6) и (92.1), получим формулу зеркала в виде
(92.2)
т. e. в виде, аналогичном формуле (89.6) тонкой линзы.
В случае вогнутого зеркала фокус расположен на середине расстояния между полюсом и центром сле-
Рис. 206. Фокусы сферических зеркал: а) вогнутое зеркало; б) выпуклое зеркало. (Лучи показаны падающими на значительную часть сферических зеркал. Их следует представлять себе пересекающими зеркало на малой высоте от оси, т. е. захватывающими малую часть зеркала.)
ва от полюса (рис. 206, а); в случае выпуклого зеркала фокус расположен на расстоянии R/2 справа от полюса, т .е. является мнимым (рис. 206, б).
Пользуясь тем, что источник и его изображение находятся в сопряженных между собой точках, мы можем сразу сделать вывод, что если точечный источник света находится в фокусе зеркала, то его изображение находится в бесконечности, т. е. из зеркала выходит параллельный пучок лучей. Это условие служит основой для получения при помощи вогнутых зеркал параллельных световых
пучков, точнее, пучков, близких к параллельным. О применении этого условия к устройству прожекторов мы уже говорили в гл. VIII *).
Заметим, что при рассмотрении свойств сферического зеркала, как и в случае линзы, мы предполагали, во-первых, что используется очень узкий пучок лучей, прилегающих к оси зеркала, и, во-вторых, что применяется точечный источник света. Оба эти требования, конечно, вполне строго выполнены быть не могут. Вопрос о том, насколько существенны отступления от этих требований, в каждой конкретной задаче должен решаться особо.
Рис. 207. Образование изображения в вогнутом сферическом зеркале при различных положениях точечного источника на оси зеркала: о) источник между центром и бесконечностью; б) в центре; в) между центром и фокусом; г) между фокусом и зеркалом
§ 93. Связь между положениями источника и его изображения на главной оси сферического зеркала. Проследим, как будет меняться положение изображения при приближении источника света из бесконечности к вогнутому зеркалу (рис. 207, а — г). Из формулы (92.2) видно, что если
*) В гл. VIII в качестве зеркала прожектора рассматривалось не сферическое зеркало, а параболоидное, которое дает пучок лучей, близкий к параллельному даже при значительных размерах отверстия зеркала, тогда как сферическое зеркало удовлетворяет этому условию лишь при малых отверстиях (малых значениях ft),
источник проделает путь из бесконечности до центра зеркала, то его изображение переместится из фокуса в центр зеркала. В итоге положения источника и изображения совпадут (рис. 207, б).
При перемещении источника света от центра к фокусу его изображение удаляется от центра зеркала (рис. 207, в). При помещении источника света в фокус его изображение уходит в бесконечность, т. е., как мы уже знаем, точечный источник в фокусе зеркала дает пучок параллельных лучей.
Если, наконец, источник света находится между фокусом зеркала и его полюсом, то отраженные лучи не будут иметь общей вершины с вогнутой стороны зеркала и нигде не пересекут главной оси зеркала (рис. 207, г).Только их продолжения за зеркалом (показанные на рисунке штриховыми линиями) будут иметь общую вершину (S'). Это значит, что изображение в данном случае будет мнимым. Для отыскания его положения достаточно продолжить за зеркало направление любого отраженного луча; место его пересечения с главной осью даст положение изображения.
Рассмотрим изображения, даваемые выпуклым сферическим зеркалом. Мы уже видели, что выпуклое зеркало имеет мнимый фокус на расстоянии R/2от полюса. Построение изображения для точки, расположенной на конечном расстоянии от зеркала, выполнено на рис. 208. Мы видим, что выпуклое зеркало всегда дает мнимое изображение.
§ 94. Способы изготовления линз и зеркал. Основным материалом, применяемым для изготовления линз, призм и других оптических деталей, Служит оптическое стекло. Стекло прозрачно и может быть очень однородным. Весьма важно, что стекло обладает стойкостью по отношению и к механическим и к химическим воздействиям. Поэтому детали из стекла могут быть обработаны с большой степенью точности, и приданная им в результате обработки форма остается впоследствии неизменной.
Оптические свойства стекла (в первую очередь показатель преломления) можно изменять в довольно широких пределах путем надлежащего изменения его состава. Основной составной частью стекол является кремнезем SiO2. К нему добавляются окислы других элементов: натрия,
Рис. 208. Построение мнимого изображения в выпуклом сферическом зеркале
калия, кальция, бария, алюминия, бора, свинца и т. п. В зависимости от рода примесей и их количества меняются оптические свойства стекла.
Оптическое стекло, предназначенное для изготовления той или иной оптической детали, вначале распиливается и грубо обдирается под надлежащий размер. Затем производится шлифовка и полировка детали. Обработка оптических деталей должна, как правило, производиться с весьма большой точностью (отклонение от заданной кривизны поверхности не должно превышать 0,00002 мм). Требования к точности здесь примерно в 500 раз больше, чем при обычной обработке механических деталей, производимой с механическими измерителями. Поэтому для контроля качества обработки обычно применяются специальные оптические методы, основанные на явлении интерференции.
У зеркал, применяемых в быту, отражающий слой нанесен с обратной стороны стеклянной пластинки и может быть виден только через стекло. Этот слой наносится химически, путем осаждения слоя металлического серебра из раствора AgNO3 с добавлением к нему определенных веществ. Такой слой, защищенный обычно с задней стороны лаком, а затем картоном или деревом, а с передней — стеклом, весьма прочен.
Однако для зеркал, применяемых в научных исследованиях, этот способ не пригоден, ибо полученное таким образом зеркало дает добавочное слабое (около 5%) отражение от наружной поверхности стекла, а лучи, отраженные от металлического слоя, должны пройти слой стекла, что несколько меняет их направление и сильно усложняет расчет зеркал. Поэтому в оптических зеркалах хорошо отражающий слой металла наносится на тщательно отшлифованную и отполированную поверхность стекла снаружи. Обычно применяют слой серебра или алюминия, нанесенный путем испарения в вакууме или путем катодного распыления. Свежий слой этих металлов дает коэффициент отражения до 90% и более. С течением времени отражающая способность зеркал с «наружным» покрытием ухудшается. В последнее время стали получать очень стойкие зеркала с весьма высоким коэффициентом отражения, до 95% и более, покрывая стекло несколькими слоями различных (не металлических!) материалов строго рассчитанной толщины. Высокие отражающие свойства таких многослойных покрытий основаны на явлениях интерференции света.
Обозначим буквой угол, образуемый радиусом СМ с осью. Из треугольника SMCимеем
(91.2)из треугольника CMS'
(91.3)Складывая (91.2) и (91.3) и учитывая, что i=i', находим
(91.4)Так как мы рассматриваем узкий пучок лучей, прилегающих к главной оси, т. е. углы ,'и малы, то мы можем заменить синусы углов самими углами и пренебречь длиной отрезка PQ. Тогда мы будем иметь приближенные равенства:
(91.5)Подставляя полученные равенства в уравнение (91.4) и сокращая на общий множитель h, находим
(91.6)*) В линзах главная оптическая ось существенно отличается от побочных тем, что она есть единственная ось, проходящая через центры обеих сферических поверхностей, ограничивающих линзу.
То, что высота h, равно как и угол , не входят в окончательный результат, означает, что любой луч, выходящий из точки S (и принадлежащий к достаточно узкому пучку), после отражения пройдет через точку S' на расстоянии а' от полюса. Таким образом, точка S' есть изображение точки S.
Мы видим, что при отражении в сферическом зеркале изображением точечного источника является снова точка. Как и в случае линзы, точка S, в которой расположен источник, и точка S', в которой находится изображение, сопряжены между собой, т. е., поместив источник в точку S', мы получим изображение в точке S (следствие закона обратимости световых лучей, см. § 82).
Полученная нами формула (91.6) является основной формулой сферического зеркала.
Легко доказать, что для выпуклого сферического зеркала формула (91.6) остается в силе.
43. Построение изображения в зеркалах.
Фокус и фокусное расстояние сферического зеркала.
Найдем положение фокуса F
сферического зеркала, т. е. точки, в которой пересекутся после отражения в подобном зеркале лучи, параллельные его главной оси. Как мы знаем, для получения параллельного пучка лучей источник нужно удалить весьма далеко, т. е. [положить в формуле (91.6) 1/а=0. В этом случае a'=fесть фокусное расстояние зеркала. Для величины фокусного расстояния, пользуясь формулой (91.6), находим
(92.1)Соединяя формулы (91.6) и (92.1), получим формулу зеркала в виде
(92.2)т. e. в виде, аналогичном формуле (89.6) тонкой линзы.
В случае вогнутого зеркала фокус расположен на середине расстояния между полюсом и центром сле-
Рис. 206. Фокусы сферических зеркал: а) вогнутое зеркало; б) выпуклое зеркало. (Лучи показаны падающими на значительную часть сферических зеркал. Их следует представлять себе пересекающими зеркало на малой высоте от оси, т. е. захватывающими малую часть зеркала.)
ва от полюса (рис. 206, а); в случае выпуклого зеркала фокус расположен на расстоянии R/2 справа от полюса, т .е. является мнимым (рис. 206, б).
Пользуясь тем, что источник и его изображение находятся в сопряженных между собой точках, мы можем сразу сделать вывод, что если точечный источник света находится в фокусе зеркала, то его изображение находится в бесконечности, т. е. из зеркала выходит параллельный пучок лучей. Это условие служит основой для получения при помощи вогнутых зеркал параллельных световых
пучков, точнее, пучков, близких к параллельным. О применении этого условия к устройству прожекторов мы уже говорили в гл. VIII *).
Заметим, что при рассмотрении свойств сферического зеркала, как и в случае линзы, мы предполагали, во-первых, что используется очень узкий пучок лучей, прилегающих к оси зеркала, и, во-вторых, что применяется точечный источник света. Оба эти требования, конечно, вполне строго выполнены быть не могут. Вопрос о том, насколько существенны отступления от этих требований, в каждой конкретной задаче должен решаться особо.
Рис. 207. Образование изображения в вогнутом сферическом зеркале при различных положениях точечного источника на оси зеркала: о) источник между центром и бесконечностью; б) в центре; в) между центром и фокусом; г) между фокусом и зеркалом
§ 93. Связь между положениями источника и его изображения на главной оси сферического зеркала. Проследим, как будет меняться положение изображения при приближении источника света из бесконечности к вогнутому зеркалу (рис. 207, а — г). Из формулы (92.2) видно, что если
*) В гл. VIII в качестве зеркала прожектора рассматривалось не сферическое зеркало, а параболоидное, которое дает пучок лучей, близкий к параллельному даже при значительных размерах отверстия зеркала, тогда как сферическое зеркало удовлетворяет этому условию лишь при малых отверстиях (малых значениях ft),
источник проделает путь из бесконечности до центра зеркала, то его изображение переместится из фокуса в центр зеркала. В итоге положения источника и изображения совпадут (рис. 207, б).
При перемещении источника света от центра к фокусу его изображение удаляется от центра зеркала (рис. 207, в). При помещении источника света в фокус его изображение уходит в бесконечность, т. е., как мы уже знаем, точечный источник в фокусе зеркала дает пучок параллельных лучей.
Если, наконец, источник света находится между фокусом зеркала и его полюсом, то отраженные лучи не будут иметь общей вершины с вогнутой стороны зеркала и нигде не пересекут главной оси зеркала (рис. 207, г).Только их продолжения за зеркалом (показанные на рисунке штриховыми линиями) будут иметь общую вершину (S'). Это значит, что изображение в данном случае будет мнимым. Для отыскания его положения достаточно продолжить за зеркало направление любого отраженного луча; место его пересечения с главной осью даст положение изображения.
Рассмотрим изображения, даваемые выпуклым сферическим зеркалом. Мы уже видели, что выпуклое зеркало имеет мнимый фокус на расстоянии R/2от полюса. Построение изображения для точки, расположенной на конечном расстоянии от зеркала, выполнено на рис. 208. Мы видим, что выпуклое зеркало всегда дает мнимое изображение.
§ 94. Способы изготовления линз и зеркал. Основным материалом, применяемым для изготовления линз, призм и других оптических деталей, Служит оптическое стекло. Стекло прозрачно и может быть очень однородным. Весьма важно, что стекло обладает стойкостью по отношению и к механическим и к химическим воздействиям. Поэтому детали из стекла могут быть обработаны с большой степенью точности, и приданная им в результате обработки форма остается впоследствии неизменной.
Оптические свойства стекла (в первую очередь показатель преломления) можно изменять в довольно широких пределах путем надлежащего изменения его состава. Основной составной частью стекол является кремнезем SiO2. К нему добавляются окислы других элементов: натрия,
Рис. 208. Построение мнимого изображения в выпуклом сферическом зеркале
калия, кальция, бария, алюминия, бора, свинца и т. п. В зависимости от рода примесей и их количества меняются оптические свойства стекла.
Оптическое стекло, предназначенное для изготовления той или иной оптической детали, вначале распиливается и грубо обдирается под надлежащий размер. Затем производится шлифовка и полировка детали. Обработка оптических деталей должна, как правило, производиться с весьма большой точностью (отклонение от заданной кривизны поверхности не должно превышать 0,00002 мм). Требования к точности здесь примерно в 500 раз больше, чем при обычной обработке механических деталей, производимой с механическими измерителями. Поэтому для контроля качества обработки обычно применяются специальные оптические методы, основанные на явлении интерференции.
У зеркал, применяемых в быту, отражающий слой нанесен с обратной стороны стеклянной пластинки и может быть виден только через стекло. Этот слой наносится химически, путем осаждения слоя металлического серебра из раствора AgNO3 с добавлением к нему определенных веществ. Такой слой, защищенный обычно с задней стороны лаком, а затем картоном или деревом, а с передней — стеклом, весьма прочен.
Однако для зеркал, применяемых в научных исследованиях, этот способ не пригоден, ибо полученное таким образом зеркало дает добавочное слабое (около 5%) отражение от наружной поверхности стекла, а лучи, отраженные от металлического слоя, должны пройти слой стекла, что несколько меняет их направление и сильно усложняет расчет зеркал. Поэтому в оптических зеркалах хорошо отражающий слой металла наносится на тщательно отшлифованную и отполированную поверхность стекла снаружи. Обычно применяют слой серебра или алюминия, нанесенный путем испарения в вакууме или путем катодного распыления. Свежий слой этих металлов дает коэффициент отражения до 90% и более. С течением времени отражающая способность зеркал с «наружным» покрытием ухудшается. В последнее время стали получать очень стойкие зеркала с весьма высоким коэффициентом отражения, до 95% и более, покрывая стекло несколькими слоями различных (не металлических!) материалов строго рассчитанной толщины. Высокие отражающие свойства таких многослойных покрытий основаны на явлениях интерференции света.