Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx

Скачать файл (2,25Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.11.2023

Просмотров: 136

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

интеграл вычисляется как суммарная площадь параболических сегментов на ^все^х^ч^а^ст^и^чн^ых^от^р^езках^инт^е^г^ри^ро^в^а^н^ияx_i_₁, x_i_₁^.

Если подынтегральную функцию

fx

заменять полиномом второй

^степ^е^ни^на^от^р^ез^к^а^хx_i_₁, x_i^,

i 1, n, с привлечением дополнительных точек

_x_^xi^^xi1 _,

i ₂

i 1, n

– середин данных отрезков, то число отрезков разбиения

nможет быть любым (не обязательно четным), а формула (4.8) будет иметь вид:

b _h_n

_f_x_dx ₆__f_i_₁ 4 f_i

f_i_

_ai1

 ^h_f 4 f 2 f 4 f

 ...  2 f

 4 f f_

(3.9)

₆0 1 1 2

n1 n n

Напомним, что

f_i

fx_i^,

^fi1 ^

fx_i_₁^,

f_i

fx_i, i 1, n.

Замечание 1. Формула (3.8) может быть использована для вычисления интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и таблично, тогда как формула (3.9) применима только в тех случаях, когда подынтегральная функция задана аналитически.

Замечание 2. Рассмотренные формулы, используемые для приближенного вычисления интегралов, называются квадратурными формулами. Нетрудно заметить, что все рассмотренные выше формулы имеют следующую структуру:

b _n

_fxdx _A_if_i,

_ai0

где

f_i^–^{значения}^{подынтегральной}^{функции}^в^{узловых}^точках

x_i^,^а

A_i^–

весовые коэффициенты.

1 ... 5 6 7 8 9 10 11 12 ... 15

Погрешность методов Ньютона-Котеса

Рассмотрим один из возможных способов оценки погрешности методов численного интегрирования на примере метода средних прямоугольников.

^Дл^я^это^г^о^з^а^пи^ш^ем^вы^р^а^ж^е^ние^д^л^я^ин^те^г^р^ала^на^отре^з^кеx_i_₁, x_i^,^по^л^у^че^н^н^о^е

методом средних прямоугольников для постоянного шага интегрирования:

i
x

_fxdx hfx_i R_i,

^xi1

i
где

_x_x_i_₁ x_i _,_а

R_i^{– погрешность}^{интегрирования, откуда}

R_i

x

i

2
_fxdx hfx_i. (3.10)

^xi1

^{Для оценки погрешности интегрирования}R_i^{разложим}

^{подынтегральную}^{функцию}fx ^в^ряд^{Тейлора}^в^{окрестности}^{средней}^точки

x_i^:

x x²

fx 

fx_i  x  x_i f^x_i ⁱ

2

f^x_i  ... . (3.11)

^В^малой^{окрестности}^точкиx_i

в разложении (3.11) можно ограничиться

небольшим количеством членов ряда. Поэтому, подставляя в (3.10) вместо

^{функции}fx ^{ее тейлоровское разложение (3.11), и, интегрируя его}

почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью

x_i



^xi1

^f ^x^dx^^hf ^xi ^

x_i

^xi1

^f^ ^xi ^

x_i

^xi1

^f^ ^xi ^^...^

(*)

_h
3

^hf ^x ^

^f^ ^x ^^...

ⁱ24 ⁱ

При интегрировании и подстановке пределов получаем, что все ^{интегралы}^от^членов^ряда^(3.11),^{содержащих}^{нечетные}^{степени}^приx x_i^,

обращаются в ноль. Подставляя полученное соотношение в формулу (3.10), получим:


_h3

R_if

24

^x_i

...

При малой величине шага интегрирования h основной вклад в погрешность будет вносить первое слагаемое, называемое главным членом

погрешности вычисления интеграла на отрезке x_i_₁, x_i, будем считать его

^равнымR_i^.^{Главный}^член^полной^{погрешности}^{вычисления}^{интеграла}^на

отрезке a,b

x_i_₁, x_i^:

определяется суммированием погрешностей на каждом отрезке

_n __h²n

^   ^h2 b

a

^ 

Смотрите также файлы

Конкурса Семейная память.docx

Урок Формирование единых государств в Европе и России.docx

Логическое моделирование основано На основе десятичных логарифмов.docx

Анализ ассортимента детского питания в аптеке.docx

Самые большие современные птицы.docx

Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx

Погрешность методов Ньютона-Котеса

(*)

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно