Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx

Скачать файл (2,25Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.11.2023

Просмотров: 140

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

^fi1 ^

f x_i_₁^.

Заметим, что замена подынтегральной функции константой неодно-

значна, так как ее можно выбрать равной значению подынтегральной функ- ции в любой точке каждого частичного отрезка интегрирования. Выбирая

y _y

Рис. 1. Пример метода левых (а) и правых (б) прямоугольников

^{константу}с_i

равной значению подынтегральной функции в левой (рис. 1 а)

^и^л^и^п^р^ав^о^й⁽^р^и^с.¹^б)^г^р^а^н^и^ц^а^х^отре^з^к^о^вx_i_₁, x_i^,

i 1, n, приходим к форму-

лам левых и правых прямоугольников, соответственно:

b _n

I_L _fxdx _h_if_i_₁ h₁f₀ h₂f₁ ...  h_nf_n_₁, (3.3)

i1
_n

I_R _fxdx _h_if_i

 h₁f₁ h₂f₂ ...  h_nf_n. (3.4)

n
_ai1

В случае постоянного шага интегрирования, когда h_i

i 1, n, формулы (3.3) и (3.4) приобретают вид

__h_b a _,

b _n

I_L _fxdx h_f_i_₁ h f₀

f₁  ... 

^fn1 ^^,

i1

(3.5)

I_R _fxdx h_f_i

 h f₁

f₂  ... 

f_n.

_ai1

На рис. 2 закрашенными фигурами показаны примеры погрешности вычисления значений интеграла методами левых и правых прямоугольников.

^yy fx

x

б)

Рис. 2. Пример погрешности метода левых (а) и правых (б) прямоугольников.
Наиболее широко на практике используется формула средних

прямоугольников, в которой значение константы с_i

(высоты

прямоугольника) выбирается равной значению подынтегральной функции в

средней точке x_i

каждого частичного отрезка интегрирования

^x^^x^^hⁱ^^xⁱ^^xⁱ^¹, i 1, n:

i i1 _{2 2}

b _n

I_S _f xdx _h_if x_i .

_ai1

Пример геометрической интерпретации метода средних прямоугольни- ков представлен на рис. 3.

y y fx

fx₁

x₀ x₁

^x¹^xnx

Рис. 3. Пример метода средних прямоугольников.
В случае постоянного шага интегрирования, когда
h h ^b^^a,

i _n

i 1, n, формула средних прямоугольников будет иметь следующий вид

b _n

I_S _fxdx h_fx_i,

a
где x a h^i ¹^, i 1, n.

i1

i  ₂

 

Из трех рассмотренных выше методов в подавляющем большинстве случаев метод средних прямоугольников является наиболее точным.

Замечание. Если подынтегральная функция

fx

задана не

аналитическим выражением, а таблично, то формула средних прямоугольников оказывается неприменима (без привлечения дополнительной интерполяции), так как значения функции известны лишь в узловых точках. В этом случае пользуются либо формулами левых или правых прямоугольников, либо используют другие методы.

Метод трапеций

^Н^а^ка^ж^д^о^м^ч^а^сти^чн^ом^от^р^езке^ин^т^ег^ри^ро^в^а^н^ияx_i_₁, x_i^,

i 1, n, заме-

ним подынтегральную функцию

fx

полиномом первой степени

_ix ^–

^прямой^{линией,}^{проходящей}^через^точкиx_i_₁, f_i_₁ ^иx_i, f_i^:

fx  

x  f

f_i

^fⁱ^¹x x

, i 1, n.

i i1

x_i x
i1

i1

Пояснение. В общем виде уравнение прямой линии, проходящей через две ^точкиx₁, y₁ ^иx₂, y₂^,^{задается следующим}^{образом:}

y y₁

_x x₁

, откуда y y  ^^y²^^y¹^x x.

2

y₂ y₁

x₂ x₁

¹x

 x₁

1
Подставляя полученное выражение в формулу (3.1) и выполняя инте- грирование по частичным отрезкам, приходим к формуле трапеций:

b

1

n

2
^^^^^^^ 

I_T_f

a

xdx

_h_i

i1

^fi1

^f_i^,^гдеh_i

^xi ^xi1 ^.

На отрезках x_i_₁, x_i,

i 1, n, площадь под графиком функции

y fx

заменяется площадями трапеций с основаниями, равными значениям функ-

ции

fx ^на^концах^{отрезка,}^и^{высотой,}^равнойh_i

y

(рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация метода трапеций.
В случае постоянного шага интегрирования, когда

i 1, n, формула трапеций принимает вид:
h h ^b^^a,

i _n

Смотрите также файлы

Конкурса Семейная память.docx

Урок Формирование единых государств в Европе и России.docx

Логическое моделирование основано На основе десятичных логарифмов.docx

Анализ ассортимента детского питания в аптеке.docx

Самые большие современные птицы.docx

Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx

Метод трапеций

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно