Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx

Скачать файл (2,25Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.11.2023

Просмотров: 138

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Объем тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой
y f(x) и

прямыми ???? = 0, ???? = a, ???? = b, вращается вокруг оси Ox, то объем тела вращения вычисляется по формуле

b

V_x  _y²dx

a

Если же криволинейная трапеция, ограниченная кривой

x ( y) и

прямыми ???? = 0, ???? = c , ???? = ????, вращается вокруг оси Oy, то объем тела вращения вычисляется по формуле

d

V_y  _x²dy

c

Пример 8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох

фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной параболой

y 2x² , прямой y 3x 5 и осью Ох.

Найдем точки пересечения линий:

2x²  3x 5 ,

откуда

x ⁵^,^x^¹^.

1 ₂2

Вычислим значения ординаты при

x₂ 1. Получаем

y₂ 2.

Разобьем полученную фигуру на две с помощью прямой

x1.

Искомый объем будет складываться из двух объемов.

5 5

1 ₂₃₂1 ₃

V  __2x² _dx  __3x 5_dx 4 _x⁴dx  __9x²  30x 25_dx

0 1 0 1

^x⁵ ^1 ⁵4 _125 25 5 _

 4 __  _3x³ 15x²  25x_³   _

15   25   3  15  25_

 ⁵₀

1 ₅_

9 9 3 _

_4

  ^25^⁵ ¹⁵ ¹⁵^13^ ⁴^


_8

_76 _.

5 ^^9 9 9 ^^5 9 45

_  _

Пример 9. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигу-

ры, ограниченной кривой у и прямой 2 y-x 1.

Найдем точки пересечения линий у

и

_x1 _,

2

_y_x 1 _:

4(x1)  (x1)² ,

откуда

x₁ 1,

x₂ 3 .

Вычислим значения ординат: при

x₁  1 получаем

y₁  0 , при

x₂ 3

получаем

y₂ 2.

2,5
2
1,5
1

-2 -1
0,5
0

_-0,50 1 2 3 4 5

-1

-1,5
-2
Искомый объем будет вычисляться как разность двух объемов:

3 ₂

3 _₁₁_²3

^³2

^V^^__^x^¹_^dx^^__^^x_^dx^^_ ^x^¹^dx^

_ ^x^¹

dx

1 1^^{2 2}^

1 ⁴1

3 3



16 8

   

4

1

 8   .

3 3

1

Для решения подобных задач в Maxima следует выполнить следующиедействия:

Построить криволинейную трапецию.
Найти точки пересечения кривых.
Составить и вычислить определенный интеграл с помощью программы Maxima и вручную.
Записать ответ.