Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx

Скачать файл (2,25Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.11.2023

Просмотров: 141

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2 x1

2. Приближенные вычисления определенных интегралов

Некоторые теоретические сведения

Если функция

y fx

непрерывна на отрезке a,b

и известна ее

первообразная F(x) , то определенный интеграл удается вычислить
непосредственно с помощью формулы Ньютона-Лейбница:

b

_fxdx Fb  Fa,

a

где

Fb и

Fa

значения первообразной

Fx

функции

fx

на концах

отрезка интегрирования.

Однако во многих случаях в реальных исследовательских задачах первообразная функции F(x) не может быть выражена через элементарные функции или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница может быть затруднительным или невыполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция f(x) часто задается таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. Поэтому большое значение имеют приближенные и в первую очередь численные методы вычисления определенных интегралов.

Назначение большинства приближенных методов вычисления

определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции

fx

аппроксимирующей функцией

x, для которой можно легко записать

первообразную в элементарных функциях, то есть
b b

I _fxdx _xdx R,

a a

где R– погрешность вычисления интеграла.

Чаще всего функцию

fx

заменяют интерполяционным полиномом

(под интерполяцией понимают приближенное вычисление неизвестных зна- чений функции по известным ее значениям в заданных точках), для построе-

ния которого используются значения функции в узлах

^,ⁱ^^0,ⁿ^:

где
rx – остаточный член.

fx  _fx_i  rx,

n
i0

Подставляя полученное выражение в определенный интеграл вместо подынтегральной функции, получим общую формулу численного интегрирования

b _n

I _f xdx _A_if x_i R,

_ai0

где

fx_i

значения подынтегральной функции в узловых точках

x_i^,

A_i^–

весовые коэффициенты, а R– погрешность или остаточный член формулы.

С целью уменьшения погрешности, связанной с заменой

подынтегральной функции, отрезок интегрирования a,b

разбивают на n

^от^р^езков^и^на^к^а^ж^д^ом^из^п^о^л^у^че^н^н^ы^х⁽^част^и^ч^н^ы^х⁾^о^т^рез^к^о^вx_i_₁, x_i^,заменяют подынтегральную функцию аппроксимирующей функцией

i 1, n,

_ix^.

Тогда приближенное значение интеграла определяется суммой частичных

^{интегралов}^от^{функций}_ix^,^взятых^в^{пределах}^от

^xi1 ^до^xi

для i 1, n:

b _n^x_i

I _fxdx ___ixdx. (3.1)

_ai1 _x_i_₁

Методы численного интегрирования можно классифицировать в зависимости

от способа аппроксимации подынтегральной функции ^{функций}_ix^,i 1, n^.

fx

с помощью

Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной

аппроксимации подынтегральной функции. Методы данного класса отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой

зависит количество узлов, в которых необходимо вычислять функцию

fx.

В методах Ньютона-Котеса отрезок интегрирования разбивается, как правило, на отрезки равной длины, величина которых определяется как

_h_b a

n
и называется шагом интегрирования. Алгоритмы данных методов

просты и легко поддаются программной реализации.

В процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность R . Погрешность, возникающая при численном интегрировании (также как и при численном дифференцировании), имеет два основных источника. Первым источником погрешности является замена подынтегральной функции аппроксимирующей функцией – погрешность аппроксимации. Как будет показано далее, погрешность аппроксимации уменьшается с увеличением количества nотрезков разбиения исходного отрезка интегрирования за счет более точной аппроксимации подынтегральной функции. Второй источник погрешности – неточности в вычислении подынтегральной функции в узловых точках и ошибки округления. Данная погрешность возрастает с ростом nи с

некоторого значения

n^* ^{начинает преобладать над погрешностью}

аппроксимации. Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа n.

Способ получения формул для вычисления приближенного значения

интеграла в методах Ньютона-Котеса состоит в следующем. Разобьем

отрезок интегрирования a,b

на n частичных (как правило, равных по

длине) отрезков, точки разбиения

x₀, x₁,..., x_n^,

a x₀^,

b x_n

будем называть

узлами интегрирования, а расстояния между узлами

h_i x_i x_i_₁,

i 1, n, –

шагамиинтегрирования. В частном случае шаг интегрирования может быть

постоянным ( h ^b^^a). На каждом из частичных отрезков интегрирования

n

x_i_₁, x_i,

i 1, n, будем аппроксимировать подынтегральную функцию

полиномом некоторой степени. В результате вычисление частичных интегралов на отрезках x_i_₁, x_i, i 1, n, по формуле (3.1) не составит труда.

Методы численного интегрирования
1. Методы прямоугольников

Рассмотрим простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, в

которых подынтегральную функцию

fx

на отрезках интегрирования

x_i_₁, x_i^,

i 1, n, заменяют полиномом нулевой степени (константой):

fx  _ix  c_i^.^{Подставляя}интегрирование, получаем

_ix

в формулу (3.1) и выполняя

n

i

n

n

b

n
x

  ^x 

I _f

a

xdx _c_i

i1

_dx_c_ix

_xi1

i

^xi1

 _c_i

i1

^xi^^xi1

 _c_ih_i. (3.2)

i1

i1

Таким образом, в геометрической интерпретации приближенное значение интеграла определяется суммой площадей прямоугольников, одна из сторон которых соответствует отрезкам интегрирования длиной

h_i x_i x_i_₁^,^а^другая^–^{аппроксимирующим}^{константам.}^Отсюда^{происходит}

и название методов.

Далее будем использовать обозначения:
^fi1 ^
fx_i_₁^,
f_i
fx_i^,

Смотрите также файлы

Конкурса Семейная память.docx

Урок Формирование единых государств в Европе и России.docx

Логическое моделирование основано На основе десятичных логарифмов.docx

Анализ ассортимента детского питания в аптеке.docx

Самые большие современные птицы.docx

Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx

2. Приближенные вычисления определенных интегралов

Некоторые теоретические сведения

Методы численного интегрирования

Методы прямоугольников

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно