Файл: Курс лекций по дисциплине Эконометрика.doc

и получаем невязки . Находим оценку автокорреляции :

.

Подставляя в выражение для автокорреляционной функции, имеем квадратное уравнение для :

²+(1/ )+1=0.

Из двух решений приведенного квадратного уравнения (₁₂=1) одно будет меньше единицы – его и выбираем в качестве искомой оценки параметра в модели МА(1).

Оценка ² получается по формуле: .

Модель скользящего среднего второго порядка – МА(2) отличается более сложным построением -см. [1], с. 843-845.

Важное практическое значение имеют процессы, первая (или более высокая) разность которых стационарна и является процессом МА(q). Подобные процессы устроены как случайные колебания с непостоянным средним уровнем, или (для второй разности) непостоянным углом наклона.

Модели авторегрессии-скользящего среднего (AutoRegressive - MovingAverage - ARMA(р, q) models).

На практике для экономичной параметризации анализируемого процесса иногда бывает необходимо включить в модель как члены, описывающие авторегрессию, так и члены, моделирующие остаток в виде скользящего среднего. Такой линейный процесс имеет вид:

u(t)=₁u(t-1)+…+_рu(t-р)+(t)-₁(t-1)-…-_q(t-q) (5.10)

и называется процессом авторегрессии - скользящего среднего порядка (p, q) – ARMA(p, q).

Рассмотрим в качестве примера модель ARMA(1,1). В соответствии с моделью (5.10) процесс ARMA(1, 1) описывается формулой:

u(t)=u(t-1)+(t)-(t-1) или u(t)-u(t-1)=(t)-(t-1).

Процесс ARMA(1, 1) стационарен, если корень характеристического уравнения AR(1) модели 1-z=0 по модулю больше единицы. То есть должно быть <1. Обратимость процесса

---

ARMA(1, 1) обеспечивается требованием, чтобы корень характеристического уравнения МA(1) модели 1-z=0 по модулю был больше единицы. То есть должно быть <1. АКФ:



Автокорреляционная функция экспоненциально убывает от начального значения r(1), причем это убывание монотонно, если  положительно, и колебательно (знакопеременно), если  отрицательно.

Из последнего равенства и условий стационарности и обратимости следует, что r(1) и r(2) должны удовлетворять условиям:



Эти условия бывают полезными при проверке гипотезы (по выборочным значениям коэффициентов автокорреляции) о том, что анализируемый процесс может быть описан ARMA(1, 1) моделью.

Идентификация модели ARMA(1, 1). Требуется статистически оценить параметры ,  и ² модели по имеющимся значениям исходного ряда y_t.

Этап 1.

Этап 2. Из уравнения модели несложно получить систему уравнений вида:



Поделив первое уравнение системы на второе, получим квадратное уравнение относительно :

A=-(1+²)/, где А=

Из двух корней уравнения выбираем тот, который удовлетворяет условию обратимости <1. Оценку ² определяем из любого уравнения системы.

Модель авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего (AutoRegressiveIntegratedMovingAverage - ARIMA(р, q, k) models).

Модель впервые была предложена Дж.Боксом и Г.Дженкинсом и поэтому известна как модель Бокса-Дженкинса. Это одна из наиболее популярных моделей для построения краткосрочных прогнозов значений временных рядов.

Будем рассматривать нестационарные, однородные временные ряды. То есть ряды, для которых случайный остаток u(t), получающийся после вычитания из ряда y(t) его неслучайной составляющей f(t), представляет нестационарный временной ряд. Модель Бокса-Дженкинса предназначена для описания нестационарных временных рядов со следующими свойствами:

---

а) в рамках аддитивной модели y(t) включает f(t), имеющий вид алгебраического полинома от t степени k-1, причем коэффициенты полинома могут быть как стохастические, так и нестохастические,

б) ряд y_k(t), t=1,2,…, n-k, получившийся из y(t) после применения к нему метода последовательных разностей, может быть описан моделью ARMA(р, q).

Следовательно, модель Бокса-Дженкинса имеет вид:

y_k(t)=₁y_k(t-1)+…+_рy_k(t-р)+(t)-₁(t-1)-…-_q(t-q), (5.11)

где y_k(t)=^ky(t)=y(t)-C_k¹y(t-1)+C_k²y(t-2)-…+(-1)^ky(t-k), t=k+1, k+2, …, n. Здесь ^k – k-я последовательная разность анализируемого процесса y(t) (=y(t)-y(t-1), ²=y(t)-y(t-1) и т.п.).

Введем операторы сдвига во времени:

F₊y_t=y_t+1 и F_y_t=y_t-1.

Причем F₊F_=1, F^k_y_t=y_t-k, F^k₊y_t=y_t+k, =1F_ .

Тогда оператор авторегрессии порядка p AR(p) имеет вид:

(F_, )=1-₁F_-₂F²_- … -_pF^p_ ,

а оператор скользящего среднего порядка q MA(q):

(F_, )=1-₁F_-₂F²_- … -_qF^q_{ .}

Модель ARIMA(р, q, k) будет с учетом формулы (5.11) и введенных операторов иметь вид:

(F_, )^ky(t)= (F_, )(t). (5.11^а)

На практике применяются модели ARIMA(р, q, k), в которых р, q, k не превышают 2. Например, ARIMA(1, 1, 1):

(F_, )y(t)= (F_, )(t)  (1-F_)(y

---

_t-y_t-1)=(1-F_)_t 

y_t-y_t-1-y_t-1+y_t-2=_t-_t-1 

y(t)=(1+)y(t-1)-y(t-2)+(t)-(t-1).

Частным случаем модели ARIMA является модель авторегрессии АR(p), для которой q=k=0. Другой частный случай - модель скользящего среднего MA(q), для которой p=k=0.

Важные специальные классы моделей - модели ARIMA(0, q, k), и модели ARMA(p, q) =ARIMA(р, q, 0).

Модель АR(1) при положительном коэффициенте автокорреляции представляет собой колебательный процесс с преобладанием длинных волн. Если коэффициент корреляции отрицателен, процесс является сильно осциллирующим. Модель ARIMA(0, 1, 1) описывает случайный процесс с непостоянным уровнем. Аналогичное утверждение справедливо для модели ARIMA(0, 2, 2), описывающей случайный процесс с переменным уровнем и углом наклона.

Идентификация ARIMA моделей.

Структура модели ARIMA описывается тремя параметрами (р, q, k). Кроме того, разные по форме модели могут быть довольно близки друг другу. Поэтому весьма важно по возможности правильно определить структуру модели. Рассмотрим этапы идентификации.

1. Подбирается порядок модели k. Для этого используется либо метод последовательных разностей, либо анализ автокорреляционных функций процессов y(t), ²y(t), … - пока не достигнем быстрого затухания (стационарности) автокорреляционной функции для некоторого k. Дж.Бокс и Г.Дженкинс предлагают взять за визуальный критерий стационарности быстрое убывание значений выборочной АКФ. Использование завышенного порядка разности приводит к росту дисперсии ошибок и к заметному росту дисперсии прогноза.

2. Находим y_k(t)=^ky(t) и идентифицируем ARMA(р, q) модель.

Пример. Для определения порядков авторегрессии и скользящего среднего продемонстрируем вид и свойства теоретических АКФ и частной АКФ простейших моделей.

Пример АКФ и частной АКФ для модели АR(1) представлен на рис. 5.3; 5.4. Пример АКФ и частной АКФ для модели АR(2) содержится на рис. 5.5; 5.6. Из содержания рис. 5.3-5.6 следует, что все значения частной АКФ для лагов, больших порядка авторегрессии, статистически незначимы. Пример АКФ и частной АКФ для модели M

---

А(1) изображен на рис. 5.7; 5.8.

Рис. 5.3	Рис. 5.4
Рис. 5.5	Рис. 5.6
Рис. 5.7.	Рис. 5.8.

---