Файл: Курс лекций по дисциплине Эконометрика.doc

Для того чтобы получить адекватную оценку того, насколько хорошо вариация результирующего признака объясняется вариацией нескольких факторных признаков, применяют скорректированный коэффициент детерминации

(3.22)

Скорректированный коэффициент детерминации всегда меньше R². Кроме того, в отличие от R², который всегда положителен, может принимать и отрицательное значение.

Пример (продолжение примера 1). Рассчитаем множественный коэффициент корреляции, согласно формуле (3.20):

=0,8601.

Величина множественного коэффициента корреляции, равного 0,8601, свидетельствует о сильной взаимосвязи стоимости перевозки с весом груза и расстоянием, на которое он перевозится.

Коэффициент детерминации равен: R²=0,7399.

Скорректированный коэффициент детерминации рассчитываем по формуле (3.22):

=0,7092.

Заметим, что величина скорректированного коэффициента детерминации отличается от величины коэффициента детерминации.

Таким образом, 70,9% вариации зависимой переменной (стоимости перевозки) объясняется вариацией независимых переменных (весом груза и расстоянием перевозки). Остальные 29,1% вариации зависимой переменной объясняются факторами, неучтенными в модели.

Величина скорректированного коэффициента детерминации достаточно велика, следовательно, мы смогли учесть в модели наиболее существенные факторы, определяющие стоимость перевозки. 
3.5. Оценка качества модели множественной регрессии

Проверка качества модели множественной регрессии может быть осуществлена с помощью дисперсионного анализа.

Как уже было отмечено (см. 2.5), сумма квадратов отклонений от среднего в выборке равна сумме квадратов отклонений значений , полученных по уравнению регрессии, от выборочного среднего

---

плюс сумма квадратов отклонений Y от линии регрессии .

С учетом (3.21) получим таблицу дисперсионного анализа (табл. 3.4), аналог таблицы 2.3.

Проверка качества модели множественной регрессии в целом может быть осуществлена с помощью F-критерия Фишера. Для проверки гипотезы о том, что линейная связь между и yотсутствует:

,

воспользуемся соотношением

(3.23)

которое удовлетворяет F - распределению Фишера с (k, n-(k+1)) степенями свободы. Критические значения этой статистики F_ для уровня значимости  затабулированы.

---

Таблица 3.4

Таблица дисперсионного анализа

Источник вариации	Сумма квадратов отклонений	Число степеней свободы	Дисперсия на одну степень свободы
		k
Остаток		n-k-1
Общая вариация		n-1

Если F>F_, то гипотеза об отсутствии связи между переменными и yотклоняется, в противном случае гипотеза Н₀ принимается и уравнение регрессии не значимо.

Пример (продолжение примера 1). Заполним таблицу дисперсионного анализа:

Таблица дисперсионного анализа

Источник вариации	Сумма квадратов отклонений	Число степеней свободы	Дисперсия
	5828,84	2	2914,42
Остаток	2049,54	17	120,56
Общая вариация	7878,38	19

Получаем , .

В нашем примере F>F_, следовательно, нулевая гипотеза отклоняется, и уравнение множественной регрессии значимо. 

---

Помимо проверки значимости уравнения в целом, можно проверить статистическую значимость каждого из коэффициентов регрессии в отдельности.

Фактически это означает проверку одной из гипотез:

1) ; …; k) .

Статистическая значимость каждого из коэффициентов регрессии определяется при помощи t-критерия Стьюдента. Решение о том, что верна нулевая гипотеза, принимается в случае, когда t<t_, иначе принимается альтернативная гипотеза.

Значение t-статистики Стьюдента в случае множественной регрессии определяется по формуле:

, (3.24)

где - стандартная ошибка коэффициента регрессии , которая определяется по формуле

, (3.25)

здесь - стандартное отклонение y;

           - стандартное отклонение x_i;

          - коэффициент детерминации для зависимости фактора x_i от других факторов уравнения множественной регрессии.

Пример (продолжение примера 1). Проверим значимость коэффициентов регрессии. В случае, когда в уравнение регрессии включены две независимые переменные, формула (3.24) упрощается

, .

Таким образом:

=4,69, =4,50,

.

Так как в обоих случаях , то коэффициенты регрессии значимы, следовательно, и вес груза, и расстояние грузовой перевозки оказывают существенное, статистически значимое влияние на стоимость перевозки.

---


3.6 Мультиколлинеарность и методы ее устранения
Одним из важнейших этапов построения регрессии является отбор факторов , j=1,..., k, i=1,2,…,n, включаемых в регрессию (3.1). Наибольшее распространение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии: метод исключения, метод включения, шаговый регрессионный анализ. Перечисленные методы дают близкие результаты: отсев факторов из полного их набора (метод исключения), дополнительное введение фактора (метод включения), исключение ранее введенного фактора (шаговый метод).

Наиболее широко используются для решения вопроса об отборе факторов частные коэффициенты корреляции, оценивающие в чистом виде тесноту связи между фактором и результатом.

При включении факторов следует придерживаться правила, согласно которому число включаемых в модель объясняющих переменных должно быть в 5-6 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия. Иначе число степеней свободы остаточной вариации будет мало, и параметры уравнения регрессии окажутся статистически незначимы.

Иногда при отборе переменных-факторов нарушается предположение (3.5). В этом случае говорят, что объясняющие переменные , j=1,..., k, i=1,2,…,nмодели характеризуются свойством полной (строгой) мультиколлинеарности. В этом случае система (3.6) не может быть разрешена относительно неизвестных оценок коэффициентов. Строгая мультиколлинеарность встречается редко, так как ее несложно избежать на предварительной стадии отбора объясняющих переменных.

Реальная (частичная) мультиколлинеарность возникает в случаях достаточно сильных линейных статистических связей между переменными , j=1,..., k, i=1,2,…,n. Точных количественных критериев для проверки наличия мультиколлинеарности не существует, но имеются некоторые практические рекомендации по выявлению мультиколлинеарности.

---