Файл: Учебнометодическое пособие для выполнения лабораторных работ Волгоград, 2019 удк 519. 6(075. 8) Ббк в19я7 Печатается по решению редакционноиздательского совета Волгоградского государственного университета.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.12.2023

Просмотров: 152

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

2. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

2.1 Лабораторная работа 1. «Теория погрешностей и машинная арифметика»

2.2 Лабораторная работа 2. « Решение нелинейных уравнений»

2) Расчетные формулы методов решения нелинейного уравнения .

2.3 Лабораторная работа 3. « Интерполирование функций»

2.4 Лабораторная работа 4.« Решение систем линейных уравнений» Цель: изучение основных численных методов решения систем линейных уравнений; разработка численного алгоритма и решения на ЭВМ систем линейных уравнений методами прогонки и итераций. Порядок выполнения работы Теоретическая часть Основные определения Система уравнений вида: или в сокращенной записи:называется линейной алгебраической системой из n уравнений с n-неизвестными xi (i=1,...,n). В матричной форме она записывается следующим образом:г де A - квадратная матрица, В и Х - векторы столбцы вида:1.2 Прямые методы1.Метод Крамера.Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения. Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.Решение системы имеет вид:xi* = DAi / DA, i = 1, n, 1 2. Метод Гаусса. Этот метод основан на приведении методом исключения системы к треугольному виду (прямой ход ), а затем решение этой системы начиная с xn и т.д. (обратный ход). Если система сразу сводится к диагональному виду, то такой метод называется методом Жордана-Гаусса. Для уменьшения погрешности округления при сведении матрицы А к треугольному виду выбирается максимальный элемент в столбце или в строке и с помощью перестановок он делается главным (схема частичного выбора). Если главный элемент выбирается во всей матрице, то схема носит название глобального выбора. Алгоритм решения системы из n уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам выглядит следующим образом. Алгоритм прямого хода: Шаг 1. Примем k=1 Шаг 2. Выбираем рабочую строку.Если akk ≠ 0, то k-ая строка – рабочая.Если нет, меняем k-ю строку на m-ю (n≥m>k), в которой amk ≠ 0, . Если такой строки нет, система вырожденная, решение прекратить. Ш аг 3. Для строк i=k+1, k+2, …, n вычисляются новые значения коэффициентов: и новые правые части Шаг 4. Увеличиваем k = k + 1. Если k = n, прямой ход завершен, иначе алгоритм повторяется со второго шага. Получаем верхнюю треугольную матрицу А:А лгоритм обратного хода: Шаг 1. ВычислимШ аг 2. Вычислим:3.Метод прогонки. Данный метод применяется для решения трех диагональных систем. Метод состоит из двух этапов прямой прогонки - и обратной прогонки.Прямая прогонка: величину xi выразим через xi+1 с помощью коэффициентов Ai,Bi : xi= Ai xi+1+ Bi. Из первого уравнения находим значения A1 и B1. Подставляя x1=A1·x2+B1 во второе уравнение системы получаем: a2(A1x2+B1)+b2x2+c2x3=d2. Выражаем x2 и находим A2 и B2,т.е. зная A1 и B1 по этой формуле мы можем вычислить A2 и B2. Аналогично подставляя значение xi-1=Ai-1xi+Bi-1 в i уравнение имеем: ai(Ai-1xi+Bi-1)+bixi+cixi+1=di, i=1,2,...n. После n шагов получим значения An и Bn. Так как cn=0, то An=0. Следовательно, имеем: xn=Bn. Обратная прогонка состоит в последовательных вычислениях значений xn-1, xn-2 и т.д. до x1. 1.3 Итерационные методы:а) метод простой интерполяции (Метод Якоби);б) метод Гаусса-Зейделя Эти методы используются обычно при решении уравнений большого порядка, поскольку при итерационном процессе не накапливается ошибка округления. Задается некоторое приближенное решение x(0), затем производится цикл вычислений ( итераций ) и вычисляется новое приближение x(1). Процесс продолжается до получения решения с заданной точностью. Формула итерационного процесса:Условия завершения итерационного процесса d£e: Условие сходимости итерационного процесса:2. Контрольные вопросы Напишите матричную форму записи системы линейных уравнений. Перечислите основные прямые методы решения системы линейных уравнений. Напишите формулы Крамера. В чем суть метода Гаусса? В чем суть метода прогонки? Перечислите основные итерационные методы решения системы линейных уравнений. В чем суть итерационного метода? Напишите формулу итерационного процесса и условие завершения итерационного процесса. Практические задания 1.Решить систему линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой приведены в таблице заданий методами Крамера, Гаусса, прогонки, итерационным методом. Предварительно систему привести к трех диагональному виду. 2. Показать, что используемый метод имеет единственное решение в случае использования прямого метода или сходится в случае итерационного метода. 3. Написать программу и решить на ЭВМ с помощью этих методов систему уравнений и сравнить результаты. 4. Результаты занести в таблицу: Метод x1 x2 x3 x4 Крамера Гаусса Прогонки Гаусса-Зейделя ПРИЛОЖЕНИЕ 4ВАРИАНТЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

2.6 Лабораторная работа 6. «Методы численного интегрирования функций»

Рекомендуемая литература

требуют использования специальных методов, ориентированных на данный узкий класс задач.

2. Контрольные вопросы

  1. Как описываются обыкновенные дифференциальные уравнения?

  2. Перечислите основные типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

  3. Опишите задачу Коши.

  4. Что из себя представляют численные методы решения дифференциального уравнения?

  5. Опишите классы численных методов решения дифференциального уравнения

  6. Опишите алгоритм метода Рунге-Кутта задача Коши.

  7. Как оценивается погрешность приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения, полученного методом Рунге-Кутта второго порядка точности на одном шаге?

  8. Назовите достоинства схемы Рунге-Кутта.


3. Практические задания

Методом Рунге-Кутта (2-го или 4-го порядка точности) найдите решение системы дифференциальных уравнений на отрезке при начальных условиях с шагом . Шаг выбрать самостоятельно. Численные решения представьте графически. Сравните с аналитическим решением, если его можно найти.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 7.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.


8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.


Рекомендуемая литература


  1. Зенков А.В.. Численные методы: учеб. пособие для прикладного бакалавриата.- М.: Изд-во Юрайт, 2019.- 122с.- ISBN 978-5-534-10893-4

  2. Пирумов У.Г. Численные методы: учебник и практикум для академического бакалавриата. - М.: Изд-во Юрайт, 2019.- 421с.-ISBN 978-5-534-03141-6

  3. Пименов В.Г. Численные методы. В 2 ч.: учеб. пособие для вузов - М.: Изд-во Юрайт, 2019; Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та.-111 с. и 106с.- ISBN 978-5-534-10886-6(Ч.1); ISBN 978-5-534-10891-0(Ч.2).

  4. Зализняк В.Е. Численные методы. Основы научных вычислений: учебник и практикум для академического бакалавриата. - М.: Изд-во Юрайт, 2019.- 356с.- ISBN 978-5-534-02714-3

  5. Гателюк О.В. Численные методы: учеб. пособие для академического бакалавриата.- М.: Изд-во Юрайт, 2019.- 140с.- ISBN 978-5-534-05894-9

  6. Абрамкин Г.П. Численные методы: учеб. пособие - Изд-во Алтайского гос.пед. ун-та, 2016.-260с.- ISBN 978-5-88210-829-7

  7. Семакин, И.Г. Программирование, численные методы и математическое моделирование: учебное пособие / Семакин И.Г., Русакова О.Л., Тарунин Е.Л., Шкарапута А.П. — Москва : КноРус, 2017. — 298 с. — (для бакалавров). — ISBN 978-5-406-00862-1.

Смотрите также файлы