Файл: Учебнометодическое пособие для выполнения лабораторных работ Волгоград, 2019 удк 519. 6(075. 8) Ббк в19я7 Печатается по решению редакционноиздательского совета Волгоградского государственного университета.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.12.2023

Просмотров: 555

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

2. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

2.1 Лабораторная работа 1. «Теория погрешностей и машинная арифметика»

2.2 Лабораторная работа 2. « Решение нелинейных уравнений»

2) Расчетные формулы методов решения нелинейного уравнения .

2.3 Лабораторная работа 3. « Интерполирование функций»

2.4 Лабораторная работа 4.« Решение систем линейных уравнений» Цель: изучение основных численных методов решения систем линейных уравнений; разработка численного алгоритма и решения на ЭВМ систем линейных уравнений методами прогонки и итераций. Порядок выполнения работы Теоретическая часть Основные определения Система уравнений вида: или в сокращенной записи:называется линейной алгебраической системой из n уравнений с n-неизвестными xi (i=1,...,n). В матричной форме она записывается следующим образом:г де A - квадратная матрица, В и Х - векторы столбцы вида:1.2 Прямые методы1.Метод Крамера.Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения. Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.Решение системы имеет вид:xi* = DAi / DA, i = 1, n, 1 2. Метод Гаусса. Этот метод основан на приведении методом исключения системы к треугольному виду (прямой ход ), а затем решение этой системы начиная с xn и т.д. (обратный ход). Если система сразу сводится к диагональному виду, то такой метод называется методом Жордана-Гаусса. Для уменьшения погрешности округления при сведении матрицы А к треугольному виду выбирается максимальный элемент в столбце или в строке и с помощью перестановок он делается главным (схема частичного выбора). Если главный элемент выбирается во всей матрице, то схема носит название глобального выбора. Алгоритм решения системы из n уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам выглядит следующим образом. Алгоритм прямого хода: Шаг 1. Примем k=1 Шаг 2. Выбираем рабочую строку.Если akk ≠ 0, то k-ая строка – рабочая.Если нет, меняем k-ю строку на m-ю (n≥m>k), в которой amk ≠ 0, . Если такой строки нет, система вырожденная, решение прекратить. Ш аг 3. Для строк i=k+1, k+2, …, n вычисляются новые значения коэффициентов: и новые правые части Шаг 4. Увеличиваем k = k + 1. Если k = n, прямой ход завершен, иначе алгоритм повторяется со второго шага. Получаем верхнюю треугольную матрицу А:А лгоритм обратного хода: Шаг 1. ВычислимШ аг 2. Вычислим:3.Метод прогонки. Данный метод применяется для решения трех диагональных систем. Метод состоит из двух этапов прямой прогонки - и обратной прогонки.Прямая прогонка: величину xi выразим через xi+1 с помощью коэффициентов Ai,Bi : xi= Ai xi+1+ Bi. Из первого уравнения находим значения A1 и B1. Подставляя x1=A1·x2+B1 во второе уравнение системы получаем: a2(A1x2+B1)+b2x2+c2x3=d2. Выражаем x2 и находим A2 и B2,т.е. зная A1 и B1 по этой формуле мы можем вычислить A2 и B2. Аналогично подставляя значение xi-1=Ai-1xi+Bi-1 в i уравнение имеем: ai(Ai-1xi+Bi-1)+bixi+cixi+1=di, i=1,2,...n. После n шагов получим значения An и Bn. Так как cn=0, то An=0. Следовательно, имеем: xn=Bn. Обратная прогонка состоит в последовательных вычислениях значений xn-1, xn-2 и т.д. до x1. 1.3 Итерационные методы:а) метод простой интерполяции (Метод Якоби);б) метод Гаусса-Зейделя Эти методы используются обычно при решении уравнений большого порядка, поскольку при итерационном процессе не накапливается ошибка округления. Задается некоторое приближенное решение x(0), затем производится цикл вычислений ( итераций ) и вычисляется новое приближение x(1). Процесс продолжается до получения решения с заданной точностью. Формула итерационного процесса:Условия завершения итерационного процесса d£e: Условие сходимости итерационного процесса:2. Контрольные вопросы Напишите матричную форму записи системы линейных уравнений. Перечислите основные прямые методы решения системы линейных уравнений. Напишите формулы Крамера. В чем суть метода Гаусса? В чем суть метода прогонки? Перечислите основные итерационные методы решения системы линейных уравнений. В чем суть итерационного метода? Напишите формулу итерационного процесса и условие завершения итерационного процесса. Практические задания 1.Решить систему линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой приведены в таблице заданий методами Крамера, Гаусса, прогонки, итерационным методом. Предварительно систему привести к трех диагональному виду. 2. Показать, что используемый метод имеет единственное решение в случае использования прямого метода или сходится в случае итерационного метода. 3. Написать программу и решить на ЭВМ с помощью этих методов систему уравнений и сравнить результаты. 4. Результаты занести в таблицу: Метод x1 x2 x3 x4 Крамера Гаусса Прогонки Гаусса-Зейделя ПРИЛОЖЕНИЕ 4ВАРИАНТЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

2.6 Лабораторная работа 6. «Методы численного интегрирования функций»

Рекомендуемая литература

N= и найти величину абсолютной и относительной погрешностей погрешностей при значениях N=10, 102, 103, 104, 105. Построить гистограммы зависимости погрешностей и количества верных цифр результата от N.Аналитическое решение задачи (только если не получилось в Mathcad):SN=  =    ,   . ОТВЕТ: S = = 44. Теоретический материал. Пусть - точное значение,  - приближенное значение некоторой величины. Абсолютной погрешностью приближенного значения  называется величина . Относительной погрешностью значения  (при 0) называется величина . Так как значение  как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:   . Величины  и  называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.
 Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре. Введем функцию S(N)=  . Тогда абсолютную погрешность можно определить с помощью функции d(N) = .Вычисления в MATHCAD приведены в файле «таком-то» (см. фрагмент программы на MATHCAD)Указание. Предварительно ознакомьтесь с форматами представления результатов.  Результаты вычислительного эксперимента:

Частная сумма
Абсолютная погрешность
Относительная погрешность
Верные цифры числа

S(10)=38.439560439
6
0.1
4 101

S(100)=43.3009269
0.7
0.02
43

S(1000)=43.9282153
0.07
0.002
43.9

S(10000)=43.992802
0.007
0.0002
43.99

S(100000)=43.9992802159957
0.0007
0.00002
43.999
 Здесь следует описать, как вы определили количество верных цифр.  Вывод: сформулировать самостоятельно.Задача 2. Постановка задачи: для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон.Искомые величины в MATHCAD найдены методом простого перебора.Выводы сформулировать самостоятельно.Фрагмент текста программы в системе MATHCAD:Примеры решения задачЗадача 1.Округлить сомнительные цифры приближенного числа x с относительной погрешностью d, оставив в его записи только верные цифры. x = 42.221, d = 0.5%.
Решение:1) Найдем количество верных цифр числа x:Отсюда n = 32) Округляем x до трех цифрx = 42.2 Задача 2.Записать формулу для оценки  абсолютной погрешностей функции трех переменных:, если Решение:Задача 3.Дано точное число b и приближенное число x с погрешностью . Указать правило оценки абсолютной и относительной погрешностей функции: Решение:Задача 4.Дано число a = 547.78, определенное с абсолютной погрешностью . Определить количество верных цифр числа а.Решение:1) Найдем относительную погрешность числа2) Найдем количество верных цифр. Отсюда n = 4, a = 547.8

  1. Контрольные вопросы

  1. Дайте определения приближенного числа, абсолютной и относительной погрешности.

  2. Какие цифры для заданного приближенного числа являются значащими? Приведите примеры.

  3. Какие цифры для заданного приближенного числа являются верными? Приведите примеры.

  4. Какие цифры для заданного приближенного числа являются сомнительными? Приведите примеры.

  5. Обозначьте связь относительной погрешности с количеством верных знаков числа

  6. Как определяется погрешность арифметических действий?

  7. Объясните общую формулу вычисления погрешности.

  8. Опишите форму представления чисел в ЭВМ.

  9. Дайте определения машинной бесконечности, машинного эпсилона, границы относительной погрешности. Опишите способы их определения.

  10. Как оценивается величина относительной погрешности?

  1. Практические задания
Задача 1. Дан ряд  (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда  и найти величину погрешности при значениях N=10, 102, 103, 104, 105.ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:1. Найти сумму ряда S аналитически как предел частичных сумм ряда (см контрольный пример) или с использованием средств MATHCAD.2. Используя функцию

, вычислить значения частичных сумм ряда при указанных значениях N.

3. Для каждого N вычислить величину абсолютной погрешности , относительную погрешность d и определить количество верных цифр в S(N)

4. Представить результаты в виде гистограмм.

Задача 2 . Дана функция f(a,b,c) (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Значения переменных указаны в варианте со всеми верными цифрами. Оценить погрешность результата, используя: a) оценки погрешностей для арифметических операций; b) общую формулу погрешностей. Результат представить в двух формах записи: с явным указанием погрешностей и с учетом верных цифр.

Задача 3. Для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон (см. контрольный пример).
ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 1

 Таблица к задаче 1


N


N


N


1


11


21


2


12


22


3


13


23


4


14


24


5


15


25


6


16


26


7


17


27


8


18


28


9


19


29



10


20


30

 Таблица к задаче 2


№








№








1


0.0125
0.283
0.0187
16


4.41
18.5
 

2


14.29
13.81
10.98
17


16.5
4.2
 

3


12.28
13.21
12.19
18


52.31
48.95
47.81

4


0.328
0.781
0.0129
19


4.81
4.52
9.28

5


14.85
15.49
 
20


16.21
16.18
21.23

6


12.31
0.0352
10.82
21


121
0.324
1.25

7


12.45
11.98
 
22


25.18
24.98
 

8


3.456
0.642
7.12
23


3.1415
3.1411
10.91

9


1.245
0.121
2.34
24


3.14
1.57
0.0921

10


13.12
0.145
15.18
25


14.85
15.49
 

11


0.643
2.17
5.843
26


5.325
5.152
5.481

12


0.3575
2.63
0.854
27


71.4
4.82
49.5

13


14.91
0.485
14.18
28


4.356
4.32
0.246

14


16.5
4.12
0.198
29


3.42
5.124
0.221

15


5.21
14.9
0.295
30


0.5761
3.622
0.0685

Смотрите также файлы