Файл: Учебнометодическое пособие для выполнения лабораторных работ Волгоград, 2019 удк 519. 6(075. 8) Ббк в19я7 Печатается по решению редакционноиздательского совета Волгоградского государственного университета.docx

_N= и найти величину абсолютной и относительной погрешностей погрешностей при значениях N=10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵. Построить гистограммы зависимости погрешностей и количества верных цифр результата от N.

Аналитическое решение задачи (только если не получилось в Mathcad):

S_N=  =

 

  ,

  . ОТВЕТ: S = = 44.

 Теоретический материал. Пусть - точное значение,  - приближенное значение некоторой величины. Абсолютной погрешностью приближенного значения  называется величина . Относительной погрешностью значения  (при 0) называется величина . Так как значение  как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:   . Величины  и  называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

---

 Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Введем функцию S(N)=  . Тогда абсолютную погрешность можно определить с помощью функции d(N) = .
Вычисления в MATHCAD приведены в файле «таком-то» (см. фрагмент программы на MATHCAD)
Указание. Предварительно ознакомьтесь с форматами представления результатов.

 Результаты вычислительного эксперимента:

Частная сумма	Абсолютная погрешность	Относительная погрешность	Верные цифры числа
S(10)=38.439560439	6	0.1	4 101
S(100)=43.3009269	0.7	0.02	43
S(1000)=43.9282153	0.07	0.002	43.9
S(10000)=43.992802	0.007	0.0002	43.99
S(100000)=43.9992802159957	0.0007	0.00002	43.999

 

Здесь следует описать, как вы определили количество верных цифр.

 Вывод: сформулировать самостоятельно.

Задача 2. Постановка задачи: для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон.

Искомые величины в MATHCAD найдены методом простого перебора.

Выводы сформулировать самостоятельно.

Фрагмент текста программы в системе MATHCAD:



Примеры решения задач

Задача 1.

Округлить сомнительные цифры приближенного числа x с относительной погрешностью d, оставив в его записи только верные цифры. x = 42.221, d = 0.5%.

---

Решение:

1) Найдем количество верных цифр числа x:

Отсюда n = 3

2) Округляем x до трех цифр

x = 42.2

 Задача 2.

Записать формулу для оценки  абсолютной погрешностей функции трех переменных:

, если

Решение:



Задача 3.

Дано точное число b и приближенное число x с погрешностью . Указать правило оценки абсолютной и относительной погрешностей функции:

Решение:



Задача 4.

Дано число a = 547.78, определенное с абсолютной погрешностью . Определить количество верных цифр числа а.

Решение:

1) Найдем относительную погрешность числа

2) Найдем количество верных цифр

. Отсюда n = 4, a = 547.8

2. 
   Контрольные вопросы
   

1. 
   Дайте определения приближенного числа, абсолютной и относительной погрешности.
   
2. 
   Какие цифры для заданного приближенного числа являются значащими? Приведите примеры.
   
3. 
   Какие цифры для заданного приближенного числа являются верными? Приведите примеры.
   
4. 
   Какие цифры для заданного приближенного числа являются сомнительными? Приведите примеры.
   
5. 
   Обозначьте связь относительной погрешности с количеством верных знаков числа
   
6. 
   Как определяется погрешность арифметических действий?
   
7. 
   Объясните общую формулу вычисления погрешности.
   
8. 
   Опишите форму представления чисел в ЭВМ.
   
9. 
   Дайте определения машинной бесконечности, машинного эпсилона, границы относительной погрешности. Опишите способы их определения.
   
10. 
    Как оценивается величина относительной погрешности?
    

2. 
   Практические задания
   

Задача 1. Дан ряд  (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда  и найти величину погрешности при значениях N=10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵.

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1. Найти сумму ряда S аналитически как предел частичных сумм ряда (см контрольный пример) или с использованием средств MATHCAD.

2. Используя функцию

---

, вычислить значения частичных сумм ряда при указанных значениях N.

3. Для каждого N вычислить величину абсолютной погрешности , относительную погрешность d и определить количество верных цифр в S(N)

4. Представить результаты в виде гистограмм.

Задача 2 . Дана функция f(a,b,c) (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Значения переменных указаны в варианте со всеми верными цифрами. Оценить погрешность результата, используя: a) оценки погрешностей для арифметических операций; b) общую формулу погрешностей. Результат представить в двух формах записи: с явным указанием погрешностей и с учетом верных цифр.

Задача 3. Для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон (см. контрольный пример).
ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 1

 Таблица к задаче 1

N		N		N
1		11		21
2		12		22
3		13		23
4		14		24
5		15		25
6		16		26
7		17		27
8		18		28
9		19		29
10		20		30

---

 Таблица к задаче 2

№					№
1		0.0125	0.283	0.0187	16		4.41	18.5
2		14.29	13.81	10.98	17		16.5	4.2
3		12.28	13.21	12.19	18		52.31	48.95	47.81
4		0.328	0.781	0.0129	19		4.81	4.52	9.28
5		14.85	15.49		20		16.21	16.18	21.23
6		12.31	0.0352	10.82	21		121	0.324	1.25
7		12.45	11.98		22		25.18	24.98
8		3.456	0.642	7.12	23		3.1415	3.1411	10.91
9		1.245	0.121	2.34	24		3.14	1.57	0.0921
10		13.12	0.145	15.18	25		14.85	15.49
11		0.643	2.17	5.843	26		5.325	5.152	5.481
12		0.3575	2.63	0.854	27		71.4	4.82	49.5
13		14.91	0.485	14.18	28		4.356	4.32	0.246
14		16.5	4.12	0.198	29		3.42	5.124	0.221
15		5.21	14.9	0.295	30		0.5761	3.622	0.0685

---