Файл: Учебнометодическое пособие для выполнения лабораторных работ Волгоград, 2019 удк 519. 6(075. 8) Ббк в19я7 Печатается по решению редакционноиздательского совета Волгоградского государственного университета.docx

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ВАРИАНТЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

№ п/п	Функция	Интервал
1		0;1
2		0;1
3	cos(x2)	0;0.5
4	tg(x3)	0;0.5
5	arctg( )	1;11
6	ln(sin(x))	π/4; 3π/4
7	cos(ex)	1;2
8	tg	0;2
9		0;1
10	sin(ln(x))	0.1;1.1
11		0;2
12	sin x2	0;1
13	ln	1;2
14		π/4; 5π/4
15	arcsin	0;0.5

---

2.4 Лабораторная работа 4.« Решение систем линейных уравнений»

Цель: изучение основных численных методов решения систем линейных уравнений; разработка численного алгоритма и решения на ЭВМ систем линейных уравнений методами прогонки и итераций.

Порядок выполнения работы

1. 
   Теоретическая часть
   
   1. 
      Основные определения
      

Система уравнений вида:



или в сокращенной записи:

называется линейной алгебраической системой из n уравнений с n-неизвестными xi (i=1,...,n).

В матричной форме она записывается следующим образом:

г де A - квадратная матрица, В и Х - векторы столбцы вида:

1.2 Прямые методы

1.Метод Крамера.

Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения. Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.

Решение системы имеет вид:xi* = DAi / DA, i = 1, n, 1

2. Метод Гаусса.

Этот метод основан на приведении методом исключения системы к треугольному виду (прямой ход ), а затем решение этой системы начиная с xn и т.д. (обратный ход).

Если система сразу сводится к диагональному виду, то такой метод называется методом Жордана-Гаусса.

Для уменьшения погрешности округления при сведении матрицы А к треугольному виду выбирается максимальный элемент в столбце или в строке и с помощью перестановок он делается главным (схема частичного выбора). Если главный элемент выбирается во всей матрице, то схема носит название глобального выбора.

Алгоритм решения системы из n уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам выглядит следующим образом.

Алгоритм прямого хода:

Шаг 1. Примем k=1

Шаг 2. Выбираем рабочую строку.

Если a_kk ≠ 0, то k-ая строка – рабочая.

Если нет, меняем k-ю строку на m-ю (n≥m>k), в которой a_mk ≠ 0, . Если такой строки нет, система вырожденная, решение прекратить.

Ш аг 3. Для строк i=k+1, k+2, …, n вычисляются новые значения коэффициентов:



и новые правые части

Шаг 4. Увеличиваем k = k + 1. Если k = n, прямой ход завершен, иначе алгоритм повторяется со второго шага.

Получаем верхнюю треугольную матрицу А:

А лгоритм обратного хода:

Шаг 1. Вычислим

Ш аг 2. Вычислим:
3.Метод прогонки.

Данный метод применяется для решения трех диагональных систем. Метод состоит из двух этапов прямой прогонки - и обратной прогонки.

Прямая прогонка: величину xi выразим через xi+1 с помощью коэффициентов Ai,Bi : xi= Ai xi+1+ Bi. Из первого уравнения находим значения A1 и B1. Подставляя x1=A1·x2+B1 во второе уравнение системы получаем: a2(A1x2+B1)+b2x2+c2x3=d2. Выражаем x2 и находим A2 и B2,

т.е. зная A1 и B1 по этой формуле мы можем вычислить A2 и B2. Аналогично подставляя значение xi-1=Ai-1xi+Bi-1 в i уравнение имеем:

ai(Ai-1xi+Bi-1)+bixi+cixi+1=di, i=1,2,...n.

После n шагов получим значения An и Bn. Так как cn=0, то An=0. Следовательно, имеем: xn=Bn.

Обратная прогонка состоит в последовательных вычислениях значений xn-1, xn-2 и т.д. до x1.
1.3 Итерационные методы:

а) метод простой интерполяции (Метод Якоби);

б) метод Гаусса-Зейделя




Эти методы используются обычно при решении уравнений большого порядка, поскольку при итерационном процессе не накапливается ошибка округления. Задается некоторое приближенное решение x(0), затем производится цикл вычислений ( итераций ) и вычисляется новое приближение x(1). Процесс продолжается до получения решения с заданной точностью.




Формула итерационного процесса:


Условия завершения итерационного процесса d£e:








Условие сходимости итерационного процесса:

2. Контрольные вопросы

1. 
   Напишите матричную форму записи системы линейных уравнений.
   
2. 
   Перечислите основные прямые методы решения системы линейных уравнений.
   
3. 
   Напишите формулы Крамера.
   
4. 
   В чем суть метода Гаусса?
   
5. 
   В чем суть метода прогонки?
   
6. 
   Перечислите основные итерационные методы решения системы линейных уравнений.
   
7. 
   В чем суть итерационного метода?
   
8. 
   Напишите формулу итерационного процесса и условие завершения итерационного процесса.
   

3. 
   Практические задания
   

1.Решить систему линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой приведены в таблице заданий методами Крамера, Гаусса, прогонки, итерационным методом. Предварительно систему привести к трех диагональному виду.

2. Показать, что используемый метод имеет единственное решение в случае использования прямого метода или сходится в случае итерационного метода.

3. Написать программу и решить на ЭВМ с помощью этих методов систему уравнений и сравнить результаты.

4. Результаты занести в таблицу:

Метод	x1	x2	x3	x4
Крамера
Гаусса
Прогонки
Гаусса-Зейделя

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ВАРИАНТЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

№	Матрица системы				Правая часть
1	0.401 -0.029 0.000 0.000	0.301 -0.500 -0.050 0.000	0.000 -0.018 -1.400 -0.007	0.000 0.000 -0.039 -2.300	0.122 -0.253 -0.988 -2.082
2	-1.700 0.002 0.000 0.000	0.003 0.800 -0.002 0.000	0.000 0.001 -0.100 -0.003	0.000 0.000 0.030 -1.600	0.681 0.480 -0.802 -1.007
3	-3.000 -0.011 0.000 0.000	0.001 2.100 0.005 0.000	0.000 0.5200 1.200 -0.010	0.000 0.000 0.600 -0.300	1.514 1.478 1.083 -1.007
4	4.300 0.100 0.000 0.000	0.217 -3.400 0.090 0.000	0.000 -0.207 2.500 0.080	0.000 0.000 0.197 -1.600	2.663 2.778 2.533 1.928
5	-5.600 0.147 0.000 0.000	0.268 4.700 -0.150 0.000	0.000 0.271 -3.800 0.153	0.000 0.000 0.274 2.900	4.032 4.313 4.235 3.797
6	6.900 0.191 0.000 0.000	0.319 -6.000 -0.205 0.000	0.000 -4.040 5.100 0.020	0.000 0.000 0.000 4.200	5.664 6.112 6.201 5.937
7	-8.200 0.234 0.000 0.000	0.370 7.300 0.260 0.000	0.000 5.600 -0.340 0.268	0.000 0.000 -0.422 5.500	7.559 8.175 8.421 8.322
8	9.500 0.278 0.000 0.000	0.422 8.601 0.315 0.000	0.000 0.459 7.700 0.351	0.000 0.000 0.496 6.803	9.719 10.500 10.915 10.978
9	10.800 0.321 0.000 0.000	-0.5760 9.900 0.369 0.000	0.000 7.300 9.000 0.416	0.000 0.000 -6.060 8.100	12.143 13.089 13.674 13.897
10	-1.100 0.365 0.000 0.000	0.528 0.113 -0.423 0.000	0.000 0.536 1.031 0.481	0.000 0.000 0.534 -0.570	14.830 15.941 16.969 17.081
11	13.400 -0.408 0.000 0.000	0.581 12.500 0.477 0.000	0.000 -0.650 -11.600 0.546	0.000 0.000 0.781 10.700	17.782 19.593 19.974 20.528
12	30.300 0.975 0.000 0.000	0.153 -29.400 0.117 0.000	0.000 0.011 -2.500 10.700	0.000 0.000 1.660 27.600	80.168 83.578 86.609 89.278
13	0.161 0.109 0.000 0.000	0.332 -0.301 -0.060 0.000	0.000 -0.150 0.171 0.145	0.000 0.000 0.051 -0.298	86.814 90.358 19.861 93.502
14	22.500 0.714 0.000 0.000	- -0.956 21.600 0.855 0.000	0.000 0.109 20.714 -0.996	0.000 0.000 0.124 19.800	45.802 48.261 50.343 52.4
15	26.400 0.840 0.000 0.000	0.117 -25.513 0.105 0.000	0.000 0.198 24.600 0.000	0.000 0.000 -8.810 2.451	61.853 64.730 63.880 59.376

---

2.5 Лабораторная работа 5. «Аппроксимация производных конечными разностями».

Цель: изучение основных методов аппроксимации производных с помощью конечно-разностных соотношений.. Численное дифференцирование на ЭВМ с помощью разностей сложных функций и функций заданных таблицей.

Порядок выполнения работы

1. 
   Теоретическая часть
   
   1. 
      Основные определения
      

1) Аппроксимация производных конечными разностями. Производной функции y=f(x) называется предел:



Для приближенного вычисления производной используется формула:

, где x - некоторое конечное число.

Разностные соотношения, в которых разность между любыми значениями аргумента является конечной величиной, называются конечными разностями. Поэтому соотношение также называют аппроксимацией производной с помощью конечных разностей.

Пусть известны значения функции y₀,y₁,...,y_i,...,y_n, вычисленные или заданные таблицей в точках x₀,x₁,...,x_i,...,x_n. Точки x₀,x₁,...,x_i,...,x_n называются узлами, а разность между соседними значениями аргумента называется шагом h_i=x_i=x_i-x_i-1, i=1,...,n. Весь набор узлов называется сеткой. Если величина шага между узлами постоянна, то говорят, что узлы x₀,x₁,...,x_i,...,x_n образуют равномерную сеткой с шагом h.

Для вычисления производной yi в точке точки x_i можно использовать левую разность:



правую разность:



центральную разность:


2) Погрешность численного дифференцирования. При численном дифференцировании с использованием приближенной формулы, естественно возникает погрешность: R(x,h)=y(x)-y_h(x,h), где y(x) - точное значение производной, y_h(x,h)- значение производной вычисленное по приближенной формуле при шаге h.

Величина погрешности зависит от точки x, в которой вычисляется производная, и от шага h, чем меньше шаг, тем естественно погрешность меньше. Обычно погрешность R(x,h) записывают одним из способов:

---

где, (x)h^k- называется главной частью погрешности аппроксимации, т.к. в формуле это слагаемое при h<<1 будет гораздо больше второго, а величина k называется порядком погрешности или порядком точности аппроксимации относительно шага h.

С помощью разложения в ряд Тейлора получены следующие оценки погрешности для формул:

левая разность;

правая разность;

центральная разность.

Из этих формул следует, что центральная разность имеет самый высокий порядок точности, а именно, второй порядок по h.

3) Аппроксимирующие формулы для любого порядка точности. Аппроксимацию производных конечными разностями в общем случае можно рассматривать как замену производной от функции y=f(x) производной от аппроксимирующей функции (x), (x)f(x), где в качестве аппроксимирующей функции используется интерполяционный многочлен: . Поэтому увеличивая степень интерполяционного многочлена n мы будем увеличивать порядок точности аппроксимации производной.

С помощью интерполяционного многочлена Лагранжа при равномерном распределении узлов были получены следующие формулы для аппроксимации производной с помощью центральных разностей второго и четвертого порядка точности:



где, y^(k)() - значение “к”-той производной в некоторой точке на отрезке [x_i-2,x_i+2].

В крайних точках таблицы или в крайних узлах нельзя использовать соотношения для центральных разностей. В этих точках используются односторонние формулы численного дифференцирования:


4) Выбор оптимального шага при численном дифференцировании. Полная погрешность численного дифференцирования определяется не только погрешностью используемой формулы численного дифференцирования, но и погрешность возникающей при вычислениях по этим формулам. Например, при вычисления по первой формуле абсолютная предельная погрешность будет равна:

---

где y - абсолютная предельная погрешность вычислений значений функции y из-за ошибок округления.

Так как величина y является неустранимой погрешностью, то согласно определения абсолютного числа обусловленности _ для задачи численного дифференцирования имеем: _=1/h, т.е. задача плохо обусловлена, т.к. при при h0 число обусловленности стремится к бесконечности.

Полная абсолютная погрешность вычисления производной R(y_i) будет равна сумме погрешностей:



Первое слагаемое (погрешность вычислений) при уменьшении шага увеличивается, а второе слагаемое (погрешность самой формулы) уменьшается. Естественно будет такой шаг при котором полная погрешность будет минимальной., такой шаг называется оптимальным,

Оптимальный шаг h_опт определяется из условия минимума R(y_i), т.е. уравнения R_h(y_i)=0, где значок h - говорит о том, что производная берется по h.

Естественно для каждой формулы численного дифференцирования будет своя формула для вычисления оптимального шага.

Если величина абсолютной предельной погрешности вычислений значений y определяется погрешностью округления ( машинным эпсилон ) (y)=_ y, то можем записать:



Обычно на практике полагают, что .

5) Улучшение аппроксимации с помощью метода Рунге -Ромберга. Пусть y(x) - точное значение производной, а y_h(x,h) -значение производной, вычисляемое по формуле численного дифференцирования, имеющей порядок точности к относительно шага h. Следовательно можем записать:



Запишем это же соотношение для шага h₁=ph:



Вычитая ,

и подставляя, получаем

---