Файл: Учебнометодическое пособие для выполнения лабораторных работ Волгоград, 2019 удк 519. 6(075. 8) Ббк в19я7 Печатается по решению редакционноиздательского совета Волгоградского государственного университета.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.12.2023

Просмотров: 550

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

2. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

2.1 Лабораторная работа 1. «Теория погрешностей и машинная арифметика»

2.2 Лабораторная работа 2. « Решение нелинейных уравнений»

2) Расчетные формулы методов решения нелинейного уравнения .

2.3 Лабораторная работа 3. « Интерполирование функций»

2.4 Лабораторная работа 4.« Решение систем линейных уравнений» Цель: изучение основных численных методов решения систем линейных уравнений; разработка численного алгоритма и решения на ЭВМ систем линейных уравнений методами прогонки и итераций. Порядок выполнения работы Теоретическая часть Основные определения Система уравнений вида: или в сокращенной записи:называется линейной алгебраической системой из n уравнений с n-неизвестными xi (i=1,...,n). В матричной форме она записывается следующим образом:г де A - квадратная матрица, В и Х - векторы столбцы вида:1.2 Прямые методы1.Метод Крамера.Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения. Метод Крамера может быть использован в решении системы стольких линейных уравнений, сколько в каждом уравнении неизвестных. Если определитель системы не равен нулю, то метод Крамера может быть использован в решении, если же равен нулю, то не может. Кроме того, метод Крамера может быть использован в решении систем линейных уравнений, имеющих единственное решение.Решение системы имеет вид:xi* = DAi / DA, i = 1, n, 1 2. Метод Гаусса. Этот метод основан на приведении методом исключения системы к треугольному виду (прямой ход ), а затем решение этой системы начиная с xn и т.д. (обратный ход). Если система сразу сводится к диагональному виду, то такой метод называется методом Жордана-Гаусса. Для уменьшения погрешности округления при сведении матрицы А к треугольному виду выбирается максимальный элемент в столбце или в строке и с помощью перестановок он делается главным (схема частичного выбора). Если главный элемент выбирается во всей матрице, то схема носит название глобального выбора. Алгоритм решения системы из n уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцам выглядит следующим образом. Алгоритм прямого хода: Шаг 1. Примем k=1 Шаг 2. Выбираем рабочую строку.Если akk ≠ 0, то k-ая строка – рабочая.Если нет, меняем k-ю строку на m-ю (n≥m>k), в которой amk ≠ 0, . Если такой строки нет, система вырожденная, решение прекратить. Ш аг 3. Для строк i=k+1, k+2, …, n вычисляются новые значения коэффициентов: и новые правые части Шаг 4. Увеличиваем k = k + 1. Если k = n, прямой ход завершен, иначе алгоритм повторяется со второго шага. Получаем верхнюю треугольную матрицу А:А лгоритм обратного хода: Шаг 1. ВычислимШ аг 2. Вычислим:3.Метод прогонки. Данный метод применяется для решения трех диагональных систем. Метод состоит из двух этапов прямой прогонки - и обратной прогонки.Прямая прогонка: величину xi выразим через xi+1 с помощью коэффициентов Ai,Bi : xi= Ai xi+1+ Bi. Из первого уравнения находим значения A1 и B1. Подставляя x1=A1·x2+B1 во второе уравнение системы получаем: a2(A1x2+B1)+b2x2+c2x3=d2. Выражаем x2 и находим A2 и B2,т.е. зная A1 и B1 по этой формуле мы можем вычислить A2 и B2. Аналогично подставляя значение xi-1=Ai-1xi+Bi-1 в i уравнение имеем: ai(Ai-1xi+Bi-1)+bixi+cixi+1=di, i=1,2,...n. После n шагов получим значения An и Bn. Так как cn=0, то An=0. Следовательно, имеем: xn=Bn. Обратная прогонка состоит в последовательных вычислениях значений xn-1, xn-2 и т.д. до x1. 1.3 Итерационные методы:а) метод простой интерполяции (Метод Якоби);б) метод Гаусса-Зейделя Эти методы используются обычно при решении уравнений большого порядка, поскольку при итерационном процессе не накапливается ошибка округления. Задается некоторое приближенное решение x(0), затем производится цикл вычислений ( итераций ) и вычисляется новое приближение x(1). Процесс продолжается до получения решения с заданной точностью. Формула итерационного процесса:Условия завершения итерационного процесса d£e: Условие сходимости итерационного процесса:2. Контрольные вопросы Напишите матричную форму записи системы линейных уравнений. Перечислите основные прямые методы решения системы линейных уравнений. Напишите формулы Крамера. В чем суть метода Гаусса? В чем суть метода прогонки? Перечислите основные итерационные методы решения системы линейных уравнений. В чем суть итерационного метода? Напишите формулу итерационного процесса и условие завершения итерационного процесса. Практические задания 1.Решить систему линейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой приведены в таблице заданий методами Крамера, Гаусса, прогонки, итерационным методом. Предварительно систему привести к трех диагональному виду. 2. Показать, что используемый метод имеет единственное решение в случае использования прямого метода или сходится в случае итерационного метода. 3. Написать программу и решить на ЭВМ с помощью этих методов систему уравнений и сравнить результаты. 4. Результаты занести в таблицу: Метод x1 x2 x3 x4 Крамера Гаусса Прогонки Гаусса-Зейделя ПРИЛОЖЕНИЕ 4ВАРИАНТЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

2.6 Лабораторная работа 6. «Методы численного интегрирования функций»

Рекомендуемая литература

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»Институт приоритетных технологийКафедра информационной безопасностиН. А. ГоловачеваМЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИучебно-методическое пособие для выполнения лабораторных работВолгоград, 2019УДК 519.6(075.8)ББК В19я7Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного университетаРекомендовано в качестве учебно-методического пособия институтом приоритетных технологий Волгоградского государственного университетаРецензенты:Профессор кафедры САПР и ПК, д.т.н. Садовникова Н.П.Профессор кафедры ИБ ВолГУ, д.т.н. Афанасьев А.М.Головачева Н. А.Методы вычислительной математики для решения задач информационной безопасности [Текст] : учеб.-метод. пособие / Н. А. Головачева : Федер. гос. авт. образоват. учреждение высш. образования «Волгогр. гос. ун-т», Ин-т приоритет. технологий, Каф. информ. безопасности. – Волгоград: Изд-во ВолГУ, 2019. – 63с.Пособие содержит 7 лабораторных работ. В нем раскрыты и обобщены теоретические вопросы и практические задания по темам дисциплины. Изложенный в учебно-методическом пособии материал соответствует требованиям ФГОС ВО. Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по укрупненной группе специальностей и направлений подготовки высшего образования 10.00.00 "Информационная безопасность" и может быть рекомендовано для дисциплин «Вычислительная математика», «Численные методы» и др. УДК 519.6(075.8)ББК В19я7© Головачева Н. А.., 2019© ФГАОУ ВО «Волгоградскийгосударственный университет», 2019Содержание

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 4

2. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ 5

2.1 Лабораторная работа 1. «Теория погрешностей и машинная арифметика» 5

 Таблица к задаче 2 13

2.2 Лабораторная работа 2. « Решение нелинейных уравнений» 13

2) Расчетные формулы методов решения нелинейного уравнения . 14

Таблица к задаче 2.2 Таблица к задаче 2.3 21

2.3 Лабораторная работа 3. « Интерполирование функций» 22

2.4 Лабораторная работа 4.« Решение систем линейных уравнений» 31

2.6 Лабораторная работа 6. «Методы численного интегрирования функций» 47

Рекомендуемая литература 63

1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Целью освоения дисциплины «Вычислительная математика» является формирование у студентов достаточных теоретических знаний и практических навыков по использованию методов вычислительной математики в профессиональной деятельности, в том числе, при их программной реализации на компьютерах.Задачи дисциплины:- изучение студентами методов расчета, методов оценки погрешностей и методов проведения машинного эксперимента;- выработать у студентов умение применять соответствующие методы вычислительной математики для решения задач, в том числе профессиональных;- овладение навыками решения задач в области информационной безопасности. ОтчетностьОтчет о выполнении лабораторных работ представляется в письменном виде. Отметка о сдаче лабораторной работы оформляется в виде таблицы:

Отметка о выполнении лабораторной работы «№___»

Тема:

Теоретическая часть
Практическая часть

Дата
Отметка о выполнении
Подпись преподавателя
Дата
Отметка о выполнении
Подпись преподавателя


















Отчет по лабораторной работе должен содержать следующие материалы по каждой задаче: 1) постановка задачи; 2) необходимый теоретический материал; 3) ответы на контрольные вопросы;4) результаты вычислительного эксперимента; 5) анализ полученных результатов и выводы; 6) графический материал (если необходимо);7) тексты программ.

2. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

2.1 Лабораторная работа 1. «Теория погрешностей и машинная арифметика»

Цель: сформировать навыки решения задач на вычислительные погрешности.Порядок выполнения работы

  1. Теоретическая часть

    1. Основные определения

  1. Абсолютная и относительная погрешность
Определение. Приближенным числом называется число, незначительно отличающееся от точного числа и заменяющее последнее в вычислениях.Математическая запись Определение. Под абсолютной погрешностью Δ приближенного числа  понимается разностьОтсюда следует, что  заключено в пределахили Определение. Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к модулю соответствующего точного числаТак как  обычно неизвестно, то на практике применяют оценку2) Верные цифры числаВсякое положительное число  может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дробигде  - цифра числа  в i – м разряде, m – старший десятичный разряд числа.Пример: Определение. Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном представлении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.Пример. = 0.002080. Здесь только первые три нуля не являются значащими. Определение. n первых значащих цифр приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины разряда, выражаемого n – й значащей цифрой, считая слева направо. Цифры, не являющиеся верными, называются сомнительнымиПример. Если в числе = 0.03450 все цифры верные, то .Таким образом, если для приближенного числа  известно, что то, по определению, первые n цифр  этого числа являются верными.Пример. , . ТогдаТ.е. m-n+1=-1. Т.к. m = 1, то n = 3. Следовательно, приближенное число имеет 3 верных цифры и его следует округлить следующим образом:
3) Связь относительной погрешности с количеством верных знаков числаЕсли положительное приближенное число имеет относительную погрешность, то количество верных знаков n данного числа можно определить по формулеи в качестве n взять ближайшее целое к число.4) Погрешности арифметических действийОбщая формула вычисления погрешности

  1. Машинный нуль, машинная бесконечность, машинный эпсилон.
В ЭВМ для вещественных чисел используется двоичная система счисления и принята форма представления чисел с плавающей точкой , . Здесь - мантисса; - двоичные цифры, причем всегда =1, p-целое число называемое двоичным порядком. Количество t цифр, которое отводится для записи мантиссы, называется разрядностью мантиссы. Диапазон представления чисел в ЭВМ ограничен конечной разрядностью мантиссы и значением числа p. Все представимые числа на ЭВМ удовлетворяют неравенствам: , где , . Все числа, по модулю большие , не представимы на ЭВМ и рассматриваются как машинная бесконечность. Все числа, по модулю меньшие , для ЭВМ не отличаются от нуля и рассматриваются как машинный нуль. Машинным эпсилон  называется относительная точность ЭВМ, то есть граница относительной погрешности представления чисел в ЭВМ. Покажем, что
. Пусть , тогда граница абсолютной погрешности представления этого числа равна . Поскольку , то величина относительной погрешности представления оценивается так: .Машинное эпсилон определяется разрядностью мантиссы и способом округления чисел, реализованным на конкретной ЭВМ.Примем следующие способы определения приближенных значений параметров, требуемых в задаче:1. Положим , где n - первое натуральное число, при котором происходит переполнение.2. Положим , где m – первое натуральное число , при котором  совпадает с нулем. 3. Положим , где k – наибольшее натуральное число, при котором сумма вычисленного значения 1+  еще больше 1. Фактически  есть граница относительной погрешности представления числа .Результаты вычислительного эксперимента:Машинная бесконечность ;машинный нуль ; машинное эпсилон

    1. Контрольный пример
Задача 1. Постановка задачи: дан ряд . Найти сумму ряда S аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда S

Смотрите также файлы