Файл: Учебнометодическое пособие для выполнения лабораторных работ Волгоград, 2019 удк 519. 6(075. 8) Ббк в19я7 Печатается по решению редакционноиздательского совета Волгоградского государственного университета.docx

на N равностоящих узлов.

где , шаг и обозначим



Выберем на каждом сегменте серединную точку и обозначим

Квадратурная формула прямоугольников имеет вид:



Если функции непрерывны на отрезке , то остаточный член имеет вид:

, где

1.1.2. Квадратурная формула трапеций имеет вид:



или

Если функции непрерывны на , то остаточный член представляется в виде: , где

1.1.3. Квадратурная формула Симпсона

Выберем на каждом сегменте серединную точку и обозначим

Квадратурная формула Симпсона:

Также можно взять удвоенный частичный отрезок, обозначив , и .

В результате получим другой вариант формулы Симпсона:

---

При этом, если функция имеет на отрезке непрерывные производные до четвертого порядка включительно, то остаточный член имеет вид:

, где

Решая неравенство относительно h для остаточных членов любой из квадратурных формул и делая вычисления с таким шагом, получаем заданную точность вычисления.

2. 
   Контрольный пример
   

Пример 1. Вычислить интеграл по квадратурным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, сравнить с точным значением интеграла и вычислить остаточный член для каждой формулы.

Решение: точное значение интеграла:

1. 
   Квадратурная формула прямоугольников
   

Для вычисления интеграла введем сетку, разделяющую отрезок на n=10 частей, при этом h=0,2. Выберем на каждом сегменте срединную точку

Применяя квадратурную формулу прямоугольников получаем:



Оценим погрешность по общей формуле.

Поскольку ,

то

При сравнении точного значения интеграла и полученного имеем разницу . Сравнивая эту разницу с погрешностью, можно сказать, что оценка явно завышена.

2. 
   Квадратурная формула трапеций.
   

Введем сетку также, как в пункте 1.

При этом h=0.2, N=10 по квадратурной формуле трапеции:



При этом оценка погрешности составляет:

---

При сравнении точного и полученного значения интеграла разность значительно меньше погрешности 0,66666 , что говорит о явно завышенной оценке.

3. 
   Квадратурная формула Симпсона.
   

Введем сетку как в пункте 1. Пусть h=0.2, n=10.

Чтобы не использовать дробные индексы, обозначим , и записываем формулу Симпсона в виде:



Вычислим интеграл по квадратурной формуле Симпсона:



Оценка погрешности этой формулы:





Сравнение точного значения интеграла с полученным дает разность . Эта разность меньше погрешности. Можно сказать, что в данном случае оценка также завышена.

Пример 2. Выбрать шаг интегрирования для вычисления интеграла с точностью 0,01 пользуясь квадратурными формулами прямоугольников, трапеций, Симпсона. Оценку погрешности для каждой квадратурной формулы будем брать из примера 1 соответственно.

1. Квадратурная формула прямоугольников.

Вычислим, при каком шаге h погрешность будет составлять 0,01:



При шаге отрезок разбивается на N=80 равностоящих узлов.

2. Квадратурная формула трапеций.

Вычислим, при каком шаге h погрешность составит 0,01:



При шаге

---

,отрезок разбивается на N=118 равностоящих узлов.

3. Квадратурная формула Симпсона.

Вычислим, при каком шаге h погрешность составит 0,01:



При шаге , отрезок разбивается на N=40 равностоящих узлов.

Как и следовало ожидать, наименьшее количество равностоящих узлов N=40 получается при вычислении интеграла по квадратурной формуле Симпсона.

4. Апостериорная оценка погрешности методом Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования.

Пусть - квадратурная формула, примененная на частичном отрезке и имеющая порядок m, то есть . Для формул прямоугольников и трапеций m = 3, а для формулы Симпсона m = 5. Проведем на каждом частичном отрезке все вычисления дважды, один раз с шагом , другой раз с шагом . Тогда справедлива оценка:



Если для заданного правая часть не превосходит , то получим: ,то есть будет достигнута заданная точность .

Если же на каком-то из частичных отрезков эта оценка не будет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два раза и снова оценить погрешность. Заметим, что для некоторых функций такое измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соответствующей программе следует предусмотреть ограничение сверху на число измельчений, а также возможность увеличения

---

.

2. Контрольные вопросы

1. 
   Какая формула называется квадратурной и почему?
   
2. 
   Запишите остаток квадратурной формулы.
   
3. 
   В каком случае применяются квадратурные формулы с равностоящими узлами?
   
4. 
   Запишите и поясните квадратурную формулу прямоугольников.
   
5. 
   Запишите и поясните квадратурную формулу трапеций.
   
6. 
   Запишите и поясните квадратурную формулу Симпсона.
   
7. 
   Как получается заданная точность вычисления?
   

3. Практические задания

Вычислить приближенное значение интеграла с помощью формулы а) прямоугольников, б) трапеций, в) Симпсона. Величину шага выбрать заранее, сделав вручную оценку погрешности через вторую (случаи а,б) или четвертую (случай в) производные. Сравнить с точным значением интеграла.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 6.

1.(а) 1.(б) 1.(в)

2.(а) 2.(б) 2.(в)

3.(а) 3.(б) 3.(в)

4.(а) 4.(б) 4.(в)

5.(а) 5.(б) 5.(в)

6.(а) 6.(б) 6.(в)

7.(а) 7.(б) 7.(в)

8.(а)

---