Файл: Положение о равномерном распределении молекул в пространстве и равномерном распределении их скоростей по всем направлениям называют.docx

 — модуль вектора скорости,   — полярный и   — азимутальный углы, характеризующие направление вектора  . При этом элемент объема в пространстве скоростей имеет вид

.

Для сокращения записи удобно также, кроме вектора  , ввести его приращение  :                                        

.

Здесь  , как обычно, орты декартовых осей  . Соответствующее выражение в сферических координатах мы не выписываем.

Тогда, поставленный выше вопрос можно сформулировать и так: «какова вероятность следующего события»: вектор скорости   принадлежит (векторному) интервалу от   до 

.

Последнее выражение можно было бы написать и сразу, однако векторы не образуют упорядоченного множества: неправомерен вопрос, какой вектор больше   или  , поэтому и приведены выше разъяснения того, что имеется ввиду под принадлежностью вектора некоторому (векторному) интервалу. Векторный интервал определяет объем в соответствующем пространстве, внутри которого лежит конец вектора, а сам вектор — положение этого объема.

---

Различия в словах и обозначениях не меняют сути дела, но весьма удобны. Ничто не меняется при переходе от бесконечно малого объема   (интервала  ) к конечному объему   (интервалу  ).

Если DN — число молекул, имеющих при заданном состоянии системы вектор скорости в интервале от   до  , то это число, в общем случае, вообще говоря, зависит от:

• 
  общего числа молекул N в системе;
  
• 
  величины объема в пространстве скоростей   (интервала  );
  
• 
  самого вектора скорости   (так как при одинаковых по величине элементах объема, но при разных его положениях в пространстве скоростей, в общем случае, число частиц будет различным).
  

Таким образом,



Однако, выше было заявлено и обосновано, что в состоянии термодинамичес­кого равновесия распределение молекул по направлениям движения изотропное. На «языке» функции   это означает, что она может зависеть только от модуля вектора скорости и не может зависеть от его направления.

Следовательно, во-первых,



Во- вторых, естественно предположить, что при достаточно малых величинах объема 

---

, число молекул в нём (число молекул с вектором скорости, принадлежащем этому объёму) будет пропорционально его величине, то есть



Можно показать, что при стремлении объема в пространстве скоростей   к нулю, написанное выше приближенное равенство переходит в точное. Введенная выше функция   имеет простой смысл: это концентрация частиц в пространстве скоростей



В-третьих, представляется очевидным, что чем больше частиц в системе, тем «при прочих равных» будет больше частиц и в объеме   и их концентрация  . Поэтому естественно от концентрации частиц перейти к удельной величине не зависящей от полного числа частиц в системе



Эта функция зависит только от скорости и дает относительное количество (долю) молекул, имеющих скорость в единичном объеме в пространстве скоростей вблизи скорости с модулем  .Эта функция   называется функцией распределения молекул для вектора скорости. Если взять несколько порций одного и того же газа, находящихся в идентичных условиях (одинаковы р и Т), то распределение молекул по скоростям в них также будет идентично. Зная вид  ,можно найти количество молекул dN из общего числа молекул N, проекции вектора скорости которых одновременно принадлежат интервалам

---

Это число равно

,

или, при использовании сферических координат в пространстве скоростей,



Подчеркнем, что это распределение вероятностей для вектора скорости, то есть сразу для трех величин: либо для   либо для  , в зависимости от используемой в пространстве скоростей системы координат. 

 

Концентрация частиц в пространстве скоростей должна подчиняться условию, имеющему простой физический смысл: число молекул со всевозможными векторами скорости, которым соответствуют все возможные объемы  , на которые можно разбить всё пространство скоростей, должно быть равно полному числу частиц в системе. При переходе к пределу, то есть от   к  , суммирование превращается в интегрирование по всему пространству скоростей и мы имеем:

,

(3.10)

откуда следует условие нормировки функции распределения

.

Вычисление, написанного выше, нормировочного интеграла разумеется возможно при использовании любой системы координат в пространстве скоростей. Например, в декартовой системе

.

Однако, «грех» не воспользоваться фактом изотропности распределения молекул по направлениям движения, отражением которого является зависимость функции распределения 

---

 только от модуля вектора скорости. В сферических координатах нормировочный интеграл имеет существенно проще, так как два из трех интегрирований можно провести в общем виде:



Функция распределения для газов была найдена теоретически Максвеллом (1859) и носит его имя. Далее мы установим ее вид.

 

Распределение Максвелла. Поскольку все направления движения молекул в пространстве равноправны, распределение скоростей должно быть изотропным и функция распределения n(v) не может зависеть от направления скорости. Это означает, что n(v) не может быть произвольной функцией от компонент скорости v_х, v_y, v_z, а должна зависеть лишь от абсолютной величины скорости

  

В зависимости от выбранной системы координат вероятность   имеет различный вид.

В декартовой системе

(3.11)

В цилиндрической системе

(3.12)

В сферической системе

(3.13)

Далее предлагается простой, хотя и не вполне строгий вывод вида функции распределения. Рассмотрим процесс столкновения двух частиц, движущихся со скоростями v₁ и v₂. Пусть в результате соударения скорости молекул изменяются и превращаются в 

---