Файл: Учебнометодическое пособие по дисциплине физика часть 1 Физические основы механики. Электричество. Электромагнетизм. Для студентов 1 курса.docx

Н = 565 мкН.

Направление силы совпадает с направлением напряженности , а последняя в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлена перпендикулярно поверхности цилиндра.

П р и м е р 4. Найти силу взаимодействия тонкого кольца радиусом R = 9см, несущего заряд q =2нКл с точечным зарядом Q = 8нКл, находящимся в точке А на оси кольца, проходящей через центр кольца, если концы его диаметра видны из этой точки под углом  = 90°.

Дано: R = 0,09 м ; Кл; Кл;  = 90°

Найти: .

Р
x
е ш е н и е . Заряд на кольце в данном случае нельзя считать точечным, так как радиус кольца одного порядка величины с расстоянием от его центра до заряда Q. Поэтому применить непосредственно формулу Кулона к указанным зарядам нельзя. Результирующая сила взаимодействия может быть получена в результате геометрического сложения элементарных сил взаимодействия точечных зарядов каждого участка кольца с точечным зарядом Q (рис.7 ): .

В силу симметрии задачи удобно рассмотреть два элементарных участка , расположенных на противоположных концах диаметра

с одинаковыми зарядами , где - линейная плотность заряда кольца. Она равна  = q/l, где l- длина окружности. Результирующая двух элементарных сил в силу симметрии расположения участков и , равенства соответствующих проекцийсил и на ось х и противоположного направления

---

и , по модулю равна



и направлена по оси x. Переходя от суммирования к интегрированию, определим модуль результирующей силы

,

где интегрирование производится по всей длине кольца. Поскольку согласно условию , а имеем:



Тогда



П р и м е р 5. Две проводящие сферические поверхности, центры которых совпадают, имеют радиусы R₁ = 20 мм и R₂ =30 мм. На сферах равномерно распределены одинаковые по величине, но противоположные по знаку заряды, равные Кл, причем заряд сферы меньшего радиуса отрицателен. Все пространство между сферическими поверхностями заполнено однородным диэлектриком (ε =7).

Найти модуль вектора напряженности электрического поля Е, модуль вектора электрического смещения D и потенциал электрического поля  как функцию расстояния r от центра сферических поверхностей.

Построить графики Е = f(r); D = f(r) и  = f(r) для случаев

1) ;

2) ;

3) r> .

Графики E = f(r) и D = f(r) расположить на одном чертеже, а  = f(r)- на другом.

Дано: м; м; Кл; Кл;  = 7.

Найти: Е = f(r); D = f(r);  = f(r).

Р е ш е н и е. Поскольку рассматриваемое электрическое поле обладает сферической симметрией, воспользуемся теоремой Гаусса для вектора

---

, взяв в качестве замкнутой поверхности сферу S радиусом r (рис. 8):

, (1)

где - проекция вектора на нормаль к поверхности S. Вычислим поток смещения через сферическую поверхность S. Так как , то

. (2)

Из (1) и (2) следует

. (3)

Поскольку алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри выбранной поверхности S, равна , из выражения (3) следует

. (4)

Напряженность электрического поля связана со смещением соотношением

. (5)

Следовательно, из формул (4) и (5)

. (6)

Рассмотрим значения D и E в каждой из заданных областей.

1) . Так как внутри сферы с радиусом заряды отсутствуют ( ), то смещение и напряженность электрического поля равны нулю. ; .

2) . Так как внутри сферы с радиусом содержится заряд , из формул (4) и (6) следует

;

---

.

3) r> . Так как внутри сферы с радиусом r> содержится заряд , но эти заряды равны по величине и противоположны по знаку, то . Следовательно и .

Для построения требуемых графиков D = f(r) и E = f(r) следует вычислить несколько значений D и E, меняя значения r в заданных пределах. Результаты занесем в табл. 1.

Таблица 1

, м	2	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0	3,2
, В/м	-1,35	-1,11	-0,94	-0,80	-0,69	-0,6	0
,	-8,36	-6,90	-5,80	-4,94	-4,26	-3,71	0

По данным таблицы, учитывая, что при D = 0 и E = 0, построим графики и (рис. 9).

Д
E=f₁(r)
ля нахождения потенциала электрического поля  = f(r) воспользуемся соотношением между напряженностью поля и градиентом потенциала: . Для поля, создаваемого сферической поверхностью, это соотношение можно записать в скалярном виде:

---

или .

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях и от центра сфер:

; ; . (7)

Потенциал в бесконечности принимаем равным нулю . Если в формуле (7) положить , то она примет вид:

.

Поскольку значения E для каждой из рассматриваемых областей различны, получим выражения (r) для каждого случая в отдельности:

1)

,

так как первый и третий интегралы равны нулю ( и , см. первую часть решения задачи)



. Так как (r) < 0;

2) ,

так как второй интеграл равен нулю ( , см. первую часть решения задачи)



. Так как (r) < 0.

3) , так как (см. первую часть решения задачи).

Для построения графика (r) следует вычислить несколько значений , меняя значения r в заданных пределах. Результаты занесем в табл. 2.

---