Файл: Курс лекций санктпетербург 2002 Министерство образования рф.doc

4) Осевая плоскость.

Осевая плоскость проходит через одну из осей координат.




У осевой плоскости два следа совпадают с одной из осей координат (в нашем примере на рис. 35 – с осью x), а плоскость является проецирующей.

Так как плоскость не может быть задана двумя совпадающими друг с другом следами, то для однозначного определения ее положения необходимо знать положение еще хотя бы одной точки, лежащей в этой плоскости, одна из проекций которой лежит на соответствующем следе этой плоскости (в нашем примере на рис.35 – проекция D).
Плоскости, параллельные двум осям координат
Если плоскость параллельна двум осям координат, то она параллельна той плоскости проекций, в которой лежат эти оси. В нашем примере (рис. 36) плоскость  параллельна осям координат x и y, следовательно, она параллельна горизонтальной плоскости проекций и называется горизонтальной плоскостью.


Аналогичным образом можно построить фронтальную и профильную плоскости, т.е. плоскости параллельные соответственно фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Такие плоскости также являются двояко-проецирующими плоскостями, т.е. перпендикулярными к двум другим плоскостям проекций.

Все, что лежит в такой плоскости в двух плоскостях проекций (к которым она перпендикулярна) проецируется на ее следы, а на третью плоскость проекций (которой она параллельна) – в истинную величину.

Вышеуказанные особенности проецирования точек (объектов), принадлежащих проецирующим плоскостям и плоскостям, параллельным какой либо плоскости проекций, в дальнейшем будут использоваться для оптимизации решения метрических и позиционных задач.

Лекция 4
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Прямая может занимать относительно плоскости следующие положения:

а) может лежать в плоскости

б) моет быть параллельна плоскости

в ) может пересекать плоскость. Частный случай пересечения – прямая может быть перпендикулярна плоскости.

---

Прямая лежит в плоскости, если проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости.

Пусть плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС (рис. 37). Проведем в этой плоскости прямую 1-2. Эта прямая лежит в заданной плоскости, так как проходит через две точки 1 и 2,лежащие в этой плоскости.

Рассмотрим вариант, когда плоскость задана следами (рис. 38). В этом случае, если прямая лежит в плоскости, то следы прямой лежат на одноименных следах плоскости.

Это же правило можно сформулировать и иначе: плоскость проходит через прямую, если ее следы проходят через одноименные следы прямой.


ПРЯМЫЕ ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ
В каждой плоскости можно провести бесчисленное множество прямых линий частного положения.

Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций ₁. Она обладает всеми свойствами горизонтальной прямой: ее фронтальная проекция параллельна оси x, а на горизонтальную плоскость проекций она проецируется в истинную величину (рис. 39).



Если плоскость задана следами (рис. 39, б), то горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Фронталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x, а фронтальная проекция – есть ее истинная величина (рис. 40).




Фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости, в которой лежит данная фронталь. (рис. 40, б).

ЛИНИЯ НАИБОЛЬШЕГО СКАТА ПЛОСКОСТИ

Линия наибольшего ската – это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная следу или линиям частного положения плоскости (в нашем примере на рис. 41 – перпендикулярная горизонталям этой плоскости).

Из всех прямых, принадлежащих плоскости, линия наибольшего ската имеет самый большой угол наклона к соответствующей плоскости проекций (в нашем примере на рис. 41 – к горизонтальной плоскости проекций ₁), который называется



ПРЯМАЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТИ
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

---

Рассмотрим пример: через точку К провести прямую, параллельную плоскости , заданной следами (рис. 42).

П роведем в плоскости  любую прямую, например, прямую MN (рис. 42, а). Затем через точку К параллельно MN проведем прямую АВ. Эта прямая будет параллельна плоскости , так как она параллельна прямой MN, лежащей в этой плоскости.


Рис. 42


Эту же задачу, можно решить другим способом, проведя через точку К прямую частного положения, например, горизонтальную прямую (рис. 42, б). Горизонтальная проекция горизонтальной прямой проходит через проекцию К и параллельна следу h_0.

Если плоскость задана не следами, а иным способом (двумя пересекающимися прямыми, двумя параллельными прямыми, плоской фигурой и т.д.), то через заданную точку также можно провести прямую, параллельную любой прямой, лежащей в заданной плоскости. В качестве такой прямой может быть выбрана одна из прямых,

которыми задана сама плоскость.











ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ
Точка лежит в плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.
П ример 5. Построить недостающую проекцию точки К, лежащей в заданной плоскости (плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС, а точка – только ее фронтальной проекцией К, рис. 44).
1. Через точку К проведем произвольную прямую 1-2, принадлежащую заданной плоскости:

К  12.

2. Построим горизонтальные проекции точек 1 и 2.

3. Через 1 и 2 проводим горизонтальную проекцию прямой 1-2.

4. В пересечении линии проекционной связи, проведенной из К и 1-2 находим горизонтальную проекцию точки К.

Е сли плоскость задана следами, то недостающая проекция точки, принадлежащей заданной плоскости, может быть найдена при помощи горизонтали (рис. 45, а) или фронтали (рис. 45, б) плоскости.
Лекция 5




ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости могут быть:

---

1. 
   параллельными;
   
2. 
   пересекающимися.
   

Если два следа одной плоскости параллельны одноименным следам другой плоскости, то такие плоскости взаимно параллельны (рис. 46).

Если, хотя бы одна пара одноименных следов двух плоскостей пересекается, то эти плоскости пересекаются (рис. 47).





Когда плоскости заданы не следами, а иным способом, то две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, например (рис. 48): АВ  КL и ВС  КТ.

ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПЛОСКОСТИ

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, все точки которой являются общими для обеих плоскостей. Таким образом, в общем случае для нахождения линии пересечения необходимо найти хотя бы две точки, общих для обеих плоскостей. Такими точками могут быть, например, точки пересечения одноименных следов плоскостей  и  – точки M и N (рис. 49, а). Через них и пройдет линия пересечения. Линия пересечения плоскостей видима только в 1-м октанте (значения координат х,у и zположительные).

На эпюре (рис. 49, б) проекции линии пересечения пройдут через точки пересечения одноименных следов плоскостей  и . В пересечении горизонтальных следов находим проекцию общей точки М (фронтальная проекция этой точки М лежит на оси x), а в пересечении фронтальных следов - N (горизонтальная проекция N также лежит на оси x). Соединив одноименные проекции М и N, получим две проекции линии пересечения на эпюре.




Но далеко не всегда на эпюре мы можем найти эти точки. Рассмотрим несколько типовых примеров построения линии пересечения плоскостей.

1) Пусть дана пара плоскостей, из которых одна – плоскость общего положения  (h_0, f_0), а другая – горизонтальная плоскость  (f_0) (рис. 50). Одна общая точка – точка N (N, N) - находится легко в пересечении фронтальных следов.

Но поскольку плоскость  - горизонтальная, она параллельна плоскости проекций ₁, с ней не пересекается и не имеет горизонтального следа. Из школьного курса геометрии известно, что две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым. Следовательно, линией пересечения плоскостей  и  будет горизонталь

---

Т (Т, Т).




2) Соответственно линией пересечения плоскости общего положения α (h_0α, f_0α) с фронтальной плоскостью γ (h_0γ) будет фронталь плоскостиT ( T, T) (рис. 51, а), а с профильной плоскостью β (h_0, f_0) – профильная прямая плоскости T ( T, T, T) (рис. 51, б).

3. 
   Теперь возьмем две плоскости общего положения  и , у которых одноименные следы, например, фронтальные, в пределах чертежа не пересекаются (рис.52).
   

4) Если фронтальные следы двух плоскостей параллельны, то линией их пересечения будет фронталь Т (Т,Т) (рис. 53). В этом легко убедиться, если воспользоваться вспомогательной горизонтальной плоскостью, как в предыдущем примере.

По аналогии можно сказать, что если у пересекающихся плоскостей параллельны горизонтальные следы, то линией их пересечения будет горизонталь Т (Т,Т) (рис.54).

6. 
   Фронтальная проекция линии пересечения - Тплоскости общего положения α (h_0α, f_0α) с фронтально-проецирующей плоскостью β (h_0β, f_0β) совпадет с фронтальным следом проецирующей плоскости - f_0β, а горизонтальная проекция Т-строится на точках Mи N (рис. 56).
   

7) Еще более просто строится линия пересечения проецирующих плоскостей (рис. 57). Линия пересечения Т горизонтально-проецирующихплоскостей α (h_0α, f_0α) и β (h_0β, f_0β) представляет собой горизонтально-проецирующую прямую, фронтальная проекция Т которой параллельна фронтальным следам плоскостей и проходит через проекцию М, а горизонтальная проекция

---