Файл: Учебнометодическое пособие знакомит студентов с основными понятиями о.doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 12.12.2023

Просмотров: 478

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕУчебно-методическое пособие знакомит студентов с основными понятиями о теории вероятностей, случайных процессах, статистическом оценивании и проверке гипотез, статистических методах обработки экспериментальных данных, математических методах, принятых в биологических исследованиях.Пособие состоит из четырех разделов: Введение в теорию вероятностей. Основные понятия и термины статистики. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Компьютерная обработка данных анализа в специализированной программе EasyStatistics. Введение в теорию вероятностей дает представление о случайных событиях, вероятности и ее свойствах, случайных величинах и основных теоретических распределениях случайных величин.При изучении второго раздела разбираются понятия о совокупности и выборке, классификации признаков, дается представление о схемах научного эксперимента и научных гипотезах, достоверности и надежности результатов.Третий раздел знакомит со статистическими методами описания групп, способами их сравнения в зависимости от характера распределения исходных данных. Большое внимание уделено корреляционно-регрессионному анализу, лежащему в основе многомерных методов анализа. Разбираются широко распространенные в биологических исследованиях методы оценки динамики, цикличности и классификации. При описании каждого метода описываются условия, необходимые для проведения статистической обработки, и возможные трудности в интерпретации полученных показателей. Четвертый раздел посвящен практическому применению методов статистической обработки данных с помощью специализированной программы «Статистическая обработка медико-биологических данных» (EasyStatistics). Данная программа разработана автором пособия (Роспатент №2003612171) и предназначена для статистической обработки данных биологических и медицинских исследований и, в первую очередь, нацелена на выполнение курсовых и дипломных работ студентами. В то же время это не замена уже существующим мощным статистическим пакетам, таким как Statistica, а скорее дополнение, помогающее оценить возможности манипулирования данными и принципы работы с основными статистическими методами. Каждый раздел содержит список вопросов и заданий для самопроверки.Пособие также содержит список учебно-методических материалов, рекомендуемых для самостоятельной работы студентов.РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙЗакономерности, которым подчиняются случайные события, изучаются в разделах математики, которые называются теорией вероятностей и математической статистикой.Понятие о случайном событииОпыт, эксперимент, на­блюдение явления называются испытанием. Испытаниями, напри­мер, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенными на каждую грань числом очков — от одного до шести).Результат, исход испытания называется событием. Для обозначения событий используются большие буквы ла­тинского алфавита: А, В, С и т. д.Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А — появление четырех очков. Событие В— появле­ние четного числа очков. События Аи В совместимые.Два события называются несовместимы­ми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.Испытание: однократное бросание монеты. Собы­тие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимостьИспытание: однократное бросание игральной кости. Пусть события А1, А2, А3, А4, А5, А6 соответственно выпа­дение одного очка, двух, трех и т. д. Эти события являются несов­местимыми..Два события А и В называются проти­воположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.Событие, противоположное событию А, обозначают через А.Испытание: бросание монеты. Событие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого, т. е. А = В или А = В.Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его ис­ходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А — вынут белый шар — достоверное событие; событие В — вынут черный шар — невозможное событие.Достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испы­тании.Выпадение шести очков при броса­нии игральной кости — случайное событие. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.Прорастание девяноста восьми зерен пшеницы из ста — случайное событие. Это событие может наступить, но, может быть, прорастет зерен больше или меньше.Классическое определение вероятностиВсякое испыта­ние влечет за собой некоторую совокупность исходов — резуль­татов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно пере­числить все события, которые могут быть исходами данного испы­тания.Говорят, что совокупность событий обра­зует полную группу событий для данного испытания, если его ре­зультатом обязательно становится хотя бы одно из них.События Ul, U2, ..., Un , образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных собы­тий, будем называть элементарными событиями.Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть Ui — событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой i. Как уже отмечалось, события U1, U2, …, U6 образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметрич­ной, то события U1, U2, …, U6 являются и равновозможными, т. е. элементарными.Событие А называется благоприят­ствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.Пусть при бросании игральной кости события U2, U4 и U6 — появление соответственно двух, четырех и шести очков и А — событие, состоящее в появлении четного очка; собы­тия U2, U4 и U6 благоприятствуют событию А.Классическое определение вероятностиВероятностью Р (А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие А — выпадение герба и событие В — выпадение цифры — образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь n = 2. Событию А благоприятствует лишь одно со­бытие — само А, т. е. здесь m = 1. Поэтому Р(А) = 0,5.Найти вероятность того, что при бросании иг­ральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А). Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятст­вующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому .Из приведенного классического определения вероятности вы­текают следующие ее свойства.1. Вероятность достоверного события равна единице.Действительно, достоверному событию должны благоприят­ствовать все n элементарных событий, т. е. m = n и, следовательно, P(A)=1.2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприят­ствовать ни одно из элементарных событий, т. е. m = 0, откуда P(A)=0.3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0 < m < n , значит, 0 <= Р (А)<= 1.Относительная частота.Статистическое определение ве­роятности.Классическое определение вероятности не являет­ся пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз. Число m называется абсолютной часто­той (или просто частотой) события А, а отношение называется относительной частотой события А.При транспортировке из 10 000 арбузов испор­тилось 26. Здесь m= 26 — абсолютная частота испорченных ар­бузов, а P*(A)=0,0026 относительная.Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(A) принимает зна­чения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n — числа испытаний в сериях — относитель­ная частота Р*(А) приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500;0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около числа 0,5Статистическое определение вероят­ностиВероятностью события А в данном испытании называется число Р (А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.По официальным данным шведской статистики, относительные частоты рождения девочек по месяцам 2007 г. харак­теризуются следующими числами (расположены в порядке сле­дования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Эти частоты группируются около числа 0,482.Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Геометрическая вероятностьДо этого мы рассматривали возможные эксперименты, в которых реализуется конечное множество событий. Однако существует большое количество задач, для которых такое предположение не является справедливым. При решении таких задач предполагается, что множество реализуемых событий может быть представлено в виде некоторой геометрической фигуры, а конкретное событие соответствует точке заданной части этой фигуры. В качестве события A можно рассмотреть любую подобласть области Ω. Например, фигуру внутри исходной фигуры на плоскости или отрезок, лежащий внутри исходного отрезка на прямой.Заметим, что элементарным событием на таком множестве может быть только точка. В самом деле, если множество содержит более одной точки, его можно разбить на два непустых подмножества. Следовательно, такое множество уже неэлементарно.Теперь определим вероятность. Тут тоже все легко: вероятность «попадания» в каждую конкретную точку равна нулю. Иначе получим бесконечную сумму одинаковых положительных слагаемых (ведь элементарные события равновероятны), которые в сумме больше P(Ω) = 1.Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω — это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности.Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω.Мишень имеет форму окружности. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены. Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем P=0,5Студент и студентка договариваются о встрече на заданном промежутке времени Т. Тот, кто приходит первым ожидает другого в течение времени tВ качестве множества элементарных событий рассмотри квадрат, состоящий из точек (x,y), 0<=x<=T, 0<=y<=T, где x и у время прихода его и ее.Благоприятсвующие события образуют точки, для которых |x-y|<t, т.е. точки квадрата между прямыми y=x-t, y=x+t. Площадь получающейся фигуры равна T2-(T-t)2, а площадь всего квадрата – Т2. Отсуда искомая вероятность Свойства вероятностейСложение вероятностей несовместимых событийСуммой событий А и В называется собы­тие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.Стрельба двух стрелков (каждый де­лает по одному выстрелу). Событие А — попадание в мишень пер­вым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.Произведением событий А и В назы­вается событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испыта­ния произошло и событие А, и событие В.Аналогично произведением конечного числа событий A1 А2, …, Ak называется событие А = А1 * A2 * ... * Ak, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Следствие. Сумма вероятностей противоположных собы­тий А и А равна единице:Р(А) + Р(А

Коэффициент сопряженности Чупрова. Дальнейшим обоб-щением четырехпольных таблиц являются многопольные таблицы, для которых сопряженность наиболее часто оценивается по формуле, предложенной русским статистиком А. А. Чупровым. Прежде чем приводить ее рассмотрим несколько реальных ситуаций, когда такая оценка может потребоваться. Известно, например, что окраска тюльпанов связана с наличием определенных пигментов. Может представлять интерес вопрос о том, с какими именно пигментами преимущественно связана та или иная окраска цветка. Или другой пример. Окружающая гнездо полярной крачки обстановка может представлять собой зеленые растения, растения и гальку, пестрые камешки и т. д. При этом можно наблюдать самые разные по качеству гнезда: от его отсутствия до очень хорошо сделанного. В этом случае желательно знать, связано ли качество гнезда с какой-то одной или несколькими характеристиками окружающей среды. Общим для этих и других подобных задач является то, что в распоряжении экспериментатора оказываются данные о некотором множестве объектов, обладающих двумя признаками, причем каждый из признаков может иметь несколько градаций. В этом случае , где m - число разновидностей явления Х; k - число разновидностей явления Y, n – общее число объектов (m*k). Независимо то того, что каждый из описательных признаков, несмотря на разницу в численности его разновидностей, можно свести к альтернативному - только с двумя разновидностями, довольно часто в практике возникает необходимость работать с описательными признаками более двух разновидностей. В таких случаях необходимо при вычислении коэффициента корреляции составлять так называемую корреляционную таблицу (где X1,X2,...Xn - обозначают разновидность одного признака, а Y1, Y2... Yn - разновидности другого).При наличии такой схемы коэффициент корреляции находят по формуле: , где - коэффициент связи, m- число разновидностей явления Х; k - число разновидностей явления Y.Данный метод пригоден также и для экспрессной оценки связи между количественными (например возраст) и качествен-ными (например брак) параметрами.На практике (особенно в зоологии и ботанике) довольно часто встречаются другие меры измерения связи.


Парный критерий Т – Вилкоксона
Для решения задач, в которых осуществляется сравнение двух рядов чисел психолог может использовать парный критерий Т - Вилкоксона. Этот критерий применяется для оценки различий экспериментальных данных, полученных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых. Он позволяет выявить не только направленность изменений, но и их выраженность, т. е. он позволяет установить, насколько сдвиг показателей в каком-то одном направлении является более интенсивным, чем в другом.

Критерий Т основан на ранжировании абсолютных величин разности между двумя рядами выборочных значений в первом и втором эксперименте (например, до и после какого-либо воздействия). Ранжирование абсолютных величин означает, что знаки разностей не учитываются, однако в дальнейшем наряду с общей суммой рангов находится отдельно сумма рангов, как для положительных, так и для отрицательных сдвигов. Если интенсивность сдвига в одном направлении оказывается большей, то и соответствующая сумма рангов также оказывается больше. Этот сдвиг называется типичным, а противоположный, меньший по сумме рангов сдвиг - нетипичным. Эти два сдвига оказываются дополнительными друг другу. Критерий Т - Вилкоксона базируется на величине нетипичного сдвига, который называется Тэмп.

Психолог проводит с младшими школьниками коррекционную работу по формированию навыков внимания, используя для оценки результатов корректурную пробу. Задача состоит в том, чтобы определить, будет ли уменьшаться количество ошибок внимания у младших школьников после специальных коррекционных упражнений.

Для решения этой задачи психолог у 19 детей определяет количество ошибок при выполнении корректурной пробы до и после коррекционных упражнений. В таблице приведены соответствующие экспериментальные данные и дополнительные столбцы, необходимые для работы по парному критерию Т - Вилкоксона.


 
До

После

Сдвиг
Абсолютные величины разностей
Ранги

Нетипичный сдвиг

1
24
22
-2
2
10,5


2
12
12
0
0
2


3
42
41
-1
1
6,5


4
30
31
1
1
6,5
*

5
40
32
-8
8
15


6
55
44
-11
11
16


7
50
50
0
0
2


8
52
32
-20
20
18


9
50
32
-18
18
17


10
22
21
-1
1
6,5


11
33
34
1
1
6,5
*

12
78
56
-22
22
19


13
79
78
-1
1
6,5


14
25
23
-2
2
10,5


15
28
22
-6
6
13,5


16
16
12
-4
4
12


17
17
16
-1
1
6,5


18
12
18
6
6
13,5
*

19
25
25
0
0
2


Сумма








190
26,5


Обработка данных по критерию Т - Вилкоксона осуществляется следующим образом:

В четвертый столбец таблицы вносятся величины сдвигов с учетом знака. Их вычисляют путем вычитания из чисел третьего столбца соответствующих чисел второго столбца.

В пятом столбце в соответствие каждому значению сдвига ставят его абсолютную величину.

В шестом столбце ранжируют абсолютные величины сдвигов, представленных в пятом столбце.

По формуле: подсчитывают сумму рангов. В нашем примере она составляет:

12,5 + 6,5 + 6,5 + 15 + 16 + 2 + 18 + 17 + 6,5 + 6,5 + 19 + 6,5 + 10,5 + 13,5 + 12 + 6,5 + 13,5 +2 = 190

Проверяют правильность ранжирования на основе совпадения сумм рангов полученных двумя способами. В нашем случаи обе величины совпали, 190 = 190, следовательно, ранжирование проведено правильно.

Любым символом отмечают все имеющиеся в таблице нетипичные сдвиги. В нашем случае это три положительных сдвига.

Суммируют ранги нетипичных сдвигов. Это и будет искомая величина . В нашем случае эта сумма равна: = 6,5 + 13,5 + 6,5 = 26,5.

Ткрит для P<=0,05=53

Ткрит для P<=0,01=38

Cледовательно, можно утверждать, что зафиксированные в эксперименте изменения не случайны и значимы на 1% уровне. Таким образом, психолог может говорить о том, что применение коррекционных упражнений способствует повышению точности выполнения корректурной пробы, следовательно, оказывает положительное влияние на развитие внимания школьников.

Критерий X2r Фридмана
Назначение критерия

Критерий X2r применяется для сопоставления показателей, изме­ренных в трех или более условиях на одной и той же выборке испы­туемых.

Критерий позволяет установить, что величины показателей от усло­вия к условию изменяются, но при этом не указывает на направление изменений.

Данный критерий является распространением критерия Т Вилкоксона на большее, чем 2, количество условий измерения. Однако здесь мы ранжируем не абсолютные величины сдвигов, а сами индиви­дуальные значения, полученные данным испытуемым в 1, 2, 3 и т. д. замерах.

Гипотезы

Н0: Между показателями, полученными (измеренными) в разных усло­виях, существуют лишь случайные различия.

H1: Между показателями, полученными в разных условиях, существуют
неслучайные различия.

Например, если у испытуемого в первом замере определена ско­рость прохождения графического лабиринта 54 сек, во втором замере - 42 сек, а в третьем замере - 63 сек, то эти показатели получат ранги, соответственно, 2, 1, 3, поскольку меньшему значению, полученному во втором замере, мы начислим ранг 1, среднему значению, полученному в первом замере - ранг 2, а наибольшему значению, полученному в третьем замере - ранг 3.

После того, как все значения будут проранжированы, подсчитываются суммы рангов по столбцам для каждого из произведенных замеров.

Если различия между значениями признака, полученными в раз­ных условиях, случайны, то суммы рангов по разным условиям будут приблизительно равны. Но если значения признака изменяются в раз­ных условиях каким-то закономерным образом, то в одних условиях будут преобладать высокие ранги, а в других - низкие. Суммы рангов будут достоверно различаться между собой. Эмпирическое значение критерия X2r и указывает на то, насколько различаются суммы рангов. Чем больше эмпирическое значение X2r ,тем более существенные рас­хождения сумм рангов оно отражает.

Если X2rравняется критическому значению или превышает его, различия статистически достоверны.


Тест Мак-Немара
Критерий Мак-Немара - является аналогом параметрического критерия Стьюдента и непараметрического критерия Вилкоксона, применяется для анализа связанных измерений в случае изменения реакции с помощью дихотомической переменной.


 До
После




0
1

0
a
b

1
c
d


Этот метод позволяет сравнить долю респондентов, которые не имели некоторой характеристики (0) во время первого обследования (например до воздействия), но стали обладать ею во время повторного обследования (1), с долей тех, кто имел это свойство (1), но перестал иметь его после (0).

Вычисляются два значения хи-квадрат: для ячеек А и D и для ячеек B и C. A/D хи-квадрат проверяет гипотезу о том
, что частоты в ячейках A и D (верхняя левая, нижняя правая) одинаковы. B/C хи-квадрат проверяет гипотезу о равенстве частот в ячейках B и C (верхняя правая, нижняя левая). Метод не может использоваться для выборок, содержащих меньше 10 элементов.

Для ячеек А и D эмпирическое значение хи-квадрат для теста Мак-Немара вычисляется по формуле



Нулевая гипотеза формулируется как Н0: P(A) = P(D).

Для ячеек B и C эмпирическое значение хи-квадрат для теста Мак-Немара вычисляется по формуле



Нулевая гипотеза формулируется как Н0: P(A) = P(D).

Корреляционный анализ
Различают два типа связей между различными явлениями и их признаками: функциональную или жестко детерминированную, с одной стороны, и статистическую или стохастически детерминированную, с другой. Строго определить различие этих двух типов связи можно тогда, когда они получают математическую формулировку. Для простоты будем говорить о связи двух явлений или двух признаков, математически отображаемой в форме уравнения связи двух переменных.

Если с изменением значения одной из переменных вторая изменяется строго определенным образом, т. е. значению одной переменной соответствует одно или несколько точно заданных значений другой переменной, связь между ними является функциональной.

Нередко говорят о строгом соответствии лишь одного значения второй из переменных каждому значению первой из них, но это неверно. Например, связь между x и y является строго функциональной если y=√x; но значению x=4 соответствует не одно, а два значения; y1=2 и y2=-2. Уравнения более высоких степеней могут иметь несколько корней, связь разумеется остается функциональной.

Функциональная связь двух величин возможна лишь при условии, что вторая из них зависит только от первой и ни от чего более. В реальной природе таких связей нет; они являются лишь абстракциями, полезными и необходимыми при анализе явлений, но упрощающими реальность. Функциональная зависимость данной величины y от многих факторов x1, x2, ... xk возможна только в том случае, если величина y всегда зависит только от переменного набора факторов x1, x2, ... xk и ни от чего больше. Между тем все явления и процессы реального мира связаны между собой, и нет такого конечного числа переменных k, которые абсолютно полно определяли бы собой зависимую величину y. Следовательно, множественная функциональная зависимость переменных есть тоже абстракция, упрощающая реальность.


Однако в науке успешно используют представление связей как функциональных не только в аналитических целях, но нередко и в целях прогнозирования. Это возможно потому, что в некоторых простых системах интересующая нас переменная зависит в основном (скажем на 99% или даже на 99.99%) от немоногих других переменных или только от одной переменной. То есть связь в такой несложной системе является хотя и не абсолютно функциональной, но практически очень близкой к таковой.

Длина года (период обращения Земли вокруг Солнца) почти функционально зависит только от массы Солнца и расстояния Земли от него. На самом деле она зависит в очень слабой степени и от масс, и расстояния других планет от Земли, но вносимые ими (и тем более в миллионы раз более далекими звездами) искажения функциональной связи для всех практических целей, кроме космонавтики, пренебрежимо малы.

Статистическая связь не имеет ограничений и условий, присущих функциональной связи. Если с изменением значения одной переменной вторая может в определенных пределах принимать любые значения с вероятностями, но ее среднее значение или иные статистические (массовые) характеристики изменяются по определенному закону - связь является статистической. Иными словами, при статистической связи разным значениям одной переменной соответствуют разные распределения значений другой переменной.

Корреляционной связью называют важнейший частный случай статистической связи, состоящий в том, что различным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой. С изменением значения x закономерным образом изменяется среднее значение признака y; в то время как в каждом отдельном случае значение признака y (с различными степенями вероятности) может принимать множество различных значений.

Смотрите также файлы