Файл: Учебнометодическое пособие знакомит студентов с основными понятиями о.doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 12.12.2023

Просмотров: 493

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕУчебно-методическое пособие знакомит студентов с основными понятиями о теории вероятностей, случайных процессах, статистическом оценивании и проверке гипотез, статистических методах обработки экспериментальных данных, математических методах, принятых в биологических исследованиях.Пособие состоит из четырех разделов: Введение в теорию вероятностей. Основные понятия и термины статистики. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Компьютерная обработка данных анализа в специализированной программе EasyStatistics. Введение в теорию вероятностей дает представление о случайных событиях, вероятности и ее свойствах, случайных величинах и основных теоретических распределениях случайных величин.При изучении второго раздела разбираются понятия о совокупности и выборке, классификации признаков, дается представление о схемах научного эксперимента и научных гипотезах, достоверности и надежности результатов.Третий раздел знакомит со статистическими методами описания групп, способами их сравнения в зависимости от характера распределения исходных данных. Большое внимание уделено корреляционно-регрессионному анализу, лежащему в основе многомерных методов анализа. Разбираются широко распространенные в биологических исследованиях методы оценки динамики, цикличности и классификации. При описании каждого метода описываются условия, необходимые для проведения статистической обработки, и возможные трудности в интерпретации полученных показателей. Четвертый раздел посвящен практическому применению методов статистической обработки данных с помощью специализированной программы «Статистическая обработка медико-биологических данных» (EasyStatistics). Данная программа разработана автором пособия (Роспатент №2003612171) и предназначена для статистической обработки данных биологических и медицинских исследований и, в первую очередь, нацелена на выполнение курсовых и дипломных работ студентами. В то же время это не замена уже существующим мощным статистическим пакетам, таким как Statistica, а скорее дополнение, помогающее оценить возможности манипулирования данными и принципы работы с основными статистическими методами. Каждый раздел содержит список вопросов и заданий для самопроверки.Пособие также содержит список учебно-методических материалов, рекомендуемых для самостоятельной работы студентов.РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙЗакономерности, которым подчиняются случайные события, изучаются в разделах математики, которые называются теорией вероятностей и математической статистикой.Понятие о случайном событииОпыт, эксперимент, на­блюдение явления называются испытанием. Испытаниями, напри­мер, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенными на каждую грань числом очков — от одного до шести).Результат, исход испытания называется событием. Для обозначения событий используются большие буквы ла­тинского алфавита: А, В, С и т. д.Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А — появление четырех очков. Событие В— появле­ние четного числа очков. События Аи В совместимые.Два события называются несовместимы­ми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.Испытание: однократное бросание монеты. Собы­тие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимостьИспытание: однократное бросание игральной кости. Пусть события А1, А2, А3, А4, А5, А6 соответственно выпа­дение одного очка, двух, трех и т. д. Эти события являются несов­местимыми..Два события А и В называются проти­воположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.Событие, противоположное событию А, обозначают через А.Испытание: бросание монеты. Событие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого, т. е. А = В или А = В.Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его ис­ходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А — вынут белый шар — достоверное событие; событие В — вынут черный шар — невозможное событие.Достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испы­тании.Выпадение шести очков при броса­нии игральной кости — случайное событие. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.Прорастание девяноста восьми зерен пшеницы из ста — случайное событие. Это событие может наступить, но, может быть, прорастет зерен больше или меньше.Классическое определение вероятностиВсякое испыта­ние влечет за собой некоторую совокупность исходов — резуль­татов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно пере­числить все события, которые могут быть исходами данного испы­тания.Говорят, что совокупность событий обра­зует полную группу событий для данного испытания, если его ре­зультатом обязательно становится хотя бы одно из них.События Ul, U2, ..., Un , образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных собы­тий, будем называть элементарными событиями.Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть Ui — событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой i. Как уже отмечалось, события U1, U2, …, U6 образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметрич­ной, то события U1, U2, …, U6 являются и равновозможными, т. е. элементарными.Событие А называется благоприят­ствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.Пусть при бросании игральной кости события U2, U4 и U6 — появление соответственно двух, четырех и шести очков и А — событие, состоящее в появлении четного очка; собы­тия U2, U4 и U6 благоприятствуют событию А.Классическое определение вероятностиВероятностью Р (А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие А — выпадение герба и событие В — выпадение цифры — образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь n = 2. Событию А благоприятствует лишь одно со­бытие — само А, т. е. здесь m = 1. Поэтому Р(А) = 0,5.Найти вероятность того, что при бросании иг­ральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А). Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятст­вующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому .Из приведенного классического определения вероятности вы­текают следующие ее свойства.1. Вероятность достоверного события равна единице.Действительно, достоверному событию должны благоприят­ствовать все n элементарных событий, т. е. m = n и, следовательно, P(A)=1.2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприят­ствовать ни одно из элементарных событий, т. е. m = 0, откуда P(A)=0.3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0 < m < n , значит, 0 <= Р (А)<= 1.Относительная частота.Статистическое определение ве­роятности.Классическое определение вероятности не являет­ся пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз. Число m называется абсолютной часто­той (или просто частотой) события А, а отношение называется относительной частотой события А.При транспортировке из 10 000 арбузов испор­тилось 26. Здесь m= 26 — абсолютная частота испорченных ар­бузов, а P*(A)=0,0026 относительная.Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(A) принимает зна­чения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n — числа испытаний в сериях — относитель­ная частота Р*(А) приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500;0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около числа 0,5Статистическое определение вероят­ностиВероятностью события А в данном испытании называется число Р (А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.По официальным данным шведской статистики, относительные частоты рождения девочек по месяцам 2007 г. харак­теризуются следующими числами (расположены в порядке сле­дования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Эти частоты группируются около числа 0,482.Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Геометрическая вероятностьДо этого мы рассматривали возможные эксперименты, в которых реализуется конечное множество событий. Однако существует большое количество задач, для которых такое предположение не является справедливым. При решении таких задач предполагается, что множество реализуемых событий может быть представлено в виде некоторой геометрической фигуры, а конкретное событие соответствует точке заданной части этой фигуры. В качестве события A можно рассмотреть любую подобласть области Ω. Например, фигуру внутри исходной фигуры на плоскости или отрезок, лежащий внутри исходного отрезка на прямой.Заметим, что элементарным событием на таком множестве может быть только точка. В самом деле, если множество содержит более одной точки, его можно разбить на два непустых подмножества. Следовательно, такое множество уже неэлементарно.Теперь определим вероятность. Тут тоже все легко: вероятность «попадания» в каждую конкретную точку равна нулю. Иначе получим бесконечную сумму одинаковых положительных слагаемых (ведь элементарные события равновероятны), которые в сумме больше P(Ω) = 1.Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω — это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности.Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω.Мишень имеет форму окружности. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены. Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем P=0,5Студент и студентка договариваются о встрече на заданном промежутке времени Т. Тот, кто приходит первым ожидает другого в течение времени tВ качестве множества элементарных событий рассмотри квадрат, состоящий из точек (x,y), 0<=x<=T, 0<=y<=T, где x и у время прихода его и ее.Благоприятсвующие события образуют точки, для которых |x-y|<t, т.е. точки квадрата между прямыми y=x-t, y=x+t. Площадь получающейся фигуры равна T2-(T-t)2, а площадь всего квадрата – Т2. Отсуда искомая вероятность Свойства вероятностейСложение вероятностей несовместимых событийСуммой событий А и В называется собы­тие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.Стрельба двух стрелков (каждый де­лает по одному выстрелу). Событие А — попадание в мишень пер­вым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.Произведением событий А и В назы­вается событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испыта­ния произошло и событие А, и событие В.Аналогично произведением конечного числа событий A1 А2, …, Ak называется событие А = А1 * A2 * ... * Ak, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Следствие. Сумма вероятностей противоположных собы­тий А и А равна единице:Р(А) + Р(А

Коэффициент сопряженности Чупрова. Дальнейшим обоб-щением четырехпольных таблиц являются многопольные таблицы, для которых сопряженность наиболее часто оценивается по формуле, предложенной русским статистиком А. А. Чупровым. Прежде чем приводить ее рассмотрим несколько реальных ситуаций, когда такая оценка может потребоваться. Известно, например, что окраска тюльпанов связана с наличием определенных пигментов. Может представлять интерес вопрос о том, с какими именно пигментами преимущественно связана та или иная окраска цветка. Или другой пример. Окружающая гнездо полярной крачки обстановка может представлять собой зеленые растения, растения и гальку, пестрые камешки и т. д. При этом можно наблюдать самые разные по качеству гнезда: от его отсутствия до очень хорошо сделанного. В этом случае желательно знать, связано ли качество гнезда с какой-то одной или несколькими характеристиками окружающей среды. Общим для этих и других подобных задач является то, что в распоряжении экспериментатора оказываются данные о некотором множестве объектов, обладающих двумя признаками, причем каждый из признаков может иметь несколько градаций. В этом случае , где m - число разновидностей явления Х; k - число разновидностей явления Y, n – общее число объектов (m*k). Независимо то того, что каждый из описательных признаков, несмотря на разницу в численности его разновидностей, можно свести к альтернативному - только с двумя разновидностями, довольно часто в практике возникает необходимость работать с описательными признаками более двух разновидностей. В таких случаях необходимо при вычислении коэффициента корреляции составлять так называемую корреляционную таблицу (где X1,X2,...Xn - обозначают разновидность одного признака, а Y1, Y2... Yn - разновидности другого).При наличии такой схемы коэффициент корреляции находят по формуле: , где - коэффициент связи, m- число разновидностей явления Х; k - число разновидностей явления Y.Данный метод пригоден также и для экспрессной оценки связи между количественными (например возраст) и качествен-ными (например брак) параметрами.На практике (особенно в зоологии и ботанике) довольно часто встречаются другие меры измерения связи.



Данный подход к оценке результатов сплошного наблюдения последовательно излагается в литературе по математической статистике. Его широко используют на практике, в частности для отсева незначимых по t-статистике факторов. Здесь необходимо отметить, что этот метод проверки существенности факторов заслуживает доверия лишь в тех случаях, когда признаки-факторы не коррелированы (или весьма слабо коррелированны), что зачастую невыполнимо на практике. В моделях множественной регрессии с взаимокоррелированными признаками возможны ситуации, когда t -критерий будет давать ложные результаты, указывая на статистическую незначимость признаков, в действительности существенно влияющих на результирующий признак.

Рассмотренный подход, на наш взгляд, более применим для оценки устойчивости параметров регрессионной модели, степени ее адекватности реальным данным. Но судить о том, насколько закономерна установленная по сплошным данным зависимость, не вызвана ли она стечением случайных обстоятельств, только на основе t - или F -критериев едва ли целесообразно. Здесь необходим качественный анализ, знание конкретных исторических условий, относящихся к изучаемому явлению.

При построении уравнений множественной регрессии основным этапом является отбор наиболее существенных факторов, воздействующих на результирующий признак. Этот этап построения модели множественной регрессии производится на основе качественного, теоретического анализа в сочетании с использованием статистических приемов. Обычно отбор факторов проходит две стадии. На первой стадии на основе содержательного анализа намечают круг факторов, теоретически существенно влияющих на результирующий признак. На второй стадии качественный анализ дополняется количественными оценками, которые позволяют отобрать статистически существенные факторы для рассматриваемых конкретных условий реализации связи. Таких оценок существует довольно много. Они основаны на использовании парных или частных коэффициентов корреляции факторных признаков с результирующим признаком Y, t-критерия вкладов факторов в объясненную дисперсию и т.д.

Отбор факторов на второй стадии исследования начинают обычно с анализа матрицы парных коэффициентов корреляции признаков, полученных на первой стадии. Выявляются факторы, тесно связанные между собой
. При наличии таких связей между факторными признаками один или несколько из них нужно исключить таким образом, чтобы между оставшимися факторами не было тесных связей (при этом коэффициенты корреляции между результирующим признаком Y и факторами могут быть, конечно, высокими). Эта процедура позволяет избежать отрицательных эффектов мультиколлинеарности.

Затем можно использовать стратегию шагового отбора, реализованную в ряде алгоритмов пошаговой регрессии. Здесь получили распространение две схемы отбора. В соответствии с первой схемой признак включается в уравнение в том случае, если его включение существенно увеличивает значение множественного коэффициента корреляции, что позволяет последовательно отбирать факторы, оказывающие существенное влияние на результирующий признак даже в условиях мультиколлинеарности системы признаков, отобранных в качестве аргументов из содержательных соображений36. При этом, очевидно, первым в уравнение включается фактор, наиболее тесно коррелирующий с Y, вторым в уравнение включается тот фактор, который в паре с первым из отобранных дает максимальное значение множественного коэффициента корреляции, и т.д. Существенно, что на каждом шаге получают новое значение множественного коэффициента (большее, чем на предыдущем шаге); тем самым определяется вклад каждого отобранного фактора в объясненную дисперсию Y.

Вторая схема пошаговой регрессии основана на последовательном исключении факторов с помощью t -критерия. Она заключается в том, что после построения уравнения регрессии и оценки значимости всех коэффициентов регрессии из модели исключают тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьший коэффициент доверия t . После этого получают новое уравнение множественной регрессии и снова производят оценку значимости всех оставшихся коэффициентов регрессии. Если среди них опять окажутся незначимые, то опять исключают фактор с наименьшим значением t -критерия. Процесс исключения факторов останавливается на том шаге, при котором все регрессионные коэффициенты значимы. При использовании этой схемы пошаговой регрессии следует иметь в виду те особенности применения t -критерия, о которых шла речь выше (в частности, негативные последствия мулътиколлинеарности).

Характеризуя в целом последствия мультиколлинеарности, отметим, что при ее наличии снижается точность оценок регрессионных коэффициентов (стандартные ошибки коэффициентов получаются слишком большими); становится невозможной оценка статистической значимости коэффициентов регрессии с помощью
t -критерия, отсюда вероятно некорректное введение в анализ тех или иных переменных; резко возрастает чувствительность коэффициентов регрессии к особенностям исходных данных, так что добавление, например, небольшого числа наблюдений может привести к сильным сдвигам в значениях βi .

Отметим, что мультиколлинеарность может быть выявлена не только при анализе парных коэффициентов корреляции. Существуют более тонкие методы оценки существенности мультиколлинеарности и определения факторов, "ответственных" за нее.

При отсутствии мультиколлинеарности и выполнении остальных требований (они перечислены выше) модель множественной регрессии позволяет оценить значимость каждого из рассматриваемых факторов, определить степень существенности воздействия каждого фактора на результат (разные аспекты этой существенности проявляются в значениях β -коэффициентов и вкладов факторов, получаемых из пошаговой схемы), получить количественную оценку величины средних изменений результирующего признака при изменениях каждого из факторов (значения регрессионных коэффициентов Вj ). Наконец, величина коэффициента множественной корреляции R дает оценку веса учтенных факторов в объяснении вариаций результирующего признака Y (и соответственно оценку веса неучтенных факторов). Оценка неучтенных факторов представляется большим достоинством моделей множественной регрессии

Логистическая регрессия
При изучении линейной регрессии мы исследуем модели вида:
Y =a + b1*x1 + b2*x2 + …+bq * xq + e.
Здесь зависимая переменная Y является непрерывной, и мы определяем набор независимых переменных xi и коэффициенты при них bi, которые позволили бы нам предсказывать среднее значение Y с учетом наблюдаемой ее изменчивости.

Во многих ситуациях, однако, Y не является непрерывной величиной, а принимает всего два возможных значения . Обычно единицей в этом случае представляеют осуществления какого-либо события (успех), а нулем - отсутствие его реализации ( неуспех).

Среднее значение Y - обозначенное через p, есть доля случаев, в которых Y принимает значение 1. Математически это можно записать как:

p = P(Y=1) или,

p = P("Успех")

В этом случае нам хотелось бы уметь оценивать величину p и определять факторы (независимые переменные xi (непрерывные), которые влияют на переменную Y.
Вероятно, первой попыткой было бы опробование модели вида

p = a + b1 * x1. (2)
(Мы для простоты рассматриваем уравнение для одной независимой переменной).

В принципе это та же стандартная линейная регрессионная модель в которой Y - зависимая непрерывная переменная заменена на вероятность p. Однако, исследование такой модели показывает ее непригодность, поскольку p - вероятность и ее значения ограничиваются интервалом (0,1), а правая часть уравнения, напротив, может иметь значения , лежащие вне указанного выше интервала.

Можно попробовать применить модель вида
p = e a + b1 * x1
Это уравнение гарантирует, что оценки для p будут положительными. Однако, изучая модель, мы бы скоро осознали, что и эта модель не пригодна. В самом деле, правая часть уравнения может давать значения большие единицы.
Для устранения этого ограничения нам нужно применить модель вида
P = e a + b1 * x1 /(1 + e a + b1 * x1 )
Выражение, стоящее справа от знака равенства, называется логистической функцией. Она не может принимать как отрицательные значения, так и значения большие единицы, и, следовательно, ограничивает оценки для p требуемым интервалом.

Несложные математические преобразования позволяют от уравнения перейти к уравнению:

ln[ p / (1 - p)] = a + b1 * x1
По определению величина p / (1 - p) представляет собой "шансы успеха". По этой причине моделирование p с помощью логистической функции эквивалентно использованию линейной регрессионной модели, в которой непрерывная переменная Y заменена логарифмом от "шансов успеха", то есть мы полагаем, что зависимость между ln[ p / (1 - p)] и x1 линейная.

Для оценки статистической значимости всего уравнения в целом, с помощью метода правдоподобия вычисляется статистика χ2.

Анализ динамических изменений
Применение метода наименьших квадратов при исследовании

тенденции развития
Изучаемые биологией явления с течением времени часто меняют свою интенсивность; изменения эти отражаются на развитии явлений и при их изучении необходимо учитывать величину и направление изменений.

Методы статистики позволяют измерить размеры произошед-ших изменений и количественно охарактеризовать направление их развития. Количественное измерение изменений, наступающих с течением времени, можно провести при помощи следующих показателей.

  1. Абсолютный уровень - фактический, количественный размер изучаемого явления. Ввиду того, что с течением времени эти размеры изменяются, абсолютный уровень обычно дается для каждого периода времени отдельно. Абсолютный уровень является основой для расчета производных показателей: абсолютный прирост, темп роста и темп прироста.

  2. Абсолютный прирост - величина - разность абсолютного уровня в данный период времени и абсолютного уровня предыдущего периода. Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

  3. Темп роста - процентное отношение между абсолютным уровнем данного периода и абсолютным уровнем предыдущего периода или какого-нибудь другого периода, принятого за исходный. В первом случае говорят о показателях темпа развития, вычисленных при цепном основании, а во втором - о показателях, вычисленных при постоянном основании. Показатели темпа развития, вычисленные при постоянном основании, носят также название показателей наглядности. Иногда показатели темпа развития, вычисленные при цепном основании, называются показателями динамики или коэффициентами роста.

  4. Темп прироста - процентное отношение между абсолютным приростом данного периода и абсолютным уровнем предшествующего периода. Абсолютный прирост может быть отрицательным или положительным, отсюда и темп прироста может быть отрицательным или положительным.

Смотрите также файлы