Файл: Учебнометодическое пособие знакомит студентов с основными понятиями о.doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 12.12.2023

Просмотров: 490

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕУчебно-методическое пособие знакомит студентов с основными понятиями о теории вероятностей, случайных процессах, статистическом оценивании и проверке гипотез, статистических методах обработки экспериментальных данных, математических методах, принятых в биологических исследованиях.Пособие состоит из четырех разделов: Введение в теорию вероятностей. Основные понятия и термины статистики. Статистические методы обработки экспериментальных данных. Компьютерная обработка данных анализа в специализированной программе EasyStatistics. Введение в теорию вероятностей дает представление о случайных событиях, вероятности и ее свойствах, случайных величинах и основных теоретических распределениях случайных величин.При изучении второго раздела разбираются понятия о совокупности и выборке, классификации признаков, дается представление о схемах научного эксперимента и научных гипотезах, достоверности и надежности результатов.Третий раздел знакомит со статистическими методами описания групп, способами их сравнения в зависимости от характера распределения исходных данных. Большое внимание уделено корреляционно-регрессионному анализу, лежащему в основе многомерных методов анализа. Разбираются широко распространенные в биологических исследованиях методы оценки динамики, цикличности и классификации. При описании каждого метода описываются условия, необходимые для проведения статистической обработки, и возможные трудности в интерпретации полученных показателей. Четвертый раздел посвящен практическому применению методов статистической обработки данных с помощью специализированной программы «Статистическая обработка медико-биологических данных» (EasyStatistics). Данная программа разработана автором пособия (Роспатент №2003612171) и предназначена для статистической обработки данных биологических и медицинских исследований и, в первую очередь, нацелена на выполнение курсовых и дипломных работ студентами. В то же время это не замена уже существующим мощным статистическим пакетам, таким как Statistica, а скорее дополнение, помогающее оценить возможности манипулирования данными и принципы работы с основными статистическими методами. Каждый раздел содержит список вопросов и заданий для самопроверки.Пособие также содержит список учебно-методических материалов, рекомендуемых для самостоятельной работы студентов.РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙЗакономерности, которым подчиняются случайные события, изучаются в разделах математики, которые называются теорией вероятностей и математической статистикой.Понятие о случайном событииОпыт, эксперимент, на­блюдение явления называются испытанием. Испытаниями, напри­мер, являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенными на каждую грань числом очков — от одного до шести).Результат, исход испытания называется событием. Для обозначения событий используются большие буквы ла­тинского алфавита: А, В, С и т. д.Два события называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие А — появление четырех очков. Событие В— появле­ние четного числа очков. События Аи В совместимые.Два события называются несовместимы­ми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.Испытание: однократное бросание монеты. Собы­тие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимостьИспытание: однократное бросание игральной кости. Пусть события А1, А2, А3, А4, А5, А6 соответственно выпа­дение одного очка, двух, трех и т. д. Эти события являются несов­местимыми..Два события А и В называются проти­воположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.Событие, противоположное событию А, обозначают через А.Испытание: бросание монеты. Событие А — выпадение герба, событие В — выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого, т. е. А = В или А = В.Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его ис­ходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.Испытание: извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А — вынут белый шар — достоверное событие; событие В — вынут черный шар — невозможное событие.Достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.Событие А называется случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испы­тании.Выпадение шести очков при броса­нии игральной кости — случайное событие. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.Прорастание девяноста восьми зерен пшеницы из ста — случайное событие. Это событие может наступить, но, может быть, прорастет зерен больше или меньше.Классическое определение вероятностиВсякое испыта­ние влечет за собой некоторую совокупность исходов — резуль­татов испытания, т. е. событий. Во многих случаях возможно пере­числить все события, которые могут быть исходами данного испы­тания.Говорят, что совокупность событий обра­зует полную группу событий для данного испытания, если его ре­зультатом обязательно становится хотя бы одно из них.События Ul, U2, ..., Un , образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных собы­тий, будем называть элементарными событиями.Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть Ui — событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой i. Как уже отмечалось, события U1, U2, …, U6 образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметрич­ной, то события U1, U2, …, U6 являются и равновозможными, т. е. элементарными.Событие А называется благоприят­ствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.Пусть при бросании игральной кости события U2, U4 и U6 — появление соответственно двух, четырех и шести очков и А — событие, состоящее в появлении четного очка; собы­тия U2, U4 и U6 благоприятствуют событию А.Классическое определение вероятностиВероятностью Р (А) события А называется отношение m/n числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных событий, т. е. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. Очевидно, событие А — выпадение герба и событие В — выпадение цифры — образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь n = 2. Событию А благоприятствует лишь одно со­бытие — само А, т. е. здесь m = 1. Поэтому Р(А) = 0,5.Найти вероятность того, что при бросании иг­ральной кости выпадет число очков, делящееся на 2 (событие А). Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятст­вующих элементарных событий 3 (выпадение 2, 4 и 6). Поэтому .Из приведенного классического определения вероятности вы­текают следующие ее свойства.1. Вероятность достоверного события равна единице.Действительно, достоверному событию должны благоприят­ствовать все n элементарных событий, т. е. m = n и, следовательно, P(A)=1.2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, невозможному событию не может благоприят­ствовать ни одно из элементарных событий, т. е. m = 0, откуда P(A)=0.3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0 < m < n , значит, 0 <= Р (А)<= 1.Относительная частота.Статистическое определение ве­роятности.Классическое определение вероятности не являет­ся пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.В таких случаях используется так называемое статистическое определение вероятности.Пусть произведено n испытаний, при этом некоторое событие А наступило m раз. Число m называется абсолютной часто­той (или просто частотой) события А, а отношение называется относительной частотой события А.При транспортировке из 10 000 арбузов испор­тилось 26. Здесь m= 26 — абсолютная частота испорченных ар­бузов, а P*(A)=0,0026 относительная.Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(A) принимает зна­чения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n — числа испытаний в сериях — относитель­ная частота Р*(А) приближается к некоторому числу Р(А), стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения.Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500;0,497; 0,494; 0,484. Эти частоты группируются около числа 0,5Статистическое определение вероят­ностиВероятностью события А в данном испытании называется число Р (А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.По официальным данным шведской статистики, относительные частоты рождения девочек по месяцам 2007 г. харак­теризуются следующими числами (расположены в порядке сле­дования месяцев, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. Эти частоты группируются около числа 0,482.Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Геометрическая вероятностьДо этого мы рассматривали возможные эксперименты, в которых реализуется конечное множество событий. Однако существует большое количество задач, для которых такое предположение не является справедливым. При решении таких задач предполагается, что множество реализуемых событий может быть представлено в виде некоторой геометрической фигуры, а конкретное событие соответствует точке заданной части этой фигуры. В качестве события A можно рассмотреть любую подобласть области Ω. Например, фигуру внутри исходной фигуры на плоскости или отрезок, лежащий внутри исходного отрезка на прямой.Заметим, что элементарным событием на таком множестве может быть только точка. В самом деле, если множество содержит более одной точки, его можно разбить на два непустых подмножества. Следовательно, такое множество уже неэлементарно.Теперь определим вероятность. Тут тоже все легко: вероятность «попадания» в каждую конкретную точку равна нулю. Иначе получим бесконечную сумму одинаковых положительных слагаемых (ведь элементарные события равновероятны), которые в сумме больше P(Ω) = 1.Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω — это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности.Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω.Мишень имеет форму окружности. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены. Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем P=0,5Студент и студентка договариваются о встрече на заданном промежутке времени Т. Тот, кто приходит первым ожидает другого в течение времени tВ качестве множества элементарных событий рассмотри квадрат, состоящий из точек (x,y), 0<=x<=T, 0<=y<=T, где x и у время прихода его и ее.Благоприятсвующие события образуют точки, для которых |x-y|<t, т.е. точки квадрата между прямыми y=x-t, y=x+t. Площадь получающейся фигуры равна T2-(T-t)2, а площадь всего квадрата – Т2. Отсуда искомая вероятность Свойства вероятностейСложение вероятностей несовместимых событийСуммой событий А и В называется собы­тие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В.Стрельба двух стрелков (каждый де­лает по одному выстрелу). Событие А — попадание в мишень пер­вым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.Произведением событий А и В назы­вается событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испыта­ния произошло и событие А, и событие В.Аналогично произведением конечного числа событий A1 А2, …, Ak называется событие А = А1 * A2 * ... * Ak, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.Из определения непосредственно следует, что АВ = ВА.Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Следствие. Сумма вероятностей противоположных собы­тий А и А равна единице:Р(А) + Р(А

Коэффициент сопряженности Чупрова. Дальнейшим обоб-щением четырехпольных таблиц являются многопольные таблицы, для которых сопряженность наиболее часто оценивается по формуле, предложенной русским статистиком А. А. Чупровым. Прежде чем приводить ее рассмотрим несколько реальных ситуаций, когда такая оценка может потребоваться. Известно, например, что окраска тюльпанов связана с наличием определенных пигментов. Может представлять интерес вопрос о том, с какими именно пигментами преимущественно связана та или иная окраска цветка. Или другой пример. Окружающая гнездо полярной крачки обстановка может представлять собой зеленые растения, растения и гальку, пестрые камешки и т. д. При этом можно наблюдать самые разные по качеству гнезда: от его отсутствия до очень хорошо сделанного. В этом случае желательно знать, связано ли качество гнезда с какой-то одной или несколькими характеристиками окружающей среды. Общим для этих и других подобных задач является то, что в распоряжении экспериментатора оказываются данные о некотором множестве объектов, обладающих двумя признаками, причем каждый из признаков может иметь несколько градаций. В этом случае , где m - число разновидностей явления Х; k - число разновидностей явления Y, n – общее число объектов (m*k). Независимо то того, что каждый из описательных признаков, несмотря на разницу в численности его разновидностей, можно свести к альтернативному - только с двумя разновидностями, довольно часто в практике возникает необходимость работать с описательными признаками более двух разновидностей. В таких случаях необходимо при вычислении коэффициента корреляции составлять так называемую корреляционную таблицу (где X1,X2,...Xn - обозначают разновидность одного признака, а Y1, Y2... Yn - разновидности другого).При наличии такой схемы коэффициент корреляции находят по формуле: , где - коэффициент связи, m- число разновидностей явления Х; k - число разновидностей явления Y.Данный метод пригоден также и для экспрессной оценки связи между количественными (например возраст) и качествен-ными (например брак) параметрами.На практике (особенно в зоологии и ботанике) довольно часто встречаются другие меры измерения связи.


Графический метод. Первоначально на линейной диаграмме изображают графически фактические числа количества сусликов. Получают ломаную линию, изображающую тенденцию изменения их численности. Затем от руки или при помощи линейки, лекала и т. п., следуя фактическим данным, вычерчивают прямую или кривую линию. Эта линия позволяет увидеть общую тенденцию развития. Определяя по этой линии величины соответствующих интервалов, находят теоретически ожидаемые величины Yt. Они характеризуют влияние длительно действующих факторов. Влияние временно действующих факторов можно выразить количественно разностью фактических и теоретически ожидаемых величин.

Преимущество описанного графического метода состоит в том, что его можно применять легко и быстро. Недостаток его в том, что в оценке тенденции развития сказывается некоторый субъективизм того, кто применял этот метод.

Метод удлинения периодов. В целях устранения резких отклонений в величинах динамических рядов в отдельные годы производится объединение, укрупнение периодов. Для объединенных периодов вычисляют средние хронологические величины, которые наносят на линейную диаграмму. Через них проводят линию, график которой дает возможность по ординате получить теоретически ожидаемые величины. Метод удлиненных периодов является попыткой улучшить графический метод выравнивания динамических рядов.

При использовании метода удлинения периодов возникает вопрос о количестве лет, объединяемых вместе. В рассматриваемом примере приняты двухлетние периоды. При определении того, какой должен быть укрупненный период, следует провести анализ изучаемых числовых величин и в соответствии с результатами подобрать наиболее подходящее укрупнение. Следует отметить, что при этом также сказывается субъективная оценка исследователя.

При пользовании методом удлинения периодов теряется часть сведений о теоретически ожидаемых величинах. Например при двухлетнем укрупнении теряются сведения о первом годе. При трехлетнем - о первом и двух последних и т. д.

Метод скользящей средней. При нем тенденция развития представлена последовательной серией сплетающихся средних. Эти средние представляют теоретически ожидаемые величины Yt и вычисляются следующим образом. Например, если приняты трехлетние периоды для усреднения, то первая средняя получается путем усреднения фактических чисел первого, второго и третьего годов, полученная величина будет относиться ко второму году. Вторая средняя получается путем усреднения второго, третьего и четвертого годов, полученная величина будет относиться к третьему году и т. д.


Легко заметить, что при методе скользящей средней теряется часть сведений, так же как при методе удлинения периодов. При определении числа лет для усреднения фактических чисел не малую роль играет и субъективизм исследователя.

Метод наименьших квадратов.

Этот метод преследует ту же цель, что и описанные выше три метода: устранить влияние временно действующих факторов и выявить тенденцию развития, вызванную только действием длительно действующих причин. Тенденцию развития лучше всего можно выразить линией, наиболее близкой к фактическим данным, это достигается методом наименьших квадратов, называемым так потому, что сумма возведенных в квадрат разностей фактических чисел - Y и теоретически ожидаемых - Yt - наименее велика, т.е. (Y-Yt)20. Этому условию в каждом конкретном случае отвечает только одна линия, поэтому метод наименьших квадратов можно считать наиболее объективным способом выявления тенденции развития и рекомендовать его для широкого применения.

Для того, чтобы применить способ наименьших квадратов, следует проделать следующие этапы работы.

Сначала, после соответствующей оценки характера развития и изменений изучаемых явлений, производят выбор подходящего вида и характера линий, наиболее соответствующей тенденции развития. Например, если тенденция развития прямолинейна, то точнее всего ее представить при помощи прямой линии, уравнение которой: Yt=a+bx. Если тенденция криволинейна, вначале восходящая, а затем нисходящая, то ее можно представить в виде параболы второй степени с уравнением: Yt=a+bx+cx2.

На следующем этапе для получения числовых значений параметров a, b, c, d и т.д. составляют систему уравнений. При решении системы уравнений получают конкретные числовые значения параметров. Если в уравнении линии, соответствующей по своему характеру тенденции развития, имеется два неизвестных параметра, применяется система двух уравнений. Например, для прямой Yt=a+bx применяется система двух уравнений, для параболы второй степени система трех уравнений и т.д.

В зависимости от того, сколько параметров имеет линия, выражающая основную тенденцию развития, столько уравнений требуется решить.

На третьем этапе работы после решения системы уравнений и получения конкретных числовых значений параметров, определяющих место соответствующей линии в системе координат, путем ряда последовательных подстановок в уравнения полученных величин X (условно принята нумерация периодов) получают теоретически ожидаемые величины Yt. Истолкование результатов при этом аналогично описанному при других способах выравнивания динамических рядов. Разность фактических наблюдаемых величин - Y и теоретически ожидаемых - Yt указывает количественно влияние временно действующих - случайных причин.


Давайте технику применения метода наименьших квадратов при использовании разных видов линий, выявляющих тенденцию развития, проиллюстрируем следующими примерами.

Прямолинейное выравнивание - несокращенный метод. О многих явлениях, являющихся объектом изучения науки можно сказать, что изменения в них с течением времени протекают прямолинейно, т.е. их развитие можно представить в виде прямой, уравнение которой: Yt=a+bx.

Например, рассмотренный нами пример по праву можно отнести к нисходящим прямолинейным. Это позволяет выразить тенденцию развития популяции в виде прямой. Система уравнений при помощи которых определяются параметры, следующая:

Y=Na+bX

XY=aX+bX2

где Y - фактические числовые величины изучаемого явления за каждый из периодов.

X - условная нумерация периодов. Эта нумерация обычно начинается с нуля и идет в естественном порядке чисел - 0,1,2,3,4, и т.д.

N - численность изучаемых периодов.

Используя приведенные ранее данные, получаем следующее.

Год
Y
X
XY
X2
Yt=a+bx

1985
100
0
0
0
110

1986
110
1
110
1
105.2

1987
105
2
210
4
100.4

1988
100
3
300
9
95.6

1989
95
4
380
16
90.8

1990
87
5
435
25
86

1991
80
6
480
36
81.2

1992
80
7
560
49
76.4

1993
75
8
600
64
71.6

1994
60
9
540
81
66.8




892
45
3615
285
400

Для того, чтобы найти параметры a и b, необходимо составить систему двух уравнений.

892=10a+45b

3615=45a+285b

Решая эти уравнения получаем a=110, b=-4.8

Yt=a+bx=110-4.8x

Замещая x в этом уравнении соответствующими числовыми величинами, определяющими порядковый номер изучаемых периодов, получаем выровненные величины - Y, те, которые были бы получены, если бы на популяцию действовали только длительно действующие факторы.

Параметр b обозначает снижение или увеличение теоретически ожидаемых величин в течение одного из периодов и называется коэффициентом регрессии. Наименование это дал Гальтон, изучавший корреляцию роста родителей и их потомства. Так как Гальтон выявил нисходящую тенденцию в изменении роста высоких родителей и их потомства (коэффициент b с отрицательным знаком), то назвал он его коэффициентом регрессии. Это наименование остается за коэффициентом b и тогда, когда он имеет положительное значение.

Прямолинейное выравнивание - сокращенный способ - нечетное количество периодов. В нашем примере, иллюстрировавшим применение метода наименьших квадратов, были использованы абсолютные числа. Гораздо более познавательное значение имеют производные статистические показатели - относительные величины, средние величины и т.п. Например, если вы изучаете действие каких-то веществ на организм, то на абсолютные величины количества, допустим умерших животных, оказывает влияние количество животных, подвергнутых воздействию. Поэтому, в таких случаях удобнее пользоваться относительными величинами, выраженными в процентах.

Давайте разберем применение сокращенного способа выравнивания динамических рядов. Этот способ применяется тогда, когда ряд имеет нечетное количество периодов. Особенность его в том, что за начальный год X=0 принимается не первый год, а центральный. Нумерация остальных годов идет в естественном порядке чисел 1, 2, 3 и т.д., но номера более ранних лет до центрального имеют отрицательный знак, а после него положительный. Вследствие этого упрощается система уравнений:

Y=Na

XY=bX2

отсюда параметры a и b принимают значения (см. по формуле), что освобождает от необходимости решать систему уравнений.

Имеются следующие данные о заболеваемости гриппом за 1986-1994г.

Год
Y
X
XY
X2
Yt

1986
4,7
-4
-18,8
16
8,22

1987
29,4
-3
-88,2
9
36,15

1988
61
-2
-122
4
64,08

1989
79,1
-1
-79,1
1
92,01

1990
152,1
0
0
0
119,94

1991
161,3
1
161,3
1
147,87

1992
166,5
2
333
4
175,81

1993
211,8
3
635,5
9
203,74

1994
213,6
4
854,4
16
231,68




1079,5
0
1676,1
60
1079,5

a=119.94 b=27.93
Прямолинейное выравнивание - сокращенный способ - четное число периодов. Приведенный способ наименьших квадратов при четном числе периодов встречает затруднение из-за отсутствия центрального периода, который можно было бы принять за начальный. В этом случае начальным моментом считают тот, который находится между двумя центральными, так как данные динамического ряда относятся к середине периода. Если мы имеем интервалы в годах, то для того, чтобы работать с целыми числами эти интервалы переводят в полугодовые.

Не всегда можно представить тенденцию развития явлений при помощи прямой, так как тенденция развития в ряде случаев криволинейна и прямая линия не подходит для ее характеристики. В таких случаях пользуются различными кривыми: параболами, гиперболами, экспоненциальными и т.д.

Парабола - одна из элементарных кривых. Параболой первой степени является прямая линия. Парабола второй степени имеет следующее уравнение: Yt=a+bx+cx2

а параболы третьей степени: Yt=a+bx+cx2+dx3.

Для решения этих уравнений надо найти значения a, b, c, d и т.д. Для этого надо решить соответствующую систему уравнений:

Y=Na+bX+cX2

XY=aX+bX2+cX3

X2Y=aX2+bX3+cX4

Техника решения подобных уравнений и построения графика принципиально ничем не отличается от разобранных ранее примеров. Аналогично можно применять сокращенные способы для четного количества периодов и нечетного количества периодов.

В случаях, когда количество интервалов велико можно прибегать к сглаживанию по трем, пяти, семи, девяти и т.д. точкам.

Например, сглаживание по 5 точкам выглядит так:

Yt=Xn-2+2Xn-1+3Xn+2Xn+1+Xn+2

по 9 точкам:

Yt=Xn-4+2Xn-3+3Xn-2+4Xn-1+5Xn+4Xn+1+3Xn+2+2Xn+3+Xn+4

Следует отметить, что данный метод можно применять не зная какие факторы оказывают длительное, а какие временное воздействие. Однако, можно заметить, что при таком способе сглаживания теряются начальные и конечные периоды.
Анализ циклических изменений
Многим явлениям свойственна цикличность. Она выражается в периодических изменениях интенсивности этих явлений, причем изменения эти обладают более или менее стабильным характером. Так, например, общеизвестны различия таких физиологических показателей, как пульс и артериальное давление крови, в различное время суток. Такого же рода суточная цикличность наблюдается и при некоторых антропометрических показателях: рост, вес.

Смотрите также файлы