Файл: Учебнометодический комплекс дисциплины математический анализ1.docx

7.1Дифференциал функции

Рассмотрим функцию , которая является непрерывной на интервале . Предположим, что в нкоторой точке независимая переменная получает приращение . Приращение функции соответствующее такому изменению аргумента  выражается формулой

.

Для любой дифференцируемой функции приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых:

где первый член линейно зависит от приращения , а второй член имеет более высокий порядок малости относительно . Выражение  называется дифференциалом функции и обозначается символом

.

В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.

7.2 Геометрический смысл дифференциала функции

На рисунке  схематически показана разбивка приращения функции  на главную часть  (дифференциал функции) и член высшего порядка малости . Касательная MN

проведенная к кривой функции как известно, имеет угол наклона   , тангенс которого равен производной: . При изменении аргумента на  касательная получает приращение  Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения (отрезок )  соответствует "нелинейной" добавке с более высоким порядком малости относительно Δx.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной

Если функции - дифференцируемые функции в точке , то ; ; , где - постоянное число ; .

Из равенства или:

,

можно последнюю формулу использовать для приближенного вычисления.

7.3 Производные высших порядков

Рассмотрим функцию ). Если у функции имеется первая производная на интервале , то вторая производная – это производная от 1-й производной или .

В принципе, вторую производную уже считают производной высшего порядка.

Аналогично: третья производная – это производная от 2-й производной. Четвёртная производная – есть производная от 3-й производной и т.д.

В общем случае ,

или

Иногда встречается такая запись:   – третья, четвёртая, пятая, …, «энная» производные соответственно.

Пусть заданы дифференцируемые функций и . Для суммы и произведения дифференцируемых функций выполняется следующее правило дифференцирования:

---

1. ;

Формула Лейбница:

, где . Это авенство можно доказать методом математической индукции.

Дифференциалы высших порядков. Пусть задана -кратно дифференцируемая функция f(x) на интервале , где -независисмая переменная. Тогда дифференциал от первого дифференциала данной функции называется вторым дифференциалом функции и обозначается , и

тең

-кратный дифференциал функции обозначается:

Для -кратного дифференциала функции выполняются равенства:

1)

2)

Примеры:1. Найти   функции  . Записать производную   порядка

Решение: найдём пятую производную:

Очевидно,что 
Ответ:

2. Найти   функции  .

Решение: найдём несколько производных:

Запишем «энную» производную: 
Таким образом: 
Ответ: 

Лекция 8. Основные свойства дифференцируемых функций (теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лангранжа). Правило Лопиталя. Применение производных к исследованию функций и построению графиков.

8.1 Основные свойства дифференцируемых функций.

На предыдущих занятиях мы учились находить производные и дифференциалы функций. Теперь предстоит заняться более глубоким анализом свойств функций и их производных. При этом будут вскрыты связи между отдельными свойствами функций и их производных, что составляет теоретическую основу приложений дифференциального исчисления и открывает широкие возможности для различного рода приложений.

Рассмотрим группу теорем, которые в силу своего большого значения названы основными теоремами дифференциального исчисления. На них нужно обратить особое внимание при работе над данной лекцией.

В качестве примеров приложения основных теорем рассмотрим также вопрос о раскрытии неопределённостей.

1.Теорема Ферма (1601-1665 французский математик). Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т.е. .

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке дифференцируемая функция имеет наибольшее или наименьшее значение, то в точке касательная к графику функции параллельна оси .

2. Теорема Ролля (1652-1719 французский математик). Пусть на определена функция , причем:

---

1) непрерывна на .

2) дифференцируема на ;

3) .

Тогда, существует точка , в которой .

Геометрически теорема Ролля означает, что графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах равные значения, существует точка , в которой касательная параллельна оси .

3. Теорема Лагранжа(1736-1813 французский математик). Пусть на определена функция , причем :

1) непрерывна на .

2) дифференцируема на .

Тогда существует точка такая, что справедлива формула

. (1)


Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа. Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки и графика функции , а - угловой коэффициент касательной к графику в точке . Из теоремы Лагранжа следует, что существует такая точка , что касательная к графику в точке параллельна на секущей . Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.

Замечание. Равенство (2)

называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

4. Теорема Коши. (1789-1857 французский математик). Пусть функция и непрерывны на и дифференцируемы на . Пусть . Тогда существует точка такая, что справедлива формула

(3)

Эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных разностей.
8.2. Правило Лопиталя.

Теорема Лопиталя. (1661 – 1704 французский математик). Пусть функции и дифференцируема во всех точках некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Пусть и во всех точках этой окрестности. Тогда, если существует (конечный и бесконечный) предел , то существует , причем (4)

Эта теорема дает правило для раскрытия неопределенности вида , сводящее вычисление предела отношения двух функций к вычислению предела отношения их производных.

Замечание. Если производные и удовлетворяют тем же условия теоремы, что и сами функции, и если существует, то применяя дважды теорему, найдем, что .

Этот прием можно применить до тех пор, пока не будет получена дробь, для которой условия, предусмотренные теоремой, уже не выполняются.

Пример1.

Найти

Пример2.

Найти .

Правило Лопиталя можно применять и к неопределенностям других видов,

предварительно преобразовав их к неопределенности вида или ;

---

Пример.

Найти .

8.3. Раскрытие неопределенностей вида :

Неопределенности сводятся к двум основным путем тождественных преобразований.

1) . Пусть при , тогда ( или ) .

Например :

2) . Пусть при , тогда

На практике бывает проще

.

3) . Пусть при , или при , тогда удобно прологарифми-ровать .

Например: . Логарифмируем

и находим предел

Значит .

Решение можно оформить короче если воспользоваться формулой

Таким образом, производная позволяет характеризовать поведение функции лишь вблизи данной точки. В данной лекции нами были рассмотрены теоремы, позволяющие с помощью производной делать выводы о глобальном поведении функции, эти теоремы часто называют теоремами о среднем значении.

Производная помогает детальнее изучить свойства функций: установить интервалы возрастания и убывания функции; точки, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего значений; интервалы выпуклости графика функции и т. д. В данной лекции нами были получены необходимые для исследования функции теоремы.
8.4. Исследование функции и построение графика

Для того, чтобы узнать свойства и особенности данной функции: как ведет себя на бесконечности, насколько быстро меняет знак, как плавно или резко возрастает или убывает, куда направлены "горбы" выпуклости, где не определены значения и т.п.

А уже на основании этих "особенностей" и строится макет графика 

Исследование функции - объемная задача(пожалуй, самая объемная из традиционного курса высшей математики, обычно от 2 до 4 страниц с учетом чертежа), поэтому, чтобы не забыть, что в каком порядке делать, следуем пунктам, описанным ниже.

Алгоритм

1. 
   Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
   
2. 
   Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
   
3. 
   Найти точки пересечения с осями координат.
   
4. 
   Установить, является ли функция чётной или нечётной.
   
5. 
   Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций).
   
6. 
   Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
   
7. 
   Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.
   
8. 
   Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
   
9. 
   Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
   
10. 
    Построить график и асимптоты.
    

---

Лекция 9. Вычисление экстремумов функций. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на множестве
Рассмотрим некоторую функцию  . Упрощённо полагаем, что она непрерывна на всей числовой прямой:

Функция возрастает на интервале, если для любых двух точек этого интервала, связанных отношением  , справедливо неравенство  . То есть, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и её график идёт «снизу вверх». Демонстрационная функция   растёт на интервале  .

Аналогично, функция убывает на интервале, если для любых двух точек данного интервала, таких, что  , справедливо неравенство  . То есть, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, и её график идёт «сверху вниз». Наша функция   убывает на интервалах  .

Если функция возрастает или убывает на интервале, то её называют строго монотонной на данном интервале. Что такое монотонность? Понимайте в буквальном смысле – однообразие.

Также можно определить неубывающую функцию (смягчённое условие   в первом определении) и невозрастающую функцию (смягчённое условие   во 2-м определении). Неубывающую или невозрастающую функцию на интервале называют монотонной функцией на данном интервале (строгая монотонность – частный случай «просто» монотонности).

Окрестностью точки называют интервал, который содержит данную точку, при этом для удобства интервал часто полагают симметричным. Например, точка   и её стандартная  - окрестность:

Собственно, определения:

Точка   называется точкой строгого максимума, если существует её  -окрестность, для всех значений   которой за исключением самой точки   выполнено неравенство  . В нашем конкретном примере это точка  .

Точка   называется точкой строгого минимума, если существует её  -окрестность, для всех значений   которой за исключением самой точки   выполнено неравенство  . На чертеже – точка «а».

Точки   называют точками строго экстремума или просто точками экстремума  функции. То есть это обобщенный термин точек максимума и точек минимума.
Точка   называется точкой максимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений   данной окрестности выполнено неравенство  .
Точка   называется точкой минимума, если существует её окрестность, такая, что для всех значений   данной окрестности выполнено неравенство  .

---