Файл: Методическое пособие для учителя Л. О. Рослова, Е. Е. Алексеева, Е. В. Буцко под ред. Л. О. Рословой. М. Фгбну Институт стратегии развития образования рао.pdf

213
Проанализировав получившуюся модель, учащиеся формулируют вывод, что усложнение геометрических фигур происходит одновременно с увеличением числа измерений.
На последующих уроках учитель может продолжить проектно- исследовательскую работу, используя, например, квест или кейс-технологию.
Поэтому с целью формирования и развития умений логического и пространственного мышления конструируется система заданий, во-первых, объединенных общей темой «Пространство и форма», во-вторых, ориентированных на использование пространственного мышления и построение логически верной цепочки утверждений при выполнении заданий, в-третьих, ориентированных на математические и реальные жизненные ситуации, в которых могут оказаться школьники.
Рассмотрим примеры сконструированных заданий, каждое из которых имеет свои методические и характеристические особенности.
Задание «Кубик Рубика».
Три брата собрались провести между собой соревнование по собиранию кубика Рубика, но не смогли, так как их младшая сестренка у каждого кубика вынула некоторые детали. Мальчики решили отремонтировать кубики, подобрав детали к оставшимся частям. У них не получилось это сделать, так как каждый из них брал детали наугад. Помоги мальчикам определить, каких деталей не хватает у каждого кубика, изображенных ими на рисунках.
Задание «Кубик Рубика» направлено не только на выполнение учащимися действий логического мышления: анализ объектов, выведение следствий из условия, выдвижение гипотез и построение цепочки логических рассуждений, но также и на формирование математического восприятия и пространственного мышления, что включает мысленное восприятие формы куба, формирование целостного образа геометрического объекта, достраивание представленных фигур до целого куба. Кроме этого, задача

214 связана с реальной жизненной ситуацией, в которой через требование учащиеся становятся не просто участниками ситуации, а являются помощниками при выполнении коллективной деятельности с героями ситуации, что способствует формированию функциональной математической грамотности, умению сопереживать другим и оказывать помощь.
Учитель в начале выполнения этого задания организует фронтальное обсуждение геометрических форм оставшихся частей, руководит деятельностью учащихся в процессе анализа и сравнения этих форм, их достраивания до целого куба.
Рис. 24
Действия обучающихся. Школьники в процессе фронтального обсуждения, организованного учителем, анализируют оставшиеся части кубиков, изображенные на рисунке, и выявляют, что на рисунке представлены части кубиков размером 4 на 4, конструируют целостный образ геометрического объекта – куб – модели собранного кубика. Затем сравнивают оставшиеся части с моделью целого кубика и выявляют, каких деталей не хватает.
Под руководством учителя учащиеся фиксируют свои рассуждения, строя цепочку логических утверждений. Каждое утверждение соответствует структуре: условие, вывод, обоснование.
Так как ………..…., то ………. (……….)
а)
б)
в)
г)

215
В зависимости от уровня сформированности умения записывания логической цепочки рассуждений учащиеся или записывают ее самостоятельно, а потом сравнивают с образцом, или работают с эталонами записи утверждений.
Отметим, что при выполнении этого задания учащиеся записывают рассуждения в словесной форме, т. е. не используя символьную запись.
Пример рассуждений учащихся:
1) Так как на рисунках а и б верхняя грань без повреждений, то размер целого кубика 4×4.
2) Так как целый кубик размером 4×4 (пункт 1), то сконструируем модель кубика без повреждений, расположив его цветные грани соответственно цветам оставшихся частей (рисунок г).
3) Так как на рисунках а и б повреждены передняя и боковые грани, а на рисунке в – верхняя грань, то недостающие части имеют цвета, соответствующие этим граням кубика.
Параллельно с построением цепочки утверждений учащиеся выполняют практическую деятельность – достраивают части кубиков до целого куба, выполняя построения на бумаге, что способствует формированию умений изображения геометрических объектов на бумаге.
Задание «Бабушкины внуки».
К бабушке на день рождения приехали внуки. Она приготовила для них много вкусных угощений: испекла большой блин и каравай. Бабушка подумала и сказала, что она тремя разрезами разделит блин на столько частей, сколько у неё внуков, а каравай при трёх разрезах разрежется так, что и она будет с ним пить чай. Какое наибольшее количество внуков приехало к бабушке на день рождения?

216
Задание «Бабушкины внуки», аналогично заданию «Кубик Рубика», связано с жизненной ситуацией, соответствующей социальному опыту пятиклассников. При выполнении этого задания учащиеся встречаются с другими формами реальных объектов и соответствующих им геометрических фигур, что соответствует принципу многообразия форм геометрических объектов. Учитель руководит исследованием, организовывая наблюдение учащихся, и моделированием конфигурации, акцентируя внимание учащихся на целой фигуре или ее частях. Для организации исследования учитель может предложить учащимся бумажные круги – модели большого блина.
Действия обучающихся. В процессе выполнения задания учащиеся абстрагируются от реальной ситуации и работают с геометрическими объектами: кругом и шаровым сегментом, хотя это понятие еще не знакомо им. При фронтальной работе учащиеся сравнивают геометрические объекты и выявляют, что круг является плоской фигурой, а часть шара – объемной.
Затем учитель организует групповую работу. Первая группа учащихся исследует возможные варианты «разрезания» круга на части. Работая с бумажными кругами, они выполняют «разрезание» блина на части, проводя прямые и изменяя их расположение на плоскости, фиксируя положение прямой цветом, или в буквальном смысле, разрезая бумажный круг ножницами (рис. 25, а–г).
Рис. 25
Вторая группа учащихся мысленно изменяет положение прямых на плоскости или, складывая бумажные круги, анализирует полученные
n=4
n=5
n=6
n=7
д)
а)
б)
в)
г)
n=6

217 результаты и выдвигает гипотезу, что при разрезании круга все три разреза могут проходить через одну точку (рис. 24д), тогда получится 6 частей, как и в варианте в. Таким образом, эта группа учащихся находит путь решения, отличный от пути решения первой группы. Далее будет достаточно сместить одну прямую так, что она не будет проходить через точку пересечения двух прямых. Обе группы фиксируют рассуждения и количество получившихся частей.
Затем учитель организует исследование шарового сегмента. Учащиеся выдвигают гипотезу, что с помощью горизонтального разреза получается две части, одну из которых можно рассматривать как аналог круга.
Рис. 26
Учащиеся фиксируют рассуждения и количество получившихся частей, сравнивают результаты и соотносят их с реальной ситуацией, описанной в задаче, и формулируют вывод: к бабушке приехало 7 внуков.
После выполнения задания необходимо обратить внимание учащихся на то, что в процессе выполнения задания не только дан ответ на поставленный вопрос, но и подтверждены слова бабушки о трех разрезах блина и каравая, и сделать акцент на том, что гипотезы, выдвинутые в ходе решения задач, требуют подтверждения или опровержения.
Задание «Параллелепипед».
Дан параллелепипед ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
Известны длины его рёбер: AA
1
= 8
см, AD = 4 см, AB = 6 см.
1) Определите длины всех рёбер этого параллелепипеда.
2) Каковы размеры граней ADD
1
A
1
, ABB
1
A
1
, ABCD?

218
При решении задач, аналогичных заданию «Параллелепипед», учитель организует деятельность учащихся, направленную не только на непосредственное выполнение требований, но и на формирование умений работы с информацией и представления ее в другой форме, например символьной. Учитель создает проблемную ситуацию, ставя перед учащимися учебно-познавательную задачу: составить схему поиска пути решения задачи.
Действия обучающихся. Под руководством учителя учащиеся анализируют текст задачи, выделяя условие и требование, выявляют, что основной геометрической фигурой, о которой идет речь, является параллелепипед. Затем они мысленно воспроизводят образ фигуры и, выполняя графические действия, схематически изображают параллелепипед.
После этого учащиеся записывают условие и требование задачи на символьном языке.
Затем учитель организует фронтальную работу учащихся в направлении конкретизации свойств параллелепипеда, выведения следствий из условия и требования задачи. Далее под руководством учителя учащиеся, базируясь на результатах фронтальной работы, выбирают форму представления схемы поиска решения задачи и составляют схему поиска решения задачи.
Рис. 27
После составления схемы учащиеся решают задачу и записывают решение.
Отметим, что при решении этой и аналогичных задач учитель только начинает процесс формирования у учащихся 5–6-х классов умения записи
????????
????????????????????
????
????
????
????
????
????
????
– прямоугольный параллелепипед
Схема поиска решения задачи
????????
????????
????
????????, ????
1
????
1
, ????
1
????
1
????????, ????
1
????
1
, ????
1
????
1
????????
1
, ????????
1
, ????????
1

219 цепочки логических утверждений на символьном языке и их обоснования.
В практике обучения систематическому курсу геометрии часто учащиеся
«сворачивают» запись, объединяя запись нескольких утверждений, что может привести к неверному построению цепочки логических утверждений.
Приведем фрагмент записи решения. к п. 1) Так как ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
– прямоугольный параллелепипед
(по условию) и AA
1
– вертикальное ребро, то AA
1
= BB
1
= CC
1
= DD
1
(по свойству прямоугольного параллелепипеда). к п. 2) Так как ADD
1
A
1
– передняя грань параллелепипеда и AA
1
= 8 см,
AD = 4 см (по условию), то 8 см × 4 см
– размеры грани ADD
1
A
1
При выполнении задания «Параллелепипед» в явном виде формируются и используются предметные знания и умения. Специально организованная деятельность направлена на формирование и применение познавательных
УУД, а именно: логических действий – характеризовать геометрический объект через конкретизацию его свойств, выводить следствия из условия и требования задачи, выбирать способ решения учебной задачи (представление схемы поиска решения); исследовательских действий – самостоятельно составлять план решения задачи; работа с информацией – выбор формы представления информации, представление информации в разных формах.
Таким образом, пример организации проектно-исследовательской работы «Пространство и форма» отображает дидактические особенности изучения в 5-м классе темы «Наглядная геометрия», характеризующиеся возможностью средствами темы:
– формировать у пятиклассников умения логического, в том числе пользоваться методами доказательств и построения цепочки логически верных утверждений, и пространственного мышления;
– формировать функциональную математическую грамотность при изучении геометрической составляющей математики;
– организацией систематического, непрерывного формирования логического и пространственного мышления, функциональной математической грамотности.

220
2.5.6. Тематические практические работы при изучении темы
«Наглядная геометрия»
Изучение наглядной геометрии направлено в первую очередь на развитие образного мышления, пространственного воображения, формирование логического мышления. Большая роль в изучении темы отводится практической деятельности, опыту, эксперименту, моделированию.
Особенностью проведения проектно-исследовательской работы по обобщенной теме «Пространство и форма», ориентированной на развитие логики и пространственного мышления, является систематичность, т. е. возвращение к этой работе по мере изучения темы.
Примерной рабочей программой предусмотрено проведение тематических практических работ: «Построение узора из окружностей»; «Построение углов»;
«Построение прямоугольника с заданными сторонами на нелинованной бумаге»;
«Развертка куба». В рамках этих работ обучающиеся знакомятся с геометрическими фигурами на плоскости и в пространстве, с их простейшими конфигурациями, учатся изображать их на нелинованной и клетчатой бумаге, рассматривают их простейшие свойства, моделируют фигуры, используя различные материалы. Приведем примеры практических работ.
РАБОТА 1.
Построение узора из окружностей
Место в изучении темы: раздел «Линии на плоскости».
Цель работы: формирование навыков построения окружности; применение свойств окружности; выстраивание алгоритма действий по построению узора; формирование творческого воображения.
Задачи:
1) формировать умение выявления проявления окружности как общей модели в объектах окружающей природы и быта людей;
2) формировать умение группировки объектов на основе выявления общих свойств у геометрических фигур;

221 3) сформировать умения выявления окружности как элемента геометрического рисунка;
4) научить изображать окружности с помощью переноса основных конструктивных элементов;
5) построить узоры из окружностей от руки, используя циркуль или программу GeoGebra, и составить предписания построения некоторых узоров;
6) составить предписание для построения окружности от руки на клетчатой бумаге радиусом 5 единиц измерения.
Задание 1. Рассмотрите рисунки. Чем похожи реальные объекты окружающей природы, быта людей или их элементы на их изображения на плоскости? Какая геометрическая фигура объединяет все рисунки?

222
Задание 2. Вспомните, какие линии, геометрические фигуры вы знаете.
Рассмотрите геометрические фигуры на плоскости, изображённые на рисунке.
Найдите общие свойства у нескольких фигур.
1) Распределите фигуры, ориентируясь на это свойство на группы.
2) Распределите фигуры на две группы.
Кривая
Ломаная
Прямая
Луч
Отрезок
Окружность
Рекомендации для учителя. При выполнении п. 2 задания учащиеся самостоятельно предлагают две группы для распределения фигур, например: замкнутая и незамкнутая линия или первая группа – прямая и фигура, состоящая из частей прямой, а вторая – кривая линия и окружность. Учитель акцентирует внимание учеников на окружности.
Задание 3. Рассмотрите фигуры, изображённые на рисунке. Выделите окружности как элемент геометрического рисунка.
Рекомендации для учителя. Учитель предлагает рисунки, которые состоят из одних окружностей, или орнаменты, в которых окружности являются конструктивными элементами. Обучающиеся выделяют окружности и их элементы на узоре мысленно или цветом. б
) д
) е
) в
) г
) а
) к
) и
) н
) з
) ж
) о
) п
) м
) л р
)

223
На выбор учащимся можно предложить: самые простые узоры или более сложные; на клетчатой бумаге или на нелинованной; состоящие только из окружностей или включающие и части окружности; содержащие только окружности или и другие фигуры, например, квадрат, отрезки и т. п.; цветные или черно-белые. Ниже приведены примеры разнообразных узоров различных по сложности воспроизведения.
Рис. 28
Учащимся можно предложить самостоятельно воспроизвести заданный узор, можно «оставить» на рисунке некоторые подсказки, которые помогут