Файл: Основы теории надежности.pdf

при поиске предельных распределений достаточно изучать только пре- дельное поведение максимума, т. е. величины V
n
Для нахождения предельных выражений Крамер (1946) предложил следующий подход. Введем величину
Z
n
= n (1 − F
T
(V
n
)),
(3.45)
где V
n определено, как в (3.43). Тогда для z ≥ 0 имеем
P Z
n
< z
= P
h
F
T
(V
n
) > 1 −
z n
i
=
= P
h
V
n
≥ F
−1
T

1 −
z n
i
= 1 − F
V
n h
F
−1
T

1 −
z n
i
=
= 1 −
h
F
T

F
−1
T

1 −
z n
i n
=
= 1 −

1 −
z n

n
(3.46)
Следовательно, при n → ∞
F
Z
n
(z) = P Z
n
< z
= 1 −

1 −
z n

n
−→ 1 − e
−z
,
(3.47)
это означает, что последовательность случайных величин Z
n сходится по распределению к случайной величине Z ∼ Exp(1), т. е. к экспоненциаль- ной с параметром λ = 1. Так как в силу (3.45) V
n
= F
−1
T
1 −
Z
n n
, мы получаем, что
V
n d
−→ F
−1
T

1 −
Z
n

,
(3.48)
где d
−→ обозначает сходимость по распределению.
Чтобы найти предельное поведение распределения минимума, рассуж- даем аналогично. Введем величину
Y
n
= n F
T
(U
n
),
(3.49)
где U
n определено, как в (3.43). Тогда для y ≥ 0 имеем
P Y
n
< y
= P
h
F
T
(U
n
) <
y n
i
=
= P
h
U
n
< F
−1
T

y n
i
= F
U
n h
F
−1
T

y n
i
=
= 1 −
h
1 − F
T

F
−1
T

y n
i n
=
= 1 −

1 −
y n

n
,
(3.50)
43

и, следовательно, при n → ∞
F
Y
n
(y) = P Y
n
< y
= 1 −

1 −
y n

n
−→ 1 − e
−y
,
(3.51)
это означает, что последовательность распределений случайных величин
Y
n также сходится к стандартному экспоненциальному распределению.
Так как в силу (3.49) U
n
= F
−1
T
Y
n n
, мы получаем, что
U
n d
−→ F
−1
T
Y
n

(3.52)
Таким образом, предельные распределения экстремальных значений получаются преобразованием стандартной экспоненциальной случайной величины с использованием функции F
−1
T
, обратной к исходной функции распределения F
T
случайных величин T
i
Исходя из приведенных вычислений мы могли бы ожидать, что пре- дельные распределения U
n и V
n
(минимума и максимума) будут зависеть от типа распределения F
T
. Однако оказывается, что это не так.
Имея в виду формулу (3.44), будем говорить только о распределении максимума, т. е. V
n
= T
(n)
. Оказывается, что предельное распределение
T
(n)
может, вообще говоря, не существовать, даже после соответствую- щей нормировки. Однако если функция F
T
такова, что такое предельное распределение существует, то это предельное распределение должно от- носиться к одному из трех типов.
Тип 1. Распределение Фреше (α > 0, ϑ > 0):
G
1
(t) =
(0,
если t ≤ t
0
,
exp h
−
t−t
0
ϑ

−α
i
,
если t > t
0
(3.53)
Тип 2. Распределение Вейбулла (α > 0, ϑ > 0):
G
2
(t) =
(
exp
− −
t−t
0
ϑ

α
,
если t ≤ t
0
,
1,
если t > t
0
(3.54)
Тип 3. Распределение Гумбеля (ϑ > 0):
G
3
(t) = exp

−exp

−
t − t
0
ϑ

,
−∞ < t < ∞.
(3.55)
Гнеденко (1943) получил необходимые и достаточные условия принад- лежности распределения F
T
(t) к «области притяжения» каждого из при- веденных выше предельных законов. Приведем эти условия.
44

Утверждение 3.1 Предельное распределение нормированной величины
T
(n)
(максимума) существует и принадлежит типу 1 тогда и только тогда, когда lim t→∞
1 − F
T
(t)
1 − F
T
(kt)
= k
α
для любого k > 0.
Утверждение 3.2 Предельное распределение нормированной величины
T
(n)
(максимума) существует и принадлежит типу 2 тогда и только тогда, когда:
a) существует τ
0
такое, что
F
T
(τ
0
) = 1,
F
T
(τ
0
− ε) < 1
для любого
ε > 0;
b)
lim t→−0 1 − F
T
(kt + τ
0
)
1 − F
T
(t + τ
0
)
= k
α
для любого k > 0.
Что касается условий сходимости к предельному распределению ти- па 3, то вместо довольно сложно выглядящих необходимых и достаточных условий Гнеденко мы сформулируем достаточные условия Мизеса (1936),
при выполнении которых распределение должным образом нормирован- ной величины T
(n)
(максимума) сходится к предельному распределению типа 3.
Утверждение 3.3 Пусть существует T
0
такое, что для t > T
0
функ- ция F
T
(t) дважды дифференцируема, F
T
(t) < 1 и lim t→∞
d dt
1 − F
T
(t)
f
T
(t)

= 0,
где f
T
(t) = F
0
T
(t).
Тогда соотношение lim n→∞
P (T
(n)
− l n
) n f
T
(l n
) ≤ t
= e
−e
−t выполняется равномерно по t ∈ (−∞, ∞), где l
n
= F
−1
T

1 −
1
n

Пример 3.2 [37]. Рассмотрим стальную трубу с толщиной стенки D, кото- рая подвержена коррозии. Предположим, что первоначально поверхность имеет определенное количество n микроскопических ямок. Яма имеет глу- бину D
i
, для i = 1, 2, . . . n. Из-за коррозии глубина каждой ямки будет со
45

временем увеличиваться. Отказ трубы происходит, когда первая из ям пронзает поверхность, т. е. когда max(D
1
, D
2
, . . . , D
n
) = ϑ.
Обозначим через T
i момент времени, в который происходит проникно- вение внутрь на величину ϑ для i-й ямы, i = 1, 2, . . . , n. Тогда время до отказа трубы
T = min(T
1
, T
2
, . . . , T
n
).
Предположим, что время проникновения T
i пропорционально остав- шейся толщины стенки, т. е. T
i
= k · (ϑ − D
i
). Далее будем предполагать,
что k не зависит от времени, это означает, что скорость коррозии посто- янна.
Далее предположим, что случайные величины глубины ям D
1
, . . . , D
n независимы и имеют одинаковое усеченное справа величиной ϑ экспонен- циальное распределение. Тогда функция распределения величины D
i
F
D
i
(d) = P D
i
< d
D
i
< ϑ
=
P D
i
< d

P D
i
< ϑ
=
=
1 − e
−λd
1 − e
−λϑ
,
где 0 ≤ d ≤ ϑ.
Тогда функция распределения времени T
i до «пробоя» i-й ямы имеет вид
F
T
i
(t) = P T
i
< t
= P k · (ϑ − D
i
) < t
= P D
i
≥ ϑ −
t k
=
= 1 − F
D
i

ϑ −
t k

=
e
λt/k
− 1
e
λϑ
− 1
,
где 0 ≤ t ≤ kϑ.
Функция надежности R(t) этого объекта
R(t) = P T ≥ t
= [1 − F
T
1
(t)]
n
,
где t ≥ 0.
Если мы предположим, что число первоначальных дефектов n очень большое, то при n → ∞ мы получаем
R(t) = [1 − F
T
i
(t)]
n
≈ e
−nF
T1
(t)
,
t ≥ 0,
где аппроксимация, конечно, правомерна для t, при которых F
T
1
(t) доста- точно мало. Используя (3.8), получаем
R(t) ≈ e
−n eλt/k −1
eλϑ−1
,
t ≥ 0.
Введем новые параметры β = n/(e
λϑ
−1) и % = λ/k. Тогда мы получаем
R(t) ≈ e
−β(e
% t
−1)
,
t ≥ 0,
46

что соответствует усеченному слева нулем распределению типа Гумбеля.
Таким образом, время до отказа, вызванного точечной коррозией, имеет приблизительно усеченное распределение типа Гумбеля для минимума.
ЗАДАЧИ
3.1. Устройство с временем наработки до отказа T имеет постоянную ин- тенсивность отказов υ(t) = λ = 2, 5 10
−5
ч
−1
. Требуется:
1) определить вероятность того, что устройство не откажет в течение двух месяцев;
2) найти среднее время до отказа T
ср.
устройства;
3) найти вероятность того, что устройство проработает безотказно дольше, чем T
ср.
3.2. Известно, что машина с постоянной интенсивностью отказов λ про- работает 100 ч без поломок с вероятностью 0, 50. Найдите:
1) интенсивность отказов λ;
2) вероятность того, что машина проработает 500 ч без сбоев;
3) вероятность того, что машина выйдет из строя в течение 1000 ч, если известно, что 500 ч она проработала безотказно.
3.3. Предполагается, что предохранительный клапан имеет постоянную интенсивность отказов в отношении всех типов отказов. Исследование по- казало, что общее среднее время наработки до отказа T
ср.
клапана со- ставляет 2 450 дней. Предохранительный клапан работает непрерывно, и предполагается, что отказы разного типа происходят независимо друг от друга. Найдите:
1) общую интенсивность отказов λ предохранительного клапана;
2) вероятность того, что предохранительный клапан проработает без каких-либо сбоев в течение трех месяцев.
Если из всех отказов 45 % считаются критическими видами отказов, то каким будет среднее время наработки до критического отказа, T
ср.кр.
3.4. Время до отказа T имеет экспоненциальное распределение с интен- сивностью отказов λ. Докажите, что
E T
k
=
k!
λ
k
3.5. Пусть T
1
– время до отказа элемента и T
2
– время до отказа второго элемента, который заменяет первый в случае его отказа. Предположим,
что интенсивности отказов элементов равны λ
1
и λ
2
, причем λ
1 6= λ
2 47

1. Докажите, что функция надежности устройства с временем жизни
T = T
1
+ T
2
равна
R(t) = P T ≥ t
=
1
λ
2
− λ
1
λ
2
e
−λ
1
t
− λ
1
e
−λ
2
t
.
2. Найдите соответствующую функцию интенсивности отказов υ(t) и постройте ее примерный график для двух конкретных значений λ
1
и λ
2 3.6. Объект с временем наработки до отказа T имеет функцию интенсив- ности отказов υ(t) = k t (k > 0) для t ≥ 0. Определите:
1) вероятность того, что объект не откажет в течение 200 часов, когда k = 2, 0 · 10
−6
ч
−2
;
2) среднее время наработки до отказа T
ср.
объекта, когда k = 2, 0·
·10
−6
ч
−2
;
3) вероятность того, что объект, который функционирует безотказно 200 ч,
все еще будет функционировать через 400 ч, когда k = 2, 0 · 10
−6
ч
−2
;

3.10. Рассмотрите устройство из примера 2.1 с функцией надежности
R(t) =
1
(0, 2t + 1)
2
,
t ≥ 0,
где время t измеряется в месяцах.
1. Найдите средний остаточный срок службы T
ср. ост.
(t) устройства в возрасте t = 3 месяца.
2. Постройте график T
ср. ост.
(t) в зависимости от возраста t.
3.11. Предполагается, что время до отказа T устройства имеет распреде- ление Вейбулла с параметрами масштаба λ = 5, 0 10
−5
(час.)
−1
и формы
α = 1, 5. Вычислите среднее время наработки до отказа T
ср.
и диспер- сию D(T ).
3.12. Пусть T ∼ W eibull(α, λ). Докажите, что случайная величина (λ T )
α
имеет экспоненциальное распределение с параметром λ = 1.
3.13. Пусть T ∼ W eibull(α, λ). Докажите, что
E(T
k
) =
1
λ
k
Γ
k
α
+ 1

3.14. Функция интенсивности отказов объекта υ(t) = t
−1/2
. Вычислите:
1) функцию плотности вероятности f (t);
2) функцию надежности R(t);
3) среднее время до отказа T
ср.
;
4) дисперсию времени до отказа D(T ).
3.15. Пусть υ(t) обозначает функцию интенсивности отказов логнормаль- ного распределения. Докажите, что υ(0) = 0, что υ(t) возрастает до мак- симума, а затем убывает υ(t) → 0, когда t → ∞.
3.16. Пусть T имеет логнормальное распределение с векторным парамет- ром (µ, σ
2
). Докажите, что 1/T имеет логнормальное распределение с па- раметром (−µ, σ
2
).
3.17. Время наработки до отказа T объекта считается равномерно рас- пределенным на [a, b), т. е. плотность распределения f (t) = 1/(b − a) при t ∈ [a, b) и равна 0 при t /
∈ [a, b). Выведите соответствующую функцию на- дежности R(t) и функцию интенсивности отказов υ(t). Постройте график функции υ(t) на интервале [a, b).
49

Глава 4
Анализ надежности структурных схем
Обычно реальные технические системы состоят из многих подсистем и элементов, которые связаны между собой определенным образом. Мы бу- дем использовать термин «функциональный блок» для обозначения ком- понента системы, будь то элемент или большая подсистема. Одним из наиболее удобных компактных способов представления различных моде- лей систем с резервированием являются блок-схемы надежности.
4.1
Блок-схемы надежности и функции структур
В этой главе мы будем использовать для представления структуры си- стем так называемые блок-схемы надежности (б.с.н.), в которых отраже- ны логические связи между функциональными блоками системы, необхо- димыми для выполнения системой ее функций. Если система имеет более чем одну функцию, то для каждой функции должна быть разработана отдельная блок-схема, являющаяся частью общей б.с.н. системы.
Замечание 4.1. Следует сразу отметить, что описание и анализ надеж- ности систем с использованием блок-схем подходит для систем с не подле- жащими ремонту элементами, в которых порядок возникновения отказов не имеет значения. Если системы ремонтопригодны и/или порядок воз- никновения отказов важен, то для такой системы более подходящим яв- ляется описание с использованием цепей Маркова, о которых речь пойдет в главе 6.
4.1.1. Функция структуры. Здесь мы рассматриваем ситуации, когда достаточно различать два состояния: состояние нормальной работы и со- стояние отказа. Это относится как к любому из элементов, так и ко всей системе. Систему, состоящую из n компонент (элементов), будем называть системой n-го порядка. Мы будем предполагать, что компоненты системы пронумерованы последовательно от 1 до n.
50

Состояние элемента i (i = 1, 2, . . . , n) может быть описано бинарной переменной x
i
=
(
1,
если элемент работает нормально;
0,
если элемент в состоянии отказа.
Вектор x = (x
1
, x
2
, . . . , x n
) называется вектором состояния системы.
Предполагается, что если мы знаем состояния всех n элементов, то знаем и состояние системы: работоспособна она или нет. В этом случае состояние системы также может быть описано бинарной функцией
φ(x) = φ(x
1
, x
2
, . . . , x n
),
где
φ(x) =
(
1,
если система функционирует;
0,
если система в состоянии отказа.
(4.1)
Функция φ(x) называется функцией структуры системы или просто структурой. В дальнейшем мы будем часто говорить о структурах вместо систем.
Рассмотрим примеры технических систем n-го порядка с различными простейшими структурными схемами.
4.1.2. Последовательная структура.
Определение 4.1. Система, которая функционирует тогда и толь- ко тогда, когда функционируют все n ее элементов, называется последовательной структурой.
Соответствующая структурная схема надежности показана на рис. 4.1.
На схеме необходимость функционирования каждого из элементов для ра- боты всей системы обозначается наличием связи между конечными точ- ками a и b. Система функционирует, если и только если не нарушается связь всех n блоков, представляющих компоненты.
Рис. 4.1. Диаграмма надежности последовательной структуры
Функция структуры такой системы
φ(x) = x
1
· x
2
· · · x n
=
n
Y
i=1
x i
(4.2)
51