Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf

140
Силы, действующие на материальную точку в потенциальном поле, называются потенциальными. К ним относятся силы тяжести, линейная сила упругости, силы тяготения и т. д. Силы сопротивления и, в частности, силы сухого трения потенциальными не являются. Конкретное значение потенциальной энергии для перечисленных выше сил определено с точностью до некоторой произвольной постоянной. С физической точки зрения важна не сама потенциальная энергия точки, а лишь разность потенциальных энергий, через которую и выражается работа силы. Поэтому нулевое значение потенциальной энергии можно выбрать в произвольной точке пространства. Так, например, потенциальную энергию тела массы m в поле тяготения Земли у ее поверхности Земли обычно описывают формулой:
(357)
где
g= 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а координата z = h, направленная вертикально вверх, соответствует высоте положения тела над поверхностью Земли.
При этом нуль потенциальной энергии находится на поверхности
Земли. Формула (357) применяется лишь для небольших высот, много меньших радиуса Земли (h « R3 ≈ 6370 км). На больших высотах следует учитывать неоднородность поля Земного тяготения и вычислять потенциальную энергия по формуле:
(358)
где
G = 6, 67259 (85)·10-11 м3/(кг·с2) - постоянная Всемирного тяготения;
M3- масса Земли;
- расстояние от точки наблюдения до центра Земли.

141
Формулы (357) и (358) описывают одно и то же силовое поле и один и тот же вид потенциальной энергии с той лишь разницей, что нуль потенциальной энергии U2 (x,y,z) находится в бесконечно удаленной точке от центра Земли, где то на краю Солнечной системы. Потенциальная энергия
U1 (x,y,z) может быть получена из (358), поскольку является вторым членом в разложении потенциальной энергии U2 (x,y,z) при высотах h / R3 « 1.
(359)
Первое слагаемое в (359) соответствует просто переопределению точки с нулевой потенциальной энергией, второе слагаемое в точности совпадает с потенциальной энергией U1 (x,y,z), а последнее третьей слагаемое из бесконечного ряда (359) описывает малые поправки к известной формуле для потенциальной энергии (357) в однородном поле тяжести, которые возникают на больших высотах.
Потенциальная энергия.
Потенциальная энергия вводится для специального типа силовых полей, которые удовлетворяют условию консервативности.
С математической точки зрения условие консервативности векторного силового поля может быть записано в виде соотношения:
(360)
Операция вычисления ротора от векторного поля записывается в виде векторного произведения оператора набла (355) на вектор силы и может быть выражена в виде определителя третьего порядка:
(361)
Равенство нулю ротора векторного силового поля означает, что смешанные частные производные вектора силы по декартовым координатам
x,y,z равны между собой, поэтому вектор силы может быть записан в виде градиента от некоторого скалярного поля U (x, y, z), которое получило называние потенциальной энергии.

142
(362)
(363)
.
(364)
Наиболее известные виды потенциальной энергии, которые встречаются в физике следующие.
Гравитационная энергия притяжения массивных тел,
(365)
где
m1 , m2 - массы тел (материальных точек);
r– расстояние между ними.
Электростатическая энергия притяжения или отталкивания точечных зарядов,
,
(366)
где
q1, q2 – заряды с учетом их знака;
r– расстояние между ними;
(Ф./м)
- универсальная электрическая постоянная.

143
Энергия упругой деформации пружины или других твердых тел,
(367)
где
x - где расстояние, на которое деформирована пружина;
k - так называемый коэффициент жесткости пружины, зависящий от материала, из которого она изготовлена и ее геометрических размеров.
Рис. 74. Потенциальная энергия упругой деформации пружины под
действием упругой силы, подчиняющейся закону Гука: F= kx
Теорема об изменении кинетической энергии системы.
Рассмотрим систему из N материальных точек, в которой действуют внешние и внутренние силы. Запишем для каждой из точек, входящей в систему второй закон динамики Ньютона:
(368)
Умножаем скалярно каждое из этих уравнений на элементарное перемещение соответствующей точки и складываем полученные уравнения.
.
(369)

144
Левая часть формулы (369) может быть записана как изменение суммарной кинетической энергии системы (338):
.
(370)
Правая часть формулы (369) представляет собой сумму элементарных работ внешних и внутренних сил системы (348) при бесконечно малых перемещениях материальных точек, входящих в ее состав. Таким образом, приходим к первому утверждению, что дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.
(371)
Если механическая система является неизменной или состоит из твердых тел, соединенных идеальными связями, то сумма работ внутренних сил равна нулю и изменение кинетической энергии системы тел определяется только работой внешних сил.
.
(372)
Проинтегрируем левую и правую части уравнения (372) по времени от некоторого начального состояния системы до конечного и получаем вторую формулировку теоремы об изменении кинетической энергии. Приращение кинетической энергии системы тел при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.
.
(373)

145
Сравнивая теоремы об изменении кинетической энергии системы с аналогичными теоремами об изменении импульса (240) и кинетического момента системы (249), отмечаем, что в общем случае в теорему об изменении кинетической энергии входят внутренние силы. Таким образом, за счет внутренних сил нельзя изменить ни количество движения системы, ни ее кинетический момент, но можно изменить ее кинетическую энергию.
Закон сохранения и изменения механической энергии системы.
Рассмотрим систему материальных точек, все внутренние силы которой являются потенциальными и удовлетворяют условию консервативности (360). В этом случае работы внутренних сил системы можно выразить через изменения потенциальной энергии отдельных тел:
.
(374)
Введем в рассмотрение понятие потенциальной энергии системы материальных точек, которая равна сумме потенциальных энергий всех тел, входящих в ее состав:
.
(375)
Тогда изменениемеханической энергии системы тел, равной сумме кинетической и потенциальной энергий
.
(376)
будет равно сумме работ всех внешних сил, действующих на систему.
.
(377)
Таким образом, дифференциал механической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних, действующих на систему.
Интегрируем это соотношение за конечный промежуток времени и получаем теорему об изменении механической энергии системы тел:
.
(378)

146
Приращение механической энергии системы тел при изменении ее состояния равно сумме работ всех внешних сил, действующих на систему. В частности, если система тел являются замкнутой, т.е. на не действуют внешние силы, то тогда выполняется закон сохранения механической
энергии такой системы.
(379)
Механическая энергия системы замкнутых тел является неизменной величиной, сохраняющей свое первоначальное значение, при любых взаимодействиях между телами входящих в эту систему с внутренними потенциальными силами.

147
Раздел 8. Механика Лагранжа
Аналитическая механика.
Раздел, называемый аналитической механикой, посвящен изучению движения связных механических систем. Так как в этом случае законов
Ньютона недостаточно для описания движения, то раздел опирается на дополнительный постулат «идеальности связей». Таким образом, этот раздел по сравнению с Ньютоновской механикой является дальнейшим шагом в общей задаче изучения механических движений. Этот раздел имеет, в основном, дело со скалярными уравнениями, которые представляют собой те или иные проекции (или комбинации их) основного динамического уравнения движения точки. Составление основных уравнений связано с систематическим дифференцированием. Метод этого раздела определяет его название.
Рассмотрим общую динамическую задачу о движении связных механических систем. Пусть система состоит из N материальных точек, массы которых ml m2, … mN , и на нее действуют заданные, так называемые, активные силы, равнодействующие которых, приложенные к точкам системы, назовем соответственно:
Уравнения движения точек системы под действием этих сил запишем в виде:
.
(380)
Пусть на систему наложено M геометрических удерживающих связей, уравнения которых представим в виде:
,
(381)
где функции зависят только координат точек и времени. Связи такого типа называют голономными или интегрируемыми связями. Они накладывают ограничения не только на положение, но и на скорости и ускорения точек системы. Действительно, дифференцируя (381) по времени, получим ограничение, налагаемое голономной связью на скорости:
(382)

148 где введен дифференциальный оператор
.
(383)
Продифференцируем (383) по времени и найдем ограничения на ускорения точек:
(384)
однако характерным для голономных связей является то, что ограничения на ускорения и скорости сводятся к ограничению только на положения точек; иначе говоря, уравнения связей, заданные в виде (383) или
(384), могут быть проинтегрированы.
Неголономными или неинтегрируемыми связями называются такие связи, уравнения которых нельзя свести к уравнениям вида (381), содержащим только координаты точек и время. Если уравнение связи явно не зависит от времени, то такая связь называется стационарной. В противном случае связь называется нестационарной.
Ускорения, определенные из уравнений (380), в общем случае не будут удовлетворять соотношениям (381). Следовательно, если на систему наложены связи, то ее ускорения будут отличны от ускорений, определенных из уравнений Ньютона (380). Это значит, что воздействие связи сказывается в возникновении добавочной силы, изменяющей вектор ускорения. Эта добавочная сила называется реакцией связи и для каждой точки системы обозначается
. Представление воздействия связей на механическую систему в виде сил согласуется с суждениями о том, что источником сил служат материальные тела, так как связи всегда реализуются с помощью некоторой системы материальных тел. Уравнения движения точек под действием активных сил и реакций связей запишутся в виде:
.
(385)

149
Реакции связи принципиально отличаются от активных сил , так как в последних уравнениях являются заданными, а
, неизвестны. Реакции связей из уравнений (385) могут быть определены, если известны ускорения, с которыми двигаются точки системы. Но в динамических задачах движение, а следовательно, и ускорения неизвестны. Дополнительными уравнениями для определения будут уравнения (384), в которых можно заменить, определив их из уравнений (385).
Так как уравнения (385) векторные, то число соответствующих скалярных уравнений будет 3N и вместе с системой уравнений (381) имеем
3N+M уравнений. Число же неизвестных проекций ускорений и проекций сил реакций будет 6N. Число уравнений связи M всегда меньше
3N, следовательно, задача об определении движения несвободной системы является неопределенной, ибо число уравнений меньше числа неизвестных.
Для того чтобы можно было решить подобную задачу, необходимо принять дополнительные физические допущения относительно свойств материальных связей. Такое допущение в механике принимается в виде введения понятия так называемых идеальных связей.
Действительные, возможные и виртуальные перемещения.
Понятие идеальных связей тесно связано с представлением о возможных и виртуальных перемещениях системы. Связи, действующие на механическую систему, накладывают ограничения на бесконечно малые перемещения точек системы. Действительно, пусть точка системы с радиус- вектором имеет скорость
, тогда за бесконечно малый промежуток времени Δt точка совершит бесконечно малое перемещение
, равное:
Если на систему действуют M удерживающих геометрических связей
(381), то скорости точек системы связаны соотношениями (382). Тогда перемещения точек будут связаны следующими соотношениями:
.
(386)

150
Всякие бесконечно малые перемещения точек системы с M геометрическими связями, удовлетворяющие последним равенствам (386), носят название возможных перемещений системы. Таким образом,
возможным
перемещением называется перемещение точки, удовлетворяющее только уравнению связи. Перемещения, которые совершают точки системы за бесконечно малый промежуток времени при ее действительном движении в пространстве, происходящие под действием приложенных сил, называются действительными перемещениями и они являются одними из возможных перемещений системы.
Виртуальным перемещением называется воображаемое бесконечно малое перемещение точки, допускаемое связью в фиксированный момент времени. Из соотношений (386) следует, что виртуальные перемещения удовлетворяют соотношениям:
(387)
Виртуальные перемещения не происходят под действием сил и не обладают длительностью. Соотношения (387) представляют собой уравнения, которым удовлетворяют возможные перемещения, когда связи стационарны. Поэтому виртуальные перемещения можно определить как возможные перемещения системы по застывшей в данный момент связи. Для стационарных связей понятие возможных и виртуальных перемещений будут идентичны. Так как виртуальные перемещения для данного момента подсчитываются в предположении, что связь застыла, то действительное перемещение не будет одним из виртуальных перемещений.
Виртуальные перемещения получаются в результате того, что радиусам-векторам, определяющим точки системы
, даются приращения не зависящие от времени и удовлетворяющие определенным соотношениям (387). Эти приращения, следовательно, изменяют функции , не за счет изменения аргумента t, а за счет изменения вида самой функции. В силу этого виртуальное перемещение носит название вариации функции , в отличие от дифференциала функции
, который представляет собой приращение функции в результате изменения аргумента t. Проекции виртуального перемещения на оси координат, которые будем обозначать
, называются вариациями координат.

151
Если система, состоящая из N точек, свободна, то она имеет 3N произвольных вариаций координат
Если на систему наложено M геометрических связей, то вариации координат связаны соотношениями вида:
.
(388)
Следовательно, для связных систем только 3N–M вариаций координат можно выбирать произвольно, остальные же вычисляются из соотношений
(388).
Число независимых вариаций координат s называется числом степеней свободы системы, и оно равно:
(389)
Идеальные связи.
Идеальными удерживающими связями называются такие связи, для которых сумма элементарных работ реакций связи на любом виртуальном перемещении равна нулю.
Обозначая реакцию связей, действующую на k-ую точку системы, через
, и предполагая, что число точек, составляющих систему, равно N, условие идеальности связей запишем в виде:
(390)
Идеальные связи являются понятием абстрактным, однако истоки его лежат в реальных связях. Например, если на точки системы наложена удерживающая связь, осуществляемая в виде поверхности без трения
(идеально гладкая поверхность), то такая связь не препятствует перемещению точек вдоль ее поверхности. Следовательно, реакции связи будут направлены по нормали к поверхности. Так как виртуальные перемещения точек системы направлены вдоль касательных к поверхности, то в силу ортогональности и будет выполняться равенство (390) или связь будет идеальной. Заметим, что хорошо полированные поверхности, покрытые смазочным маслом и т. д., с большой степенью точности могут быть приняты за идеально гладкие поверхности.