Файл: Учебные материалы по дисциплине Теоретическая механика.pdf

73
.
(177)
Динамика несвободной материальной точки.
Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена. Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями. Пусть связь представляет собой поверхность какого-либо тела, по которой движется точка. Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности, которое называется уравнением связи.
.
(178)
Если точка вынуждена двигаться по некоторой линии, то уравнениями связи являются уравнения этой лини.
(179)
Таким образом, движение несвободной материальной точки зависит не только от приложенных к ней активных сил и начальных условий, но так же от имеющихся связей. При этом значения начальных параметров должны удовлетворять уравнениям связей. Связи бывают двухсторонние или удерживающие и односторонние или неудерживающие.
Связь называется двухсторонней или удерживающей, если, накладываемые ограничения на координаты точки выражаются в форме равенств, определяющих кривые или поверхности в пространстве на которых должна находится точка.
Рис. 44. Пример двухсторонней связи. Материальная точка подвешена на
жестком стержне длины l. Уравнение связи имеет вид: x2 + y2+ z2 = l2

74
Связь называется односторонней или неудерживающей, если, накладываемые ограничения на координаты точки выражаются в форме неравенств. Односторонняя связь препятствует перемещению точки лишь в одном направлении и допускает ее перемещение в других направлениях.
Рис. 45. Пример односторонней связи. Материальная точка подвешена на
жестком стержне длины l. Уравнение связи имеет вид: x2 + y2+ z2 ≤ l2
Принцип освобождения от связей.
Силы, с которыми связи действуют на рассматриваемое тело, называются реакциями связей. Если считать силу, с которой тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием и приложена к телу. Эти силы, будучи равны по модулю и противоположны по направлению, не являются взаимно уравновешенными, так как они приложены к разным телам.
В отличие от всех остальных сил, действующих на механическую систему и называемых активными силами, силы реакции связей называются пассивными. Модуль и направление каждой активной силы не зависит от других сил, приложенных к системе (например, силы тяжести и др.), модули же и направления реакций связей зависят от совокупности действующих на систему сил, а также и от движения системы.
Силы реакции связей обозначаются обычно символом они входят в основное уравнение динамики (122) вместе с обычными активными силами.
.
(180)

75
Важнейшей особенностью задач механики состоит в том, что учет связей при несвободном движении материальной точки может быть сделан на основе принципа освобождаемости связей. Суть этого принципа заключается в том, что, не нарушая закона движения материальной точки, можно отбросить отдельные связи и приложить вместо них соответствующие этим связям силы реакции. В проекциях на оси декартовой системы координат это будет выглядеть так:
(181)
(182)
(183)
Смысл этого принципа заключается в том, что отбрасывание связи увеличивает число степеней свободы системы, т. е. изменяется кинематика системы, в то время как динамическая картина движения остается неизменной.
Кинематика и динамика сложного движения точки.
Во многих задачах теоретической механики приходится рассматривать движение точки относительно двух (и более) систем отсчета, перемещающихся относительно друг друга. В простейшем случае такое сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти виды движений.
Рассмотрим две системы отсчета. Одну систему отсчета OXYZ примем за основную и неподвижную (инерциальную систему S). Вторая система отсчета O1X1Y1Z1 будет двигаться как-то относительно первой и в общем случае будет неинерциальной системой отсчета (система S1). Движение точки относительно подвижной системы отсчета O1X1Y1Z1 называется
относительным. Характеристики этого движения, такие как, траектория, скорость и ускорение, называются относительными. Их обозначают индексом r. Движение точки относительно основной неподвижной системы отсчета OXYZ называется абсолютным (или сложным). Траектория, скорость и ускорение этого движения называются абсолютными. Их обозначают без индекса.

76
Переносным движением точки называется такое движение, которое она совершает вместе с подвижной системой отсчета, как точка некоторого абсолютно твердого тела, жестко скрепленного с этой системой в рассматриваемый момент времени. Вследствие относительного движения положение движущейся точки в различные моменты времени совпадают с различными точками твердого тела в системе S1. Переносной скоростью и переносным ускорением называются скорость и ускорение той точки абсолютно твердого тела в системе S1, в которой в данный момент находится движущаяся точка. Переносные скорость и ускорение обозначают индексом
e.
Если траектории всех точек тела в S1, скрепленного с подвижной системой отсчета, изобразить на рисунке, то получим семейство линий – семейство траекторий переносного движения точки М. Вследствие относительного движения точки М в каждый момент времени она находится на одной из траекторий переносного движения.
Одно и то же абсолютное движение, выбирая различные подвижные системы отсчета, можно считать состоящим из разных переносных и соответственно относительных движений.
Сложение скоростей.
Определим скорость абсолютного движения точки М, если известны скорости абсолютного и переносного движений этой точки.
Рис. 46. Закон сложения скоростей при относительном и переносном
движении точки

77
Рассмотрим малый промежуток времени Δt, за который точка М совершит относительное перемещение вдоль траектории AB, определяемое вектором
Сама кривая AB, двигаясь вместе с подвижными осями, перейдет за этот же промежуток времени в новое положение A1B1. Точка m кривой AB, совпадающая с точкой М в начальный момент времени, совершит переносное перемещение
В результате суммарное перемещение точки M равное можно записать в виде.
.
(184)
Разделим обе части равенства (184) на Δt и, переходя к пределу Δt → 0, получим закон сложения скоростей.
.
(185)
Скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.
Абсолютная и относительная производные.
При рассмотрении сложного движения точки необходимо рассматривать изменение векторных величин с течением времени по отношению к системам отсчета, движущимся друг относительно друга (см. рис. 47).
Рассмотрим произвольный вектор в двух системах отсчета: подвижной и неподвижной. В неподвижной системе отсчета только проекции вектора являются функциями времени, а в подвижной системе отсчета кроме этого, функциями времени являются и единичные вектора
(они не меняют своей длины, но изменяют свое направление в пространстве). Допустим, что в подвижной системе отсчета разложение вектора по ортам подвижного базиса имеет вид:
.
(186)

78
Рис. 47. Изменения произвольного вектора при сложном его описании
через подвижную систему отсчета
Введем следующие обозначения
- абсолютная производная – производная в неподвижной системе отсчета;
- относительная производная – производная в подвижной системе отсчета.
Установим взаимосвязь между абсолютной и относительной производными. Для этого продифференцируем по времени формулу (186).
Получаем:
.
(187)

79
Первые три слагаемых в формуле (187) описывают изменение вектора при как бы неизменных ортах
, поэтому они равны относительной производной вектора в подвижной системе:
(188)
Производные по времени от единичных векторов определим по формуле (103).
.
(189)
Вектор - это угловая скорость вращения подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Подставляем (189) в (188) и получаем
.
(190)
Формула (190) позволяет вычислять производные векторов в разных системах отсчета движущихся друг относительно друга.
Переносная скорость движения точки.
Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной можно охарактеризовать скоростью поступательного движения , например скоростью начала координат - точки О1, и вектором угловой скорости ее вращения. Переносную скорость движения произвольной точки M можно выразить через скорость поступательного движения начала координат подвижной системы и угловую скорость вращения. Рассмотрим произвольную точку M, заданную в неподвижной системе отсчета радиус- вектором а в подвижной системе радиус-вектором
. Положение точки О1 относительно подвижной системы отсчета будем описывать радиус-вектором
(см. рис. 48). Для любого момента времени при движении точки M и движении системы отсчета O1X1Y1Z1 выполняется тождество
(191)

80
Рис. 48. Связь радиус-векторов подвижной и неподвижной систем
отсчета
Продифференцируем формулу (191) по времени в неподвижной системе отсчета и получим:
(192)
В левой части (192) стоит абсолютная скорость точки M, т.е. скорость точки M, относительно неподвижной системы отсчета.
.
(193)
Первое слагаемое в правой части формулы (192) представляет собой абсолютную скорость точки O1.
(194)
Для вычисления второго слагаемого в правой части формулы (192) воспользуемся правилом (190). Получаем
(195)

81
Относительная производная
(196)
представляет собой скорость относительного движения точки M по отношению к как бы неподвижной системе отсчета O1X1Y1Z1, а - угловая скорость отвечает за вращение вращения подвижной системы отсчета. Таким образом, из (192)- (196) получаем
.
(197)
Сравнивая (197) и (185) находим формулу для переносной скорости точки:
(198)
Скорость точки абсолютно твердого тела, скрепленного с подвижной системой координат, в которой в данный момент находится точка при ее движении относительно системы S1, и есть переносная скорость точки
Сложение ускорений при переносном движении.
Определим ускорение абсолютного движения точки при произвольном движении системы отсчета S1. Имеет место кинематическая теорема
Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений - переносного, относительного и ускорения Кориолиса
.
(199)
Для доказательства данного утверждения вычислим абсолютное ускорение некоторой точки M, взяв производную по времени от обеих частей уравнения (197).
.
(200)
Первое слагаемое в формуле (200) – это просто абсолютное ускорение начала координат системы S1 – точки O1.

82
.
(201)
Производную от относительной скорости вычисляем по правилу
(191). Получаем:
(202)
где
,
(203)
- относительное ускорение точки в системе отсчета S1. Производная от угловой скорости равна угловому ускорению
(см. Глава 3). Производную от радиус-вектора вычисляем согласно (195)
Подставляя все промежуточные результаты в формулу (199) и получим для абсолютного ускорения выражение:
(204)
В этой формуле первые три слагаемых, см. (119), являются переносным ускорением для точки M
(205)

83
Последнее слагаемое в формуле (203) называется ускорением
Кориолиса, иногда его еще называют добавочным или поворотным ускорением:
.
(206)
Таким образом, суммарное абсолютное ускорение (199) действительно можно записать в виде суммы переносного ускорения (205), относительного ускорения (203) и ускорения Кориолиса (206), что и требовалось доказать.
Модуль ускорения Кориолиса равен удвоенному произведению угловой скорости переносного вращения на модуль проекции вектора относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения; Направление ускорения Кориолиса, можно получить если повернуть вектор проекции относительной скорости на плоскость вращения на угол 90° вокруг оси переносного вращения, в направлении этого вращения.
Рис. 49. Направление ускорения Кориолиса
Динамика относительного движения материальной точки.
Многие задачи динамики движение материальной точки оказывается гораздо проще рассматривать в системе отсчета S1, движущейся относительно инерциальной системы отсчета S по некоторой заданной траектории. Законы динамики Ньютона не выполняются в неинерциальных системах отсчета. Однако можно ввести некоторые фиктивные физические силы, называемые силами инерции, которые наряду с обычными силами, следует включить в уравнения динамики, чтобы описывать движения материальной точки в неинерциальной системе отсчета в рамках обычной ньютоновской механики. Получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в неинерциальной (подвижной) системе отсчета.

84
Рис. 50. Динамика движения в неинерциальной системе отсчета
Допустим, что уравнения движения материальной точки массой m, относительно неподвижной системы отсчета OXYZ (см. рис. 50) имеют вид:
(207)
где
- сумма активных сил, действующих на точку;
- сумма сил реакции связи.
Согласно теореме Кориолиса абсолютное ускорение точки можно записать в виде (199), тогда
(208)
Перепишем это дифференциальное уравнение следующим образом
.
(209)
Введем следующие обозначения для сил инерции:

- переносная сила инерции;

- кориолисова сила инерции.

85
С учетом этих обозначений мы получаем динамическую теорему
Кориолиса или уравнения относительного движения в неинерциальной системе S1.
.
(210)
Материальная точка движется относительно неинерциальной системы отсчета S1, так же как и в инерциальной системе S, с учетом кориолисовой и переносной сил инерции, которые следует добавить к приложенным активным силам и силам реакции связей.

86