Файл: 1. основные характеристики надежности рэс и радиокомпонентов характеристики надежности рэс.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.01.2024
Просмотров: 163
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
35
В связи с этим использовать l > 3 часто не имеет смысла, так как выиг- рыш в надежности при этом невелик, а габариты, масса и стоимость всей си- стемы растут линейно.
Естественно, если применить систему, в которой резерв включается только при отказе основной системы, то можно ожидать выигрыш в надеж- ности резервированной системы. При этом будем полагать, что функции плотности вероятности отказов для основной и резервной подсистем имеют вид, приведенный на рис. 2.2, а и б соответственно.
Рис. 2.2
Отметим, что до момента отказа основной системы
t
ресурс надеж- ности резервной подсистемы не расходуется и
0
,
2
t
f
при
t
. Вероят- ность безотказной работы рассматриваемой резервированной системы опре- деляется как композиция случайных событий:
)
,
(
)
(
)
(
)
(
2 1
1
t
P
t
Q
t
P
t
P
,
(2.12) где
t
dt
t
f
t
Q
0
)
(
)
(
;
t
dt
t
f
t
Q
t
P
)
(
)
(
1
)
(
Подставив в (2.12) соответствующие выражения для
)
(
1
t
f
и
)
(
2
t
f
функ- ций плотности распределения отказов основной и резервной подсистем при показательном законе распределения и проведя интегрирование, получим
t
t
t
d
dt
t
f
t
f
dt
t
f
t
P
0 2
1 1
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
d
dt
e
e
dt
e
0 1
2 1
2 2
1 1
2 1
2 1
1
(2.13)
В том случае, когда характеристики надежности основной и резервной систем одинаковы:
2 1
, вероятность безотказной работы резервиро-
f
1
(t)
t
0
τ
f
2
(t)
t
0
τ
а
б
36
ванной системы находится путем предельного перехода и раскрытия неопре- деленности в выражении (2.13):
t
e
t
t
P
)
1
(
)
(
lim
1 2
(2.14)
Естественно, что среднее время наработки до отказа резервированной системы
ср
T
с ненагруженным резервом возрастает в 2 раза, в то время как при нагруженном режиме в 1,5 раза (2.10):
ср
0 0
ср
2 2
1
T
dt
e
t
dt
t
P
T
t
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Среднее время безотказной работы системы, состоящей из основной подсистемы и l – 1 резервных подсистем с ненагруженным резервом, ср ср ср
T
l
T
T
i
, а вероятность безотказной работы определяется выраже- нием
1 0
!
l
i
t
i
i
e
t
t
P
На рис. 2.3 на основании выражений (2.9) и (2.14) приведены графики вероятности безотказной работы основной системы без резервирования
(кривая 1), с нагруженным (кривая 2) и ненагруженным дублированием (кри- вая 3). На рис. 2.4 на основании выражения (2.11) приведены графики отно- шения ср ср
T
T
для систем с нагруженным (кривая 1) и ненагруженным
(кривая 2) резервами в зависимости от кратности резервирования.
Мажоритарное резервирование.
Особое значение и специфику имеет надежность в цифровых информационных системах, где отказы и сбои в процессе наработки становятся очевидными не сразу, так как внешне кодо-
P
1 0,5 0
1 2
3
1
2
3
1 2
3 4
5
1
2
1 2
3 0
λt
l
ср ср
T
T
37
вые последовательности, содержащие ошибку, могут мало отличаться от без- ошибочной.
Кроме того, первоначальная ошибка вызывает нарушение структуры данных в памяти ЭВМ, появляется множество ошибок в промежуточных ре- зультатах, и чем больше времени проходит до обнаружения ошибки, тем больше возникает ошибочных данных и результатов, требующих восстанов- ления. В связи с этим эффективный контроль вычислительных операций по- зволяет практически устранить кратковременные отказы (сбои), вызванные в первую очередь электрическими и электромагнитными помехами, примене- нием, например, автоматического повторения операций.
Кроме аппаратных методов оперативного контроля широко применя- ются различные методы тестового контроля при помощи многочисленных тестовых последовательностей. Так, в методе контрольного тестирования вы- ходная последовательность тестируемого устройства сравнивается с выход- ной последовательностью, получаемой от эталонного, на вход которого по- дается аналогичный сигнал.
Рис. 2.5
Признаком неисправности тестируемого устройства является сигнал о несовпадении этих последовательностей. Однако при использовании данного метода необходимо обеспечить высокую надежность работы эталона в отно- шении отказов типа сбоев, кроме естественных периодических проверок, до- статочно сложных и трудоемких.
Решить такую задачу для цифровых устройств можно с помощью мажо- ритарного резервирования. При мажоритарном резервировании (рис. 2.5, а) входной сигнал X в виде двоичной последовательности подается на нечетное число устройств преобразования информации УПИ, с выходов которых сиг- налы поступают на вход решающего элемента РЭ.
0,5 1
УПИ
РЭ
а
1
i
n
X Y
y
1
y
i
y
n
0 1
2 t/T
cp
P
k
1
2
3
б
38
Решающий элемент должен выделить из группы выходных сигналов
n
i
y
y
y
y
,
,
,
,
,
2 1
, возможно, содержащих ошибку, безошибочный сигнал на основе определенного правила или функции решения. Наиболее простой и наиболее распространенный вид этой функции – закон большинства, или ма- жоритарный закон. При этом решающий элемент, реализующий данное пра- вило, называют мажоритарным элементом. Наибольшее распространение по- лучило мажоритарное резервирование, реализующее выполнение функции решения на основе правила «два из трех» или реже – «три из пяти». Опреде- лим вероятность безотказной работы системы с мажоритарным резервирова- нием
P , содержащей 3 одинаковых УПИ с вероятностью безотказной рабо- ты
)
(
)
(
)
(
)
(
3 2
1
t
P
t
P
t
P
t
P
(вероятностью отказа
)
(
1
)
(
t
P
t
q
) и решаю- щий элемент с вероятностью безотказной работы
)
(
РЭ
t
P
.Вероятность без- отказной работы
P определим на основе таблицы истинности (таблица), от- ражающей все возможные состояния УПИ, с помощью СДНФ (совершенной дизъюнктивной нормальной формы)
3 2
1
,
,
P
P
P
Y
. Примем, что состояния от- каза и работоспособности системы соответствуют символам 0 и 1 соответ- ственно, а надежность
1
)
(
РЭ
t
P
n P
1
(
t)
P
2
(
t)
P
3
(
t)
Y(p) n P
1
(
t)
P
2
(
t)
P
3
(
t)
Y(p)
0 1
2 3
0 0
0 0
0 0
1 1
0 1
0 1
0 0
0 1
4 5
6 7
1 1
1 1
0 0
1 1
0 1
0 1
0 1
1 1
Выбрав из таблицы только те строки, в которых
1
)
(
p
Y
i
, и взяв их сум- му (
i
i
i
q
P
P
1
), получим
t
P
t
P
t
P
t
P
t
P
t
P
P
P
P
Y
P
2 3
1 1
3 2
3 2
1 3
2
,
,
t
P
t
P
t
P
t
P
t
P
t
P
3 2
1 3
2 1
(2.15)
С учетом равенства показателей надежности УПИ выражение (2.15) представим в виде
)
(
2 3
)
(
2 3
2
t
P
t
P
P
(2.16)
Если решающий элемент не идеальный, а характеризуется вероятностью безотказной работы
1
)
(
РЭ
t
P
, то в соответствии с логической схемой надеж- ности выражение (2.16) запишется в виде
)
(
2 3
)
(
)
(
2 3
2
РЭ
t
P
t
P
t
P
P
(2.17)
39
Зависимость
)
(
3 2
t
P
иллюстрирует кривая 2 (рис. 2.5, б) для случая экспоненциального закона распределения отказов.
Как уже отмечалось, в практике иногда используются системы с мажо- ритарным резервированием с решающим правилом «три из пяти».
Составив таблицу истинности и соответствующую СДНФ, нетрудно по- лучить выражение для вероятности безотказной работы
)
(
5 3
t
P
и
1
)
(
РЭ
t
P
:
)
(
10
)
(
15
)
(
6
)
(
3 4
5 5
3
t
P
t
P
t
P
t
P
(2.18)
Зависимость
)
(
5 3
t
P
иллюстрирует кривая 3 на рис. 2.5, б.
Сравним такой показатель системы, как средняя наработка до отказа, для обоих случаев мажоритарного резервирования и экспоненциального за- кона распределения:
0
cp
0 3
2 3
2 3
2
cp
6 5
6 5
2 3
T
dt
e
e
dt
t
P
T
t
t
,
(2.19)
0
cp
0 3
4 5
5 3
5 3
cp
60 47 60 47 10 15 6
T
dt
e
e
e
dt
t
P
T
t
t
t
(2.20)
Из графиков на рис. 2.5, б, а также из сравнения выражений (2.19) и
(2.20) видно, что для времени наработки ср
T
t
способ мажоритарного ре- зервирования «три из пяти» обеспечивает более высокую вероятность безот- казной работы, чем «два из трех», и практически одинаковую среднюю нара- ботку до отказа
cp
T
Выражения (2.17) и (2.18) показывают, что мажоритарное резервиро- вание целесообразно применять в высоконадежных РЭС (
1
P
), где кратко- временные отказы недопустимы, в то время как показатель средней наработ- ки на отказ
cp
T
, который даже меньше, чем для основной системы
(
cp
3 2
cp
5 3
cp
T
T
T
),
не имеет решающего значения в силу того, что время непрерывной работа системы ср р
T
t
Вероятность безотказной работы с l-кратным мажоритарным резер- вированием определяется выражением
40
2 1
0 1
РЭ
l
i
i
i
l
l
t
P
t
P
C
t
P
t
P
i
,
(2.21) где l = (3, 5, 7, ...) – нечетное число;
i
l
C
– число сочетаний из
l
по
i
Выражение (2.21) показывает, что для рассмотренных схем мажори- тарного резервирования вероятность безотказной работы системы
P
ограни- чивается вероятностью безотказной работы решающего (мажоритарного) элемента
)
(
РЭ
t
P
.
Этот недостаток устраняется в мультиплексной схеме, где решающий элемент также резервируется.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.2. Оптимальное резервирование РЭС
Резервирование применяют обычно в сложных РЭС, отказы в которых недопустимы по условиям работы (цифровые системы высоких уровней, бортовые системы управления в авиационной и космической технике и др.).
Использование резервирования неизбежно приводит к усложнению системы и возрастанию обобщенных затрат
C (увеличению массы, габаритов, стои- мости), что делает необходимым оценивать эффективность резервирования.
Определим как связаны между собой необходимая кратность резерви- рования и характеристики надежности основной и резервных подсистем при общем и раздельном резервировании.
Будем считать, что основная система состоит из
N
элементов, имеющих надежность
i
P
и обобщенные затраты
i
c
(стоимость, габариты, масса и др.), за заданное время наработки р
t
имеет надежность
)
(
р осн
t
P
, меньшую, чем требуемая:
)
(
)
(
р тр р
осн
Σ
t
P
t
P
.
Заданный уровень надежности
)
(
р тр
Σ
t
P
до- стигается (
l –
1)-кратным резервированием.
Для системы с общим резервированием имеем
l
P
P
осн тр
1 1
Σ
, что дает возможность определить
l:
осн тр
1
ln
1
ln
P
P
l
(2.22)
Для системы с раздельным резервированием при условии одинаковой надежности элементов
P
P
i
, кратности резервирования каждой группы
l
l
i
на основе соотношений
N
P
P
гр тр
и
l
i
P
P
1 1
гр получаем
41
N
N
P
P
l
1 1
осн тр
1
ln
1
ln
(2.23)
Считается известной стоимость основной системы
N
i
i
c
C
1
осн
. При ре- зервировании стоимость всей системы определится из следующего выраже- ния:
l
С
C
осн
, а относительное увеличение стоимости всей системы при резервировании принимаем
l
С
C
осн
Анализируя выражения (2.22) и (2.23), можно сделать вывод, что без учета стоимости и надежности переключающих устройств система с раз- дельным резервированием будет тем дешевле по сравнению с системой об- щего резервирования (при одинаковых осн
P
и тр
P ), чем больше элементов N в основной системе.
В связи с этим задачу оптимального резервирования будем решать отно- сительно раздельного резервирования. Различают две наиболее распростра- ненные задачи оптимального резервирования: прямую и обратную.
Прямая задача формулируется следующим образом: определить необхо- димое количество резервных подсистем
i
l , обеспечивающих заданное зна- чение показателей надежности системы тр
P
при минимально возможных за- тратах min
C
.Здесь затраты – главное.
Обратная задача: определить необходимое количество резервных под- систем
i
l , обеспечивающих максимально возможное значение показателей надежности системы, например max
P
, при затратах, не превышающих допу- стимых доп
C
C
. Здесь главное – показатели надежности, но в том и в другом случаях необходимо отметить наличие ограничений, называемых за- тратами.
Решение задач оптимального резервирования основано на математичес- ких методах оптимизации, таких, как методы дифференциальных уравнений, неопределенных множителей Лагранжа, целенаправленного перебора, линей- ного и нелинейного программирования.
Для решения многих экстремальных задач с ограничениями могут быть использованы стандартные программы, реализующие численные методы на-
42
хождения экстремума функций. Суть решения сводится к тому, что для до- стижения экстремума оптимизируемой функции элементы основной системы резервируются с различной кратностью
1
i
l
Решение прямой задачи оптимального резервирования.
В качестве примера рассмотрим решение прямой задачи оптимального резервирования аналитическим методом неопределенных множителей Лагранжа. Для реше- ния задачи необходимо получить выражение для целевой функции
C и функции ограничений.
Вероятность безотказной работы каждой группы элементов
i
i
l
i
l
i
i
q
P
P
1 1
1
гр
, тогда
N
i
i
P
P
1
гр тр
Для составления целевой функции введем вспомогательный параметр
i
a , такой, что
i
i
a
l
i
i
P
q
P
тр гр
1
или
i
a
i
P
P
1
гр тр
,
тогда
i
a
i
q
P
l
i
ln
)
1
ln(
тр
(2.24)
По условию известно значение
i
c каждого элемента, тогда затраты всей резервируемой системы
C , т. е. целевая функция, определяются выраже- нием
N
i
i
a
i
N
i
i
i
q
P
c
l
c
C
i
1
тр
1
ln
)
1
ln(
(2.25)
Из условия
N
i
i
a
P
P
P
P
N
i
a
N
i
i
i
1
тр
1
тр
1
гр тр находим уравнение связи
1 1
N
i
i
a
(2.26)
Для установления экстремума целевой функции
)
,
,
,
(
2 1
N
x
x
x
F
вы- бранным методом составляется функция Лагранжа:
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
2 1
2 1
2 1
1
N
N
N
x
x
x
f
x
x
x
F
x
x
x
F
, где χ – ее неопреде- ленный множитель. Затем решается система уравнений вида
43
,
)
,
,
,
(
,
,
,
1
,
0
,
0
)
,
,
,
(
0 2
1 2
1 1
f
x
x
x
f
N
i
x
x
x
F
x
N
N
i
(2.27) представляющая собой необходимые условия существования экстремума це- левой функции
)
,
,
,
(
2 1
N
x
x
x
F
при некоторых значениях аргументов
N
x
x
x
,
,
,
2 1
В рассматриваемом случае целевая функция представлена уравнением
(2.25), а функция ограничений на переменные – равенством (2.26).
Исследуем выражение (2.25) на минимум указанным методом, составив функцию
1
F и соответствующую (2.27) систему уравнений:
N
i
i
N
i
i
a
i
a
q
P
с
F
i
1 1
тр
1 1
ln
)
1
ln(
,
(2.28)
0 1
i
a
F
;
0
χ
)]
1
(
[ln ln тр тр тр
i
i
a
i
a
i
P
q
P
P
с
(2.29)
Поскольку надежность резервируемых систем высока (
1
тр
P
), опреде- лим производную
i
a
F
1
(2.28), (2.29) при условии
1
lim тр
P
:
0 1
,
,
,
2
,
1
,
0
ln
1
N
i
i
i
i
i
a
N
i
q
a
с
(2.30)
Решая систему уравнений (2.30), получаем
ln ln ln
,
ln
1 1
N
j
j
j
i
i
i
i
i
N
i
i
i
q
с
q
с
q
с
a
q
с
(2.31)
Подставляя в (2.24) полученное из (2.31) значение
i
a , определяем иско- мое
i
l . Если, например, все N элементов одинаковы по надежности
i
P и сто- имости
i
с , то из (2.24) следует, что
N
a
i
1
;
q
P
l
l
N
i
ln
)
1
ln(
1
тр