Файл: Методические указания по выполнению практических работ теория вероятностей и математическая статистика Специальность.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.01.2024

Просмотров: 1005

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.



  1. По выборке объема n = 41 найдена смещенная оценка Dв = 3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.


ЛИТЕРАТУРА


  1. Спирина М. С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студентов учреждений среднего профессионального образования – М.: «Академия», 2012. – 352 с.

  2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие. – М.: Высшая школа, 2007. – 400 с.


Практическая работа №14

ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться оценивать математическое ожидание генеральной дисперсии.
Для выполнения работы необходимо знать виды числовых характеристик выборок и формулы для их определения, интервальные оценки; необходимо уметь определять числовые характеристики выборок и интервальные оценки.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности, ПК 1.4. Принимать участие в приемо-сдаточных испытаниях, ПК 2.3. Применять методики тестирования разрабатываемых приложений.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала. Доверительный интервал – это интервал, в который с заданной вероятностью попадет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии имеет следующий смысл: с надежностью γ можно утверждать, что доверительный интервал (
– tσ/ , + tσ/ ) покрывает неизвестный параметр а; точность оценки δ = tσ/ .

P( – tσ/ < a < + tσ/ ) = 2Ф(t) = γ
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии имеет следующий вид:

P( – tγ*s/ < a < + tγ*s/ ) = γ, где s - «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, tγ находят по таблице приложения по заданным n и γ.
Пример 1. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением σ = 3. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным средним , если объем выборки n = 36 и задана надежность оценки γ = 0,95.

Решение

Найдем t. Из соотношения 2Ф(t) = 0,95 получим Ф(t) = 0,475. По таблице приложения 2 находим t = l,96.

Найдем точность оценки: δ = tσ/ = 1.96*3/ = 0,98

Получим доверительный интервал: ( – 0,98; + 0,98).
Пример. 2 Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 16 найдены выборочная средняя = 20,2 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,8. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.


Решение

Найдем tγ. Пользуясь таблицей приложения при γ = 0,95 и n = 16, получим tγ = 2,13.

Найдем доверительные границы:

– tγ*s/ =20,2 – 2,13*0,8/ = 19,774.

+ tγ*s/ =20,2 +2,13*0,8/ = 20,626.

Итак, с надежностью 0,95 неизвестный параметр а заключен в доверительном интервале 19,774 < а < 20,626.

Интервальной оценкой (с надежностью γ) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте w служит доверительный интервал: P1 < Р < Р2.





где n – общее число испытаний; m – число появлений события; w – относительная частота, равная отношению m/n; t – значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф(t)= γ/2 (у – заданная надежность).
Пример 1. Производят независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью Р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности Р с надежностью 0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз.

Решение. По условию, n = 80, m=16, γ = 0,95. Найдем относительную частоту появления события А:

w = m/n = 16/80 = 0,2.

Найдем t из соотношения Ф (t) = γ/2 = 0,95/2 =0,475; по таблице функции Лапласа находим t = 1,96.

Подставив n = 80, w = 0,2, t = 1,96 в формулы для p1 и p2, получим соответственно р1= 0,128, р2 =0,299.

Искомый доверительный интервал 0,128< р< 0,299.
При больших значениях n (порядка сотен) в качестве приближенных границ доверительного интервала можно принять выражения:

,

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ И ФОРМА ОТЧЕТНОСТИ
I вариант

  1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение σ = 5, выборочная средняя = 14 и объем выборки n = 25.

  2. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений = 30,1 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью γ = 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

  3. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000ч. Найти с надёжностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы 40ч.

  4. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие А появилось 15 раз.

  5. Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью Y = 0,999.


II вариант

  1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение σ = 4, выборочная средняя = 10,2 и объем выборки n = 16.

  2. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений = 42,8 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 1. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью γ = 0,95. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

  3. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений 40м произведено 5 равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надёжностью 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений 2000м.

  4. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,99, если в 100 испытаниях событие А появилось 60 раз.

  5. Произведено 300 испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность р появления события А постоянна. Событие А появилось в 250 испытаниях. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1. Что такое доверительный интервал?

  2. Какая зависимость является корреляционной?


ЛИТЕРАТУРА


  1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2007. – 480 с.




Практическая работа №15

ПОСТРОЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ РЕГРЕССИИ.
Цель работы: научиться строить выборочное уравнение прямой линии регрессии методом наименьших квадратов.

Для выполнения работы необходимо знать основы корреляционного анализа; необходимо уметь определять выборочное уравнение прямой линии регрессии.

Выполнение данной практической работы способствует формированию профессиональных компетенций ПК 1.2. Взаимодействовать со специалистами смежного профиля при разработке методов, средств и технологий применения объектов профессиональной деятельности, ПК 1.4. Принимать участие в приемо-сдаточных испытаниях, ПК 2.3. Применять методики тестирования разрабатываемых приложений.
ВРЕМЯ ВЫПОЛНЕНИЯ: 90 минут
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х имеет вид: y = ρx + b,

где – выборочный коэффициент регрессии Y на Х

– свободный член
Пример 1. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным пяти наблюдений:

Х
1.0
1.5
3.0
4.5
5.0

Y
1.25
1.4
1.5
1.75
2.25


Решение

  1. Составим расчетную таблицу:

х
y
x2
xy

1
1.25
1.0
1.25

1.5
1.4
2.25
2.1

3.0
1.5
9.0
4.5

4.5
1.75
20.25
7.875

5.0
2.25
25.0
11.25

Σx = 15
Σy = 8.15
Σx2 = 57.5
Σxy = 26.975

Смотрите также файлы