ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.01.2024
Просмотров: 106
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Глава 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
2.1. Полярные и неполярные диэлектрики
Диэлектрики это вещества, не проводящие электрический ток. Диэлек- трики состоят из нейтральных в целом атомов или молекул. Электрические за- ряды атомов или молекул в диэлектрике не могут свободно перемещаться под действием электрического поля по всему объему вещества.
Электрическое поле может существовать внутри диэлектрика и при этом диэлектрик оказывает на него определенное влияние, т.е. соз- дает свое собственное электрическое поле.
Диэлектрики бывают двух видов: полярные и неполярные.
Рассмотрим, например, строение атома водорода (рис. 2.1). Положитель- ный заряд ядра атома находится в центре атома. Электрон движется с большой скоростью и один оборот делает за время 10
-15
с. Поэтому заряд электрона как бы «размазывается» по орбите и центр его распределения приходится на сере- дину атома, т.е. совпадает с положительным зарядом ядра.
Диэлектрики, состоящие из молекул, у которых центры положительных и отрицательных зарядов совпадают, называются неполярными диэлектриками.
К неполярным диэлектрикам относятся инертные газы, кислород, водо- род, полиэтилен и др.
Под действием внешнего электрического поля центры распределения по- ложительных и отрицательных зарядов смещаются, и молекула становится по- добной электрическому диполю с упругой связью между зарядами.
Рассмотрим теперь молекулу NaCl. Атом натрия имеет один валентный электрон. У хлора семь валентных электронов. При образовании молекулы ва- лентный электрон натрия захватывается хлором. Оба нейтральных атома пре- вращаются в систему из двух ионов с зарядами противоположных знаков и не
e
Na
Cl
а)
б)
Рис. 2.1. Атом водорода (а), молекула NaCl (б)
Электрическое поле в диэлектриках
2 совпадающими центрами распределения положительных и отрицательных за- рядов (рис. 2.2).
Диэлектрики, состоящие из молекул, у которых центры положительных и отрицательных зарядов смещены друг относительно друга, называются поляр-
ными диэлектриками.
К полярным диэлектрикам относятся спирты, вода, NaCl и др.
Полярные диэлектрики подобны электрическим диполям с жесткой свя- зью между зарядами.
Поскольку молекулы по электрическим свойствам эквивалентны дипо- лям, рассмотрим, как ведет себя диполь во внешнем электрическом поле.
2.2. Диполь в электрическом поле
В однородном электрическом поле (рис. 2.2) диполь находится под дей- ствием момента сил, равного
sin sin
pE
qEl
M
, (2.1) где p ql – электрический момент диполя.
Формула (2.1) может быть написана в ви- де векторного произведения
E
p
M
. (2.2)
Момент (2.2) стремится установить ди- поль так, чтобы его момент
p
был направлен по направлению поля. Это будет равновесное по- ложение диполя.
Чтобы увеличить угол между векторами
p
и
E
на малую величину d, нужно совершить работу, против сил поля, действующих на диполь:
d sin d
d
pE
M
A
Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии W диполя
d sin d
pE
W
. (2.3)
Интегрирование выражения (2.3) дает для энергии диполя в электриче- ском поле выражение
F
F
p
q
+q
E
Рис. 2.2 Диполь в однородном электрическом поле
l
Электрическое поле в диэлектриках
3
const cos d
sin
pE
pE
W
Полагая const 0, получаем
E
p
pE
W
cos
Выбрав, таким образом, значение произвольной постоянной, мы полагаем энергию диполя W
0
0 в том случае, когда диполь устанавливается перпенди- кулярно к полю. Наименьшее значение энергии W
min
pE получается при ори- ентации диполя по полю, наибольшее значение W
max
pE будет при ориентации диполя против вектора
E
В неоднородном поле силы, действую- щие на заряды диполя не одинаковы по вели- чине (рис. 2.3). Пусть поле быстрее всего из- меняется в направлении оси X. Положитель- ный заряд диполя смещен относительно от- рицательного заряда в направлении X на ве- личину lcos. Поэтому напряженность поля в точках, где помещаются заряды, отличается на
cos
l
x
E
x
x
E
E
Следовательно, результирующая сил
2 1
F
F
, действующих на диполь, не равна нулю. Проекция этой результирующей сил на ось X равна
cos cos
x
E
p
l
x
E
q
E
q
F
. (2.4)
Таким образом, в неоднородном электрическом поле на диполь кроме вращательного момента (2.2) действует сила (2.4). Под действием этой силы диполь будет либо втягиваться в область сильного поля (когда <90), либо вы- талкиваться из нее (когда >90).
2.3. Поляризация диэлектриков
Если диэлектрик поместить в электростатическое поле, то в нем происхо- дит поляризация атомов (молекул), смещение разноименных зарядов в преде- лах атома или молекулы (рис. 2.4).
F
1
X
E
F
2
Рис. 2.3. Диполь в неоднородном электрическом поле
lcos
+
l
Электрическое поле в диэлектриках
4
Поляризованный атом (молекула) представляет собой электрический ди- поль, в котором заряженные частицы сдвинуты относительно друг друга и оказываются связан- ными друг с другом. Смещение положительных зарядов происходит вдоль направления электри- ческого поля, а отрицательных зарядов – в про- тивоположном направлении. Внутри диэлектрика заряды компенсируются, а на поверхности воз- никает связанный поляризационный заряд. На- пряженность поля, создаваемого внешними пла- стинами равна E
1
/
0
; поле, обусловленное поляризационным зарядом E
2
/
0
, где – поверхностная плотность поляризационного заряда (<). По- скольку поля антипараллельны, то суммарное поле E E
1
E
2
. Опыт показыва- ет, что суммарное поле ослабляется в диэлектрике в раз, т.е. E
1
/E . Величи- на, показывающая во сколько раз напряженность поля в вакууме больше на- пряженности поля в диэлектрике, называется диэлектрической проницаемо-
стью . Итак,
E
E
E
E
E
E
E
2 2
1 1
Отношение напряженности поля поляризационного заряда E
2
к напряженности суммарного поля E называется диэлектрической восприимчивостью : E
2
/E.
Следовательно,
1
. При расчете поля в среде, нужно в соответствующие формулы, определяющие поле в вакууме, ввести значение . Например:
,
2 2
1
r
q
q
k
F
2 0
4 1
r
q
E
,
r
q
0 4
1
,
0
пл
2
E
,
r
E
0 2
Найдем связь между величинами и :
E E
1
E
2
Так как E
1
/
0
,
E
2
/
0
и E E
1
/
/
0
, то
/
0
/
0
/
0
Откуда следует, что
1
E
2
E
1
+
-
Рис. 2.4. Явление поляризации диэлектриков
E
Электрическое поле в диэлектриках
5
Поляризованность (или вектор поляризации) характеризует поляризацию еди- ницы объема диэлектрика V:
V
p
P
V
e
, (2.5) где
l
q
p
e
–
дипольный момент отдельной молекулы диэлектрика.
2
Кл/м
]
[
P
Найдем связь между модулем вектора поляризации и поверхностной плотностью поляризационного заряда. Пусть расстояние между металлически- ми пластинами на рис. 2.4 равно d. Тогда объем диэлектрика, находящегося между пластинами, будет равен V
dS, где S – площадь пластины. Сумма всех дипольных моментов молекул диэлектрика (числитель формулы 2.5) будет оп- ределять поверхностную плотность поляризационного заряда и складываться в суммарный дипольный момент (S)d т.е.
V
V
V
p
P
V
d
S
d
q
p
V
e
V
e
, т.е.
P
. (2.6)
Учитывая, что
0
E
2
0
E формулу (2.6) можно записать в виде
E
P
0
. (2.7)
Формула (2.6) дает связь между величиной поляризационного заряда и векто- ром поляризации
P
, а формула (2.7) связывает вектор поляризации и напря- женность электрического поля в диэлектрике.
2.4. Вектор электрического смещения. Теорема Гаусса для потока вектора
электрического смещения
Описание поля в диэлектриках упрощается, если ввести в рассмотрение физическую величину, называемую вектором электрического смещения. Век-
тор электрического смещения равен
E
D
0
. (2.8)
Единица электрического смещения в СИ
2
м
Кл
]
[
D
Электрическое поле в диэлектриках
6
Преобразуем формулу (2.8):
P
E
E
E
E
D
0 0
0 0
)
1
(
, т.е.
P
E
D
0
(2.9)
Формула (2.9) дает связь между вектором напряженности поля в диэлек- трике и вектором поляризации.
Следует отметить, что линии вектора
E
могут начинаться или оканчи- ваться как на зарядах, создающих внешнее поле (свободных зарядах), так и на связанных поляризационных зарядах. Линии же вектора
D
начинаются и окан- чиваются только на свободных зарядах. По этой причине густота линий век-
тора
D
не изменяется при переходе из одной среды в другую.
Теорема Гаусса для потока вектора D
.
Теорема Гаусса для потока век- тора
E
в диэлектрике может быть записана в виде
0 1
n d
n
i
i
S
q
S
E
, (2.10) где
n
i
i
q
1
– алгебраическая сумма свободных зарядов. Пользуясь соотношением
(2.8) преобразуем формулу (2.10) к виду
S
n
i
i
q
S
D
1
n d
, (2.11) где
n
i
i
q
1
– алгебраическая сумма свободных (не поляризационных) зарядов, за- ключенных внутри замкнутой поверхности и создающих поле в диэлектрике.
Если свободные заряды распределены внутри замкнутой поверхности не- прерывно с объемной плотностью заряда то формула (2.11) видоизменяется следующим образом:
S
V
S
D
d d
n
. (2.12)
Формулы (2.11) и (2.12) выражают теорему Гаусса для вектора электри- ческого смещения: поток вектора электрического смещения через замкнутую
Электрическое поле в диэлектриках
7 поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхно- сти свободных зарядов.
2.5. Условия на границе раздела двух диэлектриков
Рассмотрим условия, которым удовлетворяют векторы напряженности электрического поля
E
и электрического смещения
D
на границе раздела двух диэлектриков.
Пусть диэлектрическая проницаемость первого диэлектрика
1
, второго диэлектрика
2
. Обозначим E
1
– напряженность поля и D
1
– электрическое сме- щение в первом диэлектрике, E
2
и D
2
– напря- женность поля и электрическое смещение соот- ветственно во втором диэлектрике.
Выделим на границе раздела диэлектри- ков небольшой прямоугольный контур abcd
(рис. 2.5), в котором стороны ab и cd пренебрежимо малы по сравнению с l.
Применим теорему о циркуляции вектора
E
(1.13), считая вклад в циркуляцию на участках ab и cd пренебрежимо малыми:
0 2
1
l
E
l
E
Поэтому
2 1
E
E
. (2.13) где E
1 и E
2
– проекции вектора
E
на направление обхода контура
, показан- ное на рис. 2.5 стрелками (по часовой стрелке).
Из уравнения (2.13) следует, что тангенциальные составляющие векторов
1
E
и
2
E
одинаковы по обе границы раздела диэлектриков.
Заменив, согласно (2.8) проекции E
1 и E
2 проекциями вектора
D
, де- ленными на
0
, получим
2 1
2 1
D
D
. (2.14)
Выделим на границе раздела диэлектриков замкнутую цилиндрическую поверхность с малой высотой h и площадью основания S (рис. 2.6).
d
a
b
c
l
1
2
Рис. 2.5. Контур abcd. Стрелки показывают направление обхода
Электрическое поле в диэлектриках
8
1
2
2
1
E
1
E
2
E
1
E
2
E
n1
E
n2
Рис. 2.7. Преломление линий вектора напряженности на границе раздела двух диэлектриков (
2
>
1
)
Применим теорему Гаусса для потока вектора
D
(2.11), считая, что сто- ронние заряды в выделенном объеме отсутствуют:
0
n2
n1
S
D
S
D
Поэтому
2
n
1
n
D
D
. (2.15) где D
n1
и D
n2
– проекции вектора
D
на внешнюю нор- маль
n
. Потоком вектора
D
через боковую поверх- ность цилиндра ввиду малости пренебрегаем.
Из уравнения (2.15) следует, что нормальные составляющие векторов
1
D
и
2
D
одинаковы.
Заменив, согласно (2.8) проекции D
n1 и D
n2
проекциями вектора
E
, ум- ноженными на
0
, получим
1 2
2
n
1
n
E
E
. (2.16)
Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектриков тангенциальная составляющая вектора
E
(E
) и нормальная составляющая век- тора
D
(D
n
) непрерывны (не претерпевают скачок), а нормальная составляю- щая вектора
E
(E
n
) и тангенциальная со- ставляющая вектора
D
(D
) претерпевают скачок.
Из условий (2.13) – (2.16) для состав- ляющих векторов
E
и
D
следует, что линии этих векторов преломляются. Найдем связь между углами
1
и
2
(рис. 2.7). Согласно
(2.13) и (2.16), E
2
E
1
и
2
E
n2
1
E
n1
. Раз- ложим векторы
1
E
и
2
E
у границы раздела на тангенциальные и нормальные составляющие.
Из рис. 2.7 следует, что
S
h
n
n
Рис. 2.6. Прямоугольный цилиндр малой высоты
1
2
Электрическое поле в диэлектриках
9 1
n
1 2
n
2 1
2
/
/
tg tg
E
E
E
E
Учитывая записанные выше условия, получим закон преломления линий на- пряженности
E
(а значит, и линий смещения
D
):
1 2
1 2
tg tg
. (2.17)
Формула (2.17) показывает, что, входя в диэлектрик с большей диэлек- трической проницаемостью, линии
E
и
D
удаляются от нормали.
2.6. Теорема Гаусса в дифференциальном виде. Уравнения Пуассона и
Лапласа
Поделим обе части уравнения (2.12) на величину объема V и устремим объем к нулю:
V
V
S
V
V
V
S
D
V
d
1
lim d
1
lim
0 0
. (2.18)
Предел в левой части уравнения (2.18) представляет собой объемную производную, которая называется дивергенцией вектора
D
(div
D
). Диверген- ция показывает, какой поток вытекает из единичного объема, при условии, что объем стремится к нулю. Левую часть уравнения (2.18) можно представить в следующем виде
S
V
S
D
V
D
d
1
lim div
0
Предел в правой части уравнения (2.18) равен
V
V
V
V
V
V
d
1
lim
0
Следовательно, можно написать
D
div
, (2.19) т.е. дивергенция вектора
D
равна объемной плотности заряда в окрестности
данной точки поля.
Электрическое поле в диэлектриках
10
Формула (2.19) представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме. Она позволяет рассчитать объемную плотность заряда по известному распределению в пространстве электрического смещения или напряженности электрического поля.
Чтобы произвести расчеты по формуле (2.19), ее следует представить в развернутом виде и выбрать подходящую (удобную) систему координат.
Например, в декартовых координатах дивергенция вектора
D
определя- ется соотношением
z
D
y
D
x
D
D
z
y
x
div
, где D
x
, D
y
, D
z
– проекции вектора
D
на соответствующие оси координат.
Тогда формулу (2.19) можно записать в следующем виде:
z
D
y
D
x
D
z
y
x
. (2.20)
В физике часто используется операторная форма записи уравнений. Опе-
ратор – это правило, которое позволяет одной функции сопоставить другую.
Простейшими операторами являются, например, арифметические действия.
Рассмотрим один из операторов – дифференциальный векторный опера-
тор набла (в переводе с греческого языка набла – это арфа).
k
z
j
y
i
x
, где
k
j
i
,
,
– единичные векторы (орты) координатных осей.
Действие этого оператора на функцию заключается в дифференцировании функции по координатам с последующим суммированием.
Используя операторную форму записи, формулу, связывающую напря- женность поля и потенциал
grad
E
, можно представить в виде
E
. (2.21)
Найдем скалярное произведение векторов
и
D
:
2.1. Полярные и неполярные диэлектрики
Диэлектрики это вещества, не проводящие электрический ток. Диэлек- трики состоят из нейтральных в целом атомов или молекул. Электрические за- ряды атомов или молекул в диэлектрике не могут свободно перемещаться под действием электрического поля по всему объему вещества.
Электрическое поле может существовать внутри диэлектрика и при этом диэлектрик оказывает на него определенное влияние, т.е. соз- дает свое собственное электрическое поле.
Диэлектрики бывают двух видов: полярные и неполярные.
Рассмотрим, например, строение атома водорода (рис. 2.1). Положитель- ный заряд ядра атома находится в центре атома. Электрон движется с большой скоростью и один оборот делает за время 10
-15
с. Поэтому заряд электрона как бы «размазывается» по орбите и центр его распределения приходится на сере- дину атома, т.е. совпадает с положительным зарядом ядра.
Диэлектрики, состоящие из молекул, у которых центры положительных и отрицательных зарядов совпадают, называются неполярными диэлектриками.
К неполярным диэлектрикам относятся инертные газы, кислород, водо- род, полиэтилен и др.
Под действием внешнего электрического поля центры распределения по- ложительных и отрицательных зарядов смещаются, и молекула становится по- добной электрическому диполю с упругой связью между зарядами.
Рассмотрим теперь молекулу NaCl. Атом натрия имеет один валентный электрон. У хлора семь валентных электронов. При образовании молекулы ва- лентный электрон натрия захватывается хлором. Оба нейтральных атома пре- вращаются в систему из двух ионов с зарядами противоположных знаков и не
e
Na
Cl
а)
б)
Рис. 2.1. Атом водорода (а), молекула NaCl (б)
Электрическое поле в диэлектриках
2 совпадающими центрами распределения положительных и отрицательных за- рядов (рис. 2.2).
Диэлектрики, состоящие из молекул, у которых центры положительных и отрицательных зарядов смещены друг относительно друга, называются поляр-
ными диэлектриками.
К полярным диэлектрикам относятся спирты, вода, NaCl и др.
Полярные диэлектрики подобны электрическим диполям с жесткой свя- зью между зарядами.
Поскольку молекулы по электрическим свойствам эквивалентны дипо- лям, рассмотрим, как ведет себя диполь во внешнем электрическом поле.
2.2. Диполь в электрическом поле
В однородном электрическом поле (рис. 2.2) диполь находится под дей- ствием момента сил, равного
sin sin
pE
qEl
M
, (2.1) где p ql – электрический момент диполя.
Формула (2.1) может быть написана в ви- де векторного произведения
E
p
M
. (2.2)
Момент (2.2) стремится установить ди- поль так, чтобы его момент
p
был направлен по направлению поля. Это будет равновесное по- ложение диполя.
Чтобы увеличить угол между векторами
p
и
E
на малую величину d, нужно совершить работу, против сил поля, действующих на диполь:
d sin d
d
pE
M
A
Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии W диполя
d sin d
pE
W
. (2.3)
Интегрирование выражения (2.3) дает для энергии диполя в электриче- ском поле выражение
F
F
p
q
+q
E
Рис. 2.2 Диполь в однородном электрическом поле
l
Электрическое поле в диэлектриках
3
const cos d
sin
pE
pE
W
Полагая const 0, получаем
E
p
pE
W
cos
Выбрав, таким образом, значение произвольной постоянной, мы полагаем энергию диполя W
0
0 в том случае, когда диполь устанавливается перпенди- кулярно к полю. Наименьшее значение энергии W
min
pE получается при ори- ентации диполя по полю, наибольшее значение W
max
pE будет при ориентации диполя против вектора
E
В неоднородном поле силы, действую- щие на заряды диполя не одинаковы по вели- чине (рис. 2.3). Пусть поле быстрее всего из- меняется в направлении оси X. Положитель- ный заряд диполя смещен относительно от- рицательного заряда в направлении X на ве- личину lcos. Поэтому напряженность поля в точках, где помещаются заряды, отличается на
cos
l
x
E
x
x
E
E
Следовательно, результирующая сил
2 1
F
F
, действующих на диполь, не равна нулю. Проекция этой результирующей сил на ось X равна
cos cos
x
E
p
l
x
E
q
E
q
F
. (2.4)
Таким образом, в неоднородном электрическом поле на диполь кроме вращательного момента (2.2) действует сила (2.4). Под действием этой силы диполь будет либо втягиваться в область сильного поля (когда <90), либо вы- талкиваться из нее (когда >90).
2.3. Поляризация диэлектриков
Если диэлектрик поместить в электростатическое поле, то в нем происхо- дит поляризация атомов (молекул), смещение разноименных зарядов в преде- лах атома или молекулы (рис. 2.4).
F
1
X
E
F
2
Рис. 2.3. Диполь в неоднородном электрическом поле
lcos
+
l
Электрическое поле в диэлектриках
4
Поляризованный атом (молекула) представляет собой электрический ди- поль, в котором заряженные частицы сдвинуты относительно друг друга и оказываются связан- ными друг с другом. Смещение положительных зарядов происходит вдоль направления электри- ческого поля, а отрицательных зарядов – в про- тивоположном направлении. Внутри диэлектрика заряды компенсируются, а на поверхности воз- никает связанный поляризационный заряд. На- пряженность поля, создаваемого внешними пла- стинами равна E
1
/
0
; поле, обусловленное поляризационным зарядом E
2
/
0
, где – поверхностная плотность поляризационного заряда (<). По- скольку поля антипараллельны, то суммарное поле E E
1
E
2
. Опыт показыва- ет, что суммарное поле ослабляется в диэлектрике в раз, т.е. E
1
/E . Величи- на, показывающая во сколько раз напряженность поля в вакууме больше на- пряженности поля в диэлектрике, называется диэлектрической проницаемо-
стью . Итак,
E
E
E
E
E
E
E
2 2
1 1
Отношение напряженности поля поляризационного заряда E
2
к напряженности суммарного поля E называется диэлектрической восприимчивостью : E
2
/E.
Следовательно,
1
. При расчете поля в среде, нужно в соответствующие формулы, определяющие поле в вакууме, ввести значение . Например:
,
2 2
1
r
q
q
k
F
2 0
4 1
r
q
E
,
r
q
0 4
1
,
0
пл
2
E
,
r
E
0 2
Найдем связь между величинами и :
E E
1
E
2
Так как E
1
/
0
,
E
2
/
0
и E E
1
/
/
0
, то
/
0
/
0
/
0
Откуда следует, что
1
E
2
E
1
+
-
Рис. 2.4. Явление поляризации диэлектриков
E
Электрическое поле в диэлектриках
5
Поляризованность (или вектор поляризации) характеризует поляризацию еди- ницы объема диэлектрика V:
V
p
P
V
e
, (2.5) где
l
q
p
e
–
дипольный момент отдельной молекулы диэлектрика.
2
Кл/м
]
[
P
Найдем связь между модулем вектора поляризации и поверхностной плотностью поляризационного заряда. Пусть расстояние между металлически- ми пластинами на рис. 2.4 равно d. Тогда объем диэлектрика, находящегося между пластинами, будет равен V
dS, где S – площадь пластины. Сумма всех дипольных моментов молекул диэлектрика (числитель формулы 2.5) будет оп- ределять поверхностную плотность поляризационного заряда и складываться в суммарный дипольный момент (S)d т.е.
V
V
V
p
P
V
d
S
d
q
p
V
e
V
e
, т.е.
P
. (2.6)
Учитывая, что
0
E
2
0
E формулу (2.6) можно записать в виде
E
P
0
. (2.7)
Формула (2.6) дает связь между величиной поляризационного заряда и векто- ром поляризации
P
, а формула (2.7) связывает вектор поляризации и напря- женность электрического поля в диэлектрике.
2.4. Вектор электрического смещения. Теорема Гаусса для потока вектора
электрического смещения
Описание поля в диэлектриках упрощается, если ввести в рассмотрение физическую величину, называемую вектором электрического смещения. Век-
тор электрического смещения равен
E
D
0
. (2.8)
Единица электрического смещения в СИ
2
м
Кл
]
[
D
Электрическое поле в диэлектриках
6
Преобразуем формулу (2.8):
P
E
E
E
E
D
0 0
0 0
)
1
(
, т.е.
P
E
D
0
(2.9)
Формула (2.9) дает связь между вектором напряженности поля в диэлек- трике и вектором поляризации.
Следует отметить, что линии вектора
E
могут начинаться или оканчи- ваться как на зарядах, создающих внешнее поле (свободных зарядах), так и на связанных поляризационных зарядах. Линии же вектора
D
начинаются и окан- чиваются только на свободных зарядах. По этой причине густота линий век-
тора
D
не изменяется при переходе из одной среды в другую.
Теорема Гаусса для потока вектора D
.
Теорема Гаусса для потока век- тора
E
в диэлектрике может быть записана в виде
0 1
n d
n
i
i
S
q
S
E
, (2.10) где
n
i
i
q
1
– алгебраическая сумма свободных зарядов. Пользуясь соотношением
(2.8) преобразуем формулу (2.10) к виду
S
n
i
i
q
S
D
1
n d
, (2.11) где
n
i
i
q
1
– алгебраическая сумма свободных (не поляризационных) зарядов, за- ключенных внутри замкнутой поверхности и создающих поле в диэлектрике.
Если свободные заряды распределены внутри замкнутой поверхности не- прерывно с объемной плотностью заряда то формула (2.11) видоизменяется следующим образом:
S
V
S
D
d d
n
. (2.12)
Формулы (2.11) и (2.12) выражают теорему Гаусса для вектора электри- ческого смещения: поток вектора электрического смещения через замкнутую
Электрическое поле в диэлектриках
7 поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхно- сти свободных зарядов.
2.5. Условия на границе раздела двух диэлектриков
Рассмотрим условия, которым удовлетворяют векторы напряженности электрического поля
E
и электрического смещения
D
на границе раздела двух диэлектриков.
Пусть диэлектрическая проницаемость первого диэлектрика
1
, второго диэлектрика
2
. Обозначим E
1
– напряженность поля и D
1
– электрическое сме- щение в первом диэлектрике, E
2
и D
2
– напря- женность поля и электрическое смещение соот- ветственно во втором диэлектрике.
Выделим на границе раздела диэлектри- ков небольшой прямоугольный контур abcd
(рис. 2.5), в котором стороны ab и cd пренебрежимо малы по сравнению с l.
Применим теорему о циркуляции вектора
E
(1.13), считая вклад в циркуляцию на участках ab и cd пренебрежимо малыми:
0 2
1
l
E
l
E
Поэтому
2 1
E
E
. (2.13) где E
1 и E
2
– проекции вектора
E
на направление обхода контура
, показан- ное на рис. 2.5 стрелками (по часовой стрелке).
Из уравнения (2.13) следует, что тангенциальные составляющие векторов
1
E
и
2
E
одинаковы по обе границы раздела диэлектриков.
Заменив, согласно (2.8) проекции E
1 и E
2 проекциями вектора
D
, де- ленными на
0
, получим
2 1
2 1
D
D
. (2.14)
Выделим на границе раздела диэлектриков замкнутую цилиндрическую поверхность с малой высотой h и площадью основания S (рис. 2.6).
d
a
b
c
l
1
2
Рис. 2.5. Контур abcd. Стрелки показывают направление обхода
Электрическое поле в диэлектриках
8
1
2
2
1
E
1
E
2
E
1
E
2
E
n1
E
n2
Рис. 2.7. Преломление линий вектора напряженности на границе раздела двух диэлектриков (
2
>
1
)
Применим теорему Гаусса для потока вектора
D
(2.11), считая, что сто- ронние заряды в выделенном объеме отсутствуют:
0
n2
n1
S
D
S
D
Поэтому
2
n
1
n
D
D
. (2.15) где D
n1
и D
n2
– проекции вектора
D
на внешнюю нор- маль
n
. Потоком вектора
D
через боковую поверх- ность цилиндра ввиду малости пренебрегаем.
Из уравнения (2.15) следует, что нормальные составляющие векторов
1
D
и
2
D
одинаковы.
Заменив, согласно (2.8) проекции D
n1 и D
n2
проекциями вектора
E
, ум- ноженными на
0
, получим
1 2
2
n
1
n
E
E
. (2.16)
Таким образом, при переходе через границу раздела двух диэлектриков тангенциальная составляющая вектора
E
(E
) и нормальная составляющая век- тора
D
(D
n
) непрерывны (не претерпевают скачок), а нормальная составляю- щая вектора
E
(E
n
) и тангенциальная со- ставляющая вектора
D
(D
) претерпевают скачок.
Из условий (2.13) – (2.16) для состав- ляющих векторов
E
и
D
следует, что линии этих векторов преломляются. Найдем связь между углами
1
и
2
(рис. 2.7). Согласно
(2.13) и (2.16), E
2
E
1
и
2
E
n2
1
E
n1
. Раз- ложим векторы
1
E
и
2
E
у границы раздела на тангенциальные и нормальные составляющие.
Из рис. 2.7 следует, что
S
h
n
n
Рис. 2.6. Прямоугольный цилиндр малой высоты
1
2
Электрическое поле в диэлектриках
9 1
n
1 2
n
2 1
2
/
/
tg tg
E
E
E
E
Учитывая записанные выше условия, получим закон преломления линий на- пряженности
E
(а значит, и линий смещения
D
):
1 2
1 2
tg tg
. (2.17)
Формула (2.17) показывает, что, входя в диэлектрик с большей диэлек- трической проницаемостью, линии
E
и
D
удаляются от нормали.
2.6. Теорема Гаусса в дифференциальном виде. Уравнения Пуассона и
Лапласа
Поделим обе части уравнения (2.12) на величину объема V и устремим объем к нулю:
V
V
S
V
V
V
S
D
V
d
1
lim d
1
lim
0 0
. (2.18)
Предел в левой части уравнения (2.18) представляет собой объемную производную, которая называется дивергенцией вектора
D
(div
D
). Диверген- ция показывает, какой поток вытекает из единичного объема, при условии, что объем стремится к нулю. Левую часть уравнения (2.18) можно представить в следующем виде
S
V
S
D
V
D
d
1
lim div
0
Предел в правой части уравнения (2.18) равен
V
V
V
V
V
V
d
1
lim
0
Следовательно, можно написать
D
div
, (2.19) т.е. дивергенция вектора
D
равна объемной плотности заряда в окрестности
данной точки поля.
Электрическое поле в диэлектриках
10
Формула (2.19) представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме. Она позволяет рассчитать объемную плотность заряда по известному распределению в пространстве электрического смещения или напряженности электрического поля.
Чтобы произвести расчеты по формуле (2.19), ее следует представить в развернутом виде и выбрать подходящую (удобную) систему координат.
Например, в декартовых координатах дивергенция вектора
D
определя- ется соотношением
z
D
y
D
x
D
D
z
y
x
div
, где D
x
, D
y
, D
z
– проекции вектора
D
на соответствующие оси координат.
Тогда формулу (2.19) можно записать в следующем виде:
z
D
y
D
x
D
z
y
x
. (2.20)
В физике часто используется операторная форма записи уравнений. Опе-
ратор – это правило, которое позволяет одной функции сопоставить другую.
Простейшими операторами являются, например, арифметические действия.
Рассмотрим один из операторов – дифференциальный векторный опера-
тор набла (в переводе с греческого языка набла – это арфа).
k
z
j
y
i
x
, где
k
j
i
,
,
– единичные векторы (орты) координатных осей.
Действие этого оператора на функцию заключается в дифференцировании функции по координатам с последующим суммированием.
Используя операторную форму записи, формулу, связывающую напря- женность поля и потенциал
grad
E
, можно представить в виде
E
. (2.21)
Найдем скалярное произведение векторов
и
D
: