ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13049
Скачиваний: 110
76
Филадельфия
Чикаго
Монреаль
Собственныйвектор
Чикаго
1 2 0,67
Монреаль
1/2 1 0,33
max
2
λ
=
; ИС = 0; ОС = 0
Филадельфия
Каир
Токио
Собственныйвектор
Каир
1 1/1,5 0,4
Токио
1,5 1
0,6
max
2
λ
=
; ИС = 0; ОС = 0
Филадельфия
Сан-Франциско
Лондон
Собственныйвектор
Сан-Франциско
1 1/1,3 0,43
Лондон
1,3 1 0,57
max
2
λ
=
; ИС = 0; ОС = 0
Теперь, чтобы получить общий вектор относительно расстояний, умножим пер-
вый собственный вектор на 0,056, второй – на 0,26 и третий – на 0,68. В результате
имеем:
Каир
Токио
Чикаго
Сан-
Франциско
Лондон
Монреаль
0,27 0,41 0,037 0,11 0,15 0,019
0,278 0,381 0,032 0,132 0,177 0,019
Веса во второй строке соответствуют полученным в примере в гл. 3 (см.
табл. 3.5, а)
Пример национальных богатств как кластера
Сравнение богатств шести стран было проведено посредством сведения их в три
группы:
A
=США,
B
= СССР и
C
= (Великобритания, Франция, Япония, ФРГ). Вна-
чале сравнивались кластеры, и была получена матрица
A
B
C
Собственный
вектор
A
1 2 1 0,4
B
1/2 1 1/2 0,2
C
1 2 1 0,4
max
3
λ
=
; ИС = 0,0; ОС = 0,0
Элементы С сравнивались между собой в следующей матрице
77
Великобри-
тания
Франция
Япония
ФРГ
Собственный
вектор
Великобритания 1
1
1/3
1/2 0,14
Франция 1
1
1/3
1/2
0,14
Япония
3 3 1 2
0,45
ФРГ 2
2
1/2
1
0,26
max
4,01
λ
=
; ИС = 0,003; ОС = 0,01
Оценка относительных национальных богатств, полученная таким образом, бы-
ла:
США
СССР
Великобри-
тания
Франция
Япония
ФРГ
0,4 0,2 0,056
0,056 0,18 0,10
Предположим, что имеется множество из
n
элементов. Если мы хотим попарно
сравнить элементы для получения оценок в шкале отношений, то необходимо про-
вести
(
)
2
/ 2
n
n
−
суждений, чтобы решить задачу о собственном значении. Допустим
теперь, что 7 – максимальное число элементов, которые могут быть сравнены с ка-
кой-либо достаточно разумной (психологически) уверенностью в согласованности.
Тогда
n
должно быть, во-первых, разделено на эквивалентные классы, каждый из
которых содержит не более чем семь кластеров или подмножеств. В свою очередь,
каждый из них должен быть разделен на семь новых кластеров и т. д., образовывая
уровни иерархии до тех пор, пока не получится окончательная декомпозиция, при
которой каждое из множеств будет иметь не более, чем семь образующих элементов.
Пусть
{ }
x
обозначает наименьшее целое число, большее или равное
x
.
Теорема 4.3. Максимальное число сравнений после декомпозиции множества
1
n
>
элементов в иерархию кластеров (при условии, что одновременно сравнивает-
ся не более семи элементов) ограничено величиной
(
)
{
}
(
)
log / log 7
7 / 2 7
1
n
−
, и это точная
граница.
Доказательство. Для максимального числа сравнений на каждом уровне мы
должны иметь на
h
-м или последнем уровне по крайней мере семь элементов в ка-
ждом кластере
1
0
,
(
)
2
2
7
7 / 2
−
,
(
)
2
3
7
7
7 / 2
×
−
(
)
2
2
7
7
7 / 2
h
n
−
×
−
где
2
7
7
h
n
−
× =
,
{
}
log / log 7
1
h
n
=
+
,
2
h
>
. Сумма этих отношений
(
)
(
)
{
}
(
)
log / log 7
1
21
7
1 / 7 1
7 / 2
7
1
n
h
−
×
−
− =
×
−
.
Чтобы показать, что это – точная граница, достаточно положить
7
m
n
=
.
Эффективность иерархии может быть определена как отношение числа прямых
парных сравнений, требуемых для всего множества
n
элементов, входящих в ие-
78
рархию, к числу парных сравнений, которые необходимо провести после группиро-
вания в кластеры.
Теорема 4.4. Эффективность иерархии имеет порядок
/ 7
n
.
Доказательство. Для доказательства теоремы нужно сравнить
(
)
2
/ 2
n
n
−
с
{
}
(
)
log / log 7
7 / 2
7
1
n
×
−
.
Пусть
7
m
n
ε
+
=
,
0
1
ε
≤ <
. Тогда ясно, что имеем
(
)
2
2
7
7
/ 7
7
1
7
/ 7
/ 7
m
m
m
m
n
ε
ε
ε
+
+
+
−
×
− ≥
=
Следовательно,
/ 7
n
равно эффективности.
Естественно, может возникнуть вопрос, почему не использовать 2 вместо 7 для
большей эффективности. Заметим, что, применяя иерархию, ,мы стремимся как к со-
гласованности, так и к большему соответствию реальности. Чем меньше размеры
каждой матрицы, тем больше согласованности, в то же время соответствие реально-
сти тем больше, чем больше размеры матрицы, так как используется дополнитель-
ная информация. Поэтому здесь нужен компромисс. Действительно, используя ин-
декс согласованности, мы показали, что число 7 является хорошей практической
границей для
n
, поскольку позволяет учесть согласованность.
Допустим, имеется множество из 98 элементов, которым мы хотим приписать
приоритеты. Проведем декомпозицию задачи на семь множеств, каждое из которых
состоит в среднем из 14 элементов. Мы не можем сравнить 14 элементов, поэтому
каждое из этих множеств разделим на два, в каждом из которых не более семи эле-
ментов. Затем мы сравниваем элементы друг с другом.
При более внимательном рассмотрении эффективности этого процесса можно за-
метить, что для сравнения 98 элементов друг с другом потребовалось бы
( )
2
98
98 / 2 4753
−
=
сравнения. С другой стороны, если разделить их на семь кла-
стеров с 14 элементами для каждого, а затем провести парные сравнения семи кла-
стеров, то понадобится
(
)
2
7
7 / 2 21
−
=
сравнение. Каждый кластер теперь может
быть разделен на два кластера, в каждом из которых будет семь элементов. Сужде-
ние о двух кластерах, каждый из которых попадает в 14-элементный кластер, тре-
бует одного сравнения, но таких пар семь, и поэтому на этом уровне требуются семь
сравнений; затем нужно
14 21 294
×
=
сравнения на самом нижнем уровне. Общее
число сравнений этой иерархической декомпозиции будет
21 7 294 322
+ +
=
против
4753 сравнений в случае, когда группирования в кластеры нет. Действительно, тео-
рема удовлетворяется, так как
322
4753/ 7
.
Придание иерархической формы сложной задаче посредством группировки в
кластеры имеет два преимущества:
1. Большая эффективность при проведении парных сравнений.
2. Большая согласованность при условии ограниченной способности мозга срав-
нивать больше, чем
7 2
±
элементов одновременно.
Эффективность иерархии проиллюстрировал Г. Саймон [149] на примере двух
людей, собирающих часы. Один из них создает модули или составные части из эле-
ментарных частей, использует их для создания более сложных частей и т. д.; второй
собирает часы от начала до конца подетально. Если первый человек прервет рабо-
ту, то он возобновит сборку, только начиная с некоторого модуля, в то время как
второму придется все начинать заново. Если часы состоят из 1000 компонентов, а
компоненты на каждом уровне составляют 10 частей, то первый человек, конечно,
должен будет сделать компоненты и затем из них собрать узлы всего за 111 опера-
ций. Если
p
– вероятность прерывания работы в момент, когда часть добавляется к
неполному узлу, то вероятность того, что первый человек завершит изделие без
79
прерывания, равна
(
)
10
1 p
−
, для второго же вероятность равна
(
)
1000
1 p
−
. Для пер-
вого человека прерывание отнимет время, необходимое для сборки пяти частей. Для
второго человека, в среднем, это будет время, необходимое для сборки
1/ p
частей,
что примерно равно ожидаемому числу частей при работе без прерывания. Если
0,01
p
=
(один шанс из ста, что человек прервет работу при добавлении какой-либо
части), потеря времени для первого человека будет равна 5, а для второго – 100.
Первый человек соберет 111 компонентов, в то время как второй изготовит только
один. Тем не менее первый человек завершит сборку за
(
)
10
1 0,01
10 / 9
−
−
=
попыток,
в то время как второй человек завершит сборку за
(
)
1000
6
exp10
1 0,01
1/ 44 10
−
= −
+
×
попыток. Поэтому эффективность работы первого человека по отношению ко второ-
му получается равной
(
)
{
}
1000
10
100 / 0,99
2000
111
1/ 0,99
1 5 10
=
−
+
.
В системах, создаваемых человеком, задача управления сложным предприятием
в общем случае значительно упрощается, если она разбита на подсистемы или
уровни, которые в отдельности легче поддаются обработке, т. е. у менеджера огра-
ничена сфера управления. Этапы решения задачи большой размерности упрощают-
ся и эффективно выполняются, когда они модулированы, например, предпочтитель-
нее оперировать
n
множествами
m
переменных, чем одновременно
mn
перемен-
ными.
4.4. СТАНДАРТИЗАЦИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
ИЗ БОЛЬШОГО КЛАССА
Элементы сначала упорядочиваются согласно их относительной сравнимости и
группируются в классы. В каждом классе величина меры элементов – одного поряд-
ка. Если два класса различаются более, чем на один порядок, то делается попытка
расчленения или декомпозиции элементов класса, получившего более высокое из-
мерение, на более легкие элементы. В противном случае элементы меньшего класса
агрегируются, образуя один большой элемент из более высокого класса. Если ни
одна из этих альтернатив невозможна для перехода из одного класса в другой, то в
процессе сравнения вводятся промежуточные между двумя классами дополнитель-
ные элементы.
Для стандартизации измерения между классами используется наибольший эле-
мент в классе элементов с меньшим весом и наименьший элемент в следующем
большем классе. Для повышения точности можно также взять наименьший элемент
следующего класса в качестве наибольшего элемента в классе элементов с меньши-
ми весами. Таким образом, вес элемента в обоих классах может быть применен для
стандартизации весов обоих классов. При этом образуется один класс со всеми со-
ответствующим образом взвешенными элементами. Процедура затем проводится по
всем классам, и таким образом мы получаем меру, определенную на большом числе
элементов в множестве.
80
4.5. СОГЛАСОВАННОСТЬ ИЕРАРХИИ
Обобщим измерение согласованности на всю иерархию. Процесс заключается в
том, что индекс согласованности, полученный из матрицы парных сравнений, умно-
жается на приоритет свойства, относительно которого проведено сравнение, и к
этому числу добавляются аналогичные результаты для всей иерархии. Затем данная
величина сравнивается с соответствующим индексом, который получен как сумма
случайно сформированных индексов, взвешенных посредством соответствующих
приоритетов. Отношение должно находиться в окрестности 0,10, чтобы не появи-
лось сомнений в усовершенствовании фактического функционирования и в сужде-
ниях.
Для иллюстрации приводятся два примера.
Применяя индексы для примера выбора школы, имеем:
Вектор приоритета первого уровня:
(
)
0,32; 0,14; 0,03; 0,13; 0,23; 0,14
.
Индекс согласованности первого уровня:
(
)
7,49 6 / 5 0,298
ИС
=
−
=
Вектор ИС второго уровня:
(
)
0,025; 0; 0; 0,105; 0; 0,025
.
Следовательно,
(
)
0,025
0,0
0,0
0,298
0,32; 0,14; 0,03; 0,13; 0,23; 0,14
0,323
0,105
0,0
0,025
M
=
+
=
и, используя соответствующие случайные индексы (СИ), имеем
(
)
0,58
0,58
0,58
1,24
0,32; 0,14; 0,03; 0,13; 0,23; 0,14
1,82
0,58
0,58
0,58
M
=
+
=
.
Поэтому отношение согласованности иерархии (ОСИ) будет
/
0,18
M M
=
, что не
очень хорошо, так как здесь отражается большая несогласованность, появляющаяся
из
max
7,49
λ
=
для
6
n
=
.
Для другого примера имеем следующие числа:
Вектор приоритета первого уровня: (0,16; 0,19; 0,19; 0,05; 0,12; 0,30).
ИС первого уровня: 0,07.
Вектор ИС второго уровня для
(
)
3 3
×
-матриц: (0,01; 0,01; 0,28; 0,025; 0; 0,105).
Следовательно,