ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13044
Скачиваний: 110
66
Левые собственные векторы
0.022 –0.001–0.047i –0.001+0.047i –0.060–0.036i –0.060+0.036i –0.116–0.188i –0.116+0.188i
0.039
–0.070–0.036i
–0.070+0.036i
0.026+0.125i
0.026–0.125i
–0.092+0.932i
–0.092–0.932i
0.450 0.847–0.509i 0.847+0.509i 1.364–0.222i 1.364+0.222i 0.468–0.680i 0.468+0.680i
0.155
0.145+0.128i
0.145–0.128i
0.160+0.174i
0.160–0.174i
8.108–6.549i
8.108+6.549i
0.186 0.235+0.304i 0.235–0.304i –0.554+0.206i –0.554–0.206i –8.664+6.397i –8.664–6.397i
0.061 –0.099+0.056i
–0.099–0.056i
0.076–0.096i
0.076+0.096i
–1.115–1.808i
–1.115+1.808i
0.087 –0.057+0.104i –0.057–0.104i –0.012–0.152i –0.012+0.152i 2.412+1.895i 2.412–1.895i
3.7. КОНСЕНСУС И МЕТОД ДЕЛЬФИ
Важной особенностью, относящейся к высказыванию суждений несколькими ли-
цами, является то, каким образом достигается консенсус из их суждений. Процесс
достижения консенсуса может быть использован для убеждения людей в том, что их
интересы принимаются во внимание. Поэтому для наших целей консенсус означает
увеличение уверенности в значениях приоритетов посредством привлечения не-
скольких экспертов для приведения приоритетов в соответствие с предпочтениями
большинства.
Есть несколько интересных работ, проведенных по проблеме достижения кон-
сенсуса: Кемени и Снэлл [81], чья работа была обобщена Богартом [14, 15], исполь-
зовали аксиоматический подход для разработки метода достижения консенсуса в
случае слабого упорядочения (предпочтительно – 1, равенство – 0, непредпочти-
тельно – -1) множества объектов несколькими лицами. Они доказали, что существу-
ет единственная функция расстояния, удовлетворяющая всем аксиомам. Эта функ-
ция использована для получения матрицы консенсуса посредством поиска для каж-
дого элемента величины, которая минимизирует сумму квадратов расстояний до ка-
ждого соответствующего элемента матриц суждений, построенных несколькими ли-
цами. Результатом может быть не целое число; некоторые исследователи на практи-
ке округляют числа до ближайшего целого. Величина, полученная таким образом,
называется средней. Функция расстояния также используется для получения матри-
цы медианных значений. Каждый элемент этой матрицы минимизирует сумму рас-
стояний до соответствующих элементов матриц суждений. Хотя как среднее, так и
медиана представляются разумными способами достижения консенсуса, среднее
обеспечивает способ «приравнивания объектов», которые сравниваются, в то время
как медиана предлагает способ «отбора среди экспертов», высказывающих сужде-
ние. В нашем случае применяется геометрическое среднее.
Богарт обобщил подход функции расстояния на все частичные упорядочения
множества, распространив предыдущую работу на полуупорядочения и интерваль-
ные упорядочения и даже на нетранзитивные упорядочения. После доказательства
единственности функции расстояния, удовлетворяющей разумному набору аксиом,
среди прочих вещей он показал следующее:
1. Среднее набора упорядочений в множестве всех антисимметричных упорядо-
чений удовлетворяет правилу решения (называемому правилом сильного
большинства), согласно которому
a
предпочтительнее
b
, если число предпо-
читающих элемент
a
элементу
b
минус число предпочитающих
b
элементу
a
больше половины числа лиц, производящих суждение. Правило ведет к един-
ственному среднему набора.
2. Упорядочение правилом большинства (при котором
a
предпочтительнее
b
,
если это утверждает большинство людей, высказывающих суждение) для
множества антисимметричных упорядочений является медианой множества.
Эта медиана единственна, если число экспертов, предпочитающих элемент
a
элементу
b
, не равно числу экспертов, предпочитающих
b
элементу
a
.
В настоящей работе консенсус достигается по различным направлениям. Ре-
шающим является количество информации, имеющейся для произведения суждений.
67
При поиске консенсуса предпочтительно взаимодействие экспертов. Хорошо инфор-
мированное лицо может существенно повлиять на мнение лица, обладающего мень-
шей информацией. Дискуссия может помочь сблизить суждения и обеспечить ин-
формацией самих экспертов для применения метода установления приоритетов.
Следовательно, наш подход к консенсусу заключается в применении метода на-
хождения приоритетов для нескольких лиц, вовлекаемых в соответствии с содержа-
нием их суждения. Факторами, влияющими на суждение, могут быть: относительный
интеллект (однако, измеренный), опыт, информированность, глубина знаний, опыт в
смежных областях, личный интерес в исследуемом вопросе и т. д. Если к суждению
этих людей мы относимся с большим доверием, то полученный приоритет использу-
ется для взвешивания окончательного результата, полученного из суждения каждо-
го лица, и затем общий взвешенный приоритет определяется обычным путем. С дру-
гой стороны, если степень доверия к суждениям, произведенным экспертами, низка,
то следует применять геометрическое среднее их индивидуальных суждений в каж-
дой матрице сравнений.
В промежуточных ситуациях можно прибегнуть к комбинации этих двух проце-
дур, однако подробно эту проблему мы не изучали. Другой областью исследования
является сравнение результатов, полученных этим путем и в других работах.
Как представить групповое суждение удовлетворительным образом, когда опыт и
суждения людей различаются? Чьи мнения должны быть более серьезно приняты во
внимание и почему? – важные задачи социальных исследований и анализа кон-
фликтов.
Представляется, что мысль, развитую и оцененную одной группой, следует пере-
дать другой группе для обсуждения и изменения суждения. Но конечный результат
может все же еще сильно меняться. Поэтому переговоры и приход к соглашению
должны быть внутренней процедурой группового согласия. Не следует выносить
третейского решения по приоритетам, используя суждения привилегированной
группы по сравнению с остальными. Другими словами, выявление удобной и при-
годной для работы математической схемы для задачи не решает автоматически ее
социальных сложностей. Тем не менее эта схема может упростить процесс выявле-
ния того, где должны быть достигнуты наиболее плодотворные компромиссы и со-
глашения. Если социальная задача требует арбитража, то посредник должен тща-
тельно оценить потребности и влияния групп перед тем, как указать, где следует
пойти на компромиссы. Возможно, наиболее многообещающим вкладом иерархиче-
ского анализа является использование в структурировании задачи с самого начала
взаимно конфликтующих групп, а не пассивных свидетелей, а затем приход к со-
глашению через численные входные данные.
Рассмотрим кратко еще один метод, который сильно зависит от концепции кон-
сенсуса, – метод Дельфи. Этот метод является хорошо известным процессом, кото-
рый позволяет анализировать задачи, оценивать величины и прогнозировать пер-
спективную пользу от управления. Ниже приведено общее описание процедуры как
часть сравнения с иерархическим анализом.
Основные различия между методом Дельфи и иерархическим анализом следую-
щие:
1. Анонимное по сравнению с описанным групповое обсуждение. В методе Дель-
фи каждый участник группы отвечает анонимное на заранее подготовленную
анкету, чтобы избежать непропорционального влияния сильных личностей. В
иерархическом анализе критерии и суждения устанавливаются в основном от-
крытым групповым процессом.
2. Корректировка представляет собой последовательность туров по сравнению с
динамическим обсуждением. В методе Дельфи должен быть дан обзор резуль-
татов анкетирования, а корректировку требуется провести вновь на аноним-
ной основе. В иерархическом анализе при построении иерархии и произведе-
нии суждений используется динамическое обсуждение посредством взаимного
68
соглашения и пересмотра взглядов. Участники пытаются представить свои ар-
гументы открыто.
3. Анкета в качестве основы для суждений по сравнению с иерархической струк-
турой. В методе Дельфи вид анкеты предполагает выбор переменных, вклю-
ченных лицом, создающим анкету. В иерархиях группа решает, какие пере-
менные производят воздействие на требуемое суждение. Вначале все предло-
женные переменные принимаются. Позже в процедуре некоторыми из них
можно пренебречь из-за низкого приоритета, приписанного им группой.
4. Статистический и количественный анализ по сравнению с качественным ана-
лизом. Метод Дельфи требует численных ответов, которые должны быть под-
вергнуты статистическому анализу в качестве основы для следующего тура.
Для иерархий в суждения включены абсолютные числа от 1 до 9, отражающие
качественные суждения о парном сравнении и используемые как часть полу-
чения точной оценки для основной шкалы отношений. Согласованность как
необходимое условие, обосновывающее шкалирование реальности, является
важным критерием.
В обоих случаях процесс анализа задачи улучшает качество суждений, однако
метод иерархического анализа расчленяет суждение на элементарные компоненты и
поэтому лучше подходит к познавательной манере человека. Другим важным итогом
является определение группой множества важных переменных, что придает ей
большую уверенность в релевантности своих суждений. Эта процедура полезна для
уменьшения рассогласований открытым динамическим образом. Многие исследова-
тели, пользующиеся ею на практике, рекомендовали ее использование при плани-
ровании и прогнозировании как краткую и простую процедуру, отражающую мнения
участников с весьма эффективным результатом.
3.8. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ
Частое применение парных сравнений ведет к заинтересованности при сравне-
ниях троек, четверок и т. д. Примером сравнения троек является мысль о нахожде-
нии между. Например, B между A и C требует представления всех трех элементов: A,
B и C. Если нас интересует разработка шкалы для множества элементов из тройных
сравнений или сравнение более высокого порядка, то необходим метод представле-
ния сравнений для получения шкалы. Простым способом представления такого
n
-арного отношения является использование вектора, численные входы которого
указывают на взаимное положение
n
элементов в сравнении.
Известно, что с векторами пар можно ассоциировать числа следующим образом.
Достаточно показать, что существует взаимно однозначное соответствие между
множеством
1
E
действительных чисел
x
, таких, что
0
1
x
< ≤
, и множеством
2
E
то-
чек на плоскости, определяемом как
(
) (
) (
)
{
}
2
,
| 0
1 и 0
1
E
x y
x
y
=
< ≤
< ≤
. Теперь
каждый элемент
x
в
1
E
может быть представлен в форме
1
2
0, , ,
,
,
k
x x
x
…
…
. Этот
массив может быть разделен на «блоки». Таким образом, число 0,740653001... име-
ет последовательные блоки 7, затем 4, затем 06, затем 5, затем 3, затем 001 и т. д.
Каждый блок имеет разряд, отличный от нуля, и это последний разряд блока. Мы
имеем упорядоченную пару
(
)
1
1
2
2
1
2
1
2
0, , ,
, 0,
,
,
x x
x x
…
…
с
1
1
7
x
=
,
2
1
4
x
=
,
1
2
0,6
x
=
,
2
2
5
x
=
,
1
3
3
x
=
,
2
3
001
x
=
и т. д., что дает (0,7063; 0,45001), в котором блоки припи-
саны попеременно к двум координатам точки в
2
E
. Этот обратимый процесс пред-
ставляет взаимно однозначные соответствия между элементами в единичном интер-
вале и точками в единичном квадрате с нулем (0,0).
69
Ясно, что процесс (хотя и неоднозначный) может быть распространен на
3-компонентный вектор, если взять первый вход вместе с числом в
1
E
, которое ас-
социировано с вектором следующих двух входов, и затем, ассоциируя новое число в
1
E
с полученной парой и т. д., можно распространить процесс для
n
-компонентных
векторов. Таким образом (хотя и не единственным) можно концептуально ассоции-
ровать числа векторами. Для определенной задачи необходим хороший способ, по-
зволяющий сделать выбор.
Можно также распространить подход, основанный на собственных значениях для
парных сравнений, на использование комплексных чисел. Процесс будет соответст-
вовать сравнению объектов относительно двух независимых признаков одновремен-
но. При согласованном случае остается
A
n
ω
ω
=
с
n
, являющимся наибольшим соб-
ственным значением
A
, и отношение согласованности
/
jk
ik
ij
a
a a
=
также остается в
силе. Малые возмущения в коэффициентах могут теперь произвести малое ком-
плексное возмущение в
n
, в результате чего получим
max
λ
– комплексное число, и,
конечно, решение в общем случае будет комплексным. Нормализация к единице
прямым сложением больше не имеет смысла. Может стать необходимым применение
евклидовой нормы
(
)
1
2
1
2
,
a a
a
ia
= +
, которая будет
(
)
1/ 2
2
2
1
2
,
a a
. Обобщение может
быть проведено на кватернионы, т. е. числа вида
1
2
3
4
a
ia
ja
ka
+
+
+
,
и на октавы или октонионы, включающие восемь мнимых аргументов. Известно, что
дальше этих чисел выйти невозможно, так как тождества вида
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
1
8
1
8
1
8
a
a
b
b
c
c
+ +
+ +
=
+ +
…
…
…
возможны только для сумм 1, 2, 4 и 8 квадратов [167].
70
ГЛАВА 4
ИЕРАРХИИ И ПРИОРИТЕТЫ: ФОРМАЛЬНЫЙ ПОДХОД
4.1. ВВЕДЕНИЕ
Несмотря на отчасти абстрактное содержание данной главы, она включена в
первую часть книги, поскольку имеет решающее значение для приложений. Иллю-
стративные примеры, представленные ранее, в достаточной степени продемонстри-
ровали идею о композиции весов в иерархии. Читатель-неспециалист может пропус-
тить начальные математические рассуждения главы и перейти к оставшимся разде-
лам, в которых дано более глубокое обоснование важной роли, которую играют ие-
рархии в человеческом мышлении.
Начинается глава с изложения формального определения иерархии и структуры
приоритетов. Затем следует обсуждение группирования и его эффективности, стан-
дартизации измерения и согласованности иерархии. Кроме того, представлена ин-
терпретация концепции приоритетов, основанная на теории графов. Читателю,
имеющему поверхностные знания по теории матриц и теории графов, советуем
сперва ознакомиться с двумя приложениями по этим предметам.
4.2. ИЕРАРХИИ И ПРИОРИТЕТЫ
Как подтверждают примеры и графические представления иерархий, которые
были даны в начале книги, иерархию можно рассматривать как специальный тип
упорядоченных множеств или частный случай графа. Первая интерпретация выбра-
на в качестве основы нашего формального определения, а вторая – в качестве ил-
люстрации. Без сомнения, роли могут поменяться местами.
Определение 4.1. Упорядоченным множеством называют любое множество
S
с
бинарным отношением
≤
, которое удовлетворяет законам рефлексивности, анти-
симметричности и транзитивности:
Рефлексивность: для всех
x
,
x x
≤
.
Антисимметричность: если
x
y
≤
и
y x
≤
, то
x
y
=
.
Транзитивность: если
x
y
≤
и
y z
≤
, то
x z
≤
.
Для любого отношения
x
y
≤
(читается:
x
предшествует
y
) такого типа можно
определить
x
y
<
, что означает
x
y
≤
и
x
y
≠
. Говорят, что
y
покрывает (домини-
рует)
x
, если
x
y
<
и если
x t
y
< <
невозможно ни для какого
t
.
Упорядоченные множества с конечным числом элементов могут быть удобно
представлены направленным графом. Каждый элемент системы представлен верши-
ной так, что дуга направлена от
a
к
b
, если
b a
<
.
Определение 4.2. Просто или вполне упорядоченное множество (также назы-
ваемое цепью) есть упорядоченное множество со следующим дополнительным свой-
ством: если
,
x y S
∈
, то или
x
y
≤
, или
y x
≤
.
Определение 4.3. Подмножество
E
упорядоченного множества
S
называют
ограниченным сверху, если существует элемент
s S
∈
такой, что
x s
≤
для любого
x E
∈
. Элемент
s
называют верхней границей
E
. Говорят, что
E
имеет супремум
или наименьшую верхнюю границу в
S
, если
E
имеет верхние границы и у множе-
ства верхних границ
U
имеется элемент
1
u
такой, что
1
u
u
≤
для всех
u U
∈
. Эле-
мент
1
u
– единственный и называется супремумом
E
в
S
.