ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13052
Скачиваний: 110
86
ГЛАВА 5
ПРОГНОЗ, ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИОРИТЕТЫ,
ВЗАИМОЗАВИСИМОСТЬ ВХОД–ВЫХОД
И РАЗМЕЩЕНИЕ РЕСУРСОВ
5.1. ВВЕДЕНИЕ
Как это бывает с любой новой идеей, наш метод и лежащая в его основе теория
имеют много ответвлений, которые еще не полностью развиты. В данной главе
представлены несколько других аспектов метода собственного вектора (всего пять),
которые имеют практическую и теоретическую ценность, хотя многое в них еще
должно быть исследовано.
Первой из этих сфер является вычисление ожидаемых величин в задаче прогно-
зирования. Второй аспект – использование маргинальных приоритетов; третий – ди-
намические приоритеты, где сами суждения – функции времени, а собственный век-
тор вплоть до случая
4 4
×
вычисляется в явном виде через коэффициенты. Набро-
сок доказательства того, что в случае
3 3
×
левый собственный вектор является об-
ратным к правому собственному вектору приводится к гл. 7. Затем идеи иллюстри-
руются. Эта процедура может быть обобщена на иерархию, разделенную на класте-
ры и элементы, число которых на каждом уровне не превышает четырех. Теоретиче-
ской трудности в подобной декомпозиции иерархии нет. Четвертая тема, которая
обсуждается, – вычисление коэффициентов матрицы прямых затрат в модели
«вход–выход» на уровне страны. Поэтому будет проиллюстрирован способ получе-
ния приоритетов, когда между видами действия существует взаимосвязь. Для срав-
нения представлена таблица, полученная экспертами в результате применения
сложной эконометрической техники. Будет показано, что результаты близки и наш
подход может быть использован для проведения первой оценки таблиц «вход–
выход». Последнее полезное приложение относится к размещению ресурсов, в ко-
тором используется иерархия эффективности и иерархия стоимости, а также даны
другие примеры, иллюстрирующие эффективность МАИ в этой важной области при-
ложений. Наконец, попутно упоминаются некоторые результаты исследований, про-
веденных по вероятностным суждениям, и их интерпретации. Это может оказаться
полезным при проведении статистического анализа суждений, полученных от мно-
гих лиц.
5.2. ОЖИДАЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ,
ПОЛУЧАЕМЫЕ МЕТОДОМ АНАЛИЗА ИЕРАРХИЯ: ПРОГНОЗ
Приведенный ниже пример используется в качестве иллюстрации, а не убеди-
тельного доказательства того, что суждения людей приводят к результатам, нахо-
дящимся в тесном согласии с научными прогнозами экспертов, которые опираются
на множество факторов.
В иерархическом подходе к оценке размера семьи участвовали две группы лю-
дей. (Одна группа изучала вопрос за период со второй мировой войны до начала
семидесятых, а другая – охватила и восьмидесятые годы.) Первая группа разрабо-
тала следующую иерархию уровней и факторов на каждом уровне.
Уровень 1. Средняя численность детей в американской семье.
Уровень 2. Образование, доход, размер существующей семьи, религия и интен-
сивность работы матери.
Уровень 3. Высокий, средний и низкий для каждого фактора на уровне 2.
87
Уровень 4. Ожидаемая численность детей (от 1 до 5) в семье.
В результате были получены пять факторов, доминирующих в соответствии с
приоритетами их вклада в размер семьи между второй мировой войной и началом
семидесятых. Это были: малое количество лет, связанных с образованием; низкий
доход; высокий доход; среднее количество лет на образование и степень религиоз-
ности. Их приоритеты затем нормализовались.
Заметим теперь, что фактор с высоким приоритетом, влияющий на размер семьи,
такой как высокий доход, не может встречаться у населения с такой же частотой,
как средний доход или сильная религиозность. Поэтому мы должны оценить относи-
тельную частоту появления этих факторов у населения, используя парные сравне-
ния, получить собственный вектор и умножить соответствующие компоненты двух
собственных векторов – первоначального и ориентированного на общую числен-
ность населения, затем нормализовать по факторам новый вектор для получения
чистого относительного приоритета для каждого фактора с высоким приоритетом в
соответствии с его распределением среди населения. Наконец, собственные векторы
преобладания численности детей в соответствии с каждым из пяти факторов были
взвешены каждой соответствующей компонентой повторно нормализованного векто-
ра. Был получен следующий результат:
Численность детей 1 2 3 4 5
Приоритет
0,087 0,191 0,282 0,292 0,150
Ожидаемая численность детей будет
0,087 1 0,181 2 0,282 3 0,292 4 0,150 5 3,23
× +
× +
× +
× +
× =
Позднее было установлено, что прогноз демографов о средней рождаемости де-
тей женщинами, родившимися в период 1923–27 гг., был 3,10, а родившимися в
1928–32 гг. – 3,14; женщины обеих групп рожали детей в период после второй ми-
ровой войны.
Вторая группа людей использовала следующие факторы: наличие контроля над
рождаемостью и абортами; работа матери; позднее материнство; образование мате-
ри; стоимость воспитания детей и влияние общества. Собственные векторы этих
факторов не потребовали демографического сглаживания; их сочли равномерно
распределенными. Не были рассмотрены также высокие, средние и низкие значения
факторов. Следующий собственный вектор был получен в качестве приоритетов
численности детей относительно этих пяти факторов:
Численность детей 1 2 3 4 5
Приоритет
0,028 0,174 0,495 0,239 0,064
Отсюда ожидаемая численность детей получается 2,14, что сравнимо с величи-
ной 2,11, которая получена демографами для восьмидесятых годов.
При применении метода для оценки роста товарооборота несмотря на воздейст-
вие инфляции, спада и повышения стоимости энергии, во-первых, были получены
приоритеты трех критериев. Затем рост товарооборота был разбит на диапазоны
(
)
0 5 %
−
,
(
)
6 10 %
−
,
(
)
11 15 %
−
и
(
)
15 20 %
−
. Эти четыре диапазона использова-
лись как сравниваемые элементы в отдельных матрицах в соответствии с вероятно-
стью их реализации по каждому из трех критериев. Средняя степень роста была вы-
числена так же, как и в случае с размером семьи. Среднее значение может быть ис-
пользовано для вычисления дисперсии.
88
5.3. МАРГИНАЛЬНЫЕ ПРИОРИТЕТЫ
До сих пор в исследовании по установлению приоритетов сравнивались виды
действий относительно критериев, в предположении, что критерий мыслится в неко-
тором усредненном виде. Например, при сравнении школ в соответствии с наличием
друзей не учитывалась возможность того, что число друзей может быть малым или
большим, из-за чего желательность школ может оказаться различной.
Есть два способа разрешения этой проблемы. Первый заключается в параметри-
зации количества друзей относительно некоторых пределов, которые как раз указа-
ны, например, нет друзей, немного друзей, больше, чем немного, много и т. д. Од-
нако с этим подходом связана определенная нечеткость, так как количество, по-
видимому, не имеет прямого отношения, например, к степени дружелюбия, и к тому,
какое количество этого свойства может быть шкалировано. Один индивидуум может
обладать большей или меньшей способностью быть другом, чем другой.
Более пригодным подходом может стать сравнение школ в соответствии с их же-
лательностью при увеличении или уменьшении количества друзей на еще одного
(единица !) друга. Маргинальный анализ такого типа проводится в несколько итера-
ций. Результатом будет множество собственных векторов, которые позволят полу-
чить закон для изменения желательности каждой школы относительно количества
друзей, или относительно степени дружелюбия, которую также можно попытаться
определить. Для многих проблем это более точно представляет динамику задачи,
поскольку в зависимости от уровня насыщения маргинальное увеличение в свойстве
может различным образом влиять на критерии (аналогично производной функции,
величина которой, в общем, различна от точки к точке). Подход может быть обоб-
щен на всю иерархию, однако вычисления будут долгими и утомительными.
Метод собственного значения может быть использован для определения величи-
ны собственного вектора при маргинальных изменениях в рассматриваемых свойст-
вах. Он, конечно, не должен совпадать с собственным вектором, который представ-
ляет влияние свойств. Следующий пример можно взять в качестве иллюстрации, а
не точного представления проблемы. Во-первых, проведем обычный анализ матри-
цы превосходства с собственным вектором, а затем займемся матрицей маргиналь-
ного анализа со своим собственным вектором.
В качестве примера имеем строителя шоссейных дорог, который был безработ-
ным и только что нашел работу. Его предпочтения иллюстрируются следующими ха-
рактеристиками:
A
– деньги;
B
– участие в совместной бригадной работе;
C
– хо-
рошие условия труда;
D
– укороченный рабочий день;
E
– разнообразие заданий;
F
– автономия.
A
B
C
D
E
F
A
1 6 5 3 7 9
B
0,17 1 0,25 0,2 4 3
C
0,2 4 1 0,33 3 4
D
0,33
5 3 1 6 7
E
0,14 0,25 0,33 0,17 1 0,2
F
0,11 0,33 0,25 0,14 5
1
max
6,79
λ
=
; ИС = 0,16; ОС = 0,13
Наибольшее собственное значение этой матрицы равно 6,79. Собственный век-
тор будет (0,448; 0,076; 0,135; 0,257; 0,031; 0,052). Это указывает на то, что день-
89
ги являются характеристикой работы, намного превосходящей другие, затем следу-
ют укороченный рабочий день, хорошие условия труда и т. д.
Элементы следующей маргинальной матрицы сравнений оцениваются ответами
на вопрос: «Насколько больше человек предпочитает малое изменение одной ха-
рактеристики по сравнению с малым изменением другой при получении работы?»
A
B
C
D
E
F
A
1 0,15 0,2
0,333 3 6
B
7 1 3 3 5 7
C
5
0,333
1 3 3 3
D
3 0,333
0,333 1 5 5
E
0,333 0,2 0,333 0,2 1
4
F
0,17 0,14 0,333 0,2 0,25 1
max
6,87
λ
=
; ИС = 0,7; ОС = 0,14
Наибольшее собственное значение этой матрицы равно 6,87. Собственный век-
тор – (0,093; 0,409; 0,236: 0,166; 0,062; 0,034). В этом случае предпочтение отда-
ется маргинальному улучшению условий для совместной бригадной работы, за кото-
рым следует хорошие условия труда, затем укороченный рабочий день и т. д.
Анализ подобного рода позволяет взглянуть на работу с точки зрения не только
ее начальных достоинств, но и потенциальных возможностей управления, чтобы
провести тот тип маргинальных усовершенствований, который оценивается наибо-
лее высоко.
5.4. ДИНАМИЧЕСКИЕ СУЖДЕНИЯ И УРАВНЕНИЕ:
( ) ( )
( ) ( )
max
A t
t
t
t
ω
λ
ω
=
В отношении использования метода анализа иерархий часто возникает вопрос:
«Что следует делать, если суждения меняются?» Естественный ответ на этот вопрос
может быть таким: «Следует решить новую задачу». Но это не то, что обычно люди
имеют в виду. Возможно то, что им хочется, есть параметризованное решение зада-
чи о собственном векторе как функции времени для обеспечения совместимости не
только того, что думают люди сейчас, но и того, что они, вероятнее всего, будут ду-
мать позднее. Поэтому желательно аналитическое решение задачи о собственном
значении
( ) ( )
( ) ( )
max
A t
t
t
t
ω
λ
ω
=
.
Можно сказать, что по своей природе суждения меняются в соответствии с раз-
личными ситуациями. Если они следуют известной тенденции, соответствующей оп-
ределенному параметру, то можно было бы устроить так, чтобы суждения следовали
изменениям параметра. Например, у военного летчика может быть некоторое коли-
чество стратегий для выбора в зависимости от скорости его самолета, расстояния до
вражеского самолета или от количества топлива в баках. Важность одной стратегии
по сравнению с другой будет функцией скорости, или расстояния, или запаса топ-
лива. Одним из способов решения этой задачи будет неоднократная фиксация вели-
чин временного параметра и затем шкалирование подгонки кривых для различных
величин, полученных для каждой компоненты собственного вектора.
Элегантным подходом могло бы стать разложение иерархии на кластеры, число
которых не превышает четырех в кластерах сравнений, получение описания
max
λ
90
как функции коэффициентов путем решения при необходимости квадратного, куби-
ческого уравнения, или четвертой степени, и далее решение задачи о собственном
значении в явном виде через коэффициенты, а также через
max
λ
. Затем можно при-
менить принцип иерархической композиции для получения общих весов как функ-
ции времени.
Согласно теории Галуа наибольший порядок матрицы, для которой с помощью
простой квадратуры можно получить
max
λ
в явной форме, равен четырём. Как было
отмечено ранее, при необходимости использования матрицы более высокого поряд-
ка следует внести статические численные суждения, полученные для различных пе-
риодов времени, и решить соответствующую задачу.
Для суждений о парных сравнениях можно попытаться подогнать одну из функ-
ций, представленных в табл. 5.1, к изменяющимся суждениям. Эти функции пред-
ставлены в параметрическом виде так, что параметр можно установить для опреде-
ленного сравнения в надежде на сохранение границ шкалы 1–9, которую мы приме-
няем в дискретном случае в качестве предела диапазона значений (или любой дру-
гой удобной шкалы, используемой в дискретном случае). Эти функции отражают
наши интуитивные чувства об изменении в тренде: постоянном, линейном, лога-
рифмическом и экспоненциальном, возрастающем до максимума и убывающем, или
Таблица 5.1. Динамические суждения
Интенсивность
важности,
зависимой от
времени
Описание
Объяснение
α
Постоянное для всех
t
целое число
,
1
9
α
≤ ≤
Относительный вес не изме-
няется
( )
1
2
a t
a
+
Линейное отношение по
t
,
увеличиваю-
щееся или уменьшающееся до некоторой
точки. Отметим, что обратная величина –
гипербола
Постоянное увеличение од-
ного вида деятельности по
сравнению с другим
(
)
1
2
log
1
b
t
b
+ +
Логарифмический рост до определённой
точки, а затем постоянство
Быстрое увеличение (умень-
шение), за которым следует
медленное увеличение
(уменьшение)
2
1
3
c t
c e
c
+
Экспоненциальный рост (или убывание,
если
2
c
– отрицательно) до определённой
точки и затем постоянство (отметим, что
обратная величина в случае, если
2
c
от-
рицательно – логистическая S-образная
кривая)
Медленное увеличение
(уменьшение), за которым
следует быстрое увеличение
(уменьшение)
2
1
2
3
d t
d t d
+
+
Парабола с максимумом или минимумом в
зависимости от того, отрицательно или
положительно
1
d
и затем постоянство
(может быть модифицирована для асим-
метричности вправо или влево)
Увеличение (уменьшение) до
максимума (минимума) и за-
тем уменьшение (увеличе-
ние)
(
)
1
2
3
sin
n
e t
t e
e
+
+
Колебания
Колебание с увеличиваю-
щейся (уменьшающейся) ам-
плитудой в зависимости от
0
n
>
(
)
0
n
≤
Катастрофы
Указываются разрывы
Чрезвычайно сильные изме-
нения в интенсивности