ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13073
Скачиваний: 111
151
Таблица 6.11. Критерии выбора кандидата от демократической партии
Обаяние
Персональные свойства лидера, вызывающие энтузиазм
и поддержку
Имидж
Шарм, личная привлекательность; ассоциация с другими
привлекательными людьми
Опыт
Предыдущие посты, имеющие отношение к президенту;
готовность к тому, чтобы стать президентом
Экономическая политика
Последовательность и ясность в экономической политике
страны
Компетентность в между-
народных отношениях
Последовательность и ясность во внешней политике плюс
умение находить общий язык с зарубежными лидерами
Моральный облик
Высокие моральные принципы, верность своему слову
Прошлые действия
Качество исполнения роли в прошлом, независимо от ро-
ли на предыдущих общественных постах; общественная
характеристика
Честность
Законность в общественной жизни, приверженность за-
конам
Эти вопросы сравнивались попарно в соответствии с их относительным вкладом
в общий успех кандидата в президенты. Наиболее важным фактором оказался мо-
ральный облик, за ним идут с почти одинаковым весом четыре характеристики:
опыт, прошлые действия, экономическая политика и местность. Обаяние, компе-
тентность в международных отношениях и особенно имидж получились сравнитель-
но незначительными. Суждения конгрессмена были хорошо согласованными (индекс
согласованности 0,07, который мал для матрицы такого порядка) [134].
По этим критериям было отобрано и сравнено несколько кандидатов для получе-
ния относительного веса их приоритетов.
6.12. АТТЕСТАЦИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ
Каждый год по всей стране аттестационные комиссии щедро одаривают мандата-
ми кандидатов на продвижение по службе и пребывания в должности.
Рис. 6.14
152
На рис. 6.14 приведена иерархия, которая использовалась на практике для
обеспечения основы для суждений. Хотя используемые критерии могут быть одними
и теми же для ассистентов, доцентов и профессоров, суждения становятся более же-
сткими по таким показателям, как значимость и качество научной работы для про-
фессоров. Вначале комиссия устанавливает стандарты по критериям. Затем получа-
ют общие приоритеты для критериев, которые также оцениваются комиссией. Те-
перь все кандидаты оцениваются по одним и тем же критериям, и итоговый собст-
венный вектор кандидата сравнивается с собственным вектором стандарта, который
вычислен ранее. Среднеквадратичное отклонение и медианное абсолютное откло-
нение могут быть использованы для решения вопроса о том, насколько значительна
разность.
6.13. ОПТИМАЛЬНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕРРИТОРИИ
В приложении к использованию территории были применены следующие крите-
рии для получения приоритетов различных земельных участков: живая природа,
места отдыха, разработка полезных ископаемых, экономическое развитие, наличие
леса. Территория была сначала разделена на кластеры с несколькими участками в
каждом, а затем эти кластеры были разделены на части и сравнены.
153
ЧАСТЬ III
ТЕОРИЯ
Обратносимметричные матрицы – Системы с обратной связью – Краткое
сравнение с другими работами.
Теперь вновь займемся формальной стороной предмета, определив и охаракте-
ризовав иерархии и нелинейные сети. При этом исследуем свойства обратносиммет-
ричной матрицы парных сравнений и устойчивость ее максимального собственного
значения и соответствующего собственного вектора. Глава 7 посвящена теории
Перрона-Фробениуса и свойствам согласованных и обратно-симметричных матриц. В
гл. 8 излагается метод Варфильда структурирования систем, а также наша теория
приоритетов, обобщенная на системы. В гл. 9 кратко обсуждаются шкалирование и
теория полезности, включая работу Терстена и процедуру наименьших квадратов.
154
ГЛАВА 7
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЕ
МАТРИЦЫ И ИХ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
7.1. ВВЕДЕНИЕ
В гл. 4 определены функция приоритетов и вектор приоритетов
ω
в иерархии
H
. Как известно читателю, способ нахождения приоритетов наиболее важен в на-
шем методе. Для матрицы
A
действительных чисел, представляющих попарные
сравнения важности элементов на одном уровне
H
по отношению к одному элемен-
ту расположенного выше уровня, определяются наибольшее собственное значение
max
λ
и решение уравнения
max
A
ω λ ω
=
.
Поэтому наши интересы направлены на изучение квадратных матриц
( )
ij
A
a
=
,
для которых
0, ,
1,
,
ij
a
i j
n
>
= …
,
и
1
, ,
1,
,
ji
ij
a
a i j
n
=
= …
,
т. е. положительных, обратносимметричных. квадратных матриц. Особую важность
приобретают матрицы, не только обладающие приведенными выше свойствами, но и
являющиеся согласованными, что означает наличие такого важного соотношения:
, , ,
1,
,
ik
ij
jk
a
a a
i j k
n
=
= …
.
В этой главе рассматривается та часть теории матриц, которая необходима для
обоснования математических свойств нашего метода (см. определения в Приложе-
нии 1).
Начнем систематическое изложение с введения понятия неприводимой матрицы.
Весь нужный материал по неприводимым матрицам, используемый в книге, приве-
ден в следующем разделе. Затем изложим фундаментальную теорему Перрона-
Фробениуса для неотрицательных неприводимых матриц, которая обеспечивает су-
ществование единственного решения задачи о собственном значении. Так как рас-
сматриваемые обратносимметричные матрицы положительны, сконцентрируем вни-
мание на положительных матрицах, теореме Перрона и ее доказательстве. Далее
доказывается, что искомый собственный вектор может быть получен как предельная
сумма строк
k
A
, где
A
– примитивная матрица. Затем кратко описывается способ
вычисления собственного вектора на практике, после чего обсуждаются согласован-
ность обратносимметричной матрицы, отклонение ее главного собственного значе-
ния от
n
, нечувствительность этого собственного значения по отношению к малым
возмущениям в
A
, а также изучаются свойства согласованных матриц.
Далее рассматриваются характеристики обратносимметричных матриц и их пра-
вых и левых собственных векторов, а также вопрос о том, что малые возмущения
элементов обратносимметричной матрицы вызывают малые возмущения компонент
ее главного собственного вектора. В том же разделе приводится формула, принад-
лежащая Варгасу, для величины возмущения, которое получает каждая компонента
собственного вектора как функция возмущения исходной матрицы.
155
7.2. НЕПРИВОДИМЫЕ МАТРИЦЫ
Обратносимметричные матрицы попарного сравнения не содержат нулей, следо-
вательно, они всегда неприводимы. Понятие неприводимости понадобится при рас-
смотрении общем системы в гл. 8, где придется иметь дело именно с неприводимы-
ми, а не просто положительными матрицами.
Определение 7.1. Квадратная матрица – неприводимая (по отношению к пере-
становкам), если она не может быть представлена в виде
1
2
3
0
A
A
A
, где
1
A
и
2
A
–
квадратные матрицы, 0 – нулевая матрица. В противном случае матрицу называют
приводимой. Следующая матрица — приводима:
2 0 1
1
3 4
3
0 2
A
−
=
.
Граф, соответствующий этой матрице, имеет дугу из первой в первую и третью
вершины и аналогично из третьей в первую и третью вершины, но переход во вто-
рую вершину невозможен. Со второй вершины можно перейти во все три вершины.
Таким образом, первая и третья вершины образуют неприводимую компоненту, а
вторая связана с ними. Очевидно, меняя местами второй и третий столбцы, а также
вторую и третью строки, рассматриваемую матрицу можно привести к виду
1
2
3
2 0 1
0
1
3 4
.
.
.
3
0 2
A
A
A
A
−
=
=
где
1
A
и
3
A
– квадратные,
1
A
– неприводимая матрицы.
Следующая теорема касается эквивалентности свойства неприводимости матри-
цы и сильной связности направленного графа матрицы.
Теорема 7.1. Комплексная матрица
A
неприводима в том и только в том слу-
чае, если ее направленный граф
( )
D A
— сильно связный.
Доказательство этой теоремы довольно очевидно. Любая степень приводимой
матрицы
A
также приводима и, следовательно, имеет блок нулей в правом верхнем
углу. Поэтому не существует пути между вершинами, соответствующими
1
A
, и вер-
шинами, соответствующими
2
A
и
3
A
. Наоборот, если граф не сильно связный, то
существует блок вершин, которые не могут быть достигнуты, и подходящими пере-
становками соответствующая матрица может быть приведена к указанной выше
форме.
Теорема 7.2. Квадратная матрица или неприводима, или может быть приведена
путем перестановок индексов к виду:
1
2
1,1
1,2
1,
1
,1
,2
,
,
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
k
k
k
k
k
k
m
m
m k
m k
m
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
+
+
+
+
+
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
,