ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13062
Скачиваний: 110
171
Эта формула справедлива и для случая
( )
k
f A
A
=
(для кратных собственных
значений), когда кратное собственное значение равно нулю. Подставляя сначала
( )
f A
A
=
, а затем
( )
k
f A
A
=
, в обоих случаях при
1
n
λ
=
,
0
j
λ
=
,
1
j
≠
, получаем
1
2
n
n
A
n
A
−
−
=
,
1
1
k
k n
n
A
n
A
− −
−
=
соответственно. Подстановка
1
n
A
−
из первого результата во второй дает
1
k
k
A
n A
−
=
.
Теорема 7.22. Любой столбец матрицы
(
)
i
j
A
ω ω
=
является решением задачи
о собственном значении
A
n
ω
ω
=
,
(
)
1
,
,
n
ω
ω
ω
=
…
.
Доказательство.
Так
как
любой
столбец
матрицы
имеет
вид
1
2
,
,
,
T
j
j
n
j
ω ω ω ω
ω ω
…
, то он является просто кратным
ω
и, следовательно,
решением задачи.
Из последней теоремы получается предыдущая теорема, так как если обозначить
столбцы
A
через
(
)
1
2
, ,
,
n
a a
a
…
, то
(
) (
)
1
2
1
2
, ,
,
,
,
,
n
n
A A
a a
a
na na
na
nA
⋅ =
=
=
…
…
.
Теорема 7.23. Любая строка матрицы
(
)
i
j
A
ω ω
=
есть решение задачи
A n
υ
υ
=
.
Доказательство очевидно.
Следствие. Компоненты правого и левого собственных векторов,
ω
и
υ
, явля-
ются обратными величинами с точностью до постоянного множителя. (Будем назы-
вать их двойственными векторами.)
Определим норму матрицы
A
как
T
A
e Ae
=
(т. е. она является суммой всех
элементов
A
).
Как известно, для примитивной матрицы
A
max
lim
k
k
k
A e
c
A
ω
→∞
=
,
где
c
– постоянная,
max
ω
– нормализованный главный собственный вектор
A
.
Следующая теорема является упрощенной версией этой теоремы для согласованных
матриц.
Теорема 7.24. Если
A
положительная согласованная
(
)
n n
×
-матрица, то
Ae C
ω
=
, где
0
C
>
постоянная и
ω
удовлетворяет равенству
A
n
ω
ω
=
.
Доказательство. Вектор
Ae
является суммой строк
A
и, очевидно, постоянным
множителем любого столбца. Поэтому он является решением задачи о собственном
значении.
Другой вариант доказательства. Легко показать, что
A
имеет единичный ранг
тогда и только тогда, когда существуют векторы
x
и
y
, такие, что
T
A xy
=
. Отсюда
(
)
,
A
y
x n
ω
ω
ω
=
=
,
(
)
1 1
,
n
n
y
y
y
ω
ω
ω
=
+ +
…
,
и, следовательно,
( )
( ) ( )
,
,
,
n
A
y e x
y e
C
y
ω
ω
ω
=
=
≡
.
Следствие 1. Если
(
)
i
j
A
ω ω
=
, то
1
n
i
i
i
i
C
ω ω
ω
=
=
∑
.
Следствие 2.
172
(
)
1
1
1
,
,
k
k
n
T
k
k
T
T
A e
n Ae
Ae
C
e A e
n e Ae
e Ae
ω
ω
−
−
=
=
=
…
,
0
C
>
.
Следующая теорема показывает, что в случае согласованных матриц компоненты
собственного вектора изменяются монотонно с изменениями отдельных элементов.
Теорема 7.25. (Теорема о монотонности.) Пусть
( )
ij
A
a
=
– положительная
согласованная матрица с главным собственным вектором
(
)
1
,
,
n
ω
ω
ω
=
…
. Заменим
один элемент
xy
a
на
0
xy
a
ε
+ >
и, используя строку
x
, построим новую согласован-
ную матрицу
( )
*
*
ij
A
a
=
. Пусть
(
)
*
*
*
1
,
,
n
ω
ω
ω
=
…
– главный собственный вектор мат-
рицы
*
A
. Тогда
*
x
x
ω
ω
>
.
Доказательство. Так как и
A
и
*
A
согласованны, любой нормализованный стол-
бец дает главный собственный вектор. Рассмотрим столбец, содержащий
1
xy
a
в
матрице
A
, и соответствующий столбец, содержащий
(
)
1
xy
a
ε
+
в матрице
*
A
. Два
столбца идентичны за исключением этого единственного элемента. Сумма элементов
столбца в
*
A
меньше, чем сумма элементов столбца в
A
. Поэтому, нормализуя дан-
ный столбец, получаем большее отношение для всех тех элементов, которые не ме-
няются в обеих матрицах. В частности, это верно для
*
x
ω
, поэтому
*
x
x
ω
ω
>
.
В дальнейшем обобщим эту теорему на обратносимметричные матрицы порядка
2, 3 и 4.
Теорема 7.26. Если
A
– положительная согласованная матрица и
A′
получена
из
A
вычеркиванием
i
-й строки и
i
-го столбца, то
A′
– согласованна и ее соответ-
ствующий собственный вектор получается из
A
, если положить
0
i
ω
=
и нормализо-
вать компоненты.
Доказательство. Для любой заданной строки
A
, например для первой, имеем
1
1
ij
i
j
a
a a
=
и
i
-я строка
A
зависит от элемента
i
-го столбца в его первой строке.
Аналогичное следует из
1
1
ik
k
j
a
a
a
=
. Поэтому ни один элемент в
A′
не зависит от
i
-й строки или
i
-го столбца
A
и, следовательно,
A′
также согласованна. Так как
их элементы совпадают за исключением
i
-й строки и
i
-го столбца
A
и решение за-
дачи о собственном значении при согласованной матрице получается из любого
нормализованного столбца, получаем утверждение теоремы.
Замечание. В общем случае, если
( )
ij
A
a
=
– матрица парных сравнений, а
( )
ij
A
a
′
′
=
при
ij
ij
a
a
′ =
,
,
1,
,
i j
n
= …
,
i k
≠
,
j k
≠
и
0
ij
a′
=
,
i k
=
или
j k
=
, и если
нормализованные собственные векторы уравнений
max
A
ω λ ω
=
и
max
A
ω λ ω
′ ′
′
=
– со-
ответственно
ω
и
ω
′
, то
0
k
ω
′ =
, однако
α
β
α
β
ω ω
ω ω
′
′ ≠
для всех
α
и
β
. Другими
словами, исключение одной строки из матрицы парных сравнений не вызывает про-
порционального перераспределения весов среди других строк.
Следующая теорема показывает, что отношения порядка между отдельными
ij
a
и
i
j
ω ω
довольно сложным образом зависят от всей матрицы
A
и ее степеней.
Теорема 7.27. Для примитивной матрицы
A
имеем, что
ij
kl
a
a
≥
, тогда и только
тогда, когда
i
j
k
l
ω ω
ω ω
≥
, при условии, что
173
( )
( )
( )
( )
lim
lim
m
m
ip
kq
p
q
p j
q j
m
m
m
m
j
l
a
A e
a
A e
A e
A e
≠
≠
→∞
→∞
≥
∑
∑
(
( )
p
⋅
– означает
p
-ю компоненту вектора).
Доказательство. Из равенства
1
n
ij
j
i
j
a
ω
λω
=
=
∑
имеем
( )
1
ij
i
j
j
ip
p
p j
a
a
λω ω
ω
ω
≠
=
−
∑
и
(
)
1
kl
k
l
l
kq
q
q l
a
a
λω ω
ω
ω
≠
=
−
∑
.
Поэтому
ij
kl
a
a
≥
только при
( )
(
)
1
1
i
k
j
ip
p
l
kq
q
p j
q l
j
l
a
a
λω
λω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
≠
≠
≥
+
−
∑
∑
.
Следовательно, теорема верна, если имеет место следующее неравенство:
( )
(
)
1
1
j
ip
p
l
kq
q
p j
q l
a
a
ω
ω
ω
ω
≠
≠
≥
∑
∑
Используя теорему о пределе для примитивной матрицы, заменим каждый
s
ω
на
( )
lim
m
s
T
m
m
A e
e A e
→∞
,
что завершает доказательство.
Теперь обратимся к важному обобщению предыдущих результатов. Будем счи-
тать, что наш разум работает фактически с попарными сравнениями, однако
ij
a
яв-
ляются не оценками
i
j
ω ω
, а некоторой функцией –
(
)
ij
i
j
a
ω ω
. Например, по на-
блюдениям Стивенса (см. [22])
ij
a
, осознаваемый для протетических явлений (про-
цессов добавления возбуждения к возбуждению), принимает вид
(
)
a
i
j
ω ω
, где
a
лежит где-то между 0,3 (в случае оценки громкости) и 4 (в случае оценки электри-
ческого удара). Другими случаями являются: яркость – от 0,33 до 0,50, длина – 1,1,
продолжительность во времени – 1,15, численность – 1,34, тяжесть – 1,45 и ско-
рость – 1,77. Для метатетических явлений (процессов замещения возбуждения воз-
буждением), по мнению Стивенса, степенной закон неприменим, т. е. для процессов
мышления
1
a
=
.
Эти наблюдения обусловливают интерес к изучению общего решения
( )
i
i
g
ω
,
1,
,
i
n
= …
; задачи о собственном значении, где предполагается условие согласован-
ности вида
( ) ( )
( )
ij
jk
ik
f a
f a
f a
=
,
для которого матрица также имеет единичный ранг. Наш основной результат – сле-
дующий.
174
Теорема 7.28. (Степенной закон собственного значения.) Если матрица
(
)
ij
i
j
A
a
ω ω
=
порядка
n
удовлетворяет обобщенному условию согласованности,
то задача о собственном значении
(
) ( )
( )
1
n
ij
i
j
j
j
i
i
j
a
q
nq
ω ω
ω
ω
=
=
∑
,
1,
,
i
n
= …
,
имеет решение в виде собственного вектора
(
)
( )
( )
1
1
1
,
,
,
,
a
a
n
n
n
q
q
ω
ω
ω
ω
≡
…
…
.
Доказательство. Выражение
(
)
ij
i
j
i
i
j
j
a
g
g
ω ω
ω
ω
=
имеет место при решении
( )
i
i
g
ω
,
1,
,
i
n
= …
, задачи о собственном значении. Если подставим его в условие
согласованности, то получим
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
{
}
i
i
j
j
j
j
k
k
i
i
k
k
j
j
k
k
f g
g
f g
g
f
g
g
g
g
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
.
Или,
если
положим
( )
( )
i
i
j
j
x g
g
ω
ω
=
,
( )
( )
j
j
k
k
y g
g
ω
ω
=
,
то
получим
( ) ( )
( )
f x f y
f xy
=
. Это функциональное уравнение имеет общее решение
( )
a
f x
x
=
.
Таким образом, обобщая условие согласованности для
A
, находим, что обобще-
ние соответствующей задачи о собственном значении (с
max
n
λ
=
) возможно, если
заменим
ij
a
на постоянную степень
a
его аргумента. Однако мы знаем, что
ij
i
j
a
ω ω
=
при
1
a
=
, поэтому, вообще говоря,
(
)
a
ij
i
j
a
ω ω
=
, из чего следует, что
( )
( ) (
)
a
i
i
j
j
i
j
g
g
ω
ω
ω ω
=
,
,
1,
,
i j
n
= …
,
т. е.
( )
( )
a
i
i
i
i
g
g
ω
ω
ω
=
=
,
1,
,
i
n
= …
.
Эта теорема показывает, что решение задачи о собственном значении, удовле-
творяющей условию согласованности, дает оценки в степенной шкале. В тех прило-
жениях, где для получения данных используется знание, а не наши ощущения, сле-
дует ожидать равенства степени единице, и, следовательно, здесь мы будем иметь
оценку в основной шкале. Это наблюдение может быть полезным в социальных при-
ложениях.
Замечание. Отметим, что различные матрицы попарных сравнений могут давать
один и тот же собственный вектор. Это довольно удачное обстоятельство, так как
позволяет заменять признаки и все же получать тот же самый собственный вектор в
качестве ответа. Поэтому можно получить один и тот же результат с различных то-
чек зрения и выбрать те матрицы, которые мы предпочитаем. С другой стороны, мир
познания может быть сведен к малому множеству признаков с фиксированными зна-
чениями относительной шкалы. Отношения и их интенсивность будут детерминисти-
ческими, и индивидуальное предпочтение не будет существенным. Конечно, это не
приведет к конфликту. Однако разнообразие с конфликтом богаче детерминизма.
Здесь возникает технический вопрос: при заданном собственном векторе и всех
матрицах, из которых он получен, можно ли перейти от одной из них на любую дру-
гую, производя малые возмущения в элементах? В частности, возможен ли переход
из матрицы отношений к любой другой матрице малыми возмущениями?
Другим вопросом будет: при рассмотрении двух собственных векторов, являю-
щихся малыми возмущениями каждого, существуют ли малые возмущения, которые
переводят один класс соответствующих матриц в другой?
175
7.6. ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ
Теперь исследуем некоторые свойства положительных, обратносимметричных
матриц.
Теорема 7.29. Собственные значения положительной обратно-симметричной
матрицы удовлетворяют следующему уравнению:
,
0
j k
j k
j k
λ λ
≠
=
∑
.
Доказательство. Мы знаем, что
( )
1
n
tr A
n
λ
λ
+ +
=
=
…
и
( )
2
2
2
2
1
n
tr A
n
λ
λ
+ +
=
=
…
,
так как
2
i
λ
– собственное значение
2
A
. Поэтому
(
)
2
2
2
1
1
,
n
n
i
j k
i
j k
j k
n
λ
λ
λ
λ λ
=
≠
=
+ +
=
+
∑
∑
…
,
из чего следует, что второе слагаемое справа равно нулю.
Теорема 7.30. Пусть
( )
ij
A
a
=
есть
(
)
n n
×
-матрица положительных элементов с
1
ji
ij
a
a
−
=
.
A
согласованна тогда и только тогда, когда
max
n
λ
=
.
Доказательство. Из уравнения
1
1
n
ij
j
i
j
a
λ
ω ω
−
=
=
∑
получаем
(
)
1
1
1
,
1
1
n
ij
j
i
ij
j
i
i
j
ij
i j
i j n
i j
n
n
a
a
a
λ
ω ω
ω ω
ω ω
−
−
−
=
≤ < ≤
≠
− =
=
+
∑
∑
.
Очевидно, что из равенства
ij
i
j
a
ω ω
=
, получим
n
λ
=
, а также
max
n
λ
=
, так как
сумма собственных значений равна
n
, следу матрицы
A
.
Чтобы доказать обратное утверждение, заметим, что предыдущее выражение со-
держит только два члена, включающих
ij
a
, а именно,
1
ij
j
i
a
ω ω
−
и
1
i
j
ij
a
ω ω
−
. Их сумма
имеет вид
( )
1
y
y
+
. Чтобы убедиться в том, что
n
– минимальное значение
max
λ
,
достигаемое единственным образом при
ij
i
j
a
ω ω
=
, отметим, что для всех этих чле-
нов
( )
1
2
y
y
+
≥
. Равенство достигается только в предположении
1
y
=
, т. е.
ij
i
j
a
ω ω
=
. Поэтому, когда
max
n
λ
=
, имеем
2
2
,
1
2
n
i j
i j
n
n
n
n
=
≠
− ≥
=
−
∑
откуда следует, что
ij
i
j
a
ω ω
=
.
Если
A
несогласованна, то можно ожидать, что в некоторых случаях из неравен-
ства
ij
kl
a
a
≥
не следует
i
j
k
l
ω ω
ω ω
≥
. Однако, поскольку
i
ω
,
1,
,
i
n
= …
, определя-
ются значениями строки матрицы
A
, следует ожидать, что справедлива следующая
теорема.