ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13060
Скачиваний: 110
176
Теорема 7.31. (Сохранение порядковой согласованности.) Если
(
)
1
,
,
n
o
o
…
– порядковая шкала объектов
1
,
,
n
i C
C
=
…
, где из
i
k
o
o
≥
следует, что
ij
kj
a
a
≥
,
1,
,
j
n
= …
, то из
i
k
o
o
≥
следует, что
i
k
ω ω
≥
.
Доказательство. Действительно, из
max
A
ω λ ω
=
имеем, что
max
max
1
1
n
n
i
ij
j
kj
j
k
j
j
a
a
λ ω
ω
ω
λ ω
=
=
=
≥
=
∑
∑
и поэтому
i
k
ω ω
≥
.
Теорема 7.32. Любая положительная обратносимметричная матрица порядка
2 2
×
согласованна.
Доказательство очевидно.
Теорема 7.33. Компоненты нормализованного левого собственного вектора об-
ратносимметричной положительной матрицы порядка
3 3
×
являются обратными ве-
личинами компонент правого собственного вектора.
Доказательство требует использования следующего равенства в выражениях для
ω
и
υ
, приведенных в гл. 5 для динамических приоритетов при
3
n
=
:
(
)
(
)
2
2
2
3
13
12 23
12 13 23
1
3
1
a
a a
a a a
λ
λ
+
− −
=
+
−
.
Нормализованное обратное отношение между компонентами левого и правого
собственных векторов не выполняется для
4
n
=
, как видно из следующего контр-
примера
1
1/ 2 1/100
2
2
1
1/ 3
10
100
3
1
6
1/ 2 1/10
1/ 6
1
A
=
,
max
5,73
λ
=
;
(
)
0,031; 0,142; 0,793; 0,034
ω
=
;
(
)
0,506; 0, 075; 0,020; 0,399
υ
=
. Об-
ратный вектор к нормализованному
ω
будет
(
)
0, 461; 0,102; 0,108; 0, 419
.
Следовательно,
4
n
=
есть первый случай, где решение зависит от согласованно-
сти наблюдений и их обоснованности, а не от структуры матрицы парных сравне-
ний. (Имеются контрпримеры для
5, 6, 7
n
=
.)
Возникает искушение предположить, что свойство обратной симметричности ме-
жду компонентами главного левого и правого собственных векторов для
4
n
≥
имеет
место тогда и только тогда, когда матрица согласованна.
Наблюдение Джонсона–Ванга–Беина
Джонсон, Ванг и Беин в [71] заметили, что так как левый и правый собственные
векторы не являются обратными величинами для
4
n
≥
, для решения ряда задач
можно воспользоваться как левым, так и правым собственным вектором. Это наблю-
дение представляет интерес и с философской и с математической точек зрения. По-
видимому, для нашего сознания не существует единственного пути синтеза собст-
венных мер доминирования и антидоминирования, или рецессивности для получе-
ния единой интерпретации реальности. Хотя и возможно создание итеративных схем
для объединения и левого и правого собственных векторов в одну меру, такая мера
нуждается в простой естественной интерпретации.
177
В рамках МАИ для включения двух противоположных концепций использован
анализ «эффективность – стоимость». Это представляется эффективным путем рас-
смотрения двух сторон человеческого опыта.
7.7. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА
Часто возникает вопрос, насколько чувствительны приоритеты, задаваемые ком-
понентами собственного вектора, к небольшим изменениям в величинах суждений.
Желательно, чтобы приоритеты не колебались в широких пределах при малых изме-
нениях в суждении. Существуют три способа проверки этой чувствительности:
1) нахождение математической оценки колебания; 2) получение ответов, основан-
ных на большом числе компьютерных вычислений, построенных соответствующим
образом для проверки чувствительности; 3) комбинация предыдущих двух способов,
особенно при невозможности проведения полной аргументации аналитически.
Как уже указано, в случае согласование
max
λ
равно следу матрицы, который
представляет собой сумму единичных элементов. При этом следует ожидать, что
собственный вектор, соответствующий возмущенной матрице, изменится на величи-
ну, обратно-пропорциональную размеру матрицы.
Собственные значения матрицы лежат между ее наибольшими и наименьшими
строчными суммами элементов. Изменение величины элемента в матрице влияет на
соответствующую строчную сумму и обусловливает тенденцию изменения
max
λ
на
такую же величину. Однако поскольку на изменение собственного вектора также
влияет и размер матрицы, можно ожидать, что чем больше матрица, тем меньшим
будет изменение каждой компоненты.
Начнем анализ этой проблемы, рассмотрев матрицу
A
с характеристическим
уравнением (см. [185])
(
)
1
1
det
0
n
n
n
A
I
a
a
λ
λ
λ
−
−
=
+
+ +
=
…
.
Пусть теперь
A
B
ε
+
– матрица, полученная введением малого возмущения в
A
.
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
(
)
( )
( )
1
1
det
0
n
n
n
A
B
I
a
a
ε
λ
λ
ε λ
ε
−
+
−
=
+
+ +
=
…
,
где
( )
k
a
ε
– полином степени
(
)
n k
−
от
ε
, такой, что
( )
k
k
a
a
ε
→
при
0
ε
→
.
Пусть
1
λ
– максимальное простое собственное значение, соответствующее ха-
рактеристическому уравнению
A
. Уилкинсон в [185] доказал, что для малого
ε
имеется собственное значение матрицы
A
B
ε
+
, которое может быть выражено как
сумма сходящегося степенного ряда, т. е.
( )
2
1
1
1
2
k
k
λ ε
λ
ε
ε
= +
+
+…
Пусть
1
ω
– собственный вектор
A
, соответствующий
1
λ
и
( )
1
ω ε
собственный
вектор
A
B
ε
+
, соответствующий
( )
1
λ ε
. Элементы
( )
1
ω ε
– полиномы от
( )
λ ε
и
ε
,
и так как степенной ряд для
( )
1
λ ε
сходится при малом
ε
, каждый элемент
( )
1
ω ε
может быть представлен как сходящийся степенной ряд от
ε
. Можно написать
( )
2
1
1
1
2
z
z
ω ε
ω ε
ε
=
+
+
+…
Если матрица
A
имеет линейные элементарные делители, то существуют полные
множества правых и левых собственных векторов
1
2
,
,
,
n
ω ω
ω
…
и
1
2
, ,
,
n
υ υ
υ
…
, таких,
что
0
i
j
υ ω
=
,
i
j
≠
.
178
Заметим, что
j
ω
и
j
υ
являются
j
-ми собственными векторами (правым и ле-
вым), а не
j
-ми компонентами векторов.
Векторы
i
z
, могут быть представлены через
i
ω
следующим образом:
1
n
i
ij
j
j
z
s
ω
=
=
∑
,
что после подстановки в формулу для
( )
1
ω ε
дает
( )
1
1
2
1
n
n
j
ij
i
i
j
t
ω ε
ω
ε ω
=
=
=
+
∑∑
,
где
ij
t
получены делением
ij
s
на коэффициент
1
ω
.
Возмущения собственных значений первого порядка даны коэффициентом
1
k
выражения для
( )
1
λ ε
.
Теперь выведем выражение для возмущений первого порядка соответствующих
собственных векторов. Нормализуя векторы
j
ω
и
j
υ
и используя евклидову метри-
ку, находим
1
j
j
υ ω
=
.
Мы знаем, что
(
) ( )
( ) ( )
1
1
1
A
B
ε ω ε
λ ε ω ε
+
=
.
При подстановке выражений для
( )
1
λ ε
и
( )
1
ω ε
, полученных выше, и использо-
вании равенства
1
1 1
A
ω
λ ω
=
имеем
(
)
1
1
1
1 1
2
n
j
j
j
j
t
B
k
λ λ
ω
ω
ω
=
−
+
=
∑
.
Умножив обе части на
T
j
υ
, после упрощения получим
1
1
1
1
1
T
T
k
B
υ ω υ ω
=
, для
1
j
=
и
(
)
(
)
1
1
1
1
T
T
j
j
j
j
t
B
υ ω λ λ υ ω
=
−
, для
1
j
≠
,
где, как уже отмечено,
1
k
– возмущение
1
λ
первого порядка, и
(
)
[ ]
1
1
1
1
1
1
1
T
T
T
k
B
B
υ ω υ ω
υ ω
=
≤
,
где
[ ]
B
– сумма элементов
B
.
Итак, для достаточно малого
ε
чувствительность
1
λ
зависит в основном от вели-
чины
1
1
T
υ ω
, которая может быть произвольно малой.
Возмущение первого порядка
1
ω
определяется выражением
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
2
2
2
n
n
n
T
T
T
T
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
t
B
A
ω ε
ω
ε
υ ω λ λ υ ω ω
υ
ω λ λ υ ω ω
=
=
=
∆ =
=
−
=
∆
−
∑
∑
∑
,
где
A
B
ε
∆ ≡
.
Собственный вектор
1
ω
будет весьма чувствителен к возмущениям в
A
, если
1
λ
близко к любому из других собственных значений. Когда
1
λ
значительно отдалено
179
от других собственных значений и ни одно из
T
i
i
υ ω
не мало, собственный вектор
1
ω
,
соответствующий собственному значению
1
λ
, будет сравнительно нечувствителен к
возмущениям в
A
. Это имеет место, например, для кососимметричных матриц
(
ji
ij
a
a
= −
).
T
i
i
υ ω
в некотором отношении взаимозависимы, что предотвращает возможность
того, чтобы только одно
1
T
i
i
υ ω
,
1,
,
i
n
= …
, было большим. Поэтому, если одна из
них произвольно велика, они все произвольно велики. Однако желательно, чтобы
они были малы, т. е. близки единице. Положим
i
ij
j
j
c
ω
υ
=
∑
и
j
ij
j
j
d
υ
ω
=
∑
,
где
1
i
i
ω
υ
=
=
,
1,
,
i
n
= …
. После подстановки легко убедиться, что
T
T
ij
j
i
j
j
c
ω ω υ ω
=
и
T
T
ij
j
i
j
j
d
υ υ υ ω
=
.
Тогда
(
)( )
T
T
T
T
T
i
i
ij
j
ij
j
j
i
j
i
j
j
j
j
j
d
c
υ ω
ω
υ
ω ω υ υ υ ω
=
=
∑
∑
∑
,
для
i
j
=
1
T
T
i
i
i
i
ω ω υ υ
=
=
и
(
)
(
)( )(
)
1
1
T
T
T
T
T
i
i
i
i
j
i
j
i
j
j
j i
υ ω
υ ω
ω ω υ υ υ ω
−
−
≠
=
+
∑
.
Так как
cos
T
j
i
ij
ω ω
θ
=
и
cos
T
j
i
ij
υ υ
ϕ
=
, имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
T
T
T
T
i
i
i
j
j
j
i
i
j i
j i
υ ω
υ ω
υ ω
υ ω
−
−
−
−
=
=
≤
+
≤ +
∑
∑
,
что должно быть верным для всех
1, 2,
,
i
n
=
…
. Это доказывает, что все
T
i
i
υ ω
долж-
ны быть одного порядка.
Теперь покажем, что для согласованных матриц
(
)
1
1
1
T
υ ω
−
не может быть произ-
вольно большим. В случае согласованности имеем
(
)
1
11
1
1
1
1
,
, 1
1
n
T
n
j
i
υ
ω
ω
ω
=
=
∑
…
,
(
)
1
11
1
,
,
T
n
ω
ω
ω
=
…
.
Поэтому
(
)
(
) (
)
1
1
1
1
1
11
1
11
1
1
1
1
1
1
,
,1
,
,
1
1
n
n
T
T
n
i
i
i
i
i
n
n
υ ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
−
=
=
=
=
>
∑
∑
…
…
,
так как
1
1
1
1
1
n
n
i
i
i
i
n
n
ω
ω
=
=
<
∑
∑
.
Теперь
(
)
1
1
1
T
υ ω
−
принимает минимальное значение, когда все
1i
ω
равны, так как
1
1
1
n
i
i
ω
=
=
∑
.
180
Практически, для удерживания
(
)
1
1
1
T
υ ω
−
вблизи минимума нужно оперировать с
относительно сравнимыми объектами, такими, чтобы ни одна из из
1i
ω
не была
слишком малой.
Для улучшения согласованности число
n
не должно быть слишком большим. С
другой стороны, если мы собираемся полностью использовать имеющуюся информа-
цию и получить практически обоснованные результаты,
n
не следует брать слиш-
ком малым. Например, если отбросить величины
1
1
0,1
T
υ ω
<
, то нужно иметь
9
n
≤
.
При допущении малого числа сравниваемых объектов и их относительной срав-
нимости можно показать, что ни одна из компонент векторов
1
ω
и
1
υ
не будет про-
извольно малой и, следовательно, скалярное произведение двух нормализованных
векторов не может быть произвольно малым.
При большой несогласованности никто не может гарантировать, что ни одна из
компонент
1
ω
не будет произвольно малой. Поэтому близость к согласованности яв-
ляется достаточным условием устойчивости. Отметим также, что следует ограничи-
ваться сравнительно малым числом элементов, таким, чтобы величины всех
1i
ω
бы-
ли одного порядка.
Приведенные выше соображения свидетельствуют о том, что обратносимметрич-
ные матрицы являются архитипичными матрицами, создающими в случае согласо-
ванности устойчивые собственные векторы при малых возмущениях. Это позволяет
сделать важный вывод: для гарантирования устойчивости оценки в основной шкале
отношений, полученной из парных сравнений, разумно сопоставлять небольшое
число относительно сравнимых элементов. В социальных науках к этому выводу уже
давно пришли экспериментально. Ученые заметили, что число элементов должно
быть
7 2
±
, однако соответствующим образом не осознали необходимость требова-
ния относительной сравнимости [106].
Другим полезным выводом является следующее: если считать «объектами одной
важности» объекты, не отличающиеся друг от друга по важности больше, чем в 10
раз, то шкала, используемая при парных сравнениях сопоставимых объектов, долж-
на иметь деления, лежащие где-то между единицей и десятью, в противном случае
будут сравниваться объекты, которые в большой степени несопоставимы по важно-
сти. Это приведет к сравнительно малым значениям для некоторых из
1i
ω
и соответ-
ственно к нарушению стабильности шкалы, т. е. изменение собственного вектора
будет непредсказуемым даже при легких изменениях величин суждений в матрице
сравнений.
Формула Варгаса
Определяя величину возмущения собственного вектора при некотором значении
возмущения исходной матрицы, мой ученик Л. Варгас показал в своей диссертации
[169], что если обратносимметричную матрицу
A
возмутить обратносимметричной
матрицей
P
с использованием поэлементного (Адамара) произведения (которое
обозначается
A P
), то результирующая матрица будет обратносимметричной, а ве-
личина возмущения
ω
∆
главного собственного вектора
ω
матрицы
A
дается вы-
ражением
(
)
1
,
1
y
y
ω
ω
ω
−
∆ = <
>
−
,
где
,
< >
– скалярное произведение двух векторов, а
y
ω
– вектор поэлемент-
ного произведения
y
на
ω
; вектор
y
– главный собственный вектор матрицы