ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13057
Скачиваний: 110
181
*
E
E P
=
, где
E
получена поэлементным делением элементов
A
на соответствую-
щие элементы
(
)
i
j
W
ω ω
=
.
Пример 7.1.
При изложении примера об освещенности стульев в гл. 2, согласно закону об-
ратного квадрата в оптике для сравнительной освещенности стульев имели
(
)
0,6079; 0, 2188; 0,1108; 0,0623
. Приведенная ниже матрица
A
составлена из отно-
шений этих величин, а матрица
P
является первой матрицей из гл. 2, являющейся
возмущением
A
:
1
2,7
5, 4
9,76
0,36
1
1,97 3,51
0,18 0,51
1
1, 78
0,10 0, 28 0,56
1
A
=
,
1
5
6
7
0, 2
1
4
6
0,17 0, 25
1
4
0,14 0,17 0, 25 1
P
=
.
Собственный вектор
A
будет
(
)
0, 6079; 0, 2178; 0,1108; 0,0623
ω
=
и
max
4
λ
=
. Соб-
ственный вектор
P
будет до
(
)
*
0, 6187; 0, 2353; 0,1009; 0,04507
ω
=
и
max
4,391
λ
=
.
Матрица возмущения
E
получена поэлементным делением
A
на
P
:
1
1,80 1,09 0, 71
0,56
1
2,03 1, 71
0,91 0, 49
1
2, 25
1,39 0,58 0, 44
1
A
=
.
Собственный вектор
E
есть
(
)
0, 2730; 0, 2885; 0, 2444; 0,1941
y
=
, а
max
4,391
λ
=
–
такое же, что для
P
. Наконец,
(
)
0, 01076; 0, 01651; 0, 00985; 0, 01722
ω
∆ =
−
−
. Легко
проверить, что
*
ω
ω ω
+ ∆ =
.
182
ГЛАВА 8
ПРИОРИТЕТЫ В СИСТЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
8.1. ВВЕДЕНИЕ
До сих пор мы моделировали наши задачи иерархически, от верхних уровней к
нижним или в обратном порядке, и развивали теорию для измерения приоритетов
элементов на различных уровнях иерархии по отношению к элементам более высо-
ких уровней и к обшей цели иерархии.
Теперь обратимся к задачам в системах, в которых уровни более не могут быть
названы верхними или нижними. Это происходит потому, что уровень может как до-
минировать, так и быть доминируемым, прямо или косвенно, другими уровнями. Та-
кие системы известны как системы с обратной связью. Они могут быть представлены
в виде сети, где узлы соответствуют уровням или компонентам. Элементы в узле
(или уровне) могут влиять на некоторые или все элементы любого другого узла.
Нашей задачей является изучение приоритетов в таких системах. Основное внима-
ние будет уделено системам, в которых все элементы в узле воспринимаются совме-
стно по отношению к каждому элементу в другом узле – аналог полной иерархии
между уровнями.
Поначалу непонятно, зачем рассматривать более сложные реалии, чем иерархии,
так как последние позволяют получить осмысленное представление о функциях сис-
темы. Можно легко вообразить ситуацию, слишком сложную для иерархического
представления; простота, предлагаемая иерархией, может быть обманчивой. Многие
задачи в социальных науках попадают в эту категорию. Например, последние труды
по теории организаций предлагают такие формы организаций, уже реализованные
на практике, которые не являются иерархическими. Человек может выполнить много
или все задания в различных компонентах производственной системы [63].
Некоторые конфликтные задачи анализировались как посредством иерархии, так
и в виде простой сети в форме петли. Такая простая сеть называется холархией. Ре-
зультаты были удивительно близки. Это означает, что оба метода могут вести к од-
ним и тем же результатам, по крайней мере, в простых случаях.
В следующем разделе изучается основанный на концепциях теории графов метод
структурирования множества элементов, собранных после мозгового штурма или по-
лученных некоторым другим образом, в виде системы с уровнями. Существуют дру-
гие, не обсуждаемые здесь методы группировки элементов в один и тот же кластер
или уровень в зависимости от близости оценок их измерения [73]. Однако для на-
ших целей это равносильно тому, что поставить телегу перед лошадью, так как нам
нужно определить и группировать элементы до проведения измерения.
В разд. 8.3 исследуется понятие измерения приоритета в системах с обратной
связью, а затем в разд. 8.4 вводится суперматрица для проведения такого измере-
ния. Показывается, что иерархическое построение есть частный случай этого под-
хода. В разд. 8.5 определяются абсолютные и относительные приоритеты и их пре-
дельные значения, описываются условия существования приоритетов и методы их
получения для различных типов систем. В разд. 8.6 с помощью двух примеров про-
иллюстрированы некоторые из этих идей.
183
8.2. МАТРИЦА ДОСТИЖИМОСТИ ПРИ СТРУКТУРИРОВАНИИ СИСТЕМ
Допустим, имеется множество элементов, которые рассматриваются в контексту-
альном отношении. Множество элементов, которые нужно смоделировать, может
быть образовано посредством дедуктивной логики, каузальных наблюдений, эмпи-
рических данных, мозгового штурма или любой комбинацией этих приемов. Наибо-
лее важная роль в этом методе отведена тому, что одно из определений исходного
множества элементов является естественной и важной частью процесса. Частичное
или полное описание системы может принять одну из двух различных, однако свя-
занных форм: бинарной матрицы; направленного графа (или сети) для геометриче-
ского представления отношений [97, 171, 172].
Будем считать, что множество вершин
H
определено. С помощью бинарного от-
ношения «зависит от» можно заполнить матрицу
B
. Ответ «да» связывают с едини-
цей, а ответ «нет» – с нулем. Ответ «да» или «нет» зависит от имеющихся данных,
суждений или от того и другого. Таким образом, бинарная матрица
{ }
ij
B
b
=
опреде-
ляется следующим образом:
1,
,
0,
.
ij
если i зависит от j
b
в противном случае
=
После того как матрица заполнена, следует произвести проверку транзитивности
для выявления нарушений этого условия. Если обнаружено нарушение транзитивно-
сти, то вершины, приводящие к этому нарушению, должны быть проверены для его
устранения.
Получив описание матрицы
B
, формируем бинарную матрицу
(
)
I B
+
, где
I
–
единичная матрица. Можно показать, что существует наименьшее целое
k
, при ко-
тором
(
)
(
) (
)
1
1
k
k
k
I B
I B
I B
−
+
+
≤
+
=
+
,
т. е. каждый элемент матрицы
(
)
1
k
I B
−
+
меньше соответствующего элемента матри-
цы
(
)
k
I B
+
или равен ему, а соответствующие элементы матриц
(
)
k
I B
+
и
(
)
1
k
I B
+
+
равны.
Матрица в правой части выражения называется матрицей достижимости.
Определение 8.1. Матрица достижимости направленного графа определяется
как бинарная матрица, в которой элементами являются единицы, если вершина гра-
фа достижима из другой каким-либо путем, в противном случае элементы ее – нули.
Использование матрицы достижимости позволяет разделить
H
на множество
уровней, а также разделить каждый уровень на подмножества, не обязательно не-
связанные.
Определение 8.2. Вершину
j
h
называют достижимой из вершины
i
h
, если в
ориентированном графе существует путь из
i
h
к
j
h
.
Определение 8.3. Вершину
j
h
называют предшествующей вершине
i
h
, если
возможно достижение
i
h
из
j
h
.
Из
H
можно выделить два вида множеств: множество достижимости и множество
предшествующих вершин, которое называется предшествующим множеством. Обо-
значим их через
( )
i
R h
и
( )
i
A h
соответственна
( )
i
R h
– множество достижимости вершины
i
h
H
∈
, состоящее из всех вершин
H
, лежащих на путях, которые берут начало в
i
h
,. Таким образом,
184
( )
( ) (
)
{
}
|
,
1
k
i
i
R h
h
H элемент i j в I B есть
=
∈
+
.
( )
i
A h
– предшествующее множество вершины
i
h
H
∈
, состоящее из всех вершин
H
, лежащих на путях, которые включают
i
h
, но не берут начало в
i
h
. Таким обра-
зом,
( )
( ) (
)
{
}
|
,
1
k
i
j
A h
h
H элемент j i в I B есть
=
∈
+
.
Множество тех вершин
i
h
, для которых выполняется
( )
( )
( )
i
i
i
A h
A h
R h
=
∩
, не
достижимо из любой из оставшихся вершин
H
и, следовательно, может быть обо-
значено как уровень иерархии.
Для построения всех уровней необходимо применить следующую итерационную
процедуру:
1. Сформировать таблицу с элементами:
i
h
,
( )
i
R h
,
( )
i
A h
и
( )
( )
i
i
A h
R h
∩
.
2. Найти элементы в таблице, удовлетворяющие условию
( )
( )
( )
i
i
i
A h
R h
A h
=
∩
Эти элементы образуют первый уровень.
3. Вычеркнуть это множество из таблицы и применить второй шаг, и т. д.
Этот процесс, полезный сам по себе, для всех контекстуальных отношений
обычно не приводит к тому виду иерархии, который определен. Однако он приводит
к такой сети, в которой:
– первый уровень может состоять не только из одного элемента;
– все элементы первого уровня не обязательно связаны только с элементами
второго уровня;
– промежуточные уровни могут состоять только из одного элемента.
Пример 8.1.
0 0 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0
0 1 1 1 0 1 0
0 1 1 1 0 0 1
B
=
.
Сформируем
(
)
I B
+
, и матрица достижимости будет такой
(
)
3
1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 0 1
I B
+
=
.
i
h
,
( )
i
R h
,
( )
i
A h
и
( )
( )
i
i
A h
R h
∩
185
i
h
1, 2, 3, 4, 5
i
=
( )
i
R h
1, 2, 3, 4, 5
i
=
( )
i
A h
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
i
=
( )
( )
i
i
A h
R h
∩
1, 2, 3, 4, 5
i
=
6
h
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
6
6
7
h
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
7
7
Так как
( )
6
A h
и
( )
7
A h
совпадают с
( )
( )
6
6
A h
R h
∩
и
( )
( )
7
7
A h
R h
∩
, соответст-
венно первый уровень составляется из вершин
6
h
и
7
h
, т. е. первый уровень:
(
)
6
7
,
h h
.
Исключив
6
h
и
7
h
из таблицы, получим для второго уровня:
(
)
1
2
3
4
5
, , , ,
h h h h h
,
таблицу для которого легко сформировать. Таким образом, можно написать
{
} {
}
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
6, 7;1, 2, 3, 4, 5
H
=
=
.
(См. рис. 8.1 и 8.2 для сетей до и после применения метода).
Применяя описанную выше процедуру, получаем то, что другие называют иерар-
хией, однако мы называем сетью с двумя уровнями:
( ) { }
1
6, 7
и
( ) {
}
2
1, 2, 3, 4, 5
.
Это также показано на рис. 8.2.
Рис. 8.1.
Пример 8.2. Следующая сеть на рис. 8.3 – результат применения метода к мат-
рице
B
:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
e
e
e
e
e
e
e
e
B e
e
e
e
=
.