ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13046
Скачиваний: 110
206
ГЛАВА 9
ШКАЛИРОВАНИЕ
И МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
9.1. ВВЕДЕНИЕ
Наш подход к установлению приоритетов и иерархиям соприкасается с методами
шкалирования, теорией полезности и многокритериальными методами. Здесь прово-
дится также анализ главных компонент, обсуждаются метод логарифмических наи-
меньших квадратов и метод наименьших квадратов. После нескольких переработок
главу пришлось сократить почти до размеров наброска. Для дополнительного чтения
читателю следует обратиться к цитируемой литературе.
9.2. ШКАЛЫ И ИЗМЕРЕНИЕ
Теоретически измерение – это построение шкал посредством изоморфного ото-
бражения эмпирической системы с отношениями в численную систему с отношения-
ми. Производное измерение выводит новую шкалу из других известных шкал. Хоро-
шим примером производной шкалы может быть шкала плотности, полученная из ос-
новных шкал для массы и объема.
По-видимому, шкала наилучшим образом представляется в терминах класса пре-
образований, которые оставляют ее инвариантной, т. е. таких преобразований, ко-
торые сохраняют содержащуюся в ней информацию.
Существующие шкалы приводятся ниже в порядке увеличения эффективности:
1. Шкала наименований, единственная с точностью до любого взаимнооднознач-
ного преобразования, которая состоит, по существу, из присваиваемых объектам
наименований.
2. Шкала порядков, которая упорядочивает объекты по рангам и инвариантна по
отношению к монотонно возрастающим преобразованиям.
3. Шкала интервалов, единственная с точностью до положительного линейного
*
преобразования вида
y ax b
=
+
,
0
a
>
.
4. Шкала разностей, инвариантная по отношению к преобразованию вида
y x b
= +
.
5. Шкала отношений (шкала, используемая для определения приоритетов), ин-
вариантная по отношению к положительным линейным преобразованию вида
y ax
=
,
0
a
>
.
Существенной разницей между шкалой отношений и шкалой интервалов являет-
ся то, что в первой за точку отсчета берется начало координат, в то время как вто-
рой этого не требуется. Шкала отношений исторически возникла в измерениях час-
тот при вычислении вероятностей.
Формально шкала – это тройка, состоящая из множества элементов
S
, бинарной
операции «
○
» на элементах
S
и преобразования
F
элементов в действительные
числа. В нашем случае
S
– множество видов деятельности или объектов
1
,
,
n
S
S
…
.
Бинарный оператор «
○
» – бинарное, или попарное, сравнение элементов для вы-
явления превосходства одного из них по отношению к заданному свойству. Напри-
мер, мы пишем
i
j
S
S
○
, указывая этим на то, что
i
S
, сравнивается с
j
S
, для выявле-
*
Обычно такое преобразование называют афинным. – Прим. перев.
207
ния сравнительного превосходства, например, относительно веса, если элементы
S
– камни. Для определения преобразования
F
переводим парные сравнения в фор-
му численных значений, представляющих парные сравнения, и составляем из них
матрицу
A
, затем решаем задачу нахождения собственного значения, чтобы опре-
делить точное соответствие между объектами и действительными числами. Весь этот
процесс определяет преобразование.
Почему получается шкала отношений, когда используется МАИ? Нужно показать,
что парные сравнения, определенные посредством бинарной операции, отобража-
ются в шкалу отношений действительных чисел, соответствующих сравниваемым
элементам. Например, если
1
1
F
A
ω
→
,
2
2
F
A
ω
→
,
1
2
1
2
F
A A
ω ω
→
○
.
В общем случае бывает трудно показать, какой вид шкалы используется, осо-
бенно когда преобразование сложное и включает физические операции, например
такие, как подъем и опускание ртути при изменении температуры. Для задачи, свя-
занной с физической системой, вид используемой шкалы устанавливают эмпириче-
ски. Тем не менее, когда имеют дело с абстрактной системой, нужен теоретический
метод определения вида шкалы. Теперь мы знаем, что решение задачи нахождения
главного собственного значения для положительных матриц единственно с точно-
стью до положительного постоянного множителя. Поэтому преобразование дает
множество действительных чисел
1
,
,
n
a
a
ω
ω
…
, по одному для каждого элемента
1
,
,
n
S
S
…
, где
a
– произвольное положительное число, что точно соответствует оп-
ределению шкалы отношений. Следует отметить, что шкала отношений, полученная
из матрицы суждений, является нашей оценкой принятой основной шкалы отноше-
ний, которая получилась бы, если матрица суждений была бы согласованной.
Дальше следуют полезные выводы по шкалам отношений. Можно сложить пару
элементов одной и той же шкалы отношений и получить третий элемент, принадле-
жащий той же самой шкале отношений. Следовательно, если
y ax
=
и
y ax′
=
, то
(
)
y y
a x x
′
′
+ =
+
и множитель остается по-прежнему равным
a
. Однако ни произве-
дение, ни частное двух таких элементов не принадлежит той же шкале отношений.
Следовательно, если
2
yy
a xx
′
′
=
и
y y
x x
′
′
=
, и ни один из этих двух элементов не
принадлежит шкале отношений
y ax
=
, так как множитель
1
a
≠
отсутствует у обоих.
Полезно отметить, что сумма двух элементов из двух различных шкал отношений
не принадлежит шкале отношений. Тем не менее произведение и частное принад-
лежит шкале отношений, отличающейся от исходных шкал отношений, если
a
или
b
не равны единице. Чтобы убедиться в этом, напишем
y ax
=
и
y
bx
′
′
=
, получим
y y
ax bx
′
′
+ =
+
и
( )
yy
ab xx
′
′
=
,
( )
y y
a b x x
′
′
=
. Итак, работая с двумя различными
шкалами отношений и желая получить значимые числа в новой шкале отношений,
следует умножать и делить, но никак не складывать или вычитать. Вот почему бес-
смысленно складывать такие величины, как время и расстояние, но можно извлечь
смысл из деления длины на время, получая скорость.
Теория измерений связана с некоторыми областями теории представления, тео-
рии единственности, процедурами измерений и анализа ошибок. Теория представ-
ления включает представление требуемых отношений посредством шкалы; единст-
венность связана с допустимыми гомоморфизмами, которые сохраняют отношения;
процедуры измерений оперируют с построением гомоморфизмов и анализ ошибок
связан со способом подгонки ошибок.
В своей диссертации Л. Варгас показал, что МАИ является методом измерения.
Во-первых, он сформулировал набор аксиом, которые характеризуют существование
гомоморфизма между множеством альтернатив и множеством положительных дейст-
208
вительных чисел (теорема представления). Во-вторых, показал, что гомоморфизм
единственен с точностью до преобразования подобия (теорема единственности),
т. е. множество допустимых преобразований гомоморфизма является множеством
преобразований подобия. Таким образом, тройка, состоящая из множества альтер-
натив, множества положительных действительных чисел (или его несчетного под-
множества) и гомоморфизма, является шкалой отношения. Тем не менее эта шкала
отношений является шкалой отношений только в узком смысле, т. е. её элементы не
меняются при преобразовании.
Он подчеркнул также, что иерархическое измерение включает основное и про-
изводное измерения и что в результате получается шкала отношений, единственная
с точностью до того же самого преобразования подобия, что и второй уровень ие-
рархии.
9.3. ТЕОРИЯ ПОЛЕЗНОСТИ
Предметом теории полезности является представление в действительных числах
относительных предпочтении отдельного лица при выборе из некоторого множества
элемента.
Порядковая функция полезности перечисляет элементы, расположенные по ран-
гу. Кардинальная полезность включает информацию о силе предпочтений. (Сущест-
вуют также упорядоченное метрическое ранжирование и многомерная теория по-
лезности.)
Как сравнить полезности альтернативных решений, когда при оценке полезности
каждой альтернативы должен быть учтён вклад многих существенных факторов?
Теории аддитивной полезности предлагают возможный подход к этой проблеме в
предположении, что, грубо говоря, полезность целого равна сумме полезностей,
приписываемых его частям.
Процедура, разработанная в [77] и применённая для решения проблемы аэро-
порта города Мехико, основана, по существу, на использовании многомерной функ-
ции полезности.
Желательно оценить множество альтернатив с целью выбора наилучшей в зави-
симости от их воздействия на
n
аспектов. Воздействия описываются вектором чисел
(
)
1
2
, ,
,
n
x x
x
…
. В момент принятия решения не может быть уверенности в последст-
виях. Поэтому вводится функция плотности вероятности
(
)
1
,
,
n
p x
x
…
, описывающая
правдоподобность каждого итога. Используя эту функцию плотности, можно «опре-
делить» функцию полезности
( )
u x
. Затем можно вычислить ожидаемую полезность
каждой альтернативы. Выбирается альтернатива с наибольшей ожидаемой полезно-
стью.
Определять полезность с одновременным учетом более чем двух аспектов чрез-
вычайно трудно, в результате делаются упрощающие допущения для получения та-
кой функции
f
, что
( )
( )
( )
1
1
,
,
n
n
u x
f u x
u x
=
…
,
где
( )
i
i
u x
– функция полезности относительно аспекта
i
.
209
9.4. КРАТКОЕ СРАВНЕНИЕ МЕТОДА СОБСТВЕННОГО
ЗНАЧЕНИЯ С ДРУГИМИ МЕТОДАМИ, ИСПОЛЬЗУЮЩИМИ
ШКАЛЫ ОТНОШЕНИЙ
В своей краткой статье Шепард [146] указывает, что исследования по матрицам
превосходства и соответствующим измерениям не были такими обширными, какими
были исследования по трем другим типам: близости, сечению и совместимости. Мы,
по существу, интересовались матрицами превосходства и их использованием для
получения шкал отношения и далее для измерения иерархических воздействий.
Сравним этот метод с другими исследованиями. Мы надеемся, что нас простят за не
такое полное сравнение, как хотелось бы некоторым читателям. В действительно-
сти, суть идеи была сымпровизирована и развилась полностью из приложений. За-
тем ей нужно было придать законченный вид в основном потоке печатных трудов.
В модели сравнительных суждений Терстона [162] требуются парные сравнения
объектов только в том смысле, что один более предпочтителен, чем другой. Он со-
бирает информацию о стимулах в предположении нормальности процесса суждений.
При дополнительных требованиях к параметрам, например при равных дисперсиях
или нулевых ковариациях, он собирает различную «метрическую» информацию о
стимулах.
Если
k
экспертов сравнивают
n
объектов и если
ij
f
– эмпирическая частота, со-
ответствующая числу предпочтений экспертами объекта
i
над объектом
j
, то доля
ij
p
, с которой
i
предпочтительнее
j
,
ij
ij
p
f k
=
.
Терстон в [162] постулировал, что распределение всех различающихся процес-
сов, которые определяются стимулом
i
, нормально относительно модального разли-
чающего процесса (или среднего). Средний различающий процесс
0
i
s
, ассоциируе-
мый со стимулом
i
, называется значением в шкале стимула, а дисперсия различаю-
щего процесса обозначается через
i
σ
. В предположении о нормальности
ij
p
может
быть выражено как стандартное нормальное отклонение
ij
i
j
z
s
s
= −
. Поэтому
0,5
ij
p
=
, когда
0
ij
z
=
, и это имеет место в случае
0
0
i
j
s
s
=
. Если
0
ij
z
>
, то считается,
что различающий процесс
j
выше, чем
i
. Имеем
(
)
2
1
exp
2
2
ij
z
ij
p
x
dx
−∞
=
−
∫
.
Распределение разностей
i
j
s
s
−
нормально со стандартным отклонением
(
)
1/ 2
2
2
2
i j
i
j
ij
i
j
r
σ
σ
σ
σ σ
−
=
+
−
,
где
ij
r
– корреляция между
i
s
и
j
s
.
Имеем закон сравнительных суждений
j
i
ij
i j
s
s
z
σ
−
− =
.
Каждая пара будет обладать таким разложением. Для четырёх объектов имеется
шесть таких уравнений с 14 неизвестными: 4 искомых значения шкалы, 4 стандарт-
ных отклонения и 6 взаимных корреляций. Известны только
ij
z
. Поэтому невозмож-
но получить единственное решение системы. В качестве первого приближения мож-
но предположить, что все стандартные отклонения равны
2
σ
, а все взаимные кор-
реляции равны
r
. В результате получим
210
(
)
1/ 2
0
0
2
2
1
i
j
ij
s
s
z
r
σ
−
=
−
.
Величина в скобках – постоянная и может служить как общая единица разделе-
ния шкал различных пар стимулов: ее можно установить равной единице.
Если обозначить
( )
0
0
1
1
n
i
i
s
n
s
=
=
∑
,
( )
0
1
1
n
j
ij
i
z
n
z
=
=
∑
,
то, полагая
0
1
0
s
=
, можно показать, что
(
)
0
0
0
0
1
1
j
j
j
j
s
s
z
z
−
−
=
+
−
.
С подходом Терстона связывают ряд ограничений. Например, Гилфорд [59] ре-
комендует ограничить диапазон вероятностей.
Торгерсон [163] систематизировал и распространил метод Терстона на шкалиро-
вание, в частности на случай, когда ковариационные члены постоянны, корреляции
равны, а распределения гомоскедастичны.
Льюс предложил то, что Кумбс [26] называет моделью Брэдли-Тэрри-Льюса
(БТЛ), используя логистическую кривую, которая является логарифмическим преоб-
разованием распределения вероятностей. Хотя это отличается от предположения
нормальности, практически трудно провести различие между моделью БТЛ и случа-
ем из работы Терстона, где он предполагает нормальность распределений и равен-
ство дисперсий. Модель БТЛ более строго основана на теории выбора поведения.
Кумбс рассматривает существенное различие между двумя моделями.
Можно сопоставить наши допущения с психометрическими традициями. Мы не
начинаем с гипотезы о том, что суждения в виде отношений являются независимыми
вероятностными процессами. Вместо этого последствия изменений в суждениях ис-
следуются через возмущения во всем множестве суждений. Подход такого типа при-
водит к критерию согласованности. Поэтому получение решений нашим методом не
является статистической процедурой.
Короче говоря, многие психометрические методы производят выработку сужде-
ний, пригодных для решения в той или иной шкале. Предполагается, что если выра-
батываются суждения, то это происходит до оценки в виде отношения между двумя
стимулами. Поэтому наша процедура формирования решения не связана с предпо-
ложениями о распределении суждений. Тем не менее, если мы хотим сравнить лю-
бое решение с критерием согласованности, следует обратиться к статистическим до-
водам и возмущениям всей матрицы суждений.
Использование метрической информации в матрице суждений субъектов создает
аналогии с анализом главных компонент, за исключением того, что данные дают
информацию о превосходстве, а не о подобии или ковариациях. (Дальнейшие рас-
суждения см. в конце этого раздела.) При анализе главных компонент выделяется
max
λ
, однако решение получают также и для всех остальных
λ
. Тем не менее ре-
зультаты должны быть интерпретированы по-другому (см. [67]).
В проводимом анализе природа стимулов и задача, которая ставится перед субъ-
ектами, также подобны «психофизическому» шкалированию, как оно мыслится Сти-
венсом и Галантером [156]. В последнее время оно широко используется во многих
попытках построить составные меры политических переменных, включая «силу
страны». Техника Стивенса навязывает согласованность тем, что экспертов просят
сравнить одновременно каждый стимул со всеми другими, формируя только одну
строку матрицы. Это означает, что гипотеза одномерности не может быть проверена
непосредственно. Если используется метод Стивенса, то следует обратить внимание
на то, чтобы суждения о стимулах были согласованными или близкими к согласо-
ванным. Вдобавок не существует способа отнести одну шкалу к другой, как это име-
ет место в иерархии.