ВУЗ: Омский государственный технический университет
Категория: Книга
Дисциплина: Методы оптимальных решений
Добавлен: 12.02.2019
Просмотров: 13051
Скачиваний: 110
196
пи. В любой диаграмме, за исключением петель, стрелки начинаются в этих компо-
нентах и не заканчиваются в них.
Решение для ПОП определяется выражанием
(
)
( )
( )
1
1
lim
1
k
k
I W
W
W
−
∞
→∞
−
Ψ
≡
=
′
Ψ
,
где
( )
λ
Ψ
– минимальный полином
W
, а
( )
λ
′
Ψ
– его первая производная по
λ
.
Каждый столбец
W
∞
является характеристическим вектором
W
, соответствующим
max
1
λ
=
. Если
max
1
λ
=
– простое, т. е.
W
регулярна, то
( )
λ
Ψ
можно заменить на
( )
λ
∆
– характеристический полином
W
.
Решение для ПАП получается
( )
0
W
ω
ω
∞
∞
=
,
если
W
– правильная матрица, и как собственный вектор
W
ω
ω
∞
∞
=
,
если
W
регулярна.
Замечание. Можно показать, что матрицы
W
∞
, соответствующие существенным
компонентам, положительны; что касается матриц воздействий на приоритеты от
существенных к несущественным компонентам, то они также положительны (они
получаются в результате произведения
(
) (
)
1
1
2
,
,
,
T
k
I Q
R R
R
−
−
…
нормальной формы;
см. гл. 7). Только матрицы воздействия от несущественных к несущественным или
от несущественных к существенным компонентам равны нулю.
Наконец, если не все изолированные блоки примитивны, то, как было отмечено,
каждый имеет индекс импримитивности. Рассмотрим их наименьшее общее кратное,
которое представляет собой цикличность
c
системы. Используя степени
W
, ПОП
получаем в виде
(
)( )
(
)
(
)
( )
1
1
1
1
1
1
c
c
c
c
W
I W
W
W
W
W
W
c
c
∞
∞
−
−
=
+
+ +
=
−
−
…
,
а ПАП – в виде
( )
0
W
ω
ω
=
.
W
называют средним ПОП,
ω
– средним ПАП.
Если имеется единственный изолированный блок, то средний ПАП является не-
зависимым от начальных приоритетов и определяется единственным образом как
решение
W
ω ω
=
.
Это в точности соответствует случаю неприводимой импримитивной системы.
8.6. ПРИМЕРЫ
Два приведенных ниже примера даны по двум соображениям: первый показыва-
ет, как действует суперматрица, а второй – как может быть применен метод в соци-
альны науках. Конечно, формулировка вопросов для суждения требует большой
квалифицированной подготовки экспертов в данной области деятельности для пред-
ставления существенных факторов и уверенности в том, что нет смещения или пе-
рекрытия сравнительных понятий. Как будет показано далее, интерпретация расту-
щих степеней
W
имеет практическую важность.
197
В обоих случаях задача определяется очень кратко, вместе с диаграммой, пред-
ставляющей систему и ее связи. Здесь не приводятся 68 матриц парных сравнений
для элементов и одна для компонент в первом примере, и 33 – для элементов и 4 –
для компонент во втором примере, за исключением последних четырёх матриц.
Суперматрица сформирована в два этапа. На первом заполняются блоки собст-
венных векторов. После получения приоритетов для компонент и использования их
весов в матрице получается заключительная стохастическая по столбцам супермат-
рица. Важно отметить, что суммы по столбцам должны быть равными единице, в
противном случае может быть расхождение к бесконечности или сходимость к нулю.
Важным является вопрос о том, как взвешивать компоненты. Каждый блок в столб-
це, который соответствует компоненте суперматрицы, взвешивается соответствую-
щим коэффициентом собственного вектора, полученным из матрицы парных сравне-
ний, включающей те компоненты (с ненулевыми элементами блока в том столбце
блоков), которые воздействуют на данную компоненту столбца. (На диаграммах эти
компоненты имеют стрелки, направленные от них к заданной компоненте столбца.)
В обоих примерах интерес представляет аппроксимация ПОП, получающаяся при
возведении
W
в большие степени. В наш век компьютеров мои ученики (Н. Бамани,
который работал над первым примером, и А. Челсон и С. Паркер, работавшие над
вторым) предпочли возводить матрицу в большие степени, не используя формул для
W
∞
, приведенных в разд. 8.5.
В первом примере дана невзвешенная суперматрица. Она соответствует полному
графу компонент системы. Следовательно, она положительна и более того – прими-
тивна. Для ПОП все столбцы
W
∞
одинаковы и вектор ПАП может быть любым из
этих столбцов. Достаточно выдать аппроксимацию ПАП с
100
W
. Для удобства читате-
ля вектор этого решения помещен рядом с начальными определениями факторов и
компонент.
Во втором примере представлены блоки суперматрицы до взвешивания. Затем
следуют матрицы парных сравнений компонент, а затем суперматрица
W
, которая
получается в результате взвешивания каждого блока согласно приведенному выше
описанию. Наконец,
89
W
представляется в качестве аппроксимации
W
∞
.
Отметим, что в нашей совместной работе с Дж. Бенеттом по терроризму [135] по-
казано, что правильно построенная иерархия может дать результаты, близкие к ре-
зультатам, получаемым для системы с обратной связью.
Пример о воспитании ребенка
Наш первый пример касается воспитания ребенка. Ребенок в ранние годы нахо-
дится под влиянием некоторых сил. Желательно установить приоритеты этих влия-
ний. Так как при взаимодействии этих сил имеется обратная связь, задача может
быть представлена сетью. Основные группы источников влияния и их существенные
характеристики даны в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Компоненты
Факторы
Приоритеты (из
ПАП аппроксимации)
1
C
– Отец
W
– Работа
0,024
f
R
– Отдых
0,022
f
RE
– Религия
0,019
ED
– Образование
0,044
198
RWC
– Отношение с женой и детьми
0,020
2
C
– Мать
H
– Дом
0,024
m
R
– Отдых
0,026
m
PE
– Религия
0,027
PI
– Профессиональные интересы
0,025
TC
– Забота о детях
0,028
RHC
– Отношение с мужем и детьми
0,021
3
C
– Дети
RP
– Отношение с родителями
0,013
S
– Школа
0,020
PL
– Игры
0,012
PE
– Образование родителей
0,026
4
C
– Внешние
силы
0
S
– Школа
0,120
PR
– Ровесники
0,074
ME
– Средства массовой информа-
ции
0,090
C
– Культура
0,360
Рис. 8.5
Суждения для матриц парных сравнений были представлены группой студентов,
которых особенно интересовала эта тема. Заслуживает внимания, что эти студенты
были иностранцами и их суждения могут отличаться от суждений, которые могли
быть у группы американцев. Останавливаться на интерпретации результатов, по-
видимому, не имеет смысла за исключением того, что преобладающие факторы, ко-
торые включают культуру и школу, находятся во «внешней» компоненте.
Сеть взаимодействий показана на рис. 8.5.
199
Пример со сталелитейной промышленностью
В этом примере рассматриваются компоненты и факторы системы торговли ста-
лью для нахождения изменений в текущих приоритетах. Факторы и компоненты по-
казаны на рис. 8.6.
Эффективность измеряется тем, как производится продукция, и тесно связана с
современной технологией.
Рис. 8.6
Избыточная продукция: Япония произвела сталь в большом количестве, превы-
шавшем потребление, и, следовательно, может дешево ее продавать.
Неиспользованные мощности появляются в результате уменьшения спроса. Для
того чтобы не допустить безработицу и подавить конкуренцию, товар может быть
продан по цене ниже себестоимости.
Позиция правительства направлена против инфляции, которая появляется из-за
повышения цены на сталь.
Торговая политика правительства выражает нежелание защищать отечественную
промышленность.
Цена капитала: низкие процентные ставки в сталелитейной промышленности в
зарубежных странах и высокие процентные ставки в США, косвенно вызывающие
рост других цен. Невзвешенная суперматрица представлена в табл. 8.3. Для взве-
шивания суперматрицы (превращения ее в стохастическую по столбцам) взвешива-
ются компоненты в соответствии с их воздействием на каждый столбец блоков.
200
Таблица 8.2. Невзвешенная суперматрица для примера о воспитании ребёнка
1
C
2
C
3
C
4
C
W
R
RE
ED
RWC
H
R
RE
PI
TC
RHC
RP
S
PL
PE
SO
PR
ME
C
W
0.222 0.209 0.212 0.208 0.257 0.224 0.224 0.150 0.228 0.198 0.213 0.198 0.170 0.123 0.372 0.246 0.149 0.157 0.143
R
0.095 0.125 0.140 0.170 0.220 0.151 0.224 0.150 0.170 0.232 0.111 0.111 0.144 0.324 0.148 0.150 0.186 0.142 0.178
RE
0.100 0.145 0.147 0.100 0.110 0.172 0.149 0.344 0.172 0.174 0.122 0.110 0.127 0.132 0.089 0.126 0.130 0.142 0.161
ED
0.462 0.396 0.374 0.382 0.194 0.229 0.254 0.161 0.260 0.198 0.245 0.260 0.401 0.303 0.297 0.353 0.375 0.423 0.357
1
C
RWC
0.121 0.125 0.127 0.140 0.219 0.224 0.149 0.105 0.170 0.198 0.309 0.314 0.158 0.118 0.094 0.125 0.160 0.136 0.161
H
0.216 0.185 0.144 0.142 0.145 0.195 0.195 0.220 0.168 0.283 0.200 0.257 0.249 0.148 0.116 0.203 0.131 0.164 0.110
R
0.105 0.190 0.144 0.162 0.111 0.130 0.137 0.122 0.102 0.122 0.113 0.115 0.124 0.174 0.219 0.132 0.207 0.213 0.198
RE
0.122 0.148 0.260 0.129 0.127 0.155 0.088 0.122 0.113 0.103 0.113 0.103 0.124 0.111 0.109 0.129 0.145 0.147 0.282
PI
0.278 0.170 0.144 0.283 0.163 0.135 0.143 0.189 0.178 0.140 0.161 0.139 0.142 0.156 0.268 0.210 0.168 0.147 0.124
TC
0.140 0.146 0.143 0.142 0.226 0.215 0.239 0.192 0.246 0.221 0.253 0.244 0.249 0.300 0.178 0.165 0.188 0.164 0.176
2
C
RHC
0.139 0.161 0.165 0.142 0.225 0.170 0.198 0.155 0.193 0.131 0.160 0.142 0.112 0.111 0.110 0.161 0.162 0.165 0.110
RP
0.132 0.141 0.250 0.087 0.204 0.278 0.167 0.250 0.183 0.247 0.333 0.236 0.140 0.143 0.166 0.177 0.167 0.147 0.160
S
0.151 0.140 0.250 0.246 0.246 0.163 0.167 0.250 0.282 0.209 0.167 0.200 0.103 0.270 0.410 0.195 0.333 0.390 0.354
PL
0.132 0.263 0.250 0.133 0.204 0.163 0.333 0.250 0.164 0.198 0.167 0.095 0.117 0.162 0.103 0.195 0.167 0.159 0.131
3
C
PE
0.585 0.456 0.250 0.534 0.346 0.396 0.333 0.250 0.371 0.346 0.333 0.469 0.340 0.425 0.321 0.433 0.333 0.304 0.355
SO
0.290 0.151 0.135 0.209 0.186 0.220 0.165 0.140 0.343 0.162 0.200 0.186 0.225 0.140 0.262 0.341 0.220 0.177 0.161
PR
0.108 0.240 0.129 0.095 0.166 0.121 0.200 0.131 0.150 0.162 0.200 0.156 0.124 0.263 0.140 0.109 0.121 0.114 0.080
ME
0.101 0.085 0.129 0.103 0.156 0.121 0.140 0.140 0.110 0.151 0.200 0.166 0.135 0.140 0.140 0.118 0.121 0.188 0.143
4
C
C
0.501 0.424 0.607 0.593 0.492 0.538 0.495 0.589 0.397 0.525 0.400 0.492 0.516 0.457 0.458 0.532 0.538 0.521 0.616