. (3.5)
Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно 0,707 от амплитудного.

А налогично (3.6)

Большинство измерительных приборов показывают действующее значение измеряемой величины.
3.2 Получение синусоидальной Э.Д.С.
В линейных электрических цепях синусоидальный ток возникает под действием синусоидальной Э.Д.С. Синусоидальную зависимость можно получить, вращая с постоянной скоростью в равномерном магнитном поле проводник в виде прямоугольной рамки площадью S. Тогда магнитный поток через рамку

, (3.7)

где - угол между нормалью к рамке и вектором магнитной индукции .

Поскольку при равномерном вращении рамки угловая скорость , то угол будет изменяться по закону и формула 3.7 примет следующий вид

.

Так как при вращении рамки пересекающий её магнитный поток всё время меняется, то по закону электромагнитной индукции в ней будет наводиться Э.Д.С. индукции

(3.8)

где Е₀ – амплитуда синусоидальной Э.Д.С.

Таким образом, в рамке возникает синусоидальная Э.Д.С., а если рамку замкнуть на нагрузку, то в цепи потечёт синусоидальный ток.
3.3 Способы изображения синусоидальных величин

1. 
   Графическое изображение синусоидальных величин.
   

Для сравнения электрических величин, изменяющихся по синусоидальному закону, необходимо знать разность их начальных фаз. Если, например, на каком - либо участке ток и напряжение имеют одинаковые начальные фазы, говорят, что они совпадают по фазе. Если график изменения во времени напряжения на каком - либо участке цепи пересекает координату времени t раньше графика тока , то говорят, что напряжение по времени опережает ток.

Н
а рис. 3.2 для заданного элемента цепи представлены графики изменения во времени двух электрических величин: напряжения и тока . Из этих двух графиков видно, что они сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол .

2. 
   Векторное изображение синусоидальных величин.
   

При гармоническом изменении синусоидальной величины постоянной остаётся амплитуда. Этим можно воспользоваться для определения мгновенного значения электрической величины, не рассматривая графика её зависимости от времени.

С инусоидальную функцию времени можно изобразить вектором, равным амплитуде данной функции, равномерно вращающимся с угловой скоростью ω. При этом начальное положение вектора определяется (для t=0) его начальной фазой .

---

Н
а рис. 3.3 показаны вращающийся вектор тока и график изменения тока во времени.

П ри изображении синусоидальной Э.Д.С., напряжений и токов из начала координат проводят векторы, равные амплитудным значениям этих величин, под углом к горизонтальной оси. Положительные углы откладываются против часовой стрелки.

Если вращать вектор против часовой стрелки, то в любой момент времени он составит с горизонтальной осью угол, равный . Проекция вращающегося вектора на ось ординат (ось мгновенных значений) равна мгновенному значению синусоидальной величины.

Совокупность векторов на плоскости, изображающих Э.Д.С., напряжения, токи одной частоты, называют векторной диаграммой.

При исследовании установившихся режимов векторы неподвижны, их длина равна действующим значениям электрических величин.

С помощью векторов можно производить геометрическое суммирование электрических величин.

Так, на рис. 3.4 показаны векторы токов и , а также вектор их геометрической суммы . Углы обозначают начальные фазы токов.

В
екторные диаграммы широко используются при анализе электрических цепей переменного тока.
3. Представление синусоидальных величин комплексными числами.

Синусоидально изменяющуюся электрическую величину можно представить комплексным числом и изобразить в виде вектора на комплексной плоскости с прямоугольной системой координат.

К омплексное число состоит из действительной (вещественной) и мнимой частей. По оси ординат откладывают мнимую часть комплексного числа, а ось обозначают +j; по оси абсцисс – действительную часть комплексного числа, а ось обозначают +1.

На комплексной плоскости синусоидальная величина может изображаться в виде модуля и аргумента или в виде двух составляющих вектора, направленных по действительной и мнимой осям.

Н апример, синусоидальный ток представляют вектором , модулем которого является значение амплитуды тока , а аргументом – начальная фаза , которую можно выражать в радианах или в градусах (рис. 3.5).

Составляющим вектора по действительной оси будет , а по мнимой - , то есть

.

Вектор называют комплексной амплитудой тока.

Обычно при расчётах пользуются действующими значениями.

П ри построении векторных диаграмм точно фиксируют угол сдвига между векторами, а положение их относительно осей комплексной плоскости может быть произвольным, поэтому оси можно не изображать.

При анализе электрических цепей переменного тока приходится иметь дело с умножением и делением электрических величин. В этом случае удобно пользоваться комплексами этих величин, записанными в показательной форме:

---

,

где - оператор поворота единичного вектора относительно оси действительных величин.

Например, при

У множение на j означает поворот вектора на +90 градусов (в сторону, противоположную направлению движения стрелки часов).

Умножение на –j означает поворот вектора на угол –90 градусов (по часовой стрелке).

3.4 Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Уравнение 3.9 представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока в комплексной форме

, (3.9)

где Z – комплексное сопротивление, Ом.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX,

. (3.10)

Уравнение 3.9 можно записать иначе.

Разделим обе его части на и перейдём от комплексных амплитуд и к комплексам действующих значений и .

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы равна нулю:

.

Подставив вместо выражение и вынеся за скобку, получим . Таким образом,

(3.11)

Уравнение 3.11 представляет первый закон Кирхгофа в комплексной форме.

Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа и представить в комплексной форме:

.

3.5 Пассивные элементы R, L, C в цепи синусоидального тока
Резистивный элемент





В электрической цепи с резистивным элементом R ток изменяется по синусоидальному закону с начальной фазой , то есть

. (3.12)

Напряжение на зажимах резистора

;(3.13)

где - амплитудное значение напряжения на зажимах резистора, - начальные фазы напряжения и тока.

Кривые изменения напряжения и тока (рис. 3.6б) в один и тот же момент времени t достигают максимального значения и одновременно проходят нулевые значения. Иначе говоря, обе кривые совпадают по фазе (рис. 3.6в).

. (3.14)

Векторы и совпадают по направлению (угол ). Переходя к действующим значениям можно записать

; (3.15)

. (3.16)

Сопротивление переменному току будет больше, чем постоянному за счет неравномерного распределения тока в проводе и потерь энергии в окружающую среду. Поэтому в отличие от сопротивления постоянному току сопротивление R в цепи переменного тока называется активным

---

.

Индуктивный элемент.


Изменение тока в цепи с индуктивностью L (рис. 3.7а) вызывает возникновение Э.Д.С. самоиндукции , которая по закону Ленца противодействует изменению тока. При увеличении тока Э.Д.С. действует навстречу току, а при уменьшении - в направлении тока, противодействуя его изменению. Показанные на рис. 3.7а положительные направления и имеют место только в течение некоторого узкого промежутка времени. Для тока, изменяющегося по гармоническому закону и при Э.Д.С. самоиндукции

(3.17)

Чтобы в цепи протекал ток, требуется иметь на зажимах напряжение, уравновешивающее Э.Д.С. самоиндукции, равное ей по значению и противоположное по знаку.

(3.18)

где - амплитуда напряжения.

Произведение обозначается , называется индуктивным сопротивлением и измеряется в Омах:

. (3.19)

И з выражения 3.18 следует, что на участке цепи с индуктивностью L напряжение опережает ток на четверть периода ( ). На рис. 3.7в вектор напряжения опережает вектор тока на 90⁰, а комплекс (вектор) Э.Д.С. самоиндукции находится в противофазе с комплексом напряжения .

Кроме того, из соотношения 3.19 можно заметить, что индуктивное сопротивление пропорционально (рис. 3.8).

Если R =0, то средняя активная мощность равна 0:

. (3.20)

Временная диаграмма напряжения и тока показана на рис. 3.7б.
Е
мкостной элемент.

В цепи с конденсатором (рис. 3.9а), включенным на напряжение переменного тока, происходит непрерывное перемещение электрических зарядов.

Мгновенный ток в цепи равен скорости изменения заряда конденсатора:

, (3.21)

где q – заряд конденсатора, Кл;

С – ёмкость конденсатора, Ф.
Если напряжение на зажимах конденсатора изменяется по синусоидальному закону:

, (3.22)

то ток в цепи

, (3.23)

где - амплитуда тока.
Величина , измеряемая в единицах сопротивления и обозначаемая , называется ёмкостным сопротивлением цепи:
. (3.24)

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте приложенного напряжения (рис. 3.10).





Из сопоставления 3.22 и 3.23 видно, что ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 90⁰ (рис. 3.9б,в).

На основании выражения 3.23 определяется связь между действующими значениями напряжения и тока:

, (3.25)

(3.26)

Выше были рассмотрены идеализированные модели катушек и конденсаторов, у которых R=0. На практике изготовить их такими невозможно

---

, и этими научными абстракциями пользуются для того, чтобы ясно представить себе свойства таких элементов.
3.6 Последовательное соединение элементов R, L, C в цепи синусоидального напряжения
В электрической цепи (рис. 3.11) элементы R, L, C соединены последовательно и подключены к источнику синусоидального напряжения. Ток в такой цепи будет изменяться также по синусоидальному закону.

Все законы постоянного тока справедливы и для синусоидального, только записанные в комплексной форме.

Вектор напряжения на входе равен сумме векторов напряжений на элементах R, L, C:

. (3.27)

По закону Ома можно расписать:

.

Отсюда

. (3.28)

Значит полное сопротивление для цепи на рис. 3.11

, (3.29)

, (3.30)

где - реактивное сопротивление электрической цепи.

Можно рассмотреть три случая значений:

1. 
   , значит ;
   
2. 
   , значит ;
   
3. 
   , значит .
   

3.7 Мгновенная и средняя мощности. Активная, реактивная и полная мощности. Измерение мощности ваттметром
Если имеются законы изменения тока и напряжения

, (3.31)

, (3.32)

то их произведение

. (3.33)

Мгновенная мощность
(3.34)

График этой функции - результат графического умножения графиков тока и напряжения.
П
од активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности за период Т:

. (3.35)

Учитывая соотношения 3.31 и 3.32 можно записать
(3.36)

Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи с сопротивлением R. Действительно, произведение . Следовательно:

. (3.37)

Единица активной мощности - 1Вт (Ватт).
Под реактивной мощностью Q принимают произведение напряжения на участке цепи на ток, протекающий по этому участку, и на синус угла φ между напряжением и током.

. (3.38)

Единица реактивной мощности – вольт-ампер реактивный (ВАр).

Величина, объединяющая активные реактивные мощности, называется полной мощностью.

. (3.39)

Единица полной мощности - вольт-ампер (ВА).

Для того, чтобы вычислить полную мощность нужно комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:

. (3.40)

Можно расписать

. (3.41)

Таким образом, активная мощность Р есть действительная часть (Re), а реактивная Q - мнимая часть (Im) произведения

---

Смотрите также файлы

• Сказка Снегурочка Весенняя сказка.docx

• Налоги в системе государственного регулирования предпринимательства.docx

• Введение с.docx

• Срок прохождения практики с 3 февраля 2023 г по 2 марта 2023г.docx

• Жоспар Кіріспе 1 зектілігі 2 Масаты 3 Міндеті Негізгі блім.docx