, (3.42)

. (3.43)
3.8 Треугольники сопротивлений, напряжений и мощностей
В разделе 3.6 мы вывели выражение для нахождения полного сопротивления Z. По формуле 3.30

.

Из этого следует, что модуль комплексного сопротивления:

. (3.44)

Следовательно, z можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника (рис. 3.13) – треугольника сопротивлений, один катет которого равен R, другой - х.

При этом

, (3.45)

. (3.46)

Зная или , можно определить угол .
З нак угла в выражениях для мгновенного значения тока определяется характером нагрузки: при индуктивном характере нагрузки ( ) ток отстаёт от напряжения на угол и в выражении для мгновенного значения тока угол записывают со знаком минус, то есть ; при емкостном характере нагрузки ( ) ток опережает напряжение на угол и выражение мгновенного значения тока записывают со знаком плюс, то есть .
В разделе 3.5 были рассмотрены характеры напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке. И было отмечено, что на сопротивлении ток и напряжение по направлению совпадают, на индуктивности напряжение опережает ток на 90⁰, а на ёмкости напряжение отстаёт от тока на 90⁰, то есть должно быть повернуто относительно вектора тока на угол 90⁰ в отрицательном направлении (а на индуктивности в положительном). Это отображено на рис. 3.14.
И з этого видно, что при последовательном соединении R, L, C суммарное напряжение будет равно векторной сумме возможны три случая различных значений реактивного сопротивления и, соответственно, три значения суммарного напряжения.

1. 
   Индуктивный характер напряжения. Соответствует случаю, когда (рис. 3.14). При этом режиме угол .
   
2. 
   Е
   мкостной характер напряжения. Соответствует случаю, когда (рис. 3.15). При этом режиме .
   
3. 
   Резонанс напряжений. Соответствует случаю, когда (рис. 3.16). При этом (см. подробнее раздел 3.10).
   

И
з формулы 3.41 можно сделать вывод, что мощности P, Q, S связаны следующей зависимостью:


. (3.47)

Графически эту связь можно представить в виде прямоугольного треугольника (рис. 3.17) – треугольника мощности, у которого имеются катет, равный Р, катет равный Q и гипотенуза S.
Отношение Р к S, равное , называется коэффициентом мощности.

. (3.48)

На практике всегда стремятся увеличить , так как реактивная мощность, которая всегда существует в цепи R, L, C, не потребляется, а используется лишь активная. Из этого можно сделать вывод, что реактивная мощность является лишней и ненужной.

---

3.9 Топографическая и векторная диаграммы
Каждая точка электрической схемы, в которой соединяются элементы схемы, имеет своё значение комплексного потенциала.

Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комплексные потенциалы одноимённых точек электрической схемы, называют топографической диаграммой.

Напряжение между любыми двумя точками электрической схемы, например между точками а и в, по значению и направлению определяются вектором, проведённым на векторной диаграмме от точки в к точке а.

Потенциал любой точки схемы может быть принят равным нулю. На диаграмме эту точку помещают в начало координат. Тогда положение остальных точек схемы на диаграмме определяется параметрами цепи, Э.Д.С. и токами ветвей.

Ток и напряжение на различных участках электрической цепи синусоидального тока, как правило, по фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов даёт векторная диаграмма токов и напряжений.

Основной функцией векторной диаграммы является качественный контроль аналитических расчетов, который заключается в сравнении этих векторов, исходя из физических соображений. Например, на векторной диаграмме напряжение должно опережать ток на 90⁰, а напряжение отставать от тока на 90⁰.

При несовпадении расчетов с этим положением можно сделать вывод, что в расчете допущена ошибка.
3.10 Резонанс напряжений
Условием возникновения резонанса напряжений в последовательном RLC - контуре является равенство реактивных сопротивлений катушки и конденсатора.

При значения противоположных по фазе напряжений на индуктивности и на емкости равны, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений.

• 
  П
  олное сопротивление последовательного контура при резонансе минимально и равно активному сопротивлению.
  

.

• 
  Из формулы закона Ома следует, что при ток в контуре максимален и, ввиду чисто активного сопротивления цепи, совпадает по фазе с приложенным напряжением: .
  

• 
  Напряжение на индуктивности и на емкости равны и в Q раз превышают приложенное напряжение:
  

. (3.49)
Величина Q называется добротностью контура и показывает во сколько раз напряжение на реактивном (индуктивном или емкостном) элементе превышает напряжение на входе схемы в резонансном режиме. В радиотехнических устройствах Q может достигать 300 и более.

---

Для добротности контура можно записать также следующие соотношения:

, (3.50)
где ρ – волновое (характеристическое) сопротивление контура:
. (3.51)

Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной угловой частотой:

. (3.52)

А частота, при которой возникает резонанс – соответственно резонансной частотой.

. (3.53)

Рассмотрим частотные характеристики последовательного контура, то есть характер изменения ёмкостного и индуктивного сопротивлений при изменении частоты питающего напряжения.

Графики этой зависимости приведены на рис. 3.20.





Емкостное сопротивление при увеличении частоты уменьшается от бесконечности до нуля по закону обратной пропорциональности.

Индуктивное сопротивление при увеличении частоты увеличивается от нуля до бесконечности прямо пропорционально ω.

Как видно из рисунка при увеличении частоты от 0 до реактивное сопротивление имеет емкостной характер и изменяется от до 0. Вследствие этого ток в цепи возрастает от 0 до , а угол сдвига фаз между напряжением и током изменяется от до 0. Дальнейшее увеличение частоты от до приводит к увеличению реактивного сопротивления X от 0 до , которое будет иметь индуктивный характер.

В результате ток уменьшается от до 0, а угол φ возрастает от до 0. При этом напряжение изменяется пропорционально току.

Важно отметить, что максимум напряжения на конденсаторе имеет место при частоте немного ниже резонансной, а на индуктивности - при частоте немного выше резонансной. Это можно наблюдать по следующим формулам.

; (3.54)

; (3.55)

. (3.56)

Колебательный контур обладает ещё одним замечательным свойством – избирательностью.

Свойство контура выделять и усиливать сигналы определённой частоты и частот, близких к ней, называется избирательностью.

Для оценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонансной кривой или полосой пропускания контура, которую определяют как разность верхней и нижней частот, в пределах которых величина мощности в резисторе R составляет не менее 50% от мощности при резонансе:
.


На рис. 3.21 приведена резонансная кривая контура. Из рисунка видно, что чем выше добротность, тем ýже полоса пропускания контура.

---

3.11 Резонанс токов
Рассмотрим цепь с двумя параллельными ветвями на рис. 3.22.





Такую цепь часто называют параллельным контуром. Условием возникновения резонанса является равенство реактивных проводимостей:

, (3.57)

. (3.58)

. (3.59)

При противоположные по фазе реактивные составляющие токов равны, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи получил название резонанса токов.
Из векторной диаграммы на рис. 3.23а видно, что при резонансе ток на выходных выводах контура может быть значительно меньше токов в отдельных ветвях.

При резонансе общий ток в параллельном контуре по фазе совпадает с приложенным напряжением.

Добротность контура показывает во сколько раз ток в ветви превышает питающий ток и определяется следующим соотношением:
, (3.60)

где ,
- эквивалентное активное сопротивление при резонансе:

- если . (3.61)

В общем случае резонансная частота определяется по формуле:

, (3.62)

где - резонансная угловая частота при - аналогичная последовательному контуру.

В теоретическом случае при токи и сдвинуты по фазе относительно напряжения на углы (рис. 3.23б) и суммарный ток . Входное сопротивление цепи при этом бесконечно велико.

Как видно из формулы 3.62 резонанс возможен, если сопротивления оба больше или оба меньше ρ.

Если , то резонансная частота имеет любое значение, то есть резонанс наблюдается на любой частоте.

Н а рис. 3.24 показаны частотные характеристики проводимостей ветвей и , и входной проводимости цепи .

При изменении частоты от 0 до эквивалентная проводимость , то есть индуктивная и изменяется от до 0. При наступает резонанс токов, .

При возрастании частоты от до входная проводимость , то есть имеет емкостной характер и изменяется от 0 до .
3.12 Частотные характеристики пассивных двухполюсников
Как выяснили выше, входное сопротивление и входная проводимость двухполюсника являются функциями частоты ω. Под частотными характеристиками (ЧХ) понимают следующие типы характеристик:

1. 
   Зависимость модуля входного сопротивления (проводимости) от частоты ω.
   
2. 
   Зависимость действительной или мнимой части входного сопротивления (проводимости) от частоты ω.
   

ЧХ могут быть получены расчетным (если известна схема, характер элементов и их числовые значения), либо опытным путем (в этом случае схему двухполюсника и характер её элементов знать не обязательно).

---

При снятии ЧХ опытным путём на вход двухполюсника подают напряжение, частоту которого изменяют в широких пределах, начиная с нуля, и по результатам измерений подсчитывают модуль входного сопротивления (проводимости) или действительную (мнимую) часть входного сопротивления (проводимости).

В общем случае двухполюсники содержат резистивные и реактивные элементы. В частном случае двухполюсники могут состоять из реактивных элементов, тогда их называют реактивными двухполюсниками. Применительно к ним под ЧХ понимают зависимости или . ЧХ для несложных двухполюсников, содержащих резистивные и реактивные элементы, иногда можно качественно строить на основании простых физических изображений о характере изменения сопротивления отдельных элементов этого двухполюсника при изменении частоты. Если это сделать затруднительно, то прибегают к аналитическому расчету, либо к снятию ЧХ опытным путём.

Рассмотрим вопрос о построении ЧХ реактивных двухполюсников, не содержащих резистивных сопротивлений.

Входное сопротивление их , а входная проводимость .


Частотная характеристика таких двухполюсников - это зависимость или . Эти зависимости взаимно обратные.

Для индуктивного элемента (рис. 3.25а), а проводимость (рис. 3.25б). Для емкостного элемента (рис. 3.25в), а (рис. 3.25г). Если учесть, что при последовательном соединении элементов их сопротивления складывают, то ясно, что для получения последовательно соединенных элементов надо сложить ординаты кривых этих элементов.

ЧХ последовательно соединённых и (рис. 3.25д) построена на рис. 3.25е в виде кривой 3 (прямая 1 – это ЧХ , а кривая 2 – ЧХ ). Зависимость для схемы (рис. 3.25 д) изображена на рис. 3.25ж. При частоте кривая пересекает ось абсцисс, а кривая претерпевает разрыв от до . При этой частоте имеет место резонанс напряжений.

Если учесть, что при параллельном соединении элементов проводимости их надо сложить, то для получения кривой параллельно соединённых элементов надо сложить ординаты кривых этих элементов. Зависимость для схемы на рис. 3.25з изображена на рис. 3.25к, а обратная ей зависимость - на рис. 3.25и.

При частоте кривая пересекает ось абсцисс, а претерпевает разрыв от до . При этой частоте имеет место резонанс токов. На рис. 3.25л последовательно соединены два двухэлементных двухполюсника. Так как каждого из этих двухполюсников построена, то результирующее схемы на рис. 3.25л получим, суммируя ординаты этих двухполюсников. Зависимость изображена на рис. 3.25м, а - на рис. 3.25н. При плавном увеличении частоты в схеме на рис. 3.25ж начиная с при частоте возникает резонанс напряжений, затем при частоте - резонанс токов, после этого снова - резонанс напряжений при частоте . При дальнейшем увеличении резонанс возникать не будет.

---

Смотрите также файлы

• Сказка Снегурочка Весенняя сказка.docx

• Налоги в системе государственного регулирования предпринимательства.docx

• Введение с.docx

• Срок прохождения практики с 3 февраля 2023 г по 2 марта 2023г.docx

• Жоспар Кіріспе 1 зектілігі 2 Масаты 3 Міндеті Негізгі блім.docx